人教版中学七年级数学下册期末解答题压轴题题及答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题压轴题题及答案

一、解答题

1.（1）如图1,分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成

一个大正方形，则大正方形的边长为cm；

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2nm"设圆的周长为。.正方形的周长

为CE，则G为〔填或或">"）

（3）如图2,若正方形的面积为900cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面

积为740cm2的长方形纸片.使它的长和宽之比为5:4,他能裁出吗？请说明理由？

2.学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，现有两种方案：有人

建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越

小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由.（ri取3）

3.如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.

（1）求出这个魔方的棱长；

（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的边长.

4.如图，在3x3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决

下面的问题.

（1）阴影正方形的面积是?（可利用割补法求面积）

（2）阴影正方形的边长是?

（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由.

5.求下图4x4的方格中阴影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.如图1,已知直线mil,,A8是一个平面镜，光线从直线m上的点。射出，在平面镜

AB上经点P反射后，到达直线〃上的点Q.我们称0P为入射光线，PQ为反射光线，镜面

反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即

ZOPA=ZQP8.

图1图2图3

(1)如图1，若NOPQ=82。，求N。%的度数；

(2)如图2,若NAOP=43。，NBQP=49°,求N。%的度数;

(3)如图3,再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和〃上，另一块在两直线之

间，四块平面镜构成四边形488,光线从点。以适当的角度射出后，其传播路径为

试判断NOPQ和NONQ的数量关系，并说明理由.

7.如图，已知直线"〃2,点48在直线4上，点C。在直线4上，点。在点。的右侧，

/4"1=80。,/4肥=(2〃)。,战平分乙钻。,。£平分/")(7,直线BE、DE交于点、E.

(1)若〃=20时，则N3£D=；

(2)试求出/8EO的度数(用含〃的代数式表示)；

(3)将线段3c向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出N8EO的度

数.(用含〃的代数式表示)

8.如图，MN//PQ,直线A。与MN、PQ分别交于点A、。，点A在直线PQ上，过点A

作8G_LAO,垂足为点G.

(1)如图1,求证：ZM4G+ZraG=90°：

（2）若点C在线段4。上（不与A、。、G重合），连接BC,NM4G和NP8C的平分线

交于点，请在图2中补全图形,猜想并证明NCBG与的数量关系;

直线EF交48,CD于P,Q两点，点M,点N分别是直线

（1）点M,N分别在射线QC,QF上（不与点Q重合），当N4PM+NQMN=90。时，

①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；

②若力平分NEPM，ZMA/Q=20°,求NEP8的度数.（提示：过N点作八8的平行线）

（2）点M,N分别在直线CO,EF上时，请你在备用图中画出满足PMJLMN条件的图形,

并直接写出此时N4PM与NQMN的关系.（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）

10.已知，AB//CD.点M在AB上，点N在。。上.

图1

（1）如图1中，NBME、ZE、NENO的数量关系为:（不需要证明）；如图2

中，ZBMF、NF、NFN£)的数量关系为：；(不需要证明)

(2)如图3中，NE平分4FND,MB平分NFME,且2NE+N产=180,求NFME的度

数；

(3)如图4中，N8ME=60,EF平分/MEN,NP平分乙END,且EQ//NP,则NFEQ

的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么NFEQ的度数.

三、解答题

11.如图1,由线段A8MM,CM,CD组成的图形像英文字母用，称为““形8AMCQ”.

(1)如图1,M形84MCO中，若48〃CQ,ZA+NC=50。，则4/=；

(2)如图2,连接M形朋MC。中及。两点，若/B+ND=150o,NAMC=a,试探求乙4

与NC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，且AC的延长线与8。的延长线有交点，当点M在线段

8。的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出NA与/C所有可能的数量关系.

12.(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折

射现象，如图1,光线。从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线仇根据光学

知识有N1=N2,N3=N4,请判断光线。与光线b是否平行，并说明理由.

