人教版七年级数学下册举一反三专题115期末复习之选择压轴题八大题型总结(学生版+解析)(七年级下册)

专题11.5期末复习之选择压轴题八大题型总结

【人教版】

，题型梳理

【逑型।与平行线有关的多拐点问题】............................................................1

【题型2平行线中的旋转问题】.................................................................2

【题型3平行线中的多结论问题】...............................................................3

【题型4平面直角坐标系中的规律探究】.........................................................5

【题型5实际问题与二元一次方程（组）】.......................................................6

【题型6一元一次不等式组的整数解问题】.......................................................7

【题型7一元一次不等式组的新定义问题】.......................................................8

【题型8实数中的规律探究】....................................................................8

【题型1与平行线有关的多拐点问题】

【例1】（2024七年级•河北唐山・期末）如图，已知4B||CD,EF1WB于点E,乙4EH=乙FGH=20。/"=50°,

则4E/G的度数是（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【变式1-1］（2024七年级•浙江杭州•期末）如图所示，若ABE1EF,用含夕、y的式子表示X,应为（）

A.a+0+yB.p+y-aC.1800-a-y+/?D.180°+a+/?-y

【变式1-2］（2024七年级•山东烟台・期末）如图A8J/CBn，则史+团2+03+...+（3n=（）

A.540°B.180°nC.180°（n-l）D.180°（n+l）

【变式1-3］（2024七年级•重庆九龙坡•期木）如图，AHWCD,点《在C0上，点G,卜,/在力8,C〃之间,

且GE平分/CEF,8/平分//8月,GFWBI.若4BFE=52。，则4G的度数为（）.

A.112°B.114°C.116°D.118°

【题型2平行线中的旋转问题】

【例21（2024七年级•山西大同•期末）如图，直线EF上有两点A、C,分别引两条射线4B、CD.Z.BAF=100°,

CO与48在直线EF异侧.若/。。9=60。，射线48、CO分别绕八点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺

时针转动，设时间为，秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间，的值为（）时，与48平行.（）

A.4秒B.10秒C.40秒D.4或40秒

【变式2-1］（2024七年级•贵州六盘水•期末）如图，李师傅将木条48和AC■固定在点4处，在木条48上点。处

安装一根能旋转的木条。。.李师傅用显角仪测得乙4=70。,木条。。与力8的夹角=82。,要使00||AC,

木条。。绕点。按逆时针方向至少旋转（）

B

C.22°D.24°

【变式2-2］（2024七年级•重庆巴南•期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定A/lOB,将△4CD绕

着公共顶点4,按顺时针方向旋转仪（）。＜戊＜180。），当△4C。的一边与△40B的某一边平行时，相应的旋

转角a的值不可能是（）

A.135°B.105°C.75°D.45°

【变式2-3］（2024七年级•河北沧州•期末）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道

MN、QP上分别放置4、B两盏激光灯，如图所示.A灯发出的光束自4M逆时针旋转至4N便立即I可转，B

灯发出的光束自8P逆时针旋转至便'Z即回转，两灯不间断照射，八灯每秒转动30。，8灯每秒转动10。，

8灯先转动2秒，A灯才开始转动，当“灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时人灯旋转的时

间是（）

A.1或6秒B.8.5秒C.1或8.5秒D.2或6秒

【题型3平行线中的多结论问题】

【例3】（2024七年级•湖南长沙•期末）如图，E在线段84的延长线上，0EAD=0D,鲂=回。，EF\\HC,连

FH交AD于G,的余角比（3DG〃大16。，K为线段4c上一点，连CG,使回CKG峭CGK,在0AGK内

部有射线GM,GM平分团“GC,则下列结论：①AO114c②GK平分蜘GC；③回。G〃=37。；④团WGK的

角度为定值且定值为16。，其中正确结论的个数有（）

任意一点(点E不在直线AB、CD、4c上)，设N8AE=a,^DCE=p.下列各式：①a+0,②a一夕,

③0—。，(4)360°-a-/?,41EC的度数可能是()

