人教版八年级数学上册《121 全等三角形》专项练习题-附含答案

人教版八年级数学上册《12.1全等三角形》专项练习题-附含答案

全等在初中数学几何模块中占据着重要地位也是学生必须掌握的一块内容该份资料就全等三角形

中平移型全等、轴对称（翻折）型全等、旋转型全等、三垂直型全等、一线三等角型全等、手拉手型全等、

半角模型、倍长中线模型、截长补短模型等经典模型进行梳理及对应试题分析方便掌握。.

模型一：平移模型

【模型解读】把^ABC沿着某一条直线1平行移动所得到4DEF与AABC称为平移型全等三角形图①

图②是常见的平移型全等三角线.

图①图②

【常见模型】

例I.（2022•襄城区期末）如图点、B、E、C、6四点在一条直线上N4=NOAB//DE老师说：再添

加一个条件就可以使△ABC且尸.下面是课堂上三个同学的发言甲说：添加AB=DE；乙说：添加

AC//DF-丙说：添加区E=CE（I）甲、乙、丙三个同学说法正确的是:

（2）请你从正确的说法中选择一种给出你的证明.

BECF

【解题思路】（1）根据平行线的性质由可得再加上条件只需要添加

一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等添加AC〃。厂不能证明△ABC0△/）£/：

（2）添加AB=DE然后再利用ASA判定即可.

【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙故答案为：甲、丙：

（2）证明：*：AB//DE：./B=NDEC

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=

在Z\4BC和△£>£/中<B=DE:.丛ABC叁/\DEF(ASA).

3=ZDEF

变式1.(2021•富顺县校级月考)如图1ABC。在同一直线上AB=CDDE//AFRDE=AF求

证：△AR7安△QE8.如果将8。沿着A。边的方向平行移动如图23时其余条件不变结论是否成

立？如果成立请予以证明；如果不成立请说明理由.

【思路】可以根据已知利用SAS判定如果将8。沿着A。边的方向平行移动如图(2)、

(3)时其余条件不变结论仍然成立.可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证.

【解答过程】解：*：AB=CD：.AB+BC=CD+BCUPAC=BD.\'DE//AF/.ZA=ZD.

(AF=D£

在△AFC和△QEB中|u=zll：.4AFCW/\DEB(SAS).在(2)(3)中结论依然成立.

如在(3)中\'AB=CD：.AB-BC=CD-BC即4C=B。

*：AF//DE，NA=NQ.

(AF=D£

在Z\AC/和AOEB中I"=〃:・4ACgADEB(SAS).

模型二：轴对称模型

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后直线两边的部分能够完全重合这两个三角形称之为轴对

称型全等三角形此类图形中要注意期隐含条件即公共边或公共角相等.

【常见模型】

例2.(2022•河南南阳市•八年级期末)如图己知NC=NF=90。AC=DFAE=DBBC与EF交于点O

(1)求证：RIAABC^RIADEF；(2)若NA=51。求NBOF的度数.

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cF

【答案】（l）见解析；（2）78。

【分析】（1）由AE=DB得出AE+EB=DB+EB即AB=DE利用HL即可证明RtAABCgRtZkDEF；

（2）根据直角三角形的两锐角互余得NABC=39。根据全等三角形的性质得NABC=NDEF=390由三

角形外角的性质即可求解.

【详解】（1）证明：VAE=DB.・・AE+EB=DB+EB即AB=DE.

又ZC=ZF=90°AC=DFRIAABC^RCADEF.

（2）VZC=90°ZA=51°AZABC=ZC-ZA=90°-51°=39°.

由（1）如RtAABC^RtADEP；・ZABC=ZDEP./.ZDEF=39°.

，ZBOF=NABC+NBEF=390+39°=78°.

【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余三角形外角的性质全等三角形的判定与性质证明三

角形全等是解题的关键.

变式2.（2022•湖南常德•八年级阶段练习）如图AB=ADBC=DC点£在人。上.

