【高考押题】2025届高考数学模拟预测卷一新高考Ⅰ卷 含答案

/2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024•太原模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0） B．（0，3） C．（1，3） D．（﹣2，+∞）2．（5分）（2025春•宝安区月考）若z+1z=1−A．﹣1﹣i B．i C．1﹣i D．﹣i3．（5分）（2025•安顺模拟）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b4．（5分）（2024•青原区校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及点Q（﹣2，3），则下列说法正确的是（）A．直线kx﹣y﹣2k+1＝0与圆C始终有两个交点 B．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[22C．若点P（m，m+1）在圆C上，则直线PQ的斜率为14D．圆C与x轴相切5．（5分）（2022秋•黄山期末）已知4cos2A．12 B．1 C．45 6．（5分）（2022秋•临夏州期中）等比数列的首项a1＝2004，公比q=−12，设Pn表示数列{an}前n项的积，则A．P13 B．P12 C．P11 D．P107．（5分）（2023秋•阆中市校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，f（0）＝2，且f(x+12A．23 B．﹣22 C．﹣2 D．38．（5分）（2024春•广安校级月考）设正四面体ABCD的棱长为a，下列对正四面体的有关描述：（1）该正四面体的外接球的表面积是32（2）该正四面体的内切球的体积是32πaA．1 B．2 C．4 D．3二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）（2024春•太原期末）已知（1﹣x）10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则下列结论正确的是（）A．a0＝1 B．a10＝1 C．a1D．10+a1+2a2+3a3+4a4+…+10a10＝0（多选）10．（6分）（2024春•堆龙德庆区校级期中）已知函数f(A．函数f（x）的最小正周期为π B．x=π3时，f（C．f（x）在[0，π3D．f（x）的对称中心坐标是(（多选）11．（6分）（2024秋•金华月考）已知抛物线y=18x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，直线lA．当直线l过焦点时，以BF为直径的圆与x轴相切 B．存在直线l，使得A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称 C．若|AF|+|BF|＝16，则线段AB的中点M到x轴距离为8 D．当直线l过焦点时，则2|AF|+3|BF|的最小值10+4三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2025春•浦东新区校级期中）已知向量a→与b→不平行，ka→−b→13．（5分）（2023秋•湖南月考）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线在第二象限的交点为A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F14．（5分）（2025春•石家庄期中）一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为13；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为12．记第n次向左跳动的概率为pn，则p3＝；i四．解答题（共5小题，满分77分）15．（13分）（2022•青羊区校级模拟）在世界读书日期间．某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人．（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+bP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（15分）（2024•大同开学）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝1，CD=2AB=22，AD⊥PC，（1）证明：PB⊥CD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为1，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．17．（15分）（2024秋•福州期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为12．过F1作垂直于（1）求C的方程；（2）若M，N是C上任意两点，①若点M（1，32），点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA1G和△NA2G的面积分别为S1，S2，若2S1﹣2S2＝3，求线段MN②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求证：线段MN的长度不大于14．18．（17分）（2025•浙江模拟）已知a，b∈R，函数f（x）＝xe﹣x﹣aex+b．（1）若曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2（x+1），求a+b的值；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；（3）若对∀b∈R，函数f（x）至多有两个零点，求a的取值范围．19．（17分）（2024秋•安徽期中）定义数列{an}为“阶梯数列”：a1=11，a2（1）求“阶梯数列”中，an+1与an的递推关系；（2）证明：对k∈N*，数列{a2k﹣1}为递减数列；（3）证明：|a

2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024•太原模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0） B．（0，3） C．（1，3） D．（﹣2，+∞）【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．解：集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，则A∩B＝（0，3）．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）（2025春•宝安区月考）若z+1z=1−A．﹣1﹣i B．i C．1﹣i D．﹣i【考点】复数的除法运算．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【正确答案】B【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．