(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与

镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线。与水平线OC的夹角为40。，问如何放

置平面镜MN,可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角)

(3)如图3,直线EF上有两点4C,分别引两条射线人4、CD.NBAb=105。，

NDCF=65°,射线AS、C。分别绕八点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转

动，设时间为h在射线co转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得。。与A3平行？

若存在，求出所有满足条件的时间九

13.(1)学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是

通过折纸做的，过程如(图1).

图1

图2图3

①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b,使直线b经过点P,且6/a,要求俣留

折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果.无需写画法：

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的一线.

（2）已知，如图3,ABHCD,8E平分448C,CF平分N8CO.求证：BE//CF（写出每

步的依据）.

14.如图1,。为直线上一点，过点。作射线OGNAOC=30°,将一直角三角板

（ZM=30°）的直角顶点放在点。处，一边ON在射线OA上，另一边O例与。。都在直线

AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3。的速度沿顺时针方向旋转一周.

AO》-4OB

备用图1备用图2

（1）几秒后ON与OC重合？

（2）如图2,经过/秒后，MNHAB,求此时/的值.

（3）若三角板在转动的同时，射线。。也绕。点以每秒6。的速度沿顺时针方向旋转一周,

那么经过多长时间0C与。M重合？请画图并说明理由.

（4）在（3）的条件下，求经过多长时间0C平分NMQ8?请画图并说明理由.

15.如图，两个形状，大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置，PA.P8与直线

M/V重合，n.三角板％c,三角板P8。均可■以绕点P逆时针旋转.

(1)①如图1,ZDPC=度.

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“挛生三角

形〃，如图1,三角板8P。不动，三角板外C从图示位置开始每秒10。逆时针旋转一周

(0°<旋转<360。)，问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“挛生三角形

(2)如图3,若三角板PAC的边力从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3〉秒，同时三

角板P8D的边P8从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2)秒，在两个三角板旋转过程

中，(PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为t秒，以

下两个结论：①备髭为定值；②N8PN+NCP。为定值，请选择你认为对的结论加以证

图1图2图3

四、解答题

16.在△A8c中，N84C=90。，点。是BC上一点，将△48。沿4。翻折后得到△AE。，边

AE交BC于点F.

;所有与NC相等的

角：.

⑵若NC-Z8=50。，ZB.4D=x°(0<x<45).

①求N8的度数；

②是否存在这样的x的值，使得AOEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存

在，请说明理由.

17.在二八3c中，射线AG平分ZZMC交8C于点G,点D在边上运动(不与点G重

合)，过点。作OE//AC交于点E.

(1)如图1,点。在线段CG上运动时，DF平分NEDB.

AA

①若N8AC=10(V,ZC=30\则；若N6=40°,则；

②试探究N/IFD与DB之间的数量关系？请说明理由；

(2)点。在线段8G上运动时，N8Z)E的角平分线所在直线与射线AG交于点F.试探究

NA77)与D8之间的数量关系，并说明理由.

18.在二A8C中，N84C=1(X『，NA8C=ZAC8,点。在直线8c上运动(不与点8、。重

合)，点石在射线AC上运动，且NA£>£?=NAS,设/D4C=〃。.

ZCDE=°；

(2)如图②，当点。运动到点4的左侧时，其他条件不变，请猜想和NC/1上的数

量关系，并说明理由；

(3)当点。运动到点。的右侧时，其他条件不变，的)和NCDE还满足(2)中的数量

关系叫？请在图③中画出图形，并给予证明.(画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑)

19.互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.

小亮：已知，如图三角形A8C,点。是三角形A8C内一点，连接8。，CD,试探究

N8OC与NA,Zl,N2之间的关系.