⑴求证：AC平分NZM。；（2）求证：BE=DE.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）通过SSS证明AAAC\AADC再根据全等三角形的性质即可得出N8AC=ND4C即可得出结

论；（2）通过SAS证明及8£餐位为坨再利用全等三角形的性质证明即可.

（1）在A48C与MX?中

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【分析】(1)利用等式的性质得出N84O=/CAE即可得出结论；

(2)同(I)的方法判断出△A3。gZXACE得出乙4Z)B=NAEC再利用对顶角和三角形的内角和定理判

断出N8OC=60。即可得出答案；(3)先判断出△BOP是等边三角形得出BD=BPNDBP=600进而判

断出△/1〃力@△C8PCSAS)即可得出结论.

(1)解：证明：・；NBAC=NDAE

・•・^BAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD

••・N8/W=NCAE

在△AB。和△ACE中

AB=AC

-NBAD=NCAE

AD=AE

AAAfiD^AACE(SAS)；

(2)如图2

「△ABC和△4Z)E是等边三角形

：.AB=ACAD=AEZ.BAC=ZDAE=6Q0

：.^BAD=ZCAE

在AA3。和△ACE中

AB=AC

/BAD=/CAE

AD=AE

•••△A3。三△ACE(SAS)

/.ZADB=ZAEC

令A。与CE交于点G

•・•/AGE=/DGO

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・•・1800-ZADB-ZDGO=180。-ZAEC-ZAGE

/.ZDOE=ZDAE=60°

，N8OC=60。；

(3)/A+N8CD=1800.理由：

如图3延长。C至P使DP=DB

图3

•.*ZZ?DC=60°

••.△80。是等边三角形

：,BD=BPNDBP=60°

•・•/4BC=600=NOBP

，NABD=NCBP

":AB=CB

工△ABD/ACBP(SAS)

:.ZBCP=ZA

VZBCD+ZBCP=180°

NA+N8c0=180°.

【点睛】此题是三角形综合题主要考查了等腰三角形的性质等边三角形的性质全等三角形的判定和

性质构造等边三角形是解本题的关键.

变式3.(2022・贵州安顺•八年级期末)如图1在等腰RSA8C中NA=90。点。、£分别在边AB、AC

上AD=AE连接OC点M、P、N分别为OE、DC、8c的中点.

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E

B

XCBvc

图1国2

(1)观察猜想：图1中线段PM与PN的数量关系是位置关系是;

(2)探究证明：把AAOE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置连接MNBD判断△P的形状并说明

理由；⑶拓展延伸：把AAOE绕点A在平面内自由旋转若A0=4AB=\0求△PMN面积的最大值.

【答案】(1)尸M=PN?必J_PN(2)详见解析(3)详见解析

【分析】(1)利用三角形的中位线定理得出尸PN=\-BD进而得出8£>=CE即可得出结论

22

再利用三角形的中位线定理得出〃。七再得出mW=N0C4最后利用互余得出结论；

(2)先判断出AABZ泾/XACHSAS)得出8O=CE同(1)的方法得出PM=gcEPN=^BD即可

得出PM=PN同(1)的方法即可得出结论；

(3)由等腰直角三角形可知当户例最大时加加面积最大而BD的最大值是AB+AZ)=14即可得

出结论.

(1)解：・・・P、N分别为。C、BC的中点

APN//BDPN=-BD

2

•・•点M、P分别为DE、。。的中点

APM//CEPM=-CE

2

VAB=ACAD=AE

:.BD=CE

・•・PM=PN

*/PN//BDPM//CE

/.(DPN=ZADCZDPM=ZDCA

•・•ZfiAC=90°

・•・ZADC+ZACD=90°

/.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ADCA+AADC=90°

/.PM工PN.

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故答案为：PM=PNPMLPN,

⑵解：APMN是等腰直角三角形理由如下.