A.②③B.①④C.①③④D.①②③④

【题型4平面直角坐标系中的规律探究】

【例4】(2024七年级•湖北荆州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点

A(l,l),B(-l,l),C(-l,-2),D(l,-2),点P,。同时从点A出发，沿长方形4BC。的边作环绕运动,点夕按

逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动,

则第2024秒P,Q两点相遇地点的坐标是()

【变式4/】式024七年级•重庆•期末)如图,已知4(1,1),4(2,-1),角(4,4),人4(6,-4),4(7,1)，4(8,T)，

47(10,4),4(12,—4)……，按这样的规律,则点&023的坐标为()

A.(3032,-1)B.(3034,4)C.(3036,4)D.(3031,1)

【变式4-2](2024・山东•期末)如图，在平面直角坐标系中，△△血/，△/人为，^sA6A7t△47A出，

…，都是等腰直角三角形，且点儿，鱼，As,力7,力9的坐标分别为4(3,0)，&(1，0)，阳4,0)，力7(0,0)，力9(5,0)，

依据图形所反映的规律，则402的坐标为（）

A.（2»25）B.（2,26）C.（-»——）D.（-,——）

2222

【变式4-3］（2024七年级•河南周口・期末）如图，在平面直角包标系X。），中，一只蚂蚁从原点。出发向右

移动1个单位长度到达点P/;然后逆时针转向90。移动2个单位长度到达点尸2；然后逆时针转向90。，移动

3个单位长度到达点/>,；然后逆时针转向90。，移动4个单位长度到达点尸4：如此继续转向移动下去.设

点Pn（Xn,Yn），〃=1,2»3,....则X/+X2+%3+…+%202/=（）

A.1B.-1010C.1011D.2021

【题型5实际问题与二元一次方程（组）】

【例5】（2024七年级•浙江温州•期末）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前

轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮

进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（）公里.

A.4000B.3750C.4250D.3250

【变式5-1］（2024七年级•福建福州・期末）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图

②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）.现在仓库里有〃，张长方形纸板

和“张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+71的值有可能是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【变式5-2］（2016•湖南常德・期末）某气象台发现：在某段时闰里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如

果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则

这一段时间有（）

A.9天B.11天C.13天D.22天

【变式5-3］（2024七年级•浙江嘉兴•期末）小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种叉具的单价均

为正整数且本子的单价比笔的单价贵.在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔

细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了.小明实际的购买情况是（）

A.1支笔，4本本子B.2支笔，3本本子

C.3支笔，2本本子D.4支笔，1本本子

【题型6一元一次不等式组的整数解问题】

【例6】（2024七年级•武汉・期末）若存在一个整数山，使得关于X,），的方程组二;的解满

足x+4yW3,且让不等式｛七］乙；只有3个整数解，则满足条件的所有整数，〃的和是（）

A.12B.6C.-10D.-14

【变式6-1］（2024七年级・重庆・期末）从-2,-1AV，3,5这七个数中，随机抽取一个数记为m,若

数m使关于x的不等式组f无解，且使关于x的一元一次方程（m—2）x=3有整数解，

那么这六个数所有满足条件的m的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

/彳+12X+5

【变式6-2】（2024七年级・重庆巳南•期末）若整数a使关于x的不等式组工■工丁至少有4个整数解，

.X-2>a

且使关于x,y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是（）.

A.-3B.-4C.-10D.-14

f—2（%—2）—x<2

【变式6-3］（2024七年级,重庆北培・期末）若关于x的不等式组1最多有2个整数解，

且关于），的一元一次方程3。-1）-2（y-k）=7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（）

A.13B.18C.21D.26

【题型7一元一次不等式组的新定义问题】

【例71（2024七年级•重庆沙坪坝期末）新定义：对非负实数x用“四舍五入〃的法则精确到个位的值记为〈幻,

下列说法正确的个数为（）

①仇）=3（V为圆周率）：

②如果（％-1）=5,则实数x的取值范围为5.5<%<6.5.

