人教版九年级数学上册第22章一元二次方程全章导学案

第2章一元二次方程

2.1一元二次方程(1)

学习目标.

1.质过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义；

2.一元二次方程的一般形式及其有关概念；

3.使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式；

4.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

学习重点：

一元二次分程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题

学习难点：

爱立一元三次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

一.学前准备：

1.叫方程；

____________________________________________叫一元一次方程。

2.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，利用一元一次方程解决实际问题的步骤是：

二.探究活动

(一)独立思考•解决问题

1.剪一块面积为150。加,的长方形铁片，师它的长比宽多5加，这块铁皮该怎么剪呢？如果铁皮的宽为x

(cm)，那么铁皮的长为cm.

根据题意，可得方程是：_______________________

2.一个数比另一个数小6，且这两数之积为6，求这两个数。设其中较小的一个数位x，请列出满足题

意的万程___________________.

3.正方形的面积是2c/，求它的边长？

3.矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m,如果花圃的面积是24/2,求花圃的长和宽。

(-)师生探究-合作交流

议一议：1.上面的方程有哪些共同的特点呢？你知道什么是一元二次方程了吗？

2.结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗？

3.ax2+Ax+C=0(H工0)其中叫做二次项，a叫做,bx叫做,b叫做.c

是常数项。

4.下面是一元二次方程吗？：填“是"或"否")

一2«24---3=0()

-3X+2=0()x

2*2—31=0()—542=o()

5.方程：3x(x-l)=2(x+2)+8

(1)是一元二次方程吗？如果是一元二次方程请将它转化成一般形式。

(2)如果是，请分别说出它的二次项，一次项，常数项和它各项的系数。

(3)试求f士以一4ac的值o

2a

练一练：

1.下面的方程式一元二次方程吗？如果是，请说出方程中的a,b,c分别是多少？

x2+x-1=Q-3*+4=0

2.把以下的方程先转化为一元二次方程的一般形式，再分别写出它各项的系数。

x2+x-1=0一X2一3x+4=0

三.自我测试

1.将刀2-3二-3x化为+c=0,a,b,c的值分别为（

A.C,-3,-3B.1.-3,3C.1,3,-3D.1,-3,-3

2.假设方程＞2勿+3=5是一元二次方程，那么m的值是（)

1_

D.

3

24

3.方程：①5x+2=l；②2/+y=4；③y2+3X一2=0；④=0；⑤

3xx2

-3=0；其中一元二次方程的个数是1）

A.CB.1C.2D.3

4.把方程侬2—nx+3+nx2=。一夕（加+刀。0）化成一元二次方程的一般形式，再求出它的二

次项系数与一次项系数的和。

四.应用与拓展

1.以下方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（）

A.ax1+bx+c=0B.ax2+\=x2-x

c.（a2+i）x2-（c?2-l）x=0D.X1=—i----a

x+3

2.假设/研〃一3x"“+2=0是关于x的一元二次方程，求m,n的值。

3.当m取任意实数时，判断关于x的方程（0-1）T2+（/??+1）X—必=0的类型。

2.1一元二次方程（2）

学习目标：

1.理解方程的解，并能利用一元二次方程的解解决简单的数学问题；

2.将已学过的方程知识进一步拓展与融合，扩大视野，提高能力；

3.感受数学的严谨性以及数学结论确实定性。

学习重点：一元二次方程的解的概念

学习难点：利用一元二次方程的解解决数学问题

一.学前准备

1.叫一元二次方程;

2.是一元二次方程的一般形式;

3.叫方程的解。

二.探究活动

（一）独立思考・解决问题

1.x=l是一元二次方程*2-2/77%+1=0的一个解，那么m的值是多少？请写出你的思考过程。

2.关于x的一元二次方程(加一痣)/2+3x+加2_2=0的一个根是0.求m的值C

(二)师生探究•合作交流

议一议：

1..上面题目的解法给你什么启发？我们为什么可以这样去解呢？

2.你能否自己给自己编一道类似这样题型的题目呢？并解答出来。

3.x=l是方程才2—似¥+1=0的根，化简；一60+9-J1-2.+F

_J____-+3./-2a+1的值

4.实数a满足浜+23-8=0

a+1/—1Q+1)(a+3)

