湖南省长沙市一中2026届高三月考试卷（十）数学+答案

1湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试A.1B.-1C.2D.-2A.-2iB.2iC.-2D.2A.B.C.D.325.已知椭圆C的左丶右焦点分别为F1,F2，点P在C上，且满足PF1,LPF2F1=2LPF1F2，则C的离心率为()A.·2-1B.C.D.6.已知定义在[0,π)上的函数fx=cos⑴x__3sin⑴x(⑴>0)有最小值，但无最大值，则ω的取值范围2A.B.CD.7.已知在正三棱台ABC_A1B1C1中，AB=6,A1B1=2，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为A.1B.2C.3D.2)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第kk=1,2,3,⋯,n个袋中有k个红球，n_k个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每2个球取后不放回若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取5出的球是白球的概率是()A.B.C.D9.2025湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分：永州队常德队长沙队株洲队娄底队衡阳队郴州队岳阳队益阳队邵阳队湘潭队怀化队湘西州队张家界队222635272320654则下列说法正确的是()A.积分数据的众数为19B.积分数据的第70百分位数为22C.积分数据的中位数为19.5D.积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小10.已知抛物线y2=4x，其焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线，垂足分别记为C,D，则()A..是定值B.以CD为直径的圆过点F3C.对于l上的任一点P,LAPB<90恒成立D.△OAB面积的最小值为211.已知数列{an}满足a"+1=Sn为{an}的前n项和，则()*，使得S2026=S8D.{an}为等比数列的充要条件是a1<012.已知aixi，则ai=（用数字作答）13.在正方形ABCD所在平面内，动点P在以点C为圆心且与直线BD14.已知函数f(x)=(x_m)2x+2x+2m_4有三个不同的零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3，则15.如图所示，在四棱锥P_ABCD中，底面是边长为6的正方形ABCD，PA=8，PA丄平面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点．（2）求二面角N_AM_B的余弦值．{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,…，求这个新数列的前33项和S33.417.已知直线l与双曲线有唯一的公共点Q.（1）若点N(2,4)在直线l上，求满足条件的所有直线l的方程；（2）已知直线l的斜率为k，且k过点Q且与l垂直的直线交x轴于A(x1,0)，交y轴于B(0,y1)点.是否存在定点M,N使得当点Q在双曲线上运动时，动点P(x1,y1)使得llPM|_|PNll为定值?若存在，求出点M,N的坐标和定值；若不存在，请说明理由.18.已知函数f(x)=ex.cosx（e为自然对数的底数）.①当xi时，求xi_f(xi+1)的取值范围；②判断是否存在xi<π,使得xi+xi+1≥成立，并说明理由.19.现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以1~6标号.在棋盘上，以O为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为(1,0).棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子n次，用Xn表示第n次投掷后棋子的位置（X0为坐标原点规定：奇,数,其中向量,k为前n次投掷过程中，掷得偶数的总次数.（1）求点X2所有可能的坐标；（2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；（3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为r(0≤r≤80)的概率为p(r)，求5p(r)的表达式，并指出当r为何值时，p(r)取得最大值.1湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】【分析】由AB=B，得B≤A，进而得到关于a的方程，结合集合的性质求解即可.{1,1}，不符合集合元素的互异性，故舍去.{1,4}，不符合集合元素的互异性，故舍去.}，不符合集合元素的互异性，故舍去.A.-2iB.2iC.-2D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法与乘法法则求结果.2【详解2=_2i,选A.【点睛】本题重点考查复数的乘除运算，属于基本题.考查基本求解能力.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式求出余弦值即可.32【答案】C【解析】【分析】应用余弦定理计算求解.5.已知椭圆C的左丶右焦点分别为F1,F2，点P在C上，且满足PF1,LPF2F1=2LPF1F2，则C的离心率为()A.2_1B.3_1C.D.【答案】A【解析】3故LP即PF1F2是以F2为直角顶点的直角三角形，2因此，椭圆的离心率eA.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】f(xcos又f(x)有最小值，但无最大值，所以解得47.已知在正三棱台ABC_A1B1C1中，AB=6,A1B1=2，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为A.1B.C.3D.2【答案】D【解析】【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解.