解：由z+1z=1−故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）（2025•安顺模拟）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】平均数；中位数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】A【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断．解：根据题意，由数据分布图知，数据的众数为c，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为右起第二个矩形下底边的中点值，数据的中位数为b，直线x＝b左右两边矩形面积相等，而直线x＝c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b＜c，数据的平均数为a，由于数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b，即a＜b，所以a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查由数据分布图分析数据，注意平均数、中位数、众数的定义，属于基础题．4．（5分）（2024•青原区校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及点Q（﹣2，3），则下列说法正确的是（）A．直线kx﹣y﹣2k+1＝0与圆C始终有两个交点 B．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[22C．若点P（m，m+1）在圆C上，则直线PQ的斜率为14D．圆C与x轴相切【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【正确答案】B【分析】根据题意分别求出圆心C（2，7），半径r=22，由直线kx﹣y﹣2k+1＝0过定点（2，1）可对A判断；利用圆外一点到圆上距离知识可对B判断；由P（m，m+1）在圆上可求得m＝4，即可对C判断；根据圆心C（2，7）到x轴的距离从而可对解：依题意，圆C：圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0，整理得：（x﹣2）2+（y﹣7）2＝8，故圆心C（2，7），半径r=2对于A，直线kx﹣y﹣2k+1＝0，整理得：k（x﹣2）+1﹣y＝0，故该直线恒过定点（2，1），而点（2，1）在圆C外，则过点（2，1）的直线与圆C可能相离，故A不正确；对于B，|CQ|=42，点Q在圆C外，由|CQ|﹣r≤|MQ|≤|CQ|+r得：2对于C，点P（m，m+1）在圆C上，则（m﹣2）2+（m﹣6）2＝8，解得m＝4，而点Q（﹣2，3），则直线PQ的斜率为m−2m+2对于D，点C（2，7）到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与x轴相离，即圆C与x轴不相切，故D不正确．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：点和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．5．（5分）（2022秋•黄山期末）已知4cos2A．12 B．1 C．45 【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【正确答案】D【分析】根据二倍角余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系求解．解：由4co解得tanα＝2，所以tan2故选：D．【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．6．（5分）（2022秋•临夏州期中）等比数列的首项a1＝2004，公比q=−12，设Pn表示数列{an}前n项的积，则A．P13 B．P12 C．P11 D．P10【考点】数列递推式；等比数列的性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【正确答案】B【分析】根据等比数列的通项公式和题意求出Pn，再与Pn﹣1作商化简后，判断出|PnPn−1|与1的关系，可得到|Pn解：根据题意，等比数列{an}的首项为a1＝2004，公比q=−1∴an＝a1qn﹣1＝2004×（−12）n∴当n为奇数时an＞0，当n为偶数时，an＜0，∵当n≥2时，PnPn−1=an＝2004×（∴当n≤11时，|PnPn−1当n≥12时，|PnPn−1又由P10＜0，P11＜0，P12＞P13＞0，则P12是Pn中的最大值．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，利用作商法判断单调性是解题的关键，属于中档题．7．（5分）（2023秋•阆中市校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，f（0）＝2，且f(x+12A．23 B．﹣22 C．﹣2 D．3【考点】抽象函数的奇偶性；函数的奇偶性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】C【分析】根据题意，由函数的对称性分析函数的周期，结合函数的周期性求值即可．解：根据题意，因为f(x+又由f(x−12)为偶函数，则f（﹣x−令t=x+所以f（1﹣t）＝﹣f（t），f（1﹣t）＝﹣f（t），f（﹣t）＝f（t﹣1），所以﹣f（t+1﹣1）＝﹣f（t），f（t+2）＝f（（t+1）+1）＝﹣f（t+1﹣1）＝﹣f（t），则f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），所以f（x）的周期T＝4，因为f（0）＝2，所以f（1）＝﹣f（0）＝﹣2，f（2）＝﹣f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣f（0）＝﹣2，f（2）＝﹣f（0）＝﹣2，f（3）＝﹣f（1）＝2，f（4）＝f（0）＝2，所以k=0故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及函数的周期性，属于中档题．8．（5分）（2024春•广安校级月考）设正四面体ABCD的棱长为a，下列对正四面体的有关描述：（1）该正四面体的外接球的表面积是32（2）该正四面体的内切球的体积是32πaA．1 B．2 C．4 D．3【考点】球的体积和表面积．【专题】转化思想；综合法；球；运算求解．【正确答案】C【分析】根据正四面体的对称性与正方体的对称性，分割补形法，针对各个描述分别求解即可．解：如图，可以将棱长为a的正四面体放置到棱长为22则棱长为a的正四面体的外接球的直径为棱长为22所以正四面体的外接球半径R满足：(2R所以四面体的外接球的表面积是4π如图，设底面正三角形BCD的中心为O，取CD中点E，则BO=23所以正四面体ABCD的体积V=设正四面体ABCD的内切球半径为r，因为V=212所以正四面体ABCD内切球的体积为6216因为AE⊥CD，BE⊥CD，所以CD⊥平面ABE，所以CD⊥AB，所以正四面体相对棱所成角为90°．所以四个描述都正确．故选：C．【点评】本题考查正四面体的内切球与外接球问题的求解，正四面体的体积及对称性，化归转化思想，属中档题．