5.m,n是有理数，方程x?+nix+〃=0有一个根是质一2，求m+n的值。

三.自我测试

1.假设方程(7+2)x㈤+3加¥+1=0是关于x的一元二次方程，那么()

A.m=±2B.m=2C.m=-2D.mH±2

2.如果关于X的方程*2+RY+1=o的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是()A.1

B.±1C.2I).±2

3.0)是方程X2-X-2=0的一个根，那么代数式加2—加的值为_______；

4.假设方程万2+(A-Dx-6=0的一个根是2，那么k=；

5.当k满足条件时，方程(川-4)/+(%-3)x+5=0不是关于x的一元二次方程。

6.假设关于x的一元二次方程2ay2-3(a+2)x+5a=2的常数项为二次项系数的2倍，那么一次项系数

为；

7.Q,夕是一元二次(一2x-3=0的解，那么(稼'-2。+2)(加-2"1)=______；

四.应用与拓展

1.设一元二次方程ax'++c=0(a/0)的两个根分别为

为,七,2=x：+X；,。=Y1+£,〃=x；+工；,求aP+bQ+cR的值。

2.a,b是关于x的一元二次方程*+3+7=0的两个根，求(4+ma-2)(Z?2+nib+5)的值。

2.方程3矛2-1=0的根是（）

A.X=±-B.X—±3C.x=±D.x=±6

33

3.方程（x—a）?=b（b>0）的根是（）

A.a±4bB.±（a+赤）C.±a+4bD.ta,土b

4.方程才2-Jj*=0的根是.

5.假设方程*2-m=0有整数根，那么1n的值可以是（只填一个）

6.当n时，方程（x-pY-n=0有根，其根为.

7.一元二次方程（x-2）2=（2x+5）2，试用直接开平方法解这个方程。

8.一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h（m）和下落时间x（s）大致有如下关系：

h=-5*2+20，那么石头经过多长时间落到地面？

四.应用与拓展：

公式々3-Z/=（々一力）（〃2十“小+I）”1.根据上述公式解答下题:

3

9a-1

a是方程2a--18=0的根，求F---------7的值。

a+a+1

2.2一元二次方程的解法（2）

学习目标：

I.会利用配方法熟练，灵活的解一元二次方程；

2.通过对计算过程的反思，兼得解决新问题的体验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学

思想；

3.通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯；

4.感受数学的严谨性以及数学结论确实定性。

学习重点：用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程；

学习难点：灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程；

一.学前准备：

1.完全平方和公式：;完全平方差公式：

2.这两个公式都有什么共同特点：_______________________________________

3.解方程：⑴9/-25=0;（2）4（2*-I）2-36=0;

二.探究活动：

（一）独立思考•解决问题

试一试：完成以下配方过程

⑴/+8才+=（x+）2⑵/一矛+=(才_y

⑶/++4=(x+¥

解方程：/+6>+7=0

（-）师生探究-合作交流

1.上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？

2.那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？你能说说你发现了什么没有？

3.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？

4.练一练：

(1)填空

(l)/_8x+()2=(*—)2(2)/+5y+()2=(尸+)2

(3)x2--x+()2=(X—)2⑷/+分+()2=(*+)2

2

(2)用配方法解以下方程：

(1)*2+*—1=0;(2)%2-3%-2=0;

(3)2-+5*-1=0;(4)3/-6x+1=0;

三.自我测试

1.一元二次方程/-n-加二0.假设用配方法解该方程时，那么配方后的方程为()

A.(x-2)2=+4B.(x-2)2-m-\C.(*-2)2=4-///D.(>一2>=历+4

2.用配方法解方程才2+3x=5，应把方程的两边同时()

3939

A.加一B.加一C.减一D.减一

2424

3.9/++=(+I)?