小明：可以用三角形内角和定理去解决.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

（1）请你在横线上补全小明的探究过程：

,/ZBDC+ZD/3C+ABCD=180°,（）

ZBDC=180°-ZDBC-ZBCD,（等式性质）

ZA+Zl+Z2+ZDBC+ZBCD=180°,

ZA+Zl+Z2=180°-ZDBC-ZBCD,

NBDC=ZA+Nl+N2.()

(2)请你按照小丽的思路完成探究过程；

(3)利用探究的结果，解决下列问题：

①如图①，在凹四边形A8CO中，ZBDC=135°,ZB=ZC=25°,求NA=：

②如图②，在凹四边形A8CO中，NA8O与NACD的角平分线交于点E,ZA=60°,

ZBDC=140°,则/E=；

③如图③，ZABD,乙4c。的十等分线相交于点、耳、居....尸9，若N8Z)C=120。,

N84。=64。，则4的度数为；

④如图④，ZBAC,/应)C的角平分线交于点E,则BB,NC与NE之间的数量关系是

⑤如图⑤，ZABD,"4C的角平分线交于点E,ZC=40°,ZBDC=140°,求的

度数.

A

20.已知，如图1,直线l2_Ui，垂足为A,点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C

不与点A重合，点D在直线L上，点A的右侧，过D径I3JJ1,点E在直线13上，点D的

下方.

(1)12与b的位置关系是；

(2)如图1,若CE平分NBCD,且NBCD=70。，则NCED=。，ZADC=°；

(3)如图2,若CDJ_BD于D,作/BCD的角平分线，交BD于F,交AD于G.试说明:

ZDGF=ZDFG；

(4)如图3,若NDBE=NDEB,点(:在射线AM上运动，NBDC的角平分线交EB的延长

线于点N,在点C的运动过程中，探索NN:NBCD的值是否变化，若变化，请说明理由；

若不变化，请直接写出比值.

图1图2图3

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）<；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的

解析：（1）72;（2）<；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；

【详解】

解：（1）•••小正方形的边长为1cm,

「.小正方形的面积为lcm\

」•两个小正方形的面积之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

设大正方形的边长为xcm,

x2=2，

x=\/2

大正方形的边长为&cm；

（2）设圆的半径为r,

一.由题意得开r2=24，

r=V2>

设正方形的边长为a

・二/=2%，

a=>

，

ClV=4a=4\/27r

.。_2兀五_正

•.冢二诟=三"耳”

故答案为：V;

（3）解：不能裁剪出，理由如下：

正方形的面积为900cm2,

正方形的边长为30cm

・「长方形纸片的长和宽之比为5:4,

」•设长方形纸片的长为5x,宽为4X，

贝IJ5X-4X=740,

整理得：X2=37,

(5xf=25/=25x37=925>900,

(5x)2>3O2,

/.5x>30,

「•长方形纸片的长大于正方形的边长，

「•不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

2.选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的

周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，

比较大小得到答

解析：选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据

圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答案.

【详解】

解：选择建成圆形草坪的方案，理由如卜•：

设建成正方形时的边长为x米，

由题意得：x2=81,

解得：x=±9,

•/x>0,

x=9,

・••正方形的周长为4x9=36,

设建成圆形时圆的半径为「米，

由题意得:“2=81.

解得：〃=土秒，

,/5<炳<6,

「•30<6>/27<36,

建成圆形草坪时所花的费用较少，

故选择建成圆形草坪的方案.

【点睛】

本题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根概念是解题的关键.

3.（1）棱长为4；（2）边长为：（或）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算

得到答案.

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为，则，所以，即正方体的棱长为4.

解析：（1）棱长为4；（2）边民为：瓜（或2后）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案.

【详解】

解；（1）设正方体的棱长为X,则/=64,所以x・4,即正方体的棱长为4.

（2）因为正方体的棱长为4,所以AB=&2+2?=瓜=2日

【点睛】

本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一

个数的立方根与算术平方根是关键.

4.（1）5：（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积：

（2）根据实数的性质即可求解；

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的

解析：（1）5；（2）6；（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求用阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解；

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的面积是3x3-4xjx2xl=5

故答案为：5；

（2）设阴影正方形的边长为x,则X2=5

；.X=«（-右舍去）

故答案为：逐；

(3),/炳〈如

2<x/5<3

・•・阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间.