由旋转可知/BAD=NCAE

VAB=ACAD=AE

.，・2ABDqAACElSAS）

・•・AABD=ZACEBD=CE

由三角形的中位线定理得PN=^BDPM=gcE

22

・•・PM=PN

是等腰三角形

同（1）的方法川一得PM//CEPN//BD

NDPM=NDCEZPNC=4DBC

•・•/DPN=/DCB+NPNC=/DCB+NDBC

，/MPN=4DPM+ZDPN=ZDCE+/DCB+Z.DBC

=ZBCE+NDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=Z4C8+ZABD+NDBC=ZACB+ZABC

*/ZACB+Z4BC=90°

土MPN=3）。

•LPMN是等腰直角三角形.

（3）解：由（2）可知&PMV是等腰直角三角形PM=PN=；BD

•••当PM最大时PMN面积最大

・••点。在的的延长线上

BD=AB+AD=\4，PM=7

,S△尸从\，最大二;PM?=；x7?=j.

乙乙乙

【点睛】本题综合考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质及三角形的中位线定理熟练应用相关知

识是解决本题的关键.

模型四：一线三等角模型

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD_LDEAB1ACCE±DE那么一定有NB=NCAE.

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B

DAE

【常见模型】

在直线〃，的同一侧作△44C使/W=4C连

接BDCE.(1)如图①若N8AC=90°BDYniCEVm求证：八钻。0△ACE；

(2)如图②若/BDA=NAEC=NBAC请判断8。CE0E三条线段之间的数量关系并说明理由.

而/B4C=90°根据等角的

余角相等得NC4E=NA4Q然后根据“4AS”可判断△AQ8经△CEA；

(2)由/"。4=/人上。=/&1。就可以求出NZMQ=NACE进而由4£4就可以得出△ZMQ且△4CE就

可以得出BD=AEDA=CE即可得出结论.

【解答过程】解：(1)证明：如图①VD4E三点都在直线加上/84C=90°

，N8AQ+NC4E=90°'：BDLmCELm/.ZADB=ZC£4=90°

/.ZBAD+ZABD=90°/.ZABD=ACAE

(zADB=zAEC

在△A8O和△ACE中lzABD=^CAE:AABD@XACE(AAS)；

115="

(2)DE=BD+CE.理由是：如图②VZBDA=ZAEC=ZBAC

，由三角形内角和及平角性质得：ZI3AD+ZA13D=ZiiAIy+ZCAE=ZCAE+ZACE

/.NABD=ZCAEZBAD=ZACE

=Z.CAE

AC:.XABO在MACE(ASA)

E^LACE

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：,BD=AEAD=CE：.DE=AD+AE=BD+CE.

变式4.(2022•香坊区八年级期末)如图在△A8C中点、D是边BC上一点、CD=AB点E在边AC上且

AD=DEN84O=NCOE.(1)如图1求证：BQ=CE；(2)如图2若DE平分/AOC在不添加辅助

线的情况下请直接写出图中所有与NADE相等的角(NAOE除外).

【解题思路】（1）由“SAS”可证△ABQg/XOCE可得3Q=CE；

（2）由全等三角形的性质可得NB=NC由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解.

【解答过程】解：（1）在△A8O和△QCE中

AB=CD

dAD=Z£DE:.△ABDW4DCE（SAS）:.BD=CE；

DE

（2）,:△ABDQXDCE，NB=NC

DE平分ZADC，NADE=NCDE=ZBAD

ZADC=NB+NBAD=NADE+NCDE

/.NR=ZADE=NBAD=ZEDC=ZC

・••与NAOE相等的角有/EOC/BADZBZC.

模型五：三垂直全等模型

【模型解读】模型主体为两个直角三角形且两条斜边7相垂直。

【常见模型】

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例5.（2022•江西•八年级期末）已知：AB1BDEDA.BDAC=CEBC=DE.

（1）试猜想线段AC与CE的位置关系并证明你的结论.

（2）若将CO沿C3方向平移至图2情形其余条件不变结论AG_LGE还成立吗？请说明理由•

（3）若将。。沿C8方向平移至引3情形其余条件不变结论AG还成立吗？请说明理由•

【答案】（1）AC1CE见解析；（2）成立理由见解析：（3）成立理由见解析

【分析】（1）先用HL判断出RtZXABC也RtZXCD石得出NA=NDCE进而判断出

ZDCE+ZACB=90°即可得出结论；（2）同（I）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法即可

得出结论.