4.假设J/2+/，+36是一个完全平方式，那么a=；

5.用配方法解方程：

(1)3x2-6x-l=0.(2)2x2-5x-4=0.(3)x2-8x=84.

6.用配方法证明：

(1)〃-。+1的值恒为正；(2)-9f+8x-2的值恒小于0.

四.应用与拓展：阅读理解题.

阅读材料：为解方程(V-1尸一5(好一1)+4=0，我们可以将犬—1视为一个整体，然后设，那么

(x2-l)2=/，原方程化为y2-5)：+4=0①

解得X=1.y2=4

当y=1时，f-]二],x2=2,x=±5/2；

当y=4时，V—1=4,X2=5，•二％=±逐；

.二原方程的解为X=J5,X,=—72，/二石,x4=

解答问题：

(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法到达了降次的目的，表达了的数

学思想.

(2)解方程式4一12-6=0.

2.2一元二次方程的解法(3)

学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；

2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；

3.经历探索求根公式的过程，开展学生合情合理的推理能力；

4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动n获得成功的体

验，建立学好数学的自信心。

学习重点：求根公式的推导和公式法的应用

学习难点：一元二次方程求根公式的推导

一.学前准备

1.配方法解一元二次方程的关键是;

2.一元二次方程6/-+1=0中a=,b=,c=；

3.一元二次方程4/—3x=52中a=______,b=______,c=________.

4.用配方法解一元二次方程41-3%=52

二.探究活动

(一)独立思考•解决问题

用配方法解一元二次方程a/+bx+c=OS00)；请同学们独立完成此题。

(二)师生探究•合作交流

由上可知，一元二次方程d/+bx+c=0Q工0)的根由方程的系数a,b,c而定，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形a/+/犹+c=0，当方2-4ac20甘，将a,b,c代

入式子x=，就得到方程的根；当〃-4ac<0时就得到方程无实数根；

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式；

(31利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有一个实数根。

例1：用公式法解以下方程：(1)2/+7x—4=0；(2)/+3=2恳

练习：把以下方程化成a/+bx+。=0的形式，并写出其中a,b,c的值；

(1)X2-5x=2;(2)3x2-1=2%;(3)2X(T-1)=%+4;(4)(x+I)2=-2

三.自我测验

1.用公式法解方程3x2+4=12/，以下代入公式正确的选项是()

12±7122-3x4-12±V122-3x4

A.x=-----------------B.x=-------------------

12_______2_________________

、12±>/122+3x4-(-12)±V(-12)2-4x3x4

C.x=-----------------I),x=----------------------------

22x3

2.方程/+2x=5的根是()

A*_2土瓜RX_1+J6cX_2土芯DX-2+布

24

3.方程/+4x=2的正根是()

4.方程a/+Z?x+。=0(aw0,"-4ac>0)的两根片=,x=；

5.一元二次方程2/_(2//7+l)x+勿=0中，加-4ac=，假设〃-4ac=9，那么m=_

6.用公式法解方程：4/-5x+1=0

四.应用与拓展____________

实数a,b,c满足：/一3a+2+S+1)2+|c+3|=0，求方程a/+打+。=0的根。

2.2一元二次方程的解法(4)

学习目标：I.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程；

2.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，开展学生合情合理的推理能力;

3.学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

学习重点：应用因式分解法解一元二次方程；

学习难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解；

一.学前准备：

1.因式分解的定义;

2.因式分解与整式乘法互为__________;

3.因式分解有如下几种方法，分别是________；

4.对以下整式进行因式分解：

⑴/+6x-16;⑵/-3%-10;

5.解以下方程：

⑴2/+x=0;(用配方法)⑵3/+6x=0;(用公式法)

二.探究活动

(一)独立思考•解决问题

思考：(1)x(2x+l)=0；(2)3x(x+2)=0；

问题：(1)你能观察出这两题的特点吗？

(2)你知道方程的解吗？说说你的理由

(二)师生探究•合作交流

因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为一.即：侵设ab=0,那么

—或______O

由上述后程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于。时，即可解之。这种

方法叫做因式分解法。

你能总结出因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？

(1)

⑵

(3)

(4)

练习；

1.解方程(1)4/=1U;(2)5-2)2=2x—4

2.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程彳2—6x+8=。的解，那么这个三角形的周长是()A.