【点睛】

本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法.通过观察可知阴

影部分的面枳是5个小正方形的面枳和.会利用估算的方法比较无理数的大小.

5.8；

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XX2X2=8；

正方形的边

解析：8；2&

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4X：X2X2=8；

正方形的边长=血=2拒.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于。，即x2=a,那么这个正数x

叫做。的算术平方根.记为6.

二、解答题

6.(1)49°,(2)44°,(3)ZOPQ=ZORQ

【分析】

(1)根据NOPA二NQPB.可求出NOPA的度数；

(2)由NAOP=43。，NBQP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解

解析:(1)49°,(2)44°,(3)ZOPQ=NORQ

【分析】

(1)根据NO%=NQPB.可求出/。力的度数；

(2)由NAOP=43。，N8QP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解决问题；

(3)由(2)推理可知：/OPQ=N40P+N8QP,NORQ=NOOR+NRQC,从而

ZOPQ=NORQ.

【详解】

解：(1)•「NOPA=AQPB,ZOPQ=82°,

ZOPA=(180。-/OPQ)xi=(180o-82°)xi=49°,

(2)作PCIIm,

,/mHn,

mWPCWn,

/.Z40P=ZOPC=43°,

ZBQP=ZQPC=49°,

ZOPQ=NOPC+NQPC=43"+49"=92",

ZOPA=(180。-/OPQ)xi=(180°-92°)xg44。，

图2

(3)ZOPQ=ZORQ.

理由如下：由(2)可知：ZOPQ=NAOP+Z.BQP,ZORQ=/DOR+ZRQC,

・「入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹痢，

ZAOP=ZDOR,ZBQP=ZRQC,

/.ZOPQ=ZORQ.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的

设置环环相扣、前为后用的设置目的.

7.(1)60°；(2)1+40。；(3)n*40。或n，40。或2205

【分析】

(1)过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度

数；

(2)同(1)中方法求解

解析：(1)60°；(2)nc+40°；(3)。°+40°或n°-40°或220°力°

【分析】

(1)过点E作EFII48,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBE。的度数；

(2)同(1)中方法求解即可；

(3)分当点8在点4左侧和当点8在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作

EFWAB,由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可.

【详解】

解：(1)当。=20时,NA8C=40°.

过£作£臼1AB,贝IJEFIICD,

Z8EF=NABE,ZDEF=/CDE,

BE平分/ABC,DE平分/ADC,

/.ZBEF=4ABE=20\ZDEF=NCDE=40°,

/.ZBED=NBEF+ZDEF=60°；

(2)同(1)可知：

ZBEF=ZABE=n°fZDEF=ZCD£=40°,

...ZBED=ZBEF+NOEF=〃°+40°；

(3)当点8在点4左侧时，由(2)可知：ZefD=n°+40°：

当点8在点4右侧时，

如图所示，过点E作EFIMB,

1.,BE平分/ABC,DE平分NADC,ZABC=2n°fZADC=80\

：.Z.ABE=^AABC=n°,/COG=gNAOC=40°,

■：AB\\CDIIEF,

：.ZBEF=/ABE=n°,ZCDG=NDEF=40°,

ZBED=4BEFYDEF=n°~40°；

*/BEABC,OE平分N/WC,ZABC=2n°,Z4DC=80°,

ZABE=jNABC=n0,ZCDG=ZADC=40°,

,/4811CDIIEF,

ZBEF=1800-ZABE=180°-n°,ZCD£=ZDEF=40°,

...ZBED=N8EF+NDfF=180o-no+40o=220o-n0；

B

如图所示，过点E作EFIIA8,

,/BE平分NABC,DE平分NADC,ZABC=n°tZADC=70°,

：.ZABG=,ZABC=n°,ZCDE=yZADC=W,

V4811CDIIEF,

：.ZBEF=AABG=n°fZCDE=ZDEF=40°,

ZBED=NBEF-NDEF=n0~40°；

综上所述，ZBED的度数为"。+40。或“40。或220。-〃。.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角

之间关系是解题关键.