【详解】解：（1）4c_LCE理由如下：VAB±BDEDLBDAZB=ZD=90°

AC=CE

在RtZXABC和RtZXC。石中《cl.•・RtAABC^tACDE(HL)/.ZA=ZZX?E

BC=DE

VZ^=90°ZA+ZACB=90°，ZACE=180°-(ZZ)CE+ZACB)=90°AACLCE,

(2)成立理由如下：

•；AB工BDEDA.BD・・・NB=ZD=90°

AC,=C2E

在RtABG和RtzXGQE中

BC,=DE

・•・RtAyABC,且RtAC2DE(HL)NA=ZDC2E

;ZB=90°••・乙4+/的3=90。ZDQE+ZAC,B=90°

在,C}FC2中zqFC2=18O°-(ZDC2E+ZAqB)=90°・・.AC,1C2E；

(3)成立理由如下：;AB，3£>ED.LBDAZ/1BC,=ZD=90°

AC〕=C2E

在RtA8G和RSCzOE中

BC】=DE

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・•・RtAABC,gRtAC2DE(HL)NA=ZDC2E

AABC,=900・•・NA+NACQ=90°

在/G中NC/G=180°-（ZDGE+ZAC}B）=90°:.AC,1C2E.

【点睛】此题是几何变换综合题主要考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质判断出

Rt/\ABC}9为△Cz^E是解本题的关键.

变式5.（2021•广东省龙岭初级中学初二期中）如图已知NQCE=90。/D4C=90。8E_LAC于B且

DC=EC.（1）NO和/EC8相等吗？若相等请说明理由：（2）△AOCg△BCE吗？若全等请说明理由；

（3）能否找到与A8+A。相等的线段并说明理由。

【答案】解：(1)相等理由如下・・・/。。£=90°NZMC=90°

・•・NECB+ZACD=90°NO+ZACD=90°：.ND=NECB；

(2)全等理由如下

ZDAC=ZCBE=90°

在△AQC和△8C£中{NO=ZECB：.^ADC^/XBCE

DC=CE

(3)能BE^WAC理由如下

V^ADC^/\BCE：,AD^BCAOBE

9：AC^AB-\-BC：.AOAB-}-AD：.BE=AB-\-AD

模型六：手拉手模型

【模型分析】

将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合则这两个三角形构成手拉手全等也叫

旋转型全等常用“边角边”判定定理证明全等。

【模型图示】

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・8

公共顶点A记为“头”每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”第二个顶点记为

“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结8。）右手拉右手（即连结CE）得△A5OSA4CE。

【常见模型】

例6.（2021•甘肃庆阳市•八年级期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样•个模型：它是由

两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形.通过资料

查询他们得知这种模型称为“手拉手模型兴趣小组进行了如下操究：

（1）如图I、两个等腰三角形AABC和CADE中AB=ACAE=ADZBAC=ZDAE连接BD、CE、如

果把小等腰三角形的腰长看作小手大等腰三角形的腰长看作大手两个等腰三角形有公共顶点类似大

手拉着小手这个就是“手拉手模型”在这个模型中和aADB全等的三角形是此线BD和CE

的数量关系是

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（2）如图2、两个等腰直角.三角形AABC和AAD七中AB=ACAE=ADZBAC=ZDAE=900连接BD

CE两线交于点P请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系并说明理由：

（3）如图3已知ZiABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向aABC外作等边AABD和等边AACE（等

边三角形三条边相等三个角都等于60。）连接BECD两线交于点P并直接写出线段BE和CD的

数量关系及NPBC+NPCB的度数、

【答案】（l）^AECBD=CE：（2）BD=CE且BD_LCE理由见解析；（3）作图见解析BE=CDZPBC+

ZPCB=60°.