③若⑴<x,则<％+0.5）-（x）=l

④满足的所有x的值有且只有五个.

A.1B.2C.3D.4

【变式7-1]（2024七年级•湖北・期末）定义团表示不大于x的最大整数，如：[3.2]=3、[-3.2]=-4,[3]=3.则

方程团+2=2%所有解的和为（）

A.-B.-C.-D.-

2222

【变式7-2]（2024七年级•福建泉州•期末）对于任意实数a、b定义一种新运算：“㊉仁"一。一8+2.例

如，2㊉6=12—2—6+2=6.请根据上述定义解决问题：若〃7V（3㊉x）<5,并且这个关于上的不等式组

的解集中只有2个整数解，那么黑的取值范围是（）

A.-1<777<3B.—1<m<1C.—3<?n<1D.-1<m<1

【变式7-3]（2024七年级•浙江舟山•期末）定义运算:对于实数a,b,c,mid（a,b,c]=b（a>b>c）.例如

mid{l,2,3）=2,mid{-l,2,-3）=-1,mid{l,2,2}=2.若mid{-x-3,x+-1}=k,对于某个确定

的鼠有且只有一个x使等式成立，则k的取值范围是（）

A.上>-；或上〈-3B.-6</c<

C.—<k<­\D.ZA—：或々V—4

322

【题型8实数中的规律探究】

【例81（2024七年级•广西贵港•期末）在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+6乡的值时，小林发

现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+644-65+66+

674-68+69......①

然后在①式的两边都乘以6,得：6S=6+62+63+644-65+66+67+68+69+610......（2）

②-①得6S-S=6i°—1,g［J5S=610-l,所以Su%2.

得出答案后,爱动脑筋的小林想：如果把"6”换成字母匕〃佰工0且axl）,能否求出1+a+M+/+

小+…+小。18的值?你的答案是

。2018_1a20i8_i

A.---------D.a2019-1

a-1B・若a

【变式8-1］（2024七年级•浙江温州•期末）一列数%,a,%，a”其中％=-工，a=—

221-(11

an-T~^~，则。逐。2乂。3、...*。2017二（）

A.1B.-1C.267D.-2.017

【变式8-2］（2024七年级•安徽合肥・期末）观察下列等式:

—=1

1X22

11—__1一,

2x323

111

・―

3X4-34’

111

_________—,

n(n+1)-nn4-1

将以上等式相加得到

—^—=1--

次+寿+而十…十n(n+l)n+1

用上述方法计算：浸+短+点+.一+薪7其结果为（）

【变式8-3］（2024七年级•福建三明•期末）读一读：式子“1+2+3+4+-+100”表示从1开始的100

个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为九，这里”"是

求和符号.通过对以上材料的阅读，计算工怨个方匕的值为〔）

202120222023c2022

A.D.-------L•二D.——

2022202320222021

专题11.5期末复习之选择压轴题八大题型总结

【人教版】

，题型梳理

【题型I与平行线有关的多拐点问题】............................................................1

【题型2平行线中的旋转问题】.................................................................2

【题型3平行线中的多结论问题】...............................................................3

【题型4平面直角坐标系中的规律探究】.........................................................5

【题型5实际问题与二元一次方程（组）】.......................................................6

【题型6一元一次不等式组的整数解问题】.......................................................7

【题型7一元一次不等式组的新定义问题】.......................................................8

【题型8实数中的规律探究】....................................................................8

，举一反三

【题型1与平行线有关的多拐点问题】

【例1】（2024七年级•河北唐山・期末）如图，已知AB||CD,EF工AB于点E,UEH=乙FGH=20°,乙H=50°,

则，EFG的度数是（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】如图，过点”作HMII4B,过点尸作尸Mil48,根据平行线的性质定理进行解答即可.

