高三二轮高效复习讲义数学专题突破统计与概率融合创新5概率统计与其他知识的综合问题

融合创新5概率、统计与其他知识的综合问题▶对应学生用书P90【考情分析】交汇型试题在近几年高考中频繁出现，与概率有关的交汇题往往是档次较高的综合题，对考查学生的创新能力大有裨益.该类题目背景取自现实，题型新颖，考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.融合1概率、统计和数列的综合问题(2025·江苏泰州二模)某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为25；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为35.(1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表(单位：人)套餐A满意度A套餐改善前A套餐改善后合计满意204060不满意303060合计5070120参考数据：χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？(2)若A套餐拟提供2种品类的素菜，nn≥3，n∈N＋种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求P(3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为Pn，求Pn.解：(1)零假设H0：认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善无关，由已知数据计算χ2＝120×(20×30－30×40)250×根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即接受H0，因此认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系.(2)依题意，P(X＝1)＝C21C令an＝6(n－1)an+1an＝6n(n+3)(n+2)6当n＝3时，a4＝a3＝35，当n＞3时，an＋1＜an，即当n≥4时，数列an于是a3＝a4＞a5＞a6＞…，所以P(X＝1)的最大值为35，此时n＝3或n＝4(3)由员工小李第n天选择B套餐的概率为Pn，得员工小李第n天选择A套餐的概率为1－Pn，因此Pn＋1＝(1－Pn)·(1－25)＋Pn·(1－35)＝35－1而P1＝12，Pn＋1－12＝－15(Pn－又P1－12＝0，因此Pn－12＝0，所以Pn＝[规律方法]概率问题与数列交汇的主要类型(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式.(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.对点练1.(2025·湖南岳阳二模)已知甲、乙两个箱子中均装有1个黑球和2个白球(各球大小，质地均相同)，每次操作从甲、乙两个箱子中各任取一个球交换放入另一箱子.(1)当进行1次操作后，设甲箱子中黑球个数为X，求X的分布列及数学期望；(2)重复n次这样的操作后，记甲箱子中恰有1个黑球的概率为pn，求pn.解：(1)由题意知X的可能取值为0，1，2，PX=0＝13×23PX＝1＝13×13＋23PX＝2＝1－PX＝0－P所以X的分布列为X012P252所以EX＝0×29＋1×59＋2×29(2)重复n次这样的操作后，记甲箱子中恰有0个黑球的概率为qn，则甲箱子中恰有2个黑球的概率为1－qn－pn，根据全概率公式可得，当n≥2时，pn＝23qn－1＋59pn－1＋231－qn－1∴pn－35＝－1由(1)知p1＝59，∴p1－35＝59－3所以数列pn－35是首项为－245，故pn－35＝－245·所以pn＝35－245·融合2概率、统计和函数的综合问题(2025·安徽合肥二模)当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用.例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注.假设通常情况下，它们发生的概率分别是p＝0.0001和p＝0.9999，用ln1p这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0.现在假设离散型随机变量X的分布列为PX＝xi＝pi，0＜pi＜1，i＝1，2，…，m，则称HX＝∑i=1mpiln1pi(1)若X的分布列为PX＝x1＝p，PX＝x2＝1－p，0＜p＜1(2)证明：eHX≤(3)若X～Bn，p，且n为定值，设HX＝fp，证明：f'1解：(1)由题意知，H(X)＝－plnp－(1－p)ln(1－p)，其中0＜p＜1.令H(X)＝φ(p)，则φ'(p)＝ln1－所以当0＜p＜12时，φ'(p)＞0，所以φ(p)在0，当12＜p＜1时，φ'(p)＜0，所以φ(p)在12所以H(X)在p＝12时取得最大值，且最大值为ln2(2)证明：要证eH(X)≤m，即证lnm≥H(X)，因为lnm－H(X)＝lnm－∑i=1mpiln1pi＝lnm＋∑i=1mpilnpi＝∑i=1mpilnm＋∑i=1mpilnpi＝∑i=1m[pilnmpi]≥∑所以eH(X)≤m.