8.(1)证明见解析；(2)补图见解析；当点在上时，；当点在上时，.

【分析】

(1)过点作，根据平行线的性质即可求解；

(2)分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解.

【详解】

(1)证明：

解析：(1)证明见解析；(2)补图见解析；当点C在AG上时，2ZAHB-ZCBG=90°；

当点。在。G上时，2NAH8+NC8G=90。.

【分析】

(1)过点G作GE〃MN,根据平行线的性质即可求解；

(2)分两种情况：当点C在AG上，当点C在OG上，再过点〃作"〃MN即可求解.

【详解】

(1)证明：如图，过点G作GE//MN,

A

N

ZAMG=ZAG£,

MN//PQ,

GE//PQ.

/PBG=NBGE.

,/BGLAD,

ZAG6=90。，

^MAG+ZPBG=ZAGE+ZBGE=ZAGB=90°.

(2)补全图形如图2、图3,

猜想：NC3G=90。或2ZAH8+NCBG=90。.

证明：过点、H作HF//MN.

图2图3

Z\=ZAHF.

•「MN//PQ,

HF//PQ

N2=/BHF,

ZAHB=ZAHF+NBHF=N1+N2.

•・4”平分/MAG,

/.NM4G=2N1.

如图3,当点。在AG上时，

BH平分NPBC,

/.ZPBC=ZPBG+Z.CBG=2Z2,

/MN//PQ,

/./MAG=/GDB,

2ZAHB=2Z1+2Z2=ZMAG+NPBG+NCBG

=NGDB+NPBG+NCBG

=90°+ZCBG

^2ZAHI3-ZCI3G=90°.

如图2,当点。在DG上时,

,/BH平分/PBC,

・,./PBC=4PBG-NCBG=2/2.

2ZAHI3=2ZI+2N2=NMAG+NPBG-NCBG=90°-NCBG.

即2ZAH8+NC3G=900.

【点睛】

本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及用的运算，解题的关键是准确作出

平行线，找出角与角之间的数量关系.

9.(1)①理由见解析；②NEPB的度数为125。；(2)ZAPM

+ZQMN=90°或NAPM-ZQMN=90°.

【分析】

(1)①利用平行线的性质得到NAPM二NPMQ,再根据已知条

解析：(1)®PM±MN,理由见解析；②NEP8的度数为125。；(2)ZAPM

+ZQM/V=90°或NAPM-ZQMA/=90°.

【分析】

(1)①利用平行线的性质得到NAPM=NP/WQ，再根据已知条件可得到

②过点N作NHWCD,利用角平分线的定义以及平行线的性质求得/MNH=35°,即可求

解；

(2)分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决.

【详解】

解：(1)①PMLMN,理由见解析：

AB//CD,

：.ZAPM=APMQ,

ZAPM+AQMA/=90°,

ZPMQ+NQMN=90°,

/.PM±MN；

•「AB//CD,

AB//NHWCD,

ZQMN=4MNH,ZEPA=AENH,

PA平分/EPM,

：.ZEPA=ZMPA,

,/ZAPM+Z.QMN=90°,

NEPAfNMNH=30°,即NENH+ZMNH=30°,

ZMNQ+ZMNH+NMNH=90Q,

•「ZMNQ=20°,

ZMNH=35°t

：.ZEPA=AENH=NMNQ+ZMNH=55°,

/.ZEP8=180°-55°=125%

/EPB的度数为125°：

(2)当点M,/V分别在射线QC,QF上时，如图:

PM±MN,AB//CD,

：.ZPMQ+ZQ/WN=9(T,ZAPM=/PMQ,

：.ZAPM+ZQMN=90°；

当点M,N分别在射线ac,线段PQ上时，如图:

PM±MN,AB//CD,

/.ZPMN=90°,ZAPM=ZPMQ,

/.ZPMQ-ZQMA/=90°,

/.ZAPM-ZQMN=90°；

当点M,N分别在射线QD,QF上时，如图:

1/PMA.MN,AB//CD,

/.ZPMQ+ZQM/V=90°,ZAPM+NPMQ=180°,

ZAPM+90°-ZQMN=180°,

ZAPM-ZQM/V=90°；

综上，ZAPM+ZQMN=90。或/APM-ZQMN=90°.

