人教版七年级数学上册专题41基本平面图形（基础解析版）

专题4.1基本平面图形

目录

线段、射线、直线.............................................................1

直线的基本性质...............................................................5

线段的性质...................................................................6

两线段间的关系..............................................................10

线段的计算求长度............................................................11

角度的相关概念..............................................................14

角度的度量..................................................................16

钟面角.......................................................................17

角的平分线..................................................................18

角度的加减运算..............................................................20

多边形及其表示..............................................................21

多边形的对角线..............................................................23

扇形的面积..................................................................24

线段、射线、直线

1.将线段向无限延长就形成了射线.

2.将线段向两方无限延长就形成了直线.

3.线段是直线上两点间的部分,可以度量，直线、射线都不可度量.

\______________________________________________

【解答】解：选项A中的图形表示的是直线MN,射线0P,因此选项A不符合题意:

选项8中的图形表示的是射线线段PQ,因此选项8符合题意；

选项。中的图形表示的是线段MN,射线PQ,因此选项C不符合题意；

选项。中的图形表示的是线段射线QP,因此选项。不符合题意；

故选：B.

【变式训练1】下列几何图形与相应语言描述相符的是（)

A.如图1所示,延长线段为4到点C

B.如图2所示,射线3C经过点A

C.如图3所示,直线a和直线h相交于点A

D.如图4所示,射线8和线段AA没有交点

【解答】解：A.如图1所不，延长线段用1到点C,儿何图形与相应厝者描述不相符;

B.如图2所示,射线不经过点A,几何图形与相应语言描述不相符:

C.如图3所示,直线”和直线〃相交于点4,几何图形与相应语言描述相符:

D.如图4所示,因为射线CD可以延伸，会有交点，儿何图形与相应语言描述不相符;

故选：C.

)

A.如图1所示,直线a和直线〃相交于点A

B.如图2所示,延长浅段AA到点C

C.如图3所示,射线3c不经过点A

D.如图4所示,射线CD和线段AB有交点

【解答】解:A、图1中，直线。和直线人相交于点A与图相符，故选项A不符合题意;

B、图2中,延长线段明到点。与图不相符，故选项8符合题意;

C、图3中,射线8C不经过点A与图相符，故选项C不符合题意;

。、图4中,射线CO和线段A8有交点与图相符-，故选项。不符合题意:

故选：B.

【变式训练3】以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（）

【解答】解：①射线和直线延伸后能相交，故本选项符今题意;

②线段不能向两端延伸，不能相交，故本选项不合题意；

③两条直线延伸后能相交，故本选项符合题意；

④射线和直线延伸后不能相交，故本选项不合题意；

故选：B.

【例2】如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：

①图中有两条直线；

②图中有5条线段；

③射线AC和射线AD是同一条射线；

④直线80经过点C.

其中结论•正•确的结论是①，③.

【解答】解：图中有两条直线：直线的，直线8C；

图中有6条线段，线段线段3C,线段8。，线段AC,线段8,线段AD；

射线AC和射线4），端点，方向都相同，是同一条射线；

直线4力不经过点C.

故答案为：①，③.

【变式训练1】下列说法错误的是（）

A.直线和直线"表示同一条直线

B.直线比射线Afi长

C.线段AB和线段射表示同一条线段

D.过一点可以作无数条直线

【解答】解：A：直线和直线以是同一条直线，故A是正确的；

B：直线和射线都是不可度量的，因此不能比较大小，故8是错误的；

C：线段和线段是同一条线段，故C是正确的：

D：过一点可以作无数条直线，故。是正确的；

故选：B.

【变式训练2】下列说法：①射线钻与射线总是同一条射线；②线段M是直线他的一

部分；③延长线段"到C,使"=AC：④射线AN与射线的公共部分是线段A-正

确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①射线八用勺射线不是同一条射线，他们的端点不同，因此①不正确：

②线段AB是直线AB的一部分是止确的，

③延长线段到C,使BC=AB,因此③不正确；

④射线AB与射线BA的公共部分是线段AB是正确的；

综上所述，正确的有②④，共两个，

故选：B.

【变式训练3】下列语句中正确的个数有（）

①直线MN与直线NM是同,条直线

②射线AB与射线BA是同条射线

③线段PQ与线段QP是同一条线段

④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线

A.I个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①直线MN和直线NM是同一条直线,正确:

②射线A8和射线84是同一条射线，不正确，二者端点不同；

③线段PQ和线段QP是同一条线段，正确；

④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线，不正确，

综上所述，正确的是①③.

故选：B.