(3)证明：由题意知f(p)＝H(X)＝－∑k=0nCnkpk(1－p)n则f(1－p)＝－∑k=0nCnk(1－p)kp由Cnk＝Cnn－k，则f(p)＝f所以f'(p)＝－f'(1－p)，则f'(12)＝－f'(12)，即得f'1[规律方法]构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.对点练2.(2025·河北石家庄一模)在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为p，且p∈13，2(1)当p＝12时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率(2)若规定每轮游戏只要连续不断地出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6次.①甲在一轮游戏中恰好投掷了5次游戏结束的概率为f(p)，求f(p)的表达式；②设甲在一轮游戏中投掷次数为X，求E(X)的最大值.解：(1)设事件Ai表示第i次正面向上，其中i＝1，2，3，4，5，6.且PAi＝p，PAi＝1－设事件B：“投掷两次至少出现一次正面向上”，P(B)＝1－PA1A2＝1－1(2)①设事件C：“恰好投掷了5次游戏结束”，则C＝A1A2A3A4A5＋A1A2A3A故P(C)＝PA1PA2PA3PA4PA5＋PA1·PA2PA3PA4PA5＝(1－p)p4＋(1－p)2p所以f(p)＝(1－p)p3.②由题意知X＝3，4，5，6，P(X＝3)＝PA1A2APX=4＝PA1A2AP(X＝5)＝(1－p)p3，P(X＝6)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)－P(X＝5)＝1－p3(3－2p)，则E(X)＝3p3＋4(1－p)p3＋5(1－p)p3＋6[1－p3(3－2p)]＝3p4－6p3＋6.令g(p)＝3p4－6p3＋6，则g'(p)＝6p2(2p－3)，当p∈13，23时，g'(p)＜0，即g(p)在13，23上单调递减，故g(因此，E(X)的最大值为15727[课下巩固检测练(三十七)]概率、统计与其他知识的综合问题(每题10分)1.(2025·辽宁沈阳二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态无关.已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行nn∈N*次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn，恰有2个红球的概率为(1)求p2，q2的值；(2)证明：pn－35是等比数列，(3)求Xn的数学期望.解：(1)由题意，A盒子中没有红球的概率为1－pn－qn，则p1＝C21C21＋C11Cp2＝p1·C21C21＋C11C11C31C31＋q1·C2q2＝p1·C21C11C31C31＋q1·C(2)因为pn＝pn－1·59＋qn－1·23＋1－pn－1－qn－1·23＝－19p所以pn－35＝－19pn－1－35所以数列pn－35是以－245所以pn－35＝－245·－19n－1，即pn(3)当n≥2，n∈N时，qn＝pn－1·C21C11C31C31＋qn－1·C11C1－pn－qn＝pn－1·C11C21C31C31＋(1－pn－1－qn－1)·C31C11C31C31＝由①－②得，2qn＋pn－1＝13(2qn－1＋pn－1－1)，又2q1＋p1－1＝0所以2qn＋pn－1＝0，则qn＝1－Xn的可能取值为0，1，2，则PXn=0＝1－pn－qn＝PXn=1＝pn，PXn=2＝q则Xn的分布列为：Xn012P1pn1所以EXn＝0×1－pn2＋1×pn＋22.(2025·河北邯郸一模)某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为p14≤p＜1(1)已知p＝12①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；②求甲同学答对1道题的概率.(2)记甲同学的答题个数为X，求EX的最大值.解：(1)①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为P＝C43(12)3(1－12)1＋C4②甲同学答对1题的情况如下，第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为P1＝C41(12)1(1－12)3×C30(12第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为P2＝C40(12)0(1－12)4×C41(12所以甲同学答对1道题的概率为P1＋P2＝132＋164＝(2)由题意，X＝4，6，7，8，且P(X＝4)＝C43p3(1－p)1＋C44p4(1－p)0＝4p3(1－p)P(X＝6)＝C42p2(1－p)2＝6p2(1－p)P(X＝7)＝C41p1(1－p)3＝4p(1－p)P(X＝8)＝C40p0(1－p)4＝(1－p)所以E(X)＝4[4p3(1－p)＋p4]＋36p2(1－p)2＋28p(1－p)3＋8(1－p)4＝16p3－12p4＋36p2(1－p)2＋28p(1－p)3＋8(1－p)4＝4p4－4p3－4p＋8，又1