8B.8或10C.10D.8和18

3.用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0，可把其化为两个一元一次方程求解。

三.自我测试

1.方程3*2—x=0的根为()

11.1

D.Xx=0咒=7

O

2.关于方程(x-m)(x-n)=0的说法中，正确的选项是()

A.x-m=0B.x-n=00.x-n=0或x-m=0D.x-n=O且x-m=O

3.假设3wd-4m+6与一2d〃，是同类项，那么m的值为(

)

A.2B.3C.2或3I).-2或-3

4.关于x的方程ax(x-b)-(b-x)=0(aWO)的根为()

A.a或bB.---或bC.—或bI).a或一b

aa

5.方程2X2一3X=0的根是；

6.方程一-4才-5=0的根是；

7.用因式分解法解以下方程：

(1)(*-I)2-2(--1)=()；(2)(x-1)(x+3)=12;

(3)2x(4x+13)=7;(4)(2x+I)2+3(2%+1)+2=0

四.应用与拓展

阅读材料：解方程(一一1)2一5(/-1)+4=0，我们可以将/一1看作一个整体，然后设/一1刊①，

那么原方程可转化为y2-5y+4=0，解得匕=1,y2=4

当y=l时，/—1=1,.，./=2,x=±^2；

当y=4时，/-1=4,X2=5,：,x=±5/5,

故原方程的解为为=&,X?=一啦，鼻=后，X、=-75

解答问题：

(1)上述解题过程中，在由原方程得到方程①的过程中，利用法到达了解方程的目的，表达了转化的

数学思想；

(2)请利用以上知识解方程：%4-%2-6=0

2.2一元二次方程的解法(5)

学习目标：1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；

2.体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法；

3.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最

优方法，在学习活动中获得成功的体验。

学习重点：能根据一元二次方程的结构特点，灵活运用直接开平方法，配方法，公式法及因

式分解法解一元二次方程

学习难点：理解一元二次方程解法的根本思想

一.学前准备

1、解一元二次方程的根本思路是：将二次方程化为，即

2,一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：

方法名称理论根据适用方程的形式

直接开平方法平方根的定义

配方法完全平方公式

公式法配方法

两个因式的积等于0，那么

因式分解法这两个因式至少有一个等于

0

3、一般考虑选择方法的顺序是：

—法、法、法或法

二.探究活动

(-)独立思考•解决问题

(l)(x+3)2=(2A-5)2;(2)x2+-5=0;

解以下方程:

(3)/_2亚x+1=0;(4)(x-2)(x+3)=66

(二)师生探究•解决问题

通过对以上方程的解法，你能总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗?

练习：

选择适宜的方法解以下方程：

(1)*2一*=0；(2)(x—2)(*-3)=6;(3)*2-4*-12=0;

三.自我测试

1.以下方程一定能用直接开平方法解的是()

A.4(x+2)2=—8B.(币k+2)2=10C.2(x+5)2+1=0D.x2=m

2.解方程2(5x-IF=3(5x—1)的最适当的方法应是()

A,直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

3.设a是方程V+5x=。较大的一根，b是方程一一3牙+2=。较小的一根，那么a+b内值为(

A.-4B.-3C.1D.2

4.A=X2-X-?>,B=2X2一5x,当A二B时，x的值为()

A.x=3或x=lB.x=-3或x=-lC.x=3或x=-lD.x=-3或x=l

5.方程3—(2x-I)2=0的解是_______；

6.x+y=7且xy=12，那么当x<y时，,一J_的值等于______.

xy

7.用适当的方法解以下方程

⑴25(x-I)2-64=0;(2)21-x2-Ax=0;

(3)(2x+1)(2%-1)+3*=0;(4)%2+7x—3=();