【分析】（I）根据SAS证明两个三角形全等即可；（2）通过条件证明aDABgZ\EAC（SAS）得到NDBC+

ZECB=90°即可证明BDJLCE从而得到结果；（3）根据已知条件证明二D4C二即可得到证明；

【详解】解：（1）TAB=ACAE=ADNBAC二/DAE:./DAE+4EAB=ABAC+AEAB

即NDAB=NE4c?.AADB三/\AEC（HS），BD=CE；

（2）BD=CE且BD_LCE：理由如下：因为NDAE=NBAC=90。如图2.

所以NDAE+ZBAE=ZBAC+ZBAE.所以NDAB=/EAC.

AD=AE,

在ADAB和AEAC中(NQAB=NE4C,所以^DAB丝AEAC(SAS).所以BD=CEZDBA=ZECA.

AB=AC.

因为NECA+NECB+NABC=900所以NDBA+NECB+NABC=90°.BPZDBC+ZECB=90°.

所以NBPC=180。-(/DBC+/ECB)=90。.所以BD_LCE.综上所述：BD=CE且BD_LCE.

(3)如图3所示BE=CDZPBC+ZPCB=60°.

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由图可知Nn43=NE4C=60。AD=ABAE=AC

・•・4DAB+/BAC=4EAC+ABAC即ZDAC=/BAE

・•.ADAE=/\BAE（弘S）Z.BE=CDZABE=ZADC

又•：ZBZM=60°・•・/ADC+ABDC=/ABE+ABDC=60°

:.乙BPC=AABP+ABDC+/LBDA=120°:.ZPBC+ZPCB=60°.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的知识点应用准确分析图形是解题的关键.

变式6.（2022•新疆八年级期中）如图点C为线段AB上一点aACMaCBN是等边三角形宜线AN

MC交于点E直线BM、CN交于F点.（1）求证：AN=BM：（2）求证：ACEF为等边三角形；（3）将aACM

绕点C按逆时针方向旋转90°其他条件不变在图2中补出符合要求的图形并判断第（1）（2）两小题

的结论是否仍然成立不要求证明.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）成立.

【详解】（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等证明AN=BM只要求出三角形ACN和MCB全

等即可这两个三角形中已知的条件有AC=MCNC=CB只要证明这两组对应边的夹角相等即可我

们发现NACN和NMCB都是等边三角形的外角因此它们都是120。这样就能得出两三角形全等了.也

就证出了AN=BM.（2）我们不难发现NECF=I8（）-60-60=600因此只要我们再证得两条边相等即可得出

三角形ECF是等边三角形可从ECCF入手由（1）的全等三角形我们知道ZMAC=ZBMC乂知道

了AC=MCZMCF=ZACE=60°那么此时三角形AECg三角形MCF可得出CF=CE于是我们再根据

NECF=60。便可得出三角形ECF是等边一:角形的结论.（3）判定结论1是否正确也是通过证明三角形

ACN和BCM来求得.这两个三角形中MC=ACNC=BCNMCB和NACN都是6（T+NACB因此两三

角形就全等AN=BM结论1正确.如图当把MC逆时针旋转90。后AC也旋转了90。因此NACB=90。

很显然NFCEA90。因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形.

解析：（1）VAACMz\CBN是等边三角形

AAC=MCBC=NCZACM=60°ZNCB=60°

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AC=MC

在ACAN和AMCB中{/ACN=NMCBAACAN^AMCB(SAS)AAN=BM.

NC=BC

(2)VACANTAMCBAZCAN=ZCMB

又「ZMCF=1800-ZACM-ZNCB=180°-60°-60°=60°ZMCF=ZACE

NCAE=/CMF

在ACAEWACMF中{CA=CM

NACE=NMCF

AACAE^ACMF(ASA)ACE=CFJZXCEF为等腰三角形

又,:ZECF=60°AACEF为等边三角形.

(3)连接ANBM〈△ACM、aCBN是等边三角形.\AC=MCBC=CNZACM=ZBCN=60°VZ

ACB=90°/.ZACN=ZMCB

AC=CM

在ZkACN和AMCB中{NACN=ZMCBAAACN^AMCB(SAS)AAN=MB.