【优尖升-详解】解：如图，过点，作，Mil力B,过点尸作FNII4B,

0Z1=Z2=20°,Z7+Z6=180°,

^EFLAB,

az?=90。,

^AB||CD,HM||AB,FN||AB,

||CD,FN||CD,

0Z.3=z.4,LCGF=z5»

团4E〃G二42十43,乙2二20。，乙EHG=50。

0Z3=30°,

0Z4=30°,

0ZFGW=20°,

（3NCGF=Z4+Z,FGH=300+20’=50°,

团45=LCGF=50°,

回乙£TG=46+45=90°+50°=140°.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键.

【变式1-1］（2024七年级•浙江杭州•期末）如图所示，若ABI3EF,用含*/?、y的式子表示工,应为（）

AB

A.a+/?+yB./?+y-aC.180。-a-y+夕D.180°+a+^-y

【答案】C

【分析】过C作CD0AB,过M作MN13EF,推出AB1CD回MNEEF,根据平行线的性质得出a+因BCD=180°,

0DCM=0CMN,0NMF=y,求出回BCD=180°-a,0DCM=0CMN=/?-y,即可得出答案.

【优尖升-详解】过C作CD团AB,过M作MN0EF,

0AB0EF,

0ABBCD0MN0EF,

0a+0BCD=18O%0DCM=0CMN,0NMF=y,

00BCD=18O°-a,0DCM=0CMN=/7-y,

0x=0BCD+0DCM=18O°-a-y+fi,

故选:C.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.

【变式1-2](2024七年级•山东烟台•期末)如图力当〃。为，则才1+团2+团3+...+加=()

A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)

【答案】C

【分析】根据题意，作EB3//AB、,FB//AB],由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案.

【优尖升-详解】解：根据题意，作。82〃力反，EB3//ABltFBJ/AB、,

^AB1//CBn,

(3Z1+Z-BXB2D=180°,Z.DB2B3+/-B2B3E=180°,/.EB3B4+Z.B3B4F=180°,

团乙14-乙BSzD+乙DB2B3+Z.B2B3E+乙EB3B4+=180°x3.........

0Z.1+z.2+z.3+•••+△〃=180°x(n-1)；

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进

行证明.

【变式1-3］（2024七年级•重庆九龙坡•期末）如图，43IIC0,点£在。。上，点G,F,/在48,CD之间,

且GE平分NCEF,BI平分心FBH,GF\\BI.若/E=52。，则4G的度数为（）.

A.112°B.114°C.116°D.118°

【答案】C

【分析】如图，过T7作FTII/H,可设ZABF=乙BFT=x,由48IICD,可设ZTFE=Z-CEF=2y,设乙H8F=2z,

而B/平分可得上HBI=LFBI=z,可得z-y=64,由NFB/+NBFG=180°,可得NGFE=180°-

乙FBI-乙BFE=128°-z,zG=180°-Z-GFE-Z-GEF可得答案.

【优尖升•详解】解：如图，过?作"114”,

团设尸=乙BFT=X,

^ABWCD,

0F/IICD,

团设ZTFE=Z.CEF=2y,

(3EG平分"EF,

团匕CEG=Z.FEG=y,

设/HBF=2z,而5/平分乙H8F,

回乙"8/=乙FBI=z,

中乙BFE=52°,

□x42y=S2,

由平角的定义可得：x+2z=180,

02z-2y=128,即z—y=64,

则FG,

^LFBl+Z-BFG=180°,

^Z.GFE=180°-乙FBI-乙BFE=180°-52°-z=128°-z,

团4G=180°-乙GFE-Z-GEF

=180°-y-128°+z

=52°+64°

=116°.

故选C.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线

足解本题的关键.

【题型2平行线中的旋转问题】

【例21（2024七年级•山西大同•期末）如图，直线EF上有两点A、C,分别引两条射线48、CD./.BAF=100。,

CD与48在直线E尸异侧.若4DCT=60。，射线48、CO分别绕A点，。点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺

时针转动，设时间为，秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间，的值为（）时，与力B平行.（）

E

A.4秒B.10秒C.40秒D.4或40秒

【答案】D

【分析】分情况讨论：①48与C。在E尸的两侧，分另4表示出〃C。与然后根据内错角相等两直线平

行，列式计算即可得解；②C。旋转到与48都在EF的右侧，分别表示出乙。。尸与NB力C,然后根据同位角相

等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与48都在EF的左侧，分别表示出408与乙8AC,然后根

据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解.