8.解方程；＞2一3|彳|一4=0

四.应用与拓展

1./_lxy+12/=0，求'-2乂「十」的值。

2xy

2.试说明：不管x,y为何值，一4/一/2+4才—6/-11的值总是负数。当x,y为何值时，这个代数

式有最大值，最大值是多少？

2.3一元二次方程的根的判别式

学习目标：L了解掌握根的判别式；

2.不解方程能判定一元二次方程根的情况；

3.通过探究某些无解的一元二次方程得出一元二次方程的判别式

4.学生通过观察，分析，讨论相互交流，培养与他人交流的能力，通过观察，

分析，感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。

学习重点：用根的判别式解决实际问题；

学习难点：根的判别式的发现；

一.预习思考

1.请同学们用公式法求解以下方程：

(1)3--2%-5=0：(2)(2-x)2=0；⑶/+*+2=0:

2.把______叫做一元二次方程数?+勿+。=0(己,0)的根的判别式，常用符号_____来表示。

3.一般地，方程a/+bx+c=0(a0)当_____时，有两个不相等的实数根；当_______时，有两个

相等的实数根；当_______时，没有实数根，反过来，也成立。

4.以下方程中，有两个不相等实数根的是()

A.x2-2x-1=0B.J2-2x+3=0C.x2=2而x-3D.J2-4J+4=0

二.探究活动

(-)独立思考-解决问题

1.求根公式一"土一是否对于每一个一元二次方程都适用？

2a

2.进一步观察一元二次方程a/bx+c=0(a*0)

(1)当加-4ac>0时，4=x?=

(2)当〃-4ac=0时，$=&=

(3)当力2—4ac<0时，方程.

(二)师生探究・合作交流

1.定义：把〃2_4ac叫做一元二次方程a/十十。=0(a工o)的根的判别式，通常用符号“△〃表示，

即△="-4ac,一般地，方程ax?++c=0(aw0)

当△>()时，方程有两个不相等的实数反过来，同样成立，即

根；

当△=()时，方程有两个相等的实数根；

当△<()时，方程没有实数根。

2.小英说：“不解方程3/—2才+4=0"，我也知道它的根的情况，现在你知道她是怎么做的了吧？那我

们也来尝试一下。

例1：不解方程，判别以下方程根的情况：

⑴/-2x+1=0;⑵/-2x—1=0;⑶/-2x+3=0

例2

m为何值时，关于X的一元二次方程勿-2(2勿+l)x+4加-1=0；

K1

2有两个相等实数根；

有两个不相等的实数根；

13

无实数根。

三.自我测试

1.方程X?-ax+9=0有两个相等的实数根，那么好

2.关于x的方程(m+l)x2-2x-(mT)+0的根的判别式等于4,m=________

3.a、b、c是△ABC的三条边，且一元二次方程(a-b)x2+2(a-b)-(b-c)=0有两个相等

的实数根，试判断aABC的形状.

4.当m为何值时,(1)关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有两个实数根。

(2)关于x的一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有实数根。

(3)关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有实数根。

四.应用与拓展

关于X的方程+口才+苗=0和X?+p,yX+q=0，且夕1夕2=2(4+%),证明：这两个方程中

至少有一个实数根。

2.4一元二次方程的根与系数的关系(1)

学习目标：1.通过观察，归纳，猜测根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据；

2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；

3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。

学习重点：根与系数的关系及推导

学习难点：正确理解根与系数的关系

一.学前准备

解以下方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联

系？

(1)x2+2x=0(2)x2+3x—4=0(3)x2—5x+6=0

方程XIX2XI+X2X)•X2

二.探究活动

(一)尝试探索，发现规律：

1.假设Xi、X2为方程ax，bx+c=0(aKO)的两个根，结合上表，说明xi+x?与Xi•X2与a、b、c有何关系？请

你写乜关系式

2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？

小结:

1.如果一元二次方程ax、bx+c=O(aWO)的两个根是Xi,X2,那么xi+xz=,xiX2=.