【点睛】

本题主要考杳了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，

同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键.

10.(1)ZBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=ZMFN+NFND.(2)120°(3)

ZFEQ的大小没发生变化，ZFEQ=30°.

【分析】

(1)过E作EHAB,易得EHABCD,根据平行线的性质

解析：(1)NBME=NMEN-Z.END；ZBMF=NMF/V+NFND.(2)120°(3)/FE。的

大小没发生变化，ZFEQ=30°.

【分析】

(1)过E作EH//A8,易得EH"AB"CD,根据平行线的性质可求解；过F作FH//48,易

得FHHABHCD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(N8ME+/EN。)+zBMF-AFND=

180°,可求解N8MF=60。，进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知NFEQ=：N8ME,进而可求解.

【详解】

解：(1)过E作EH//A8,如图1,

ZBME=NMEH,

,/AB//CD,

：.HE//CD,

：.ZEND=£HEN,

ZMEN=4MEH+NHEN=4BME+NEND,

即/BME=/MEN-4END.

如图2,过F作FH//AB,

ZBMF=Z.MFK,

AB//CD,

FH//CD,

ZFND=Z.KFN,

：.ZMFN=AMFK-NKFN=ABMF-4FND,

即：NBMF=NMFN+NFND.

故答案为NBME=NMEN-NEND；ZBMF=NMFN+NFND.

（2）由（1）得/BME=/MEN-NEND；NBMF=NMFN+NFND.

,/NE平分NFND,MB平分NFME,

：.ZFME=N8ME+NBMF,ZFND=AF/VE+NEND,

,/2ZMEN+NMFN=180*,

2（ZBME+Z.END）+zBMF-NFND=180°,

2Z8ME+2NEND+NBMF-ZF/VD=180°,

即2N8MF+NFND+NBMF-NFND=180°,

解得/BMF=60°,

ZFME=2NBMF=120°：

（3）/FEQ的大小没发生变化，ZFEQ=30°.

由（1）知：/MEN=NBME+/END,

EF平分NMEN,NP平分NEND,

：.4FEN=g/MEN=gQBME+4END）,NENP=；4END,

,/EQ//NP,

：.ZNEQ=NENP,

：.ZFEQ=NFEN-ANEQ=；（ZBME+NEND）-yZEND=；/BME,

ZBME=60°,

ZFEQ=；x60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键.

三、解答题

11.（1）50°；（2）ZA+ZC=30°+a,理由见解析；（3）/A・NDCM=3（T+a或

30°-a

【分析】

（1）过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长BA,DC交于E,

解析：（1）50°；（2）N4+NC=3（T+a,理由见解析：（3）/4/DCM=30°+cr或30”

【分析】

（1）过M作MNII48,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长84DC交于邑应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

（3）分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：（1）过M作MNII48,

N

图1

■：AB\\CD,

：.AB\\MNWCD,

：.Z1=ZA,Z2=ZC,

：.ZAMC=N1+Z2=ZA+NC=50°；

故答案为：50。：

(2)Z4+ZC=30°+a,

延长B4OC交于£,

EA9»

，/Z8+Z0=150°,

ZE=3Q0,

,/ZBAM+/0cM=360°-(ZE/AA4+ZECM)=360°-(3600-ZE-ZM)=30°+a；

即/4+ZC=30°+a：

（3）①如下图所示:

延长84DC使之相交于点E,延长MC与B4的延长线用交于点F,

•/Z8+ZD=150°,ZAMC=a,：.ZF=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

/.Zl=30°+Z3+a

z1-z3=300+a

即：ZA-Z.C=30°+a.

②如图所示，210-ZA=(180°-ZDCM)+a,即N4/DCM=30°-a.

综上所述，Z4NDCM=3Q0+a或3（T-a.