【优尖升-详解】解:分三种情况:

如图①，48与C。在EF的两侧时，

E

B

4i

F

①

EU/M”=100u,4DCF=60",

0Z4CD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°,^BAC=100°-t°,

要使4BIICO,则NACO=Z.BAC,

即120。一(6。。=100°-t°,

解得£=4：

此时(180。-60。)+6=20,

00<t<20；

②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，

②

团/DCF=360°-(6t)°-60°=300°-(6t)°,Z.BAC=100°-t°,

要使48IICD,^\Z-DCF=Z.BAC,

即300。一(6。。=100。一尸，

解得亡=40,

此时(360。-60。)+6=50,

020<t<50；

③CD旋转至lj与48都在EF的左侧时,

0ZPCF=(6t)u-(180°-60°+18。°)=(6t)u-3(MT,乙BAC=T-100°,

要使ABIICD,WJzDCF=Z.BAC,

即（6t）。-300。二尸一100。,

解得£=40,

此时t>50,

而40<50,

团此情况不存在.

综上所述，当时间，的值为4秒或40秒时，CD与48平行.

故选:D.

【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况

讨论.

【变式2-1］（2024七年级•贵州六盘水•期末）如图，李师傅将木条48和4C固定在点4处，在木条48上点。处

安装一根能旋转的木条。。.李师傅用量角仪测得心力=70。,木条。。与A8的夹角乙8。。=82。,要使。0||AC,

木条。。绕点。按逆时针方向至少旋转（）

B

C.22°D.24°

【答案】A

【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据。。'IIAC,运用两直线平行，同位角相等，求得280。=乙力

即可得到乙。。。的度数，即旋转角的度数.

【优尖升-详解】解：WD'IIAC,

团ZB。。'=LA=70°,

团/DO。'=LBOD-乙BOD，=82°-70°=12°,

团木条00绕点。按逆时针方向至少旋转12。，

故选：A.

【变式2-2］（2024七年级•重庆巴南・期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△40B，将△4CD绕

着公共顶点4,按顺时针方向旋转V180。），当△4C0的一边与△40B的某一边平行时，相应的旋

转角a的值不可能是（）

【分析】本题考查平行线的判定与性质，要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它

们之间的关系；再计算.

【优尖升•详解】由题意可得旋转角a=N8AD

分5种情况讨论：

（1）当力CIIOB时，LCAB+^B=180°,^Z,CAB=135°

此时a=乙CAB-乙CAD=135°-90°=45°；

(2)当力DIIOB时，Z.DAB+Z-B=180°,则a=2048=135。

C

D

OB

(3)当DCII08时，/.DEB+Z.B=180°,则乙DEB=135°

此时a=(DAB=乙DEB+Z.CDA=135°+30°=165°；

(4)当DC||48时，a=Z.DAB=Z.CDA=30°,

(5)当DCIL4。时，Z-CAB+AB=180°,则"48=135。

此时a=/.DAB=/.CAB-ACAD=135°-60°=75°；

团相应的旋转角a的值不可能是105。，

故选：B.

【变式2-3］（2024七年级•河北沧州•期末）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道

MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示.A灯发出的光束自4M逆时针旋转至AN便立即回转，B

灯发出的光束自8P逆时针旋转至BQ便立即|可转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30。，B灯每秒转动10。,

月灯先转动2秒，A灯力开始转动，当配灯光束第一次到达/Q之前，两灯的光束互相平行的A灯旋转的时

间是（）

A.1或6秒B.8.5秒C.1或8.5秒D.2或6秒

【答案】c

【分析】设月灯旋转的时间为t秒，求出t的取值范围为0VtW16,再分①0<t<6,（2）6<t<12和③12<

士工16三种情况，先分别求出和"BP’的度数，再根据平行线的性质可得"MM'="8P‘，由此建

立方程，解方程即可得.

