人教版七年级数学上册知识点（1-4章）

有理数

「正数：大于。的数叫做正数。

rL概念《负数：在正数前面加上负号“一”的数叫做负数。

〔☆注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

一、正数和负数（不是带“一”号的数都是负数，而是在正数前加“一”的数。）

.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

二、有理数

「有理数：整数和分数统称有理数。

L概念X整数：正整数、0、负整数统称为整数。

I分数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。）

☆注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负

整数，负整数和零统称为非正整数。

2.分类

「正整数

自然数

整数零

有理数（按定义分类乂负整数

正分数

分数

负分数

正整数

正有理数J

正分数

有理数（按符号分类）零（零既不是正数，也不是负数）

负整数

负有理数

负分数

相反数和倒数

知识点回顾

相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数.特别地，0的相反数是0.

代数意义：互为相反数的两个数的和为零，即若〃与〃互为相反数，则4+2=0.

若。+〃=0,则〃与〃互为相反数.

几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等.

这两点是关于原点对称的.

「两个符号■:符号相同是正数，符号不同是负数。

多重符号的化端

I多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数，

当«—>，号的个数是偶数个时，结果取正号

-L当«一，，号的个额是奇数个时，结果取负号

倒数：如果"=i,则。和〃互为倒数.

绝对值：几何意义：一个数。的绝对值就是数轴上表示数。的点与原点的距离.数a的绝对值记作间.

代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；。的绝对值是0.

注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“||"，求一个数的绝对值，就是根据性质去绝对值符号.

②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.

，求字母a的绝对值：同=|"3"°)

11-a(a<0)

数轴

M概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴

,三要素：原点、正方向、单位长度

「比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

应用］

I求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“十”“一”号）

科学记数法

知识点回顾

》科学记数法：把一个大于10的数表示成4X10”的形式（其中iKavK）,〃是整数），此种记法叫做科学记数法.

1科学记数法概念：把一个大于10的数表示成aXl&的形式（其中a

是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学

记数法。（l^|a|<10）

☆注：一个n为数用科学记数法表示为aX10-】

2.近似数的精确度：两种形式

⑴精确到某位或精确到小数点后某位。

⑵保留几个有效数字

科学记数法〈☆注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示。

「1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

比校大4

b.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

(L加法法则「⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并

Y用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加

得Oo

I⑶一个数同0相加，仍得这个数。

加减法〈2.加法运算律：两个

」加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a

二加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两

个数相加，和不变。即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

3.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

、即a-b=a+(_)b

尸)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

⑵任何数同0相乘，都得0。

L乘法法则⑶多个不为。的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数

4的个翻是奇静时，积为负额，即先璐定符号，再把绝对值相乘，

绝对值的积就是积的绝对值。

⑷多个数相乘，若其中有因数0,则积等干0；反之，若积为0,则至

I少有一个因数是Oo

2.乘法运算律：三个

「⑴乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即aXb二庭。

乘除法⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积

4相等。即aXbXc=(aXb)Xc=aX(bXc)。

⑶乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，

I在把积相加。即aX(b+c)=aXb+aXc。

3.除法法则：三个

r⑴除以一个(不等于0)的数，等于乘这个数的倒数。

T⑵两个数相除，同言得正，异号得负，并把绝对值相除。

I(3)0除以任何一个K等于0的数，都得0。

U四则运算法则：先乘除，后加海，有括号先算括号里的。

/L概念：求n个相同因数的积得运算，叫做乘方。乘方的结果叫做黑。一个数可以

看做这个数本身的一次方。

2.法则：先确定黑的符号，然后再计算累的绝对值。

「正数的任何次累都是正数

T负数的奇次累是负数，负数的偶次累是正数

I。的任何正整数次累都是0

3.混合运算法则：

「⑴先乘方，再乘除，最后加减。

3⑵同级运算，从左到右的顺序进行。

<〔⑶如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行

有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。

博于洋身的剧汇总：

相反数等于本身的数：0

倒数等于本身的数：1,-1

绝对值等于本身的数：正数和0

@整式相关概念

0!知识点回顾靠

一、单项式与多项式

■单项式：数或字母的积，这样的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因

数叫做这个单项式的系数，-个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

■多项式：（1）几个单项式的和叫做多项式.

（2）在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.

（3）•般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行

代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形

来看。

单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是I或一1。

6、单犯的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单犯的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或一I时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有儿项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

二、整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

三、整式的加减

1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一

号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：

1).合并同类项的概念：

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2).合并同类项的法则：

同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3).合并同类项步骤：

a.准确的找出同类项。

b.逆用分配律，把同类项的系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。

c.写出合并后的结果。

4).在掌握合并同类项时注意：

a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

b.不要漏掉不能合并的项。

c.只要不再有同类项，就是结果〔可能是单项式，也可能是多项式)。

说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。

3、几个整式相加减的•般步骤：

1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

2）按去括号法则去括号。

3）合尹同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

硬元一次方程

◎二知识点回顾Q

■等式：用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.