二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）（2024春•太原期末）已知（1﹣x）10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则下列结论正确的是（）A．a0＝1 B．a10＝1 C．a1D．10+a1+2a2+3a3+4a4+…+10a10＝0【考点】二项式系数的性质．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【正确答案】BCD【分析】对x分别赋值﹣1，0，﹣2，可判断A、B、C三个选项，再对已知等式等号两端分别求导后，赋值x＝0，可判断D．解：∵（1﹣x）10＝[（x+1）﹣2]10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，①∴当x＝﹣1时，得a0＝210＝1024，A错误；a10=C100（﹣2）0在①中，令x＝0，得a0+a1+a2+…+a10＝1，②在①中，令x＝﹣2，得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10＝310，③②﹣③，得2（a1+a3+…+a9）＝1﹣310，∴a1+a3+…+a9=1−310对①式等号两端分别求导，得10（x﹣1）9＝a1+2a2（x+1）+…+10a10（x+1）9，令x＝0，得﹣10＝a1+2a2+3a3+4a4+…+10a10，∴10+a1+2a2+3a3+4a4+…+10a10＝0，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查二项式定理，着重考查赋值法的应用，属于中档题．（多选）10．（6分）（2024春•堆龙德庆区校级期中）已知函数f(A．函数f（x）的最小正周期为π B．x=π3时，f（C．f（x）在[0，π3D．f（x）的对称中心坐标是(【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．【正确答案】AC【分析】对函数化简变形后，根据正弦函数的性质逐个分析判断．解：f(对于A，函数f（x）的最小正周期为T＝π，所以A正确，对于B，当x=π3时，2对于C，由x∈[0，π3因为y＝sinx在[−π3，π3]上单调递增，所以f（对于D，由2x−π所以f（x）的对称中心为(kπ2+故选：AC．【点评】本题主要考查了三角恒等变换的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．（多选）11．（6分）（2024秋•金华月考）已知抛物线y=18x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，直线lA．当直线l过焦点时，以BF为直径的圆与x轴相切 B．存在直线l，使得A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称 C．若|AF|+|BF|＝16，则线段AB的中点M到x轴距离为8 D．当直线l过焦点时，则2|AF|+3|BF|的最小值10+4【考点】直线与抛物线的综合．【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】ABD【分析】由抛物线的定义可判断A；对于B，假设存在直线l，则依题意求出直线l的方程，再验证此时直线l与抛物线相交即可；由抛物线定义及中点公式可判断C；对于D，设直线l的方程，并与抛物线方程联立，由韦达定理及基本不等式可判断D．解：依题意，抛物线的标准方程为x2＝8y，所以F（0，2），准线方程为y＝﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．对于A，因为直线l过焦点，由抛物线的定义有|BF|＝y2+2，则以BF为直径的圆半径为y2线段BF的中点坐标为(x22，y所以BF为直径的圆与x轴相切，故A正确；对于B，设直线l的方程为y＝kx+m，联立y=kx+mx2=8y，消去y则x1+x2＝8k，所以y1所以AB中点C坐标为（4k，4k2+m），若A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称，则k=12代入x2﹣8kx﹣8m＝0得x2﹣4x﹣8＝0，Δ＝16+32＝48＞0，即当直线l方程为y=12x+1时，A，B两点关于2x对于C，由抛物线定义得|AF|＝y1+2，|BF|＝y2+2，因为|AF|+|BF|＝16，所以y1+y2＝16﹣4＝12，所以AB中点M纵坐标为6，则点M到x轴的距离为6，故C错；对于D，因为直线l过焦点，且斜率一定存在，则设l方程为y＝kx+2，联立y=kx+2x2=8y，消去所以x1x2＝﹣16，所以y1所以2|AF|+3|BF|＝2（y1+2）+3（y2+2）=10+2当且仅当2y1＝3y2时，即y2=2故选：ABD．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2025春•浦东新区校级期中）已知向量a→与b→不平行，ka→−b→与a【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】−1【分析】根据向量共线的性质求解即可．解：因为向量a→与b→不平行，ka所以存在实数λ，使得ka→−b故k=λ−1=2λ，解得k故−1【点评】本题主要考查向量共线的性质应用，属于基础题．13．（5分）（2023秋•湖南月考）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线在第二象限的交点为A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F1F【考点】求双曲线的离心率．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】3+1【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义，以及性质，即可求解．解：因为|F1A|＝|F1F2|，所以|AF1|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，所以|AF2|＝2a+2c，令M为AF2的中点，所以|F又∠AF2F1＝30°，得|F1M|＝c，所以在直角△F1MF2中，|F1M|2+|F2M|2=|F1得a2﹣2c2+2ac＝0，所以1﹣2e2+2e＝0，解得e=因为e＞0，所以双曲线C的离心率是3+1故3+1【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．14．（5分）（2025春•石家庄期中）一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为13；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为12．记第n次向左跳动的概率为pn，则p3＝49；i=1【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【正确答案】49；24【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、等比数列性质求解．