【优尖升-详解】解：设4灯旋转的时间为£秒，

/灯光束第一次到达/N所需时间为黑=6秒，8灯光束第一次到达BQ所需时间为第=18秒,

灯先转动2秒，4灯才开始转动，

0<t<18-2,即0VtW16,

由题意，分以下三种情况：

①如图，当0VtW6时,

Z.MAM'=30℃,zPFP/=10°(t+2),

vMN//PQ,AM'//BP'y

4MAM'=乙1,乙PBP'=41,

/.MAM'=LPBP\即30"=10°(t+2),

解得£=1,符合题设：

:.Z.MAM'=180°-30°(t-6)=360°-30°t,Z.PBP'=10°(t+2),

vMN//PQ,AM'//BP',

・••/MAM'+Z2=180°,/.PBP1+£2=180°,

Z.MAM'=乙PBP',即3600-30°t=10°(t+2),

解得t=8.5符合题设：

③如图，当12VtW16时,AM]/BP',

:./.MAM'=30°(t-12)=30°t-360°,zPSP,=10°(t4-2),

同理可得：=即3U"-36(T=l(T(£+2),

解得£=19>16,不符题设，舍去；

综上，4灯旋转的时间为1秒或8.5秒，

故选:C.

【点睛】本题考查了平行线的性质、•元•次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t的取值范围，并据

此分三种情况讨论是解题关键.

【题型3平行线中的多结论问题】

【例3】(2024七年级•湖南长沙期末)如图，E在线段84的延长线上，团E4DW。，胡=(W,EFWHC,连

FH交AD于G,团尸GA的余角比团DG”大16。，K为线段8C上一点，连CG,使(3CKG=13CGK,在财GK内

部有射线GM,G/平分团/PC,则下列结论：①人。IIBC；②GK平分西GC；③团。G，=37。；④团MGK的

角度为定值且定值为16。，其中正确结论的个数有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】根据平行线的判定定理得到故①正确；由平行线的性质得到财GK=13CKG,等量代换得

到(MGK=(3CGK,求得GK平分MGC；故②正确；根据题意列方程得到团尸G4幡QG”=37。，故③正确；设

时1GK邛,得到财GK=a+/7,根据角平分线的定义即可得到结论.

【优尖升-详解】解：瓯£4。=国Q,团/闫3。，

团团必。=倒8,

故①正确；

团HAGAH3CKG,

团团CKG=(3CGK,

^GK=^CGK,

团GK平分团4GC：故②正确；

00FGA的余角比W)GH大16°,

^9C°-^FGA-^DGH=16°,

^FGA^DGH,

09CO-20FGA=16°,

团团尸GA=(2QG〃=37。，故③止确;

设MGM=a,⑦MGK邛,

配1AGK=〃+P，

(3GK平分团4GC,

团团CGK—(MGK—a+〃，

(2G0平分团尸GC,

00FGA/=0CGM,

物FGA+SAGMWMGK+mCGK,

037°+a=//+a+/?,

明=18.5。,

能1MGK=18.5。，故④错误，

故选:B.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，一元一次方程，正确的识别图

形是解题的关键.

【变式3・1】（2024七年级•重庆北硝•期末）如图，已知A8||CD,乙BEH="FG,EI、FK分别为

乙4EH、4CFG的角平分线，FKLFJ,则下列说法正确的有（）个.

