河南省周口市天立高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南周口市天立高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数fx=x⋅2x+1,则曲线y=f(x)在点−1,f−1A.ln2 B.ln2−2 C.1−ln2.已知函数fx=24x2+xsinx+A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.c>a>b3.已知函数fx=x−ax−b2，其中a>b，3为fx的极大值点.若fx在A.3,92 B.92,+∞ C.4.有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有(    )种A.24 B.48 C.72 D.1445.有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为(

)A.40 B.90 C.150 D.2406.已知k元一次方程x1+x2+x3+⋯+xkA.35 B.56 C.84 D.1207.已知a2x+1xn的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中A.48 B.64 C.40 D.808.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是(    )．

A.在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86

B.第9行所有数字之和为256

C.记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则ab=1021

D.在“杨辉三角”中，从第2行起到第12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=x3−3x+2，则A.f(x)有两个极值点

B.f(x)<0当且仅当x<−2

C.当x>1时，f(x2+1)>f(2x)

D.若10.已知f(x)=(x−1)ex−xA.函数f(x)在(0,ln2)上单调递增

B.函数f(x)有1个零点

C.对任意x1，x2∈[1,+∞)，x1≠x2，都有f(x11.近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A,B,C,D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是(

)A.若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法．

B.若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法．

C.若甲不去A区，乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法．

D.若该医院又计划向这四个区捐赠10箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放1箱，则共有84种不同的安排方法．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有

种(用数字作答)13.若x2−3x+15=a0+14.设函数f(x)=lnx+x2−ax(a∈R)，若f(x)有两个极值点x1，x2，且x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT−4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型．(1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案?(2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案?16.(本小题15分)已知函数fx=a(1)当a=1时，求函数fx(2)当x>0时，fx≥−e恒成立，求a17.(本小题15分)有标号1，2，3，4，5，6的六个小球和标有A，B，C，D的四个盒子．(结果均使用数值表示)(1)若将小球全部放入盒中，每盒中小球数量没有限制，有多少种放法？(2)若每盒放入一球，1号球、2号球不能放入A盒和D盒，有多少种放法？(3)若将小球全部放入盒中，恰有两个盒子为空且盒中球的数量不超过4个，有多少种放法？18.(本小题17分)已知1−2x7(1)a(2)a(3)求该展开式中系数的绝对值最大的项．19.(本小题17分)已知函数f(x)=ex((1)若a=1，求曲线y=f(x)在x=π处的切线方程；(2)若a=0，求y=f(x)在(0,π)内的极值；(3)设g(x)=f(x)−excos x，若g(x)有2个零点x1，x2，且参考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.D

9.ABC

10.BC

11.ABD

12.18

13.3124

14.3ln15.解：(1)首先，从6位同学中选5人，有C65种选法，

接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责，

则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有C52种方法，

再将这四组对应4种模型进行全排列，

不同的调研安排方案有C65C52A44=6×10×24=1440种．

(2)首先将甲、乙两位同学视为一个整体(一个元素)，

此时相当于5个元素分配到4种模型，每类模型至少有一人，

即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有C52种方法，16.解：(1)当a=1时，函数fxf′令f′x=0，解得x=−2当x<−2时，f′x>0当−2<x<1时，f′x<0当x>1时，f′x>0∴x=1是极小值点，代入函数得f1(2)a∵ex>0整理得ax2≥x+1−e1−x令hx=x+1−h′x=1+e1−xx=2∵x>0，x+2≠0，故e1−x=1，解得当0<x<1时，h′x>0当x>1时，h′x<0∴hx在x=1处取得最大值：h当a=1时，fx=x2−x−1且对所有x>0，fx当a<1时，x=1处f1∴a的取值范围为1,+∞．

17.解：(1)因为小球全部放入盒中，每盒中小球数量没有限制，

则每个球均有4种选择，所以有46=4096种不同放法．

(2)若每盒放入一球，1号球、2号球不能放入A盒和D盒，

先排A盒和D盒，有A42=12种不同放法，

再排B盒和C盒，有A42=12种不同放法，

所以有12×12=144种不同放法．

(3)若恰有两个盒子为空，有C42=6种不同选法，且小球全部放入盒中，

剩余两个盒中球的数量不超过4个，

若其中一个盒中球的数量为4个，有C64A18.解：(1)已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，

展开式的通项Tr+1=C7r⋅17−r⋅(−2x)r=(−2)rC7rxr，

因为ar=(−2)rC7r，所以|ar|=2rC7r，

所以|a0|+|a1|+|a19.解：(1)由题意，f(x)=ex(cosx+1)−x，求导得：f′(x)=ex(cosx+1)+ex(−sinx)−1=ex(cosx−sinx+1)−1，

在x=π处，计算函数值与导数值：

f(π)=eπ(cos π+1)−π=−π，

f′(π)=eπ(cos π−sin π+1)−1=−1，

根据点斜式，切线方程为：y−(−π)=−(x−π)

，

化简得：y=−x；

(2)当a=0时，f(x)=ex(cosx + 1)，

f′(x)=ex(cos x+1)+ex(−sin x)

=ex(cosx−sinx+1)=ex[2cos⁡(x+π4)+1]，

令f′(x)=0，即2cos⁡(x+π4)+1=0，x∈(0,π)，

解得x=π2，

当x∈(0,π2)时，得x+π4∈(π4,3π4)，

所以2cos⁡(x+π4)+1>0，即f​′(x)>0，

所以f(x)在(0,π2)上单调递增，

当x∈(π2,π)时，得x+π