BC=CN

当把MC逆时针旋转90。后AC也旋转了90。因此NACB=90。很显然NFCE>900因此三角形FCE绝

对不可能是等边三角形即结论1成立结论2不成立.

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质.

模型七：半角全等模型

【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半

角模型。

【常见模型】

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AB

常见的图形为正方形正三角形等腰直角三角形等解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一

边合并成新的三角形从而进行等量代换然后证明与半角形成的三角形全等再通过全等的性质得到线

段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.

例7.（2022•绵阳市•八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、NP

为外一点且NMPN=60。ZBPC=1200BP=CP.探究：当点M、N分别在直线48、AC上移动

时BMNCMN之间的数量关系.

⑴如图①当点M、N在边人8、AC上且PM=PN时试说明MN=8W+CM

（2）如图②当点M、N在边A3、AC上且时MN=BM+CN还成立吗?

答：.（请在空格内填“一定成立‘“'不一定成立''或"一定不成立“）.

（3）如图③当点M、N分别在边AB、C4的延长线上时请直接写出BMNCMN之间的数最关系.

【答案】（1）见解析（2）一定成立（3）MN=NC-BM

【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到NP8C=N=30。进而得到

=90。证明RdPBMgRSPCN得到N8PM=NCPN=30。根据含30。角的直角三角形的性质证明结论;

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(2)延长AC至〃使连接P”证明△尸8M丝Z\PCH得到PM=P〃/BPM=/CPH再

证明△MPNg/XHPN得到MN=”N等量代换得到答案；

(3)在AC上截取CK=BM连接PK仿照(2)的方法得出结论.

(I)证明：*/AABC为等边三角形:.ZABC=N4CB=60。

VZBPC=120°BP=CP：・NPBC=/PCB=gx(180°-120°)=30°

/./PHM=ZPCW=90"

PB=PC

在/?/△PBM和RmPCN中〈，，

PM=PN

・•・Ri>PBMqRiAPCN(HL)・'・NBPM=ZCPN=30°

•：4MPN=60。PM=PN•••△PMN为等边三角形:・PM=PN=MN

在PBM中ZBPM=30°JBM=；PM同理可得CN=yPN/.BM+CN=MN.

(2)解：一定成立理由如下：延氏AC至〃使。〃=/3也连接〃〃如图所示

N

由(1)可知：NPBM=NPCN=90。：,ZPCH=90°:・NPBM=NPCH

BM=CH

在APBM和^PCH中NPBM=NPCH

PB=PC

:.l^BM冬4PCH(SAS):,PM=PHZBPM=ZCPH

•・•NBPM+NCPN=60。/.NCPN+NCPH=60。/MPN=ZHPN

PM=PH

在AHPN中,NMPN=NHPN:./XMPNWAHPN(SAS)

PN=PN

:.MN=HN=BM+CN故答案为；一定成立.

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(3)解：在AC上截取CK=8M连接PK如图所示

在△尸8”和4尸CK中

PB=PC

，NPBM=4PCK=90°.・.△PBgAPCK(SAS):,PM=PKNBPM=4CPK

BM=CK

*：NBPM+NBPN=6()“ANCPK+NBPN=6Q°，NKPN=60,，NMPN=/KPN

在A知0/7和4KPN中

PM=PK

-NMPN=ZKPN:.△MPN0AKPN(SAS):.MN=KN

PN=PN

'：KN=NC-CK=NC-BMMN=NC-BM.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质掌握全等三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

变式7.（2022.南昌市心远中学八年级期中）在图I、图2图3中.点七、尸分别是四边形ABC力边BC、CD

上的点；下面请你根据相应的条件解决问题.

特例探索：（1）在图1中四边形A3CO为正方形（正方形四边相等四个内角均为直角）ZE4F=45°

延长CD至G使DG=BE,BE=2,DF=3.则£尸=.