【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，如图，取BC和B1C1的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为O1，O2，则O1QO2P设内切球的球心为O，半径为r，则正三棱台的高O1O2=2r，内切球与PQ相切于点M，根据圆的性质可知，QM=O1QPM=O2P如图：5所以正三棱台的高为2*)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k(k=1,2,3,,n)个袋中有k个红球，n_k个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中2连续取出三个球（每个球取后不放回若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球5的条件下，第三次取出的球是白球的概率是()A.B.C.D【答案】A【解析】【分析】根据全概率公式及条件概率公式，结合第三次取出的球为白球的概率列出关于n的方程，求出n的值，再根据条件概率公式求解即可.【详解】设“取出第i个袋子”为事件Ai，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件B，所以PAiB=PAiAi所以P=P+P++P6设前两次取出白球为事件C，第三次取出白球为事件D，则P.P所以P故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是.9.2025湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分：永州队常德队长沙队株洲队娄底队衡阳队郴州队岳阳队益阳队邵阳队湘潭队怀化队湘西州队张家界队222635272320654则下列说法正确的是()A.积分数据的众数为19B.积分数据的第70百分位数为22C.积分数据的中位数为19.5D.积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小【答案】AB【解析】【分析】先从小到大排列，再应用众数，百分位数，中位数及方差定义计算判断各个选项即可.【详解】将14支球队的积分，按照从小到大的顺序排列：4,5,6,11,13,18,19,19,20,22,23,26,27,35；7积分数据的众数为19，A选项正确；因为14×0.7=9.8，所以积分数据的第70百分位数为第10个数据，即22，B选项正确；积分数据的中位数为19，C选项错误；积分最高的4队积分的平均数为积分最高的4队积分的方差 积分最低的4队积分的平均数为积分最低的4队积分的方差 ,4所以积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差大，D选项错误；10.已知抛物线y2=4x，其焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线，垂足分别记为C,D，则()A..是定值B.以CD为直径的圆过点FC.对于l上的任一点P,LAPB<90恒成立D.△OAB面积的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及三角形面积公式求解判断AD；利用抛物线的几何性质推理判断BC.【详解】抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，准线l:x=_1，设直线AB:x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，由消去x，得y2_4ty_4=0，则y1+y2=4t,y1y2=对于A，x1x2+y1yy1y2=_3，A正确；对于B，连接CF,DF，由|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,AC//OF//BD，得LCFO=LACF=LAFC,LDFO=LBDF=LBFD，则LCFD=LCFO+LDFO=90，因此以CD为直径的圆过点F，B正确；对于C，取AB中点Q，当P为CD中点时，PQ//AC//BD,|PQAB|，则8LAPB=90，C错误；当且仅当t=0时取等号，因此△OAB面积的最小值为2，D正确.11.已知数列{an}满足an+1=Sn为的前n项和，则()*，使得S2026=S8D.{an}为等比数列的充要条件是a1<0【答案】BCD【解析】【分析】AB项通过递推数列规则依次求解各项，可得重复项，进而得到周期规律即可判断；C项取特殊首项求和即可；D项从充分性与必要性两个角度证明.3445667由递推关系以下过程重复操作，后面各项依次为5,2,4,1,2,4,1,2,所以数列{an}除了a1=5外，从a2=2开始成周期为3规律，从a2到a2026共2025项，2025是3的倍数，所以a2026=a2=2，故A错误；2932故，数列{an}为等比数列；若数列{an}为等比数列，设公比为q(q≠0)，n故存在某项am≥3，则am+1=am_3<am，这与数列递增矛盾，假设也错误；所以数列{an}中也不存在大于0且小于3的项，又等比数列中各项均不为0，故数列{an}中任意一项均小于0，即a1<0；综上所述，{an}为等比数列的充要条件是a1<0，故D正确.12.已知aixi，则ai=（用数字作答）【答案】0【解析】【分析】利用二项式定理和赋值法求解即可.13.在正方形ABCD所在平面内，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上，设【答案】3【解析】【分析】以A为原点建系，先求圆C的方程，再将向量式转化为点P的坐标，把目标式x+2y转化为求x+y的最大值，最后用直线与圆相切的几何方法求解，得最大值为3．【详解】如图，设正方形ABCD的边长为1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，由题意得，圆C与直线BD相切，所以圆C的半径r等于点C到直线BD的距离，即r所以，动点P的轨迹方程为设P(xP,yP)，则xP=x+y，yp=y，所以x+2y=xP+yp，问题转化为：P(x,y)在圆上，求x+y的最大值，当直线x+y_t=0与圆相切时，t取得最值，所以tmax=3，因此，x+2y的最大值为3．14.已知函数f(x)=(x_m)2x+2x+2m_4有三个不同的零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3，则【答案】5【解析】【分析】易知f(1)=0，当x≠1时将方程变形为m令g，由g(2_x)=g(x)可得g(x)关于x=1对称，由题意可得m有两个实数根，即函数y=m与g(x)有两个交点，进而得出x2=1，x1+x3=2，代入3x+2x+x，利用一元二次函数的性质可得答所以1是函数f(x)的一个零点，当x≠1时，令f(x)=0，可得m所以g(x)关于x=1对称，若要函数f(x)=(x_m)2x+2x+2m_4有三个不同的零点x1,x2,x3，则需满足方程m有两个实数根，即函数y=m与g(x)有两个交点，且两交点关于直线x=1对称，2所以3xx12=4xx1+6=41，x时，等号成立，此时3x+2x+x的最小值为5．