2.如果方程f+px+q=O(p、q为常数，p?—4q20)的两个根是x】，x?,那么x】+x2=,xix2=

以两个数XI,X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是.

注意：根与系数的关系使用的前提条件

(二)例题分析

例1.不解方程，求出方程两根的和与两根的积(直接口答)：

①x2+3x-1=0®x2+6x+2=0③3x2-4x+l=0(4)x2+3x+3=0

例2.关于x的方程X?+kx-6=0的一个根是2，求另一个根及k的值

三.自我测试

1.假设关于x的一元二次方程的两个根为为=l,x2=2，那么这个方程是()

A./+3x—2=0B./—3x+2=0

C./_2x+3=0D.x2+3x+2=0

2.假设方程彳2+2X+。=0的两根是2和-3，那么p,q分别为()

A.2,-3B.-1,-6C.1,-6I).1,6

3.方程/一(7+l)x+2加-1=0，当m=时，此方程两个根互为相反数；当m=时，两根互为

倒数。

4.如果-2和,是一元二次方程的两根，那么该一元二次方程为__________;

4

5.一元二次方程/一x-3=0的两根为为，4，那么」。

不巧

6.假设为，巧是方程/+(%+1)>+2〃-1=0的两根，且仇-2：也-2)=2%-3,求女的值。

7.关于x的方程A/+(A+2)x+幺=0有两个不相等的实数根。

4

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由。

四.应用与拓展

毛，心是方程十一2x+a=0的两个实数根，且x+2%=3—J5。

求(1)求为，巧及a的值；

(2)求才：-3片+2为+4的值。

2.4一元二次方程的根与系数的关系(2)

学习目标：।.使学生熟练运用根与系数关系解决有关问题：

2.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律;

3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。

学习重点：根与系数的变式应用

学习难点：根与系数延伸式的推导

一.学前准备

1.应用韦达定理的前提条件是，内容是______________________________

2.不解方程，写出两方程的两根之和与两根之积。

(1)9/-io*+2=0;(2)/_2011%=2012

3.一般地，以为，巧为根的一元二次方程为；

4.两个数的和为-7:积为12,那么以这两个数为根的一元二次方程是.

二.探究活动

假设为，々是一元二次方程a/+bx+c=0的两根，请大家推导出韦达定理以下的变式:

(1)—+—;(2)/；+X：；(3)13一3I

X\X2

例：设方程2/+3x—1=0的两根分别为演，巧，不解方程求出以下各式的值。

⑴：；+x；;(2)—H——;(3)(^-3)(巧一3);(4)|X]—4I

x\X2

练习是关于X的一元二次方程一-6x+4=0的两个实数根，且片考115，求：⑴

k的值；⑵片+X；+8的值。

三.自我测试

1.关于x的方程必2-2%+1一0中，如果。＜0，那么根的情况是()

(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)没有实数根(D)不能确定

2.设修是方程2/—6工+3=0的两根，那么的值是()

(A)15⑻12(C)6(D)3

3.以下方程中，有两个相等的实数根的是()

(A)2y2+5=6y(B)x、5=24x(C)小x?一/x+2=0(D)3/-2^6x+l=O

4.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是()

(A)y2+5y—6=0(B)y'+5y+6=0(C)yJ—5y+6=0(D)yJ—5y—6=0

5.如果xi,X?是两个不相等实数，且满足xj—2x1=l,X22—2x2=l,

那么X1・X2等于()

(A)2(B)-2(C)1(D)-1

6.关于x的方程ax2-2x+l=0中，如果a<0，那么根的情况是()

(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)没有实数根(D)不能确定

7.设X-X2是方程2x2—6x+3=0的两根，那么x/+x22的值是()