直线的基本性质

两点确定一条直线

【例3】在下列现象中，体现了基本事实”两点确定一条直线”的有（）

平板弹墨线建筑工人砌墙会场摆直茶杯弯河道改直

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”

来解释，第四帕图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识.

故选：C.

【变式训练1】如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一

条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（）

A.两点之间，线段最短

B.过一点有且只有一条直线和已知直线平行

C.垂线段最短

D.两点确定一条直线

【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参

照线，

这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线.

故选：D.

【变式训练2】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实”两点确定一条直线”来解释的

是（）

①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；

②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；

③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；

④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上.

A.①③B.®®C.①®D.®@

【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实”两点确定一条直线”

来解释；

②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”

来解释；

③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实”两点之间线段最短”来解释；

④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点

确定一条官线”来解释.

故选：C.

【变式训练3】开学整理教室时，.卫生委员总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再

依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐，用几何知识解释其道理正

确的是（）

A.两点确定一条直线

B.两点之间，线段最短

C,垂线段最短

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【解答】解：先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课

桌就摆在一条线上，整整齐齐，

用几何知识解释其道理是：两点确定一条直线.

故选：A.

线段的性质

，一"—1一一.一■■一一厂.一■■一一---mi」一一一一一一口■一、

两点之间线段最短

\..■一■■■■■■■■■■■.e■!■■■■■■■■■■■■■______________1■■■■■____________________■■■nr■■■■■!■■■■■■

【例4】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是（）

A.两点之间，线段最短B.经过一点有无数条直线

C.两点之间，直线最短D.两点确定一条直线

【解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是两点之间，线段最短.

故选：A.

【变式训练1】如图，田亮同学用剪刀沿直线将•片平整的树叶剪掉•部分，发现剩下树叶

的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）

A.两点确定一条直线B.经过一点有无数条直线

C.两点之间，线段最短D.以上答案都不灼

【解答】田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树

叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短,

故选：C.

【变式训练2】下列生产、生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（)

A.如图1,把弯曲的河道改直，可以缩短航程

B.如图2,用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上

C.如图3,植树时只要定出两棵树的位置.，就能确定一行树所在的直线

D.如图4,将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺

就不是直的

【解答】解：A、把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释,

符合题意；

4、用两根钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题

意；

C、植树时，只要选出两棵树的位置.，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定

一条直线，故此选项不合题意；

。、将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直

的利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；

故选：A.

【变式训练3】下列生活现象，可以用基本事实”两点之间，线段最短”解释的是（）

A.汽车的雨刮器把玻璃上的水刷干净

B.开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道

C.公园的喷泉中，喷水龙头喷出的圆形水面

D.建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙

【解答】解：A、汽车的雨刮器把玻璃上的水刷干净，根据是线动成面.，故此选项不合题

忠；

开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道，根据两点之间，线段最短，故

此诜项符合撅意：

C、公园的喷泉中，喷水龙头喷出的圆形水面，根据点动成线，故此选项不合题意；

。、建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙，根据是两点确定一条直线，故此选项

不合题意.

故选：B.

【例5】A,B,c,。四个村庄之间的道路如图，若从A去。有以下四条路线可走，则

其中路程最短的是（）

A.A->C->B->DB.A->C->DC.A->£-»/）D.ATBTD

【解答】解：如图所示:从A去。有以卜四条路线可走,其中路程最短的是:UD.

故选：C.

【变式训练1】如图，是某住宅小区平面图，点8是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点

为居民楼，图中各条线为小区内的小路，从居民楼点A到“菜鸟驿站”点4的最短路径是（

)

D

G

A.A-C-G-E-BB.A-C-E-BC.A-D-G-E-BD.A-F-E-B

【解答】解：由题意可得的是必须经过的路段，

.•・由两点之间线段最短，可得点A到点E的最短路径A-F-E,

二从居民楼点A到“菜鸟择站”点8的最短路径是A-尸-石-8,

故选：D.

【变式训练2】如图所示，由4到4的四条路线中，最短的路线是（）

A.①B.②C.③D.@

【解答】解：•••两点之间线段最短，

/.由A到4的四条路线中，最短的路线是③，

故选：C.

【变式训练3】如图，A地到8地有三条路线，由上至下依次记为路线〃，b,c,则从A地

到8地的最短路线是c,其依据是（）

A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线

C.两点之间，直线最短D.直线比曲线短

【解答】解：从A地到8地的最短路线是c,其中蕴含II勺数学道理是两点之间线段最短,

故选：A.

两线段间的关系

(1)线段是一个几何图形，而线段的长度是一个正数，二者是有区别的，不能混淆.

(2)线段的大小关系与其长度的大小关系是一致的.