在图2中ZB=ZD=90°AB=ADN3A£）=60。ZE4F=30°BE=\F£>=1.5：则EF=

A匹皿且/叩4,。请你观察⑴中的结果猜

归纳证明：（2）在图3中Z^+ZD=180°

想图3中线段BE,EF,尸。之间的数量关系用等式表示出来并利用图3证明你发现的关系式.

实际应用：（3）图4是某公路筑建工程平面示意图指挥中心设在。处A处、8处分别是甲、乙两公路起

点它们分别在指挥中心的北偏东20。和南偏东30°的方向上.且A、8两处分别与指挥中心。的距离相等：

其中甲公路是从八处开始沿正东方向筑建乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建；甲、乙两公路的路

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基筑建速度分别是每天150米、180米当两公路同时开工后的第五天收工时分别筑建到C、。处经测

量NCOO=65。.试求。与。萩处之间的距离.

【答案】(1)52.5；(2)EF=BE+FD；(3)1650m.

【分析】(1)先证明出4ABE豆AADG再根据NDAF+NBAE=45。得出/EAF=/FAG利用AAEF宣AAGF

即可得出结果；延长CD到G使BE二DG连接AG同理证明即可；

(2)延长FD到G使BE=DG利用条件证明aABEnaADG再根据NDAF+NBAE=45。得出NEAF=N

FAG利用△AEFW^AGF即可得出结论；(3)依照结论(2)延长DB至ljE使BE二AC连接OE通过

求证ZkOAC=AOBE^UAOCD=AOED得出CD=DE=BD+BE=BD+AC代入数据求值即可.

【详解】(1)*/BE=DG=2ZB=ZADG=90°AB=AD：

AAABE=AADG(SAS)・・・AE=AGZBAE=ZDAG

又,:ZDAF+ZBAE=45°Z.ZDAF+ZDAG=45°ZEAF=ZFAG

AAAEr^AAGP(SAS)・・・ET=GD+DF=3+2=5；

延长CD到G使BE=DG连接AG同理可证：AABE=aADGAAEF=AAGF.\EF=GD+DF=2.5；

(2)延长FD到G使BE=DG

VBE=DGZB=ZADGAB=AD；.\AABE=AADG(SAS)AAE=AGZBAE=ZDAG

XVZDAF+ZBAE=45°，ZDAF+ZDAG=45°ZEAF=ZFAG

.,.△AEF=AAGF(SAS)，EF=GD+DF=DF+BE；

(3)分析可得(2)中结论仍然成立延长DB到E使BE二AC连接OE

•・•ZOAC=90o+20°=110°ZDBE=180o-70°=li0°OA=OB.-.△OAC=AOBE

AOE=OC即可证明aOCD=ZkOEDACD=DE=BD+BE=BD+AC=(150+180)x5=1650m.

【点睛】此题属于推理探究类综合题考查全等三角形的性质及判定有一定难度主要总结该类题的规律

解题即可.

模型八：截长补短模型

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【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长：指在长线段中截取一段等于已知线

段；补短：指将短线段延长延长部分等于已知线段。该类题巨中常出现等腰三角形、角平分线等关键词

句可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程截长补短法（往往需证2次全等）。

【模型图示】

（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段再证剩下的那一段等于另一短线段。

例：如图求证BE+QCM。

方法：①在A。上取一点/使得证。尸②在AD上取一点尸使。/三VEAF=BE

（2）补短：将短线段延长证与长线段相等

例：如图求证BE+OG4。

方法：①延长。C至点M处使证。M=AO；②延长。。至点M处使。M=ADiiECM=BE

例8.（2021.广西玉林市.八年级期末）在^ABC中ZABC=60°点。、上分别在AC.BC±连接BD、

OE和AE;并且有钻二座ZA£D=ZC.（1）求NCOE的度数；（2）求证：AD+DE=BD.