解：由题意，得p1＝1，p2p3由pn设pn+1+t=−∴数列{pn−37∴pn−3∴i=1故49；24【点评】本题考查概率与数列的综合等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，解决问题能力，是中档题．四．解答题（共5小题，满分77分）15．（13分）（2022•青羊区校级模拟）在世界读书日期间．某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人．（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+bP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】（1）城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（2）1021【分析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出K2，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．解：（1）由题意可得：城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则K2=200×(100×30−40×30所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人，采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为A、B、C、D、E；不经常阅读的有2人，记为X、Y，从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB，AC，AD，AE，AX，AY，BC，BD，BE，BX，BY，CD，CE，CX，CY，DE，DX，DY，EX，EY，XY，共21种，被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，∴所求概率为P=10【点评】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（15分）（2024•大同开学）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝1，CD=2AB=22，AD⊥PC，（1）证明：PB⊥CD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为1，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【正确答案】（1）证明见解析；（2）69【分析】（1）通过证明AD⊥PB，结合PB⊥BC来证得PB⊥平面ABCD，从而可得PB⊥CD．（2）根据四棱锥P﹣ABCD的体积求得PB，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线PA与平面PCD所成夹角的正弦值．解：（1）证明：设O是CD的中点，连接OB，由于AB∥OD，AB＝OD，所以四边形ABOD是平行四边形，所以AD∥OB，AD＝OB＝1，由于OC=2，BC=1，所以OB2+BC所以OB⊥BC，所以AD⊥BC，由于AD⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，所以AD⊥PB，由于PB⊥BC，AD，BC⊂平面ABCD，且直线AD与直线BC相交，所以PB⊥平面ABCD，而CD⊂平面ABCD，故PB⊥CD．（2）过A作AE⊥CD，垂足为E，过B作BF⊥CD，垂足为F，则四边形ABFE是矩形，EF=所以BF=依题意VP−ABCD由于PB⊥平面ABCD，AB，BF⊂平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BF，则BA，BF，PB两两相互垂直，以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，P(0，0，2)，PA→设平面PCD的法向量为n→则n→故可设n→设直线PA与平面PCD所成角为θ，则sinθ=|【点评】本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．17．（15分）（2024秋•福州期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为12．过F1作垂直于（1）求C的方程；（2）若M，N是C上任意两点，①若点M（1，32），点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA1G和△NA2G的面积分别为S1，S2，若2S1﹣2S2＝3，求线段MN②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求证：线段MN的长度不大于14．【考点】直线与椭圆的综合；根据abc及其关系式求椭圆的标准方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）x2（2）①3；②证明过程见解析．【分析】（1）由题意，根据椭圆离心率及弦长计算求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；（2）①结合题目所给信息求出点N的坐标，进而可得弦长；②设出直线MN的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点H的坐标，根据P，Q，M，N四点共圆，得到|HM|•|HN|＝|HP|•|HQ|，利用弦长公式再进行求证即可．解：（1）因为椭圆C的离心率为12所以b2因为|DE|＝3，所以点(c此时2b解得a＝2，b=则椭圆C的方程为x2（2）①由（1）得A2（2，0），连结MA2，因为S1−S所以S△则S△所以ON∥MA2，则直线ON的方程为y=−联立y=−解得x＝1，y=−32或x＝﹣1，y即N(1，−所以|MN|＝3；②证明：设直线MN的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），H（x0，y0），则Q（﹣x3，﹣y3），联立y=kx+mx24+y23=1，消去y此时Δ＝64m2k2+16（m2﹣3）（4k2+3）＞0，解得m2﹣3﹣4k2＜0，由韦达定理得x1+x所以y1则中点H的坐标为(−4所以kOH此时直线OH的方程为y=−因为P，Q，M，N四点共圆，所以|HM|•|HN|＝|HP|•|HQ|，因为|HM|•|HN|=14|MN|2联立y=−解得x3此时|HP|•|HQ|＝（1+916k2）|x02所以12（1+k2）4k2+3−m2(4解得k=±因为m2＜3+4k2＝6，所以m∈（−6，6则|MN故|MN【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于难题．18．（17分）（2025•浙江模拟）已知a，b∈R，函数f（x）＝xe﹣x﹣aex+b．（1）若曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2（x+1），求a+b的值；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；（3）若对∀b∈R，函数f（x）至多有两个零点，求a的取值范围．【考