②乙CFK=乙H

③F/平分"FC

@LAEI+乙GFK=90°

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】如图，延长E”交CD于M,由48||CD,可得乙8EH=4EMC,由48E”=乙CFG,可得乙EMC=乙CFG,

EH||GF,进而可判断①的正误：由£7、"K分另ij为"E，、的角平分线，则〃£7=/HE/=羟/lEH,

Z-CFK=乙GFK=ICFG,如图，过/作/PIIAB,则/PIICD,有NE/P=Z-AEI=^AEH,乙PIF=乙CFK=

(GFK=三乙CFG,根据4E/P=180°-乙HEI-Z-BEH=180°-iZ/IFH-乙BEH,可得NE/F=乙EIP+

ZP!F=180°--Z/1E/7-Z.BEH^--Z-CFG=90°,可得，4£7+4GFK=4£7/=90。，进而可判断④的正

误；由FK1",可知乙KF/=90。，Z.GFK+Z.GFJ=90°,由4CFK+4/"7+=180。，可得乙。打二

180°-/.CFK-L.KF]=90°-LCFK=Z-GFJ,进而可判断③的正误；由EHIIG凡可知NH=/G,由于GH

与FK的位置关系不确定，可知ZGFK与NG的大小关系不确定，贝LC尸K=/H不一定成立，进而可判断②的

正误，进而可得答案.

【优尖升-详解】解：如图，延长EH交CD于M,

MB||CD,

团4BE”=乙EMC,

(3NBEH=乙CFG,

0ZFMC=乙CFG,

0EH||GF,

团①正确，故符合要求；

(3E/、FK分别为〃EH、/CFG的角平分线，

^Z.AEl=乙HEI=-Z-AEH,乙CFK=乙GFK=-ZCFG,

22

如图，过/作/PIIAB,

0/PIICD,

0ZF/P=Z.AEI=-Z-AEH,Z.PIF=乙CFK=乙GFK=-/.CFG,

22

回乙£7P=180°-乙HEI-LBEH=180°--Z.AEH-乙BEH,

2

回4£7F=乙EIP+乙PIF=180°--^AEH-乙BEH+-/.CFG

22

11

=180°--^AEH-Z-BEH+-Z-BEH

乙乙

=180°-1QAEH+4BEH）

=90。

团4AE7+乙GFK=Z.EIP+乙P1F=乙E1F=90°,

回④正确，故符合要求：

团FK1FJ,

0ZK/7=90°,Z-GFK+乙GFJ=90°,

QUCFK+乙KFJ+ADFJ=180°,

0ZDF/=180°-Z.CFK-乙KFJ=90°-乙CFK=90°-Z.GFK=乙GFJ,

田可平分NGFO,

团③正确，故符合要求：

回£1，||GF.

团上”=乙G,

团GH与FK的位置关系不确定，

giG/K与4G的大，卜关系彳:确定，

RUCFK=4”不一定成立，

回②错误，故不符合要求；

团正确的共有3个，

故选B.

【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁

内角互补等知识.解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用.

【变式3・2］（2024七年级•重庆北七•期末）如图，4硼8,点E,P在直线41上（P在E的右侧），点G

在直线CO上，EF^FG,垂足为尸，M为线段所上的一动点，连接GRGM,0FG尸与财产G的角平分线交

与点Q,且点Q在直线A/3,CO之间的区域，下列结论：®a4EF+0CGF=9O°：②0AEF+2回?QG=270。；

③若团MGF=2®CGR则3(ME&3MGC=270°；④若EIMG/=〃?1CGR则团4E/+W0MGC=90°.正确的

个数是()

AEBB

CGD

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】①过点尸作"M48,利用平行线的性质以及已知即可证明；

②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到133=2m2,0CGF+201+Q3=18O°,结合①的结论即可证明;

③由已知得到团MGC=30CGF,结合①的结论即可证明；

④由已知得到团MGC=(〃+1旭CGF,结合①的结论即可证明.