【点睛】

本题考查了平行线的性质,解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川A8,利用平行

线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得的度数.

12.（1）平行，理由见解析；（2）65°；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根据等角的补角相等求出N3与N4的补角相等，再根据内错角相等，两

直线平行即可判定aIIb；

（2）根据入射光线与镜面的夹角与反

解析：（1）平行，理由见解析；（2）65。；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根据等角的补角相等求出N3与N4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即

可判定allb：

（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得/1=N2,然后根据平

角等于180。求出/1的度数，再加上40。即可得解：

（3）分①48与CD在EF的两侧，分别表示出N47。与/8AC,然后根据两直线平行，内

错角相等列式计算即可得解；②8旋转到与48都在EF的右侧，分别表示出NOCF与

NBAC,然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；③C。旋转到与A8都在EF

的左侧，分别表示出NDCF与N8AC,然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得

解.

【详解】

解：（1）平行.理由如下：

53

4

b

图1

如图1,Z3=Z4,

Z5=Z6,

*/Z1=Z2,

Z1+Z5=Z2+Z6,

「.allb(内错角相等，两直线平行)；

(2)如图2：

V入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,

图2

Z1=Z2,

・「入射光线a与水平线0C的夹角为40。，b垂直照射到井底,

Z1IZ2=180o-40o-90o=50°,

Zl=gx50°=25°,

.•・MN与水平线的夹角为：25。+40。=65。，

即MN与水平线的夹角为65。，可使反射光线b正好垂直照射到井底;

(3)存在.

如图①，48与CD在EF的两侧时，

Z84F=105°,ZOCF=65‘，

Z人8-180°-6S°-3Hs

ZBAC=105°-t°,

要使4811CD,

则N4CD=ZBAC,

即115-3t=105-t,

解得t=5；

如图②，CD旋转到与A8都在EF的右侧时,

E

F\D

②

,/ZB/AF=105°,ZDCF=65\

ZOCF=360°-3t°-65°=295°-3t°,

ZBAC=105°-t°,

要使4811CD,

则NOCF=NBAC,

即295-3t=105-n

解得t=95；

如图③，CD旋转到与48都在EF的左侧时,

,/ZBAF=105\ZDCF=6S\

ZDCF=3t0-(1800-65o+180")=3f°-295o,

ZBAC=t0-10S°,

要使沏CD,

则/DCF"BAC,

即3f-295=t-105,

解得t=95,

此时t>105,

」•此情况不存在.

综上所述，t为5秒或95秒时，C。与八8平行.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性

质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论.

13.（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂

直，从而得到直线；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线.

（2）先根据

解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过P点折纸，使痕迹垂直直线〃，然后过P点护纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而

得到直线〃：

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线。的垂线.

（2）先根据平行线的性质得到45C=4C。，再利用角平分线的定义得到/2=/3,

然后根据平行线的判定得到结论.

【详解】

故答案为垂；

（2）证明：•.踮平分4BC,CF平分NBCD（已知），

=Z3=Z3（角平分线的定义），

\ABUCD（已知），

:.ZABC=ZBCD（两直线平行，内错角相等），

「.2/2=223（等量代换），

.\Z2=Z3（等式性质），

J.BEHCF（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】

本题考兖了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合

了儿何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的性质与

判定.

14.（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）秒，画图见解

析

【分析】

(1)用角的度数除以转动速度即可得；

(2)求出/AON=60。，结合旋转速度可得时间t；

(3)设3A0N=3

7()

解析：(1)10秒；(2)20秒；(3)20秒，画图见解析：(4)—秒，画图见解析

3

【分析】

(1)用角的度数除以转处速度即可得：

(2)求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t；

(3)设3A0N=3t,则NAOC=30°+6t,由题意列出方程,解方程即可;

(4)根据转动速度关系和OC平分NMOB,由题意列出方程，解方程即可.

