分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用第六章

计数原理复习回顾1.分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有

m种不同的方法，在第2类方案中有

n

种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2.分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第1步有

m种不同的方法，做第2步有

n

种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.复习回顾

分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词区别联系分类分步每类方法都能独立完成这件事各步都完成，才能完成这件事各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题典例剖析例1要从甲、乙、丙

3

幅不同的画中选出

2

幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法?甲乙解析：分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有

3

种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有

2

种选法.所以共有

N＝3×2＝6种不同的挂法.左边右边甲甲乙丙乙丙丙甲乙丙典例剖析例1要从甲、乙、丙

3

幅不同的画中选出

2

幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法?解法二：第1步，从3幅画中选出2幅，有

3种选法第2步，将选出的两幅画挂好，有2种挂法.甲、乙甲、丙乙、丙左边右边甲乙乙甲甲甲丙丙乙乙丙丙所以共有

N＝3×2＝6种不同的挂法.当堂训练试一试：某班有9位班委，要在班委中选正、副班长各一人，问共有多少种不同选法？解析：先选正班长，有9种方法，再选副班长，有8种方法，根据分步乘法计数原理，不同的选法共有9×8＝72种.当堂训练试一试：由数字0，2，4，6，8可以组成多少个三位数?(各位上的数字可以重复)解析：要完成的事是“确定一个三位数”，分

3步：第1步，确定百位数，可从

2，4，6，8中任选1个，有4种方法；第2步，确定十位数，同样也有5种方法；第3步，确定个位数，同样也有5种方法．所以根据分步乘法计数原理，这样的三位数的个数为4×5×5＝100．百位数不能为零当堂训练试一试：从1，2，‧‧‧，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，‧‧‧，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式?解析：要完成一个减法算式，需分

2步：第1步，确定被减数，可从1，2，‧‧‧，19，20这20个数中任取1个；第

2步，确定减数，可从1，2，‧‧‧，10中任取1个．根据分步乘法计数原理，共可得到不同的算式个数为N＝20×10＝200

例24个客人分别到

3个旅店选择一处住宿，有多少种不同的选法？第

1步，安排第

1个客人住店有

种选择；第

2步，安排第

2个客人住店有

种选择；一共有

种方法.33第1间第2间第3间我是第1个客人解析：完成这件事情可以分为

4个步骤，3×3×3×3＝34＝81典例剖析第

3步，安排第

3个客人住店有

种选择；第

4步，安排第

4个客人住店有

种选择；33当堂训练试一试：有

4

封不同的信要投入

3

个不同的信箱，则不同的投法有()种A.43B.34C.4×3×2D.4解析：按每封信对信箱的选择，分四步完成：每一步中，每一封信在

3个信箱中选择一个，有

3种选法，由分步乘法计数原理得，共有3×3×3×3＝34＝81种不同的分法。B方法总结这类问题可看成是特殊的分配问题，解题的关键是搞清楚谁选谁。第一个“谁”指被分配元素，第二个“谁”指接受单位，若被分配元素数为

n，接受单位数为

m，则总数为

mn.当堂训练试一试：五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？解析：5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有

4种报名方法，故报名方法种数为

4×4×4×4×4＝45种.解析：每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种，故有

5×5×5×5＝54

种.追问：又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？当堂训练试一试：通信公司在某一段时间内向市场投放一批手机号码，这一批号码(共11位数字)的前七位是统一的，后四位都是0~9之间的一个数字，那么这一号段共有

个不同的号码.解析：后四位中的每一位都可以从

0~9这10个数字中任选一个，每一位都有

10种选法。根据分步乘法计数原理，这一号段共有10×10×10×10＝10000个不同的号码．10000例3现有高一学生6人，高二学生10人，高三学生8人，自发组织数学课外活动小组，要求每次活动需要两名来自不同年级的学生做活动的主持人，有_____种不同主持人搭配方法.解析：推选两名来自不同年级的学生做一次活动主持人，

有不同选法：6×10＋6×8＋10×8＝188(种)高一高二第一类610高一高三第二类高二高三第三类68810188典例剖析当堂训练试一试：某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出体育场的方案有(

)A.

12

种

B.

7

种

C.

14

种

D.

49

种解析：完成进、出体育场这件事，需要分两步，第

1

步，进体育场共有

4＋3＝7

种方案；第

2

步，出体育场共有

4＋3＝7

种方案.由分步乘法计数原理知，进、出体育场的方案有

7×7＝49

种.D当堂训练试一试：把

9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有(

)A.10种 B.9种 C.8种 D.6种解析：首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第

1种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第

2种方法，可以把球分成1和2两份，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第3种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果.综上可知，共有1＋6＋3＝10种不同结果.A例4用

0，1，2，3，4

五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被

2

整除的无重复数字的三位数?解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有

5种排法，共有5×5×5＝53＝125个.典例剖析例4用

0，1，2，3，4

五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被

2

整除的无重复数字的三位数?解析：(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除

0

外共有

4

种方法，第二、三位可以排

0

，因此，共有4×5×5＝100个.典例剖析例4用

0，1，2，3，4

五个数字，(3)可以排成多少个能被

2

整除的无重复数字的三位数?解析：(3)被

2整除的数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法，因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.典例剖析当堂训练试一试：从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(

)A．24 B．18C．12 D．6B解析：此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是奇偶奇：首先个位有3种情况，十位有2种情况，最后百位有2种情况，共3×2×2＝12种；如果是偶奇奇：个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，有1种情况，共3×2×1＝6种，因此总共有12＋6＝18种情况．课堂总结本节课你学到了哪些知识？(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是分类还是分步，要搞清楚分类或者分步的具体标准．(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．(2)分类时要满足两个条件：