【优尖升•详解】解：①过点尸作如图：

号

A/B

FZ-H

CGD

IM质CO,(MBHF/yiaCD,

^1AEF=^EFH,⑦CGF司GFH,

团E地下G,BP(3EFG=[?lEFW+aG/77=90o,

(3(?L4EF+0CGF=9OO,故①正确；

②财施CD,PQ平分财PG,GQ平分回FGP,

(3BMPQ=(32,0FG0=(31,

回史=蜘2。笆2=2团2,

团CGF+团”GQ+团1+团3=团。6尸+2团l+E3=180°,

BP2团1=180°-2回2-E)CGF,

团2(32+2(31=180°-团CG产，

团13PQG=18O°-(团2府1),

020PCG=36O0-2(ia2+01)=36O°-(18O<>-0CGF)=18O°+0CGF,

(30ZEF+2(2PQG=(MEF+18O°+(3CGF=18O°+9O°=27O°,故②正确；

③盟IMG/=2®CGF,

00A/GC=30CGF,

03aAEF+(?lMGC=3a4EF+30CGF=3(a4£，F+aCG?>3x9Oo=27O<>：

30AEF+EA/GC=27O°,故③正确；

@00AfGF=/20CGF,

团团MGC=(〃+1)团CG〃，BP0CGF=^yWGC,

豳AEF短CGF=90°,

00ZEF+^0A/GC=9O°,故④正确.

综上，①②③④都正确，共4个，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得MEF+团CGG90。，是解

此题的关键.

【变式3-3］（2024七年级•江苏宿迁•期末）如图，已知直线力B、CD被直线4c所截，AB//CD,E是平面内

任意一点（点E不在直线48、CD、AC上）,i^^BAE=a,乙DCE=B,下列各式：①a+6，②a-6,

③。—a,④360。—a—0,乙4EC的度数可能是（）

A.②③B.①④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行

计算求解即可.

【优尖升-详解】解：（1）如图L由A战C7）,可得0400团7）。臼/，

^AOC^liAEt-^AEiC,

00AE/C=^-«.

图1

（2）如图2,过上2作平行线，则由A成C。，可得国1W8AE产a,02=0DCE2=^,

^E2C=a+fi.

AB

D

图2

(3)如图3,由AH3c。，可得团BOE产①。CE3=0,

OOBAEj=0^<7E.?+0AE3C,

^AE3C=a-p.

图3

(4)如图4,由AB加7),可得鼬4%幽E<+同。CJ=360°,

(3EL4JC=360°-a/.

图4

(5)(6)当点E在CO的下方时，同理可得朋EC=a/或夕-a.

综上所述，(MEC的度数可能为夕-a,a邛,a-。,360°-a-//,即①②③④.

故选：D.

【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角

相等以及分类讨论.

【题型4平面直角坐标系中的规律探究】

【例4】(2024七年级•湖北荆州•期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点

4(l,l),8(-l,l),C(-l,-2),D(l,-2),点P,。同时从点A出发，沿长方形48CD的边作环绕运动，点P按

逆时计方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点。按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动,

则第2024秒P,。两点相遇地点的坐标是()

B.(1,-1)C.(0,-2)D.

【答案】B

【分析】求出长方形的周长，确定两点相遇所需时间，找到相遇的点的坐标，进而抽象出相应规律，即可

得出结果.

【优尖升-详解】解：财(1,1),8(-1,1),。(一1,一2),。(1,一2),

财D=BC=3,AB=CD=2,

13长方形的周长为2x(2+3)=10,

(3P,Q每次相遇需要的时间为：10+(2+3)=2秒，即点P每运动4个单位长度，两点相遇,

团第一次相遇的点的坐标为：(一1,一1)，

第二次相遇的点为：(1,一1),

第三次相遇的点为：(一1,1)，

第四次相遇的点为:(0,-2),

第五次相遇的点为:4(1,1);

每5次一个循环，

132024+2+5=202-2,

回第2024秒P,Q两点相遇地点的坐标是(1,—1)；

故选B.

【点睛】本题考查点的规律探究.解题的关键是确定两点相遇所需时间，以及相遇时点的坐标规律.

【变式4-1](20式七年级•重庆•期末)如图,己知了(1,1),4(2,T)，4(4,4),4式6,-4),4(7,1)，4(8,-1),

%(10,4),&(12,-4)......，按这样的规律，则点A2023的坐标为()

A.(3U3Z,-1)B.(3034,4)C.(3036,4)D.(3031,1)

【答案】B

【分析】先找到点的规律，然后计算解题即可.

【