【例6】如图，下列关系式中与图不符合的式子是()

ARCD

A.AD-CD=AB+BCB.AC-BC=AD-BD

C.AC-BC=AC+BDD.AD-AC=BD-BC

【解答】解：A、AD-CD=AB+BC,正确，

B、AC-BC=AD-BD,正确；

C、AC-BC=AB,l(IJAC^-BD^AB,故本选项错误:

D、AD-AC=BD-BC-正确.

故选：C.

【变式训练1】如图，C,。是线段AB上的两点，石是AC的中点，尸是8D的中点，若

EF=m,CD=n,则A"=()

••------------•♦-----.

ECDFB

A.m-nB.in+nC.2ni-nD.2/n+n

【解答】解：由题意得，EC+FD=m-n

E是AC的中点，户是BQ的中点，

：.AE+FB=EC+FD=EF-CD=m-n

又，AB=AE+FB+EF

AB=m—n+in=2m—n

故选：C.

【变式训练2】如图，钻=8,那么AC与皿的大小关系是()

III

CRD

A.AC=BDB.AC<BDC.AC>BDD.不能确定

【解答】解：根据题意和图示可知AB=CZ),而C8为AB和8共有线段，故AC=BO.

故选：A.

【变式训练3】如图所示，点、P,Q,0都在直线A8上，且P是4C的中点，。是8c

的中点，若AC=，〃，BC=nt则线段PQ的长为（）

PQ

••------•---•—•—

ACR

【解答】解：・・,P是AC的中点

PC=-AC

2

•.•。是BC的中点

CQ=^BC

若AC'=m,BC=n

则PQ=PC+CQ=；AC+；BC

m-\-n

故选：c.

线段的计算求长度

【例7】如图，点C是线段AB的中点，CD=-AC,若AD=2cm，则A8=()

3

AilDlCB■

A.3cmB.2.5cmC.4cmD.6cm

【解答】解：•.,CO=，AC,AD+CD=AC，

3

AD+-AC=AC

3

/.AD=-AC,

3

AD=2cm，

AC=3cm,

丁点C是线段AB的中点，

/.AB=2AC=6cm，

故选：D.

【变式训练11点C是线段45上的三等分点，七是线段3C的中点，若CE=6,则/止的长

为()

A.18或36B.18或24C.24或36D.24或48

【解答】解：如图1,

.•点C是线段上的三等分点，

：.AB=3BC,

E是线段3c的中点，CE=6,

:.BC=2CE=12,

.•.AB=3xl2=36；

如图2,

•------••一♦

ACE8

图2

E是线段8C的中点，C£=6,

:.BC=2CE=n,

AC=6，

:点、C是线段AB匕的三等分点,

/.AB=3AC=\S,

则AB的长为18或36

故选：A.

1---------------------3r~^

图1

【变式训练2】点A、B、0在同一直线上，A3=l(kv”，AC=2cm，则8c=()

A.12cmB.8c〃?C.12cm或8。〃D.以上均不对

【解答】解：(1)点C在A、4中间时，

BC=AB-AC=\0-2=S(cm).

/C3

CAB

(2)点。在点A的左边时,

BC=AB+AC=10+2=12(<?/?7).

:.线段BC的长为⑵?〃或.

故选：C.

【变式训练3】在一条直线上顺次取人，B,。三点，使得A8=6,BC=3,若点。是线

段AC的中点，则线段3。的长为()

A.1B.2C.3D.1.5

【解答】解：如图,

•.AB=6,BC=3,

：.AC=AB+BC=9,

，,点O是线段AC的中点，

AD=-AC=4.5,

2

:.DB=AB-AD=1.5.

故选：O.

【例8】如图，已知线段A8=23,8c=15,点用是4c的中点.

(1)求线段4M的长；

(2)在C3上取一点N,使得CV:岫=1:2,求线段MV的长.

IIIII

AMCNB

【解答】解：(1)线段八8=23,4c=15,

/.AC=AB-BC=23-\5=8.

又.点M是AC的中点.

.-.4M=lAC=ix8=4,即线段AM的长度是4

22

(2)・.・8C=15,CN:NB=1:2,

/.C7V=-BC=-xl5=5.

33

又■.•点M是4c的中点，AC=8.

.\MC=-AC=4,

2

「.M?V=MC+NC=4+5=9,

UPMN的长度是9

【变式训练1】如图，C为线段犯上一点，点4为6的中点，且4)=9«〃，BD=2a〃.

(1)图中共有6条线段.

(2)求AC的长.

(3)若点E在直线4)上，且E4=3o〃，求砥的长.