【详解】

解：(1)V304-3=10,

10秒后ON与OC重合；

(2)MNIIAB

/.ZBOM=ZM=30°,

,/ZAON+ZBOM=90°,

/.ZAON=60°,

/.t=60v3=20

二.经过t秒后,MNIIAB,t=20秒.

(3)如图3所示：

图3

ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM,

1•1三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕O点以每秒6。的速度旋转,

设NA0N=3t,则/AOC=300+6t,

OC与OM重合.

ZAOC+ZBOC=180°,

可得：(300+6t)+(90°-3t)=180°,

解得：t=20秒；

即经过20秒时间OC与OM重合；

(4)如图4所示：

N

C

AOB

图4

ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

・「三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕0点以每秒6。的速度旋转,

设NAON=3t,ZAOC=30oi6t,「ZBOM+ZAON=90°,

ZBOC=ZCOM=J/BOM=4(90°-3t),

22

由题意得：180。-(30°+6t)=j(90°-3t),

70

解得：t=——秒，

3

70

即经过一秒OC平分/MOB.

3

【点睛】

此题考查J'平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细

观察图形，找到各个量之词的关系求出角的度数是解题的关键.

15.（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解

析.

【分析】

（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种

情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和

解析：（1）①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27$；（2）①正确，②错

误，证明见解析.

【分析】

（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：/。2。=180。-/。融一/。2&从而可得答

案；②当BD//PC时,有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差

求解旋转角，可得旋转时诃；当小〃8。时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行

线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC〃DP时，有两种情况，画出

符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当

4C7/8。时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，匕得

旋转时间；当AC〃8P时的旋转时间与相同；

（2）分两种情况讨论：当在MN上方时，当。。在"N下方时，①分别用含，的代数

式表示《PD，/BPN，从而可得/C宗P§D的值；②分别月含/的代数式表示

Z.BPN

4CPD/BPN,得到N8PN+NCP。是一个含/的代数式，从而可得答案.

【详解】

解：（1）①ZOPC=180°-NC%-NDPB,ZC%=60°,ZDPB=30°,

ZDPC=180-30-60=90°,

故答案为90；

②如图1-1,当BDWPC时，

图1-1

PCWBD,Z08P=90°,

ZCPN=N08P=90°,

,/ZCPA=60°,

/.ZAPN=30°,

v转速为107秒，

旋转时间为3秒；

如图1-2,当PCIIBD时,

,/PCHBD、/PBD=90°,

/.ZCP8=Z08P=90°,

ZC%=60°,

/.ZAPM=3Q°,

V三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180。+30。=210。，

转速为107秒,

..・旋转时间为21秒,

如图1-3,当PZUI8D时，即点。与点C重合，此时/ACP=N8PD=30。，则AGI83,

图1-3

,/PAWBD,

...ZDBP=Z.APN=90°,

・•・三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°,

转速为107秒，

旋转时间为9秒，

如图1-4,当以II8D时，

：.AC\\BP,

'.'PAWBD,

ZO8P=N8%=90°,

A三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°=270%

v转速为107秒，

旋转时间为27秒，

如图1-5,当4GlDP时，

图1-5

ACIIDP,

ZC=ZDPC=30°,

ZAPN=180°-300-30*-60°=60°,

•••三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60。,

■.1转速为1017秒,

旋转时间为6秒，

如图1-6,当AC//。尸时.

AC//DP,

...ZDR4=ZPAC=9O°,

ZDPN+NDPA=180°-30°+90°=240°,

・•・三角板小C绕点P逆时针旋转的角度为240。,

v转速为107秒，

旋转时间为24秒，

如图1-7,当4cli8。时，

图1-7

,/ACWBD,

ZO8P=NBAC=9Q°f

.•.点a在MN上，

三角板绕点。逆时针旋转的角度为180°,

•••转速为107秒，

..・旋转时间为18秒,

当AC7/8P时，如图1-3,1-4,旋转时间分别为：9s,27s.

综上所述：当t为3s•或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“挛生三角

形”；

(2)如图，当，。在MN上方时，

①正确，

理由如下：设运动时间为t