・方程定义：含有未知数的等式叫方程.它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数.

■方程的解：使方程左右两边的值杆等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根.

等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.

若a=6,则a±〃±"?：

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（不为（））或同一个整式，所得结果仍是等式.

若a=b,则am=bm,­=—（m*0）.

mtn

土一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于（）且等号两边均为整式的方

程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数.

最简形式：方程依（4*0,〃为已知数）叫一元一次方程的最简形式.

标准形式：方程.—〃=0（4工0,明匕是已知数）叫一元一次方程的标准形式.

丁夕一元一次方程的一般解法：

（1）.去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.

温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号.

（2）.去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.

温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号.

（3）.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边.

温馨提示：①移项要变号：②不要丢项.

（4）.合并同类项：把方程化成卬=〃的形式.

温馨提示：字母和其指数不变.

（5）.系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数。（4工0）,得到方程的解xg

.用方程思想解决实际问题的一般步骤

1.审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.

2.设：设未知数（可分直接设法，间接设法）

3.列:根据题意列方程.

4.解：解出所列方程.

5.检：检验所求的解是否符合题意.

6.答：写出答案（有单位要注明答案）

・有关常用应用类型题及各量之间的关系

1.和、差、倍、分问题：

增长量=原有量X增长率现在量=原有量+增长量

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2.等积变形问题：

<1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积=成品体积.

（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变.

①圆柱体的体积公式：V二底面积X鬲=S-h=nrh

②长方体的体积：丫=长乂宽乂高=［林

3.劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4.数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.

十位数可表示为IOb+a,百位数可表示为IO（）c+IOb+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方

程（其中a、b、c均为整数，且VaW9,0WbW9,0《cW9）

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2

或2n—2表示：奇数用2n+l或2n—1表示.

5.程问题：

工程问题：工作量=工作效率X工作时间

完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1

6.行程问题：

路程=速度X时间时间=路程+速度速度=路程+时间

（1）相遇问题：快行距+慢行距=原距

（2）追及问题：快行距一慢行距=原距

（3）航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度

逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系.

7.商品销售问题

商品利润

(I)商品利润率=X100%

商品成本价

（2）商品销售额=商品销售价X商品销售量

（3）商品的销售利润=（销售价一成本价）X销售量

（4）商品打几折出色，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出但，即按原标价的80%出售.有关关系

式：商品售价;商品标价义折扣率

（5）商品利润=商品售价一商品进价=商品标价X折扣率一商品进价

8.储蓄问题

⑴顾客存入银行的饯叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，

利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵利息=本金X利率X期数

本息和二本金+利息

利息税=利息乂税率（20%）

⑶利润=每个期数内的利息XI。。%

r'-------口

第四章图形的初步认识

iL.......J2___r

知识点回顾q

（一）多姿多彩的图形

立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.

1、几何图形［平面图形：三角形、四边形、圆、多边形等.

r主视图------从正面看

2、几何体的三视图（左视图......从左边看

〔俯视图......从上面看

（1）会判断简单物体（棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.

（2）能根据三视图描述基本儿何体或实物原型.

3、立体图形的平面展开图

（I）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.

（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.

4、点、线、面、体

（I）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.

面：包围着体的是面，分为平面和曲面.

体：几何体也简称体.

（2）点动成线，线动成面，面动成体.

（二）直线、射线、线段

1、基本概念

名称直线射线线段

a-_________a_

图形€-------------令

ABABAB

端点个数无一个两个

直线a射线a线段a

表示法

直线AB（BA）射线AB线段AB（BA）

作线段a；

作直线a作射线a

作法叙述作线段AB；

作直线AB；作射线AB

连接AB

延长向两端无限延长向i端无限延长不可延长

2、直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.

3、画一条线段等于已知线段

（1）度量法

（2）用尺规作图法

4、线段的长短比较方法

（1）度量法

（2）叠合法

（3）圆规截取法

5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等

定义：把一条线段平均分成两条用等线段的点.

图形：

AMB

符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=1AB,AB=2AM=2BM.

2

6、线段的性质

两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.

7、两点的距离

连接两点的线段的长度叫做两点的距离（距离是线段的长度，而不是线段本身）.

8、点与直线的位置关系

（1）点在直线上（或者直线经过点）（2）点在直线外（或者直线不经过点）.

（三）角

1、角：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.

2、角的表示法（四种）：

表示方法图例记法适用范围

ZAOB或任何情况下都适应。表示端

用三个大写字母表示

BZBOA点的字母必须写在中间。

用一个大写字母表示LZA以这个点为顶点的角只有

一