【答案】（1）60°：（2）见解析

【分析】（1）由=4石NA8C=60。可得AAbE为等边三角形由NAE3=ZE4C+NC

NCDE=NEAC+NAEDZAED=ZC可证NCDE=ZAEB=60。

（2）延长D4至P使AF=DE连接所由/BED=+/AEDNBA尸=600+NC且

ZC=ZAED可证"BA划DBE（SAS）由DB=FB可证为等边三角形可得BD=FD

可推出结论

【详解】解：（1）•••■=BEZABC=60°・・・AA5E为等边三角形AZBAE=ZAEB=60°

,/ZAEB=ZE4C+ZCNCDE=ZEAC+ZAED'：ZAED=ZC，ZCDE=ZAEB=60°

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（2）如图延长D4至尸使AF=DE连接必由（1）得AABE为等边三角形

工ZAEB=AABE=60°丁/BED=ZAEB+ZAED=60°+ZAED

乂♦:/BAF=ZABE+ZC=60°+ZC且NC=ZAED:.ZBED=ZBAF

AB=BE

在4.FBA与，DBE中NBAF=ABED^.FBA^DBE（SAS）

AF=DE

・•・DB=FBZDBE=/FBA：・ZDBE+ZABD=ZFBA+ZABD/.ZABE=ZFBD=

又•・•DB=FB:・JFBD为等边三角形，BD=FD

又・・・FD=4/+仞且A”=DE；・FD=DE+AD=BD

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质三角形全等判定与性质线段和差三角形外角性质关键

是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形.

变式8.（2022•四川南充•八年级期末）（1）阅读理解：问题:如图1在四边形A8CD中对角线8D平分NA8C

4+NC=180。.求证：DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短''等构造全等去解决问题.

方法I：在BC上截取8W=K4连接0M得到全等三角形进而解决问题：

方法2：延长刚到点N使得BN=BC连接QN得到全等三角形进而解决问题.

结合图1在方法1和方法2中住渔二枚添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决：如图2在（1）的条件下连接AC当ND4C=60。时探究线段A8BC5。之间

的数量关系并说明理由；

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BB

【答案】（1）证明见解析；（2）48+8C=8A理由见解析;

【分析】（1）方法1：在8C上截取8M=84连接OM得到全等三角形进而解决问题；方法2：延长84

到点N使得BN=BC连接DN得到全等三角形进而解决问题:

（2）延长C8到点尸使BP=BA连接AP证明M4。也可得PC=BD即

PC=BP+BC=AB+BC

【详解】解：（1）方法1：在4c上截=连接DM如图.•/BD平分ZABC/ABD=NCBD.

BD=BD

在和AWBZ)中'NABD=^MBD；&=/BMDAD=MD.

BA=BM

/BMO+NCMO=180’ZC+ZA=18(y.:.NC=NCMD.DM=DC:.DA=DC.

图1图1图2

方法2：延长84到点N使得BN=BC连接。N如图.

BD=BD

BD平分/ABC;"NBD=NCBD.在ANBD和ACBD中NNBD=NCBD

BN=BC

:.MBD^bCBD.ZBND=ZCND=CD.

•・/M4O+N8AO=180NC+/8AO=180.:"BND=/NAD：.DN=DA：.DA=DC.

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（2）AB、BC、8。之间的数量关系为：AB+BC=BD.（或者：BD-CB=ABBD-AB=CB\

延长。到点?使8P=84连接AP如图2所示.

由（1）可知AO=C£>•.ZDAC=60.AADC为等边三角形.AC=ADZ4DC=60*.

ZBCD+/BAD=180，ZABC=360-180、-60=120./.NPBA=180°-NABC=60.

•;BP=BA.•.AA4Q为等边三角形./.ZP/1B=6OAB=AP.

•・•ZDAC=60°ZPAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC即ZPAC=/BAD.

PA=BA

在MC和AEAO中｛/尸AC=NBA。:.\PAC^MiAD.：.PC=BD

AC=AD

・・•PC=BP+BC=AB+BC/.AB+BC=BD.

模型九：倍长中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一在利用中线解决几何问题时常常采用“倍长中线法”添

加辅助线.所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍以便构造出全等三角形从而运用全等