15.如图所示，在四棱锥P_ABCD中，底面是边长为6的正方形ABCD，PA=8，PA丄平面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点．（2）求二面角N_AM_B的余弦值．【答案】（1）证明见解析【解析】再利用四边形ABCD是正方形得到线线垂直，利用面面垂直的判定即可证明；（2）利用空间向量计算二面角即可.【小问1详解】取PA的中点E，连接EN，DE，因为点M是CD的中点，点N是PB的中点，可得EN∥AB，且ENAB，而DMDCAB，且DM∥AB，所以EN∥DM且EN=DM，所以四边形DMNE为平行四边形，所以MN∥DE，又因为PA丄平面ABCD，而PAC平面PAD，所以平面PAD丄平面ABCD，因为ABC平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB丄AD，所以AB丄平面PAD，而DEC平面PAD，所以AB丄DE，所以AB丄MN；【小问2详解】以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，PA=8，底面是边长为6的正方形ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，设平面AMN的法向量为=(x,y,z)，所以cos因为二面角N_AM_B的平面角为锐角，所以它的余弦值为cos{bn}满足{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,，求这个新数列的前33项和S33.【解析】【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可求出An，再由an=An可求出数列{an}的通项公式，由等差中项法可知数列{lgbn}为等差数列，从而可得出数列{bn}为等比数列，且设该等比数列的公比为q(q>0)，结合题中条件求出b1和q的值，即可求出数列{bn}的通项公式；（2）求出数列{bn}的前n项和Bn，对n进行分类讨论，利用等差数列和等比数列的求和公式可得出Sn.【小问1详解】1为首项，以为公差的等差数列，:=1+n__1)=，:An=.d，所以，数列{bn}是正项等比数列，设其公比为q，则q>0.【小问2详解】2数列{an}的前n项和为An=n(n+1，2数列的前n项和为Bn)时，Sn=A2k+1+B2k所以S17.已知直线l与双曲线有唯一的公共点Q.（1）若点N(2,4)在直线l上，求满足条件的所有直线l的方程；（2）已知直线l的斜率为k，且k过点Q且与l垂直的直线交x轴于A(x1,0)，交y轴于B(0,y1)点.是否存在定点M,N使得当点Q在双曲线上运动时，动点P(x1,y1)使得llPM|_|PNll为定值?若存在，求出点M,N的坐标和定值；若不存在，请说明理由.x+/2y_42_2=0，（2）存在定点M,N使得当点Q在双曲线上运动时，动点P(x1,y1)使得llPM|_|PNll为定值，定点坐【解析】【分析】(1)根据题意知直线为切线或者与渐近线平行的直线(2)根据题意知直线为切线，做法线，找到坐标之间的关系即可得；【小问1详解】因为直线l与双曲线有唯一的公共点Q，所以直线l与双曲线渐近线平行或者与双曲线相切；双曲线渐近线yx，情况一：直线l的斜率不存在。此时直线l的方程为：x=2，不符合题意；情况二：直线l的斜率存在.设直线l的方程为：y_4=k(x_2)，即y=kx_2k+4，将直线方程代入双曲线方程中得到：(1__2k2)x2+(8k2__16k)x__(8k2__32k+40)=0，直线平行于双曲线的渐近线，此时k，直线l的方程为：x_2y+42_2=0或者x直线与圆锥曲线相切，设切点Q(x0,y0)，则x_2y=8，过点Q的切线方程为因为点N(2,4)在直线l上，所以代入切线方程可得x0=4y0+4，综上，满足条件的直线l的方程为有以下四条：x_2y+42_2=0，【小问2详解】直线l的斜率为k，且k所以直线l为切线，由(1)过点Q的切线方程为所以ky0≠0，过点Q且与l垂直的直线（法线）的斜率为法线方程为：y_y因为该直线交x轴于A(x1,0)，交y轴于B(0,y1)点，所以动点P的坐标为px0,3y0)，因为x_2y=8，所以设px,y，则xx0,y=3y0，所以化简得，所以动点P的轨迹方程为根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数2a，2222该双曲线的焦点坐标为：F1(__36,0,F236,0)，对于双曲线上的任意点，都有||PM|_|PN||=2a=6/2，所以存在定点M,N使得当点Q在双曲线上运动时，动点P(x1,y1)使得llPM|_|PNll为定值，定点坐标18.已知函数f(x)=ex.cosx（e为自然对数的底数）.①当xi时，求xi_f(xi+1)的取值范围；②判断是否存在xi<π,使得xi+xi+1≥成立，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；②不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据给定条件构造函数g(x)=f(x)_x_1，利用导数探讨其单调性推理作答.(2)①探讨函数f(x)的性质，作出部分图象，结合图象可得xi构造函数并求出其值域得解；②分类讨论xi的各种取值条件下xi+xi+1值的范围即可判断作答.【小问1详解】x∈(0,π)，令g(x)=f(x)_x_1=ex.cosx_x_1，求导得：g,(x)=ex(cosx_sinx)_1，f(x)_x_1<0，时，f(x)<x+1.【小问2详解】①f=ex，当_2π<xx<2π时，f,当时，f,于是得f(x)在(_2π,_)，(_,)，(,2π)上都递增，在上都递减，而f=1,f=_eπ<_1，f(x)的部分图象大致如图，观察图象知，当xi时，又xi>xi+1，必有xi，令h(xi)=xi_f(xi+1)=xi_f(xi)=xi_exi.cosxi，xi∈(,)，因f(x)在上递减，则exi.cosxi在上递减，因此，h(xi)=xi_exi.cosxi在上递增，则当xi时，h所以xi_f(xi+1)的取值范围是②不存在，当xi时，xi=f_fx_ex(cosx_sinx