(A)15(B)12(C)6(D)3

8.如果一元二次方程x2+4x+l?=()有两个相等的实数根，那么k=—

9.如果关于x的方程2——(4k+l)x+2F-l=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是

2

10.xi,X2是方程2x‘-7x+4=0的两根，那么xi+x2=,x)•x2=,(xi—x2)=

11.假设关于x的方程前-2)——5—2”+1=0的两个根互为倒数，那么m=,

四.应用与拓展

1.如果x~—2(m+l)x+nf+5是一个完全平方式，那么m=

2.方程2x(mx-4)=x2—6没有实数根，那么最小的整数m=

3.方程2(x—D(x—3m)=x(m—4)两根的和与两根的积相等，那么m=

4.设关于x的方程x-—6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，那么k值为

5.设方程4x2—7x+3=0的两根为x1,X2,不解方程，求以下各式的值：

2

L：(2)xi—X2(3)JR+JE(4)XiXs+^Xi

(1)XI+X2

2.5一元二次方程的应用(1)

学习目标：

1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题.

2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。

学习重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题

学习难点：有关增长率之间的数量关系.

一.学前准备

1.(1)原产量+增产量=实际产量.

(2)单位时间增产量=原产量X增长率.

(3)实际产量二原产量X(1+增长率).

2.(1)某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产个？增长

率是多少O

12〕银行的某种储蓄的年利率为6%，小民存1000元，存满一年连本带利的钱数是，，

(3：某厂第一个月生产了彩电IT台，第二个月比第一个月产量增长的百分率为x,,那么第二个月生产了

台；第三个月比第二个月又增长了相同的百分率，那么第三个月的产量为台。

二.探究活动

例1、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每个月增长的百分率是多

少？

分析：这两个月平均每个月增长的百分率是x,那么2月份比一月份增产吨；2月份的产量是

吨3月份比2月份增产________吨；3月份的产量是吨

解:

归纳：两次增长后的量;原来的量(1+增长率)2

反之，假设为两次降低，那么平均降低率公式为：两次降低后的量=原来的量(1-增长率)2

例2某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的

百芬被？

分析：设每次降价的百分数为x.

第一次降价后，每件为600-600x=600(1-x)(元).

第二次降价后，每件为600(1-x)-600(1-x)・x=600(1-x)?(元).

解：

例3某人想把10000元钱存入银行，存两年。一年期定期年利率6乐两年期定期年利率为6.2%.哪一种存款更

划算？

例42009年我市实现国民生产总值为1600亿元，方案全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，

并且2011年全市国民生产总值要到达1960亿元.

(1)求仝市国民生产总值的年平均增第率

(2)求2010年至2012年全市三生可实现国民生产总值多少亿元？(精确到1亿元)

小结：

(1)为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为X.

(2)认真审题，弄清基数，增长了，增长到、总共季度总和等词语的关系.

(3)用直接开平方法做简单，不要将括号翻开.

三.自我测试

1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元，那么平均每次调价的百分率是()A、9%

13、10%C、11%I).12%

2.某商品连续两次降价，每次都降20%后的价格为加元，那么原价是()

ffjfJJ

(A)——元(B)L2〃z元(C)——元⑴)0.8%？元

1.220.82

3.一工厂方案2007年的本钱比2005年的本钱降低15%,如果每一年比上一年降低的百分率为x,那么求平均每

一年匕上一年降低的百分率的方程是()

A、(1-X)2=15%B、(1+X)2=1+15%C、(1-X)2=1+15%D、(1-X)2=1-15%

4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，假设设每年增长率为x，那么应列出的方程是

5..某工厂第一季度生产机床40()台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共

生产了1056台机床，这个百分数是

6•.某工厂方案两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。

7..某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个.假设每月的增长率相同，求每月的增长率

四.应用与拓展

某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购置。决定打折出售，但仍无人购置，结果又一次打

折后才售完。经结算，这批服装共盈利43（）元。如果两次打折相同，每次打了几折？

2.5一元二次方程的应用（2）

学习目标：1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题.

2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决,可题的能力，培养用数学的意识

学习重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题.

学习难点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题.

一.学前准备：1.列方程解应用题的一般步骤是：

（1）;（2）;

(3);(4).

(5);(6).

2.长方形的周长___________，面积_________长方体的体积公式

二.探究活动

例1.如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm,容积是500

C/d的长方体容器，求这块铁皮的长和宽.

例2.现