ACBD

【解答】解：(1)以A为端点的线段为：AC，AB,4)：以C为端点的线段为：CB,CD；

以8为端点的线段为：BD；

共有3+2+1=6(条)；

故答案为：6

(2),,•点8为8的中点，BD=2cm.

/.CD=2BD=2x2=4(s),

:.AC=AD-CD=9-4=5(cm),

答：AC的长是5cm.

(3)AB=AC+BC=7cm，EA=3cm，

当点石在线段A。上时，

BE=AB-AE=7-3=4(cm),

当点E在线段DA的延长线上时，

BE=A8+AE=7+3=\0(cm),

答：AE的氏是4或lOcm.

角度的相关概念

/

(1)角是_由两条具有公共端点的射线「所组成的图形,两条射线的_公共端点「叫这

个角的顶点.

(2)角也可以看成是由一一条射线.绕着它的一端点旋转而成的.

\_

【例9】下列说法中正确的是()

A.由两条射线组成的图形叫做角

B.角的大小与角的两边长度有关

C.角的两边是两条射线

D.用放大镜看一个角，角的度数变大了

【解答】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误;

B、角的大小与角的两边上度无关，选项错误.

C、角的两边是两条射线，选项正确;

。、用放大镜看一个角，角的度数不变,选项错误;

故选：C.

【变式训练1】下列说法中正确的是（)

A.直线MN是平角B.所有锐角都相等

C.两个锐角的和一定是钝角D.两个钝角的和一定大于180。

【解答】解：A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误，不符合题意;

B、所有的锐角不一定都相等，如26和30%故本选项错误，不符合题意；

C、两个锐角的和不一定大于90。，例如15。和45。的和，故本选项错误，不符合题意；

D、两个钝角的和一定大于180。，故本选项正确，符合题意；

故选：D.

【变式训练2】下列说法中，正确的是（）

A.角的边是两条线段B.角的边是两条射线

C.两条射线组成的图形叫做角D.角的边越短，角越小

【解答】解：A、由于角的两边是射线，故选项错误；

角是由两条有公共端点的射线组成的图形，故选项正确；

C、两条有公共端点的射线组成的图形叫角，所以选项缙误；

。、由于角的两边是射线，根据角的度量知道角的大小与这个角的两边的长短无关，故选

项错误.

故选：B.

【变式训练3】下列说法中正确的有（）

①由两条射线所组成的图形叫做角；

②经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线;

③两个数比较大小，绝对值大的反而小；

④单项式和多项式都是整式.

A.I个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①两条端点重合的射线组成的图形叫做角，故①错误;

②经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线，故②正确：

③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故③错误：

④单项式和多项式都是整式，故④正确.

正确的有2个，

故选：B.

角度的度量

1°=_60*_.1,=_60"_.

(1)度、分、秒的换算是60进制.

⑵角度度数的换算有两种情况：

①把度化成度、分、秒的形式，即从高单位向低单位转化时，每级变化乘以60；

②把度、分、秒化成度的形式，即从低单位向高单位转化时，每级变化除以60.

【例10］若Na=512。，则Na用度、分、秒表示为(

A.5。12'B.50742*C.507'2"D.5。1（X2"

【解答】解：Za=5.12°=5°+0.12x60,=50+7,+0.2x60"=5°712^.

故选：B.

【变式训练1】若/。=42°24、〃=63。,则与"的和等于_57。421.

【解答】解：vZ^=15.3°=15o+0.3x60,=15018,,

/.Za+Z/?=42°24,+15°18,=57。42'.

故答案为：57°42,.

【变式训练2】己知/1=38。36,Z2=38.36°,Z3=38.6。，则下列说法正确的是（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3

C.Z1=Z3D.NLN2、N3互不相等

【解答】解：・,1。=60'，

.•.36'=0.6。，

.•.4=38。36'=38.6。,

•.N3=38.6。，

N1=N3,

故选：C.

【变式训练3】计算：60(]//=()

A.6'B.10fC.36D.60'

【解答】解：,・・i'=6(r,

.•.6oo"=i(y,

故选：B.

钟面角

/X

1.1周角=2平角=4直角.

2.钟表上一个大格是300.一个小格是6。，分针一分钟走过的角度是

时针一小时走过的角度是—30。—,一分钟走过的角度是—0.5。—.

\______________________________________________7

【例11】钟表9时30分时，时针与分针所成的角的度数为()

A.110°B.75°C.1050D.90°

【解答】解：由题意得：

3x3O0+-x3O0

2

=90°+15°

=105%

钟表9时30分时，时针与分针所成的角的度数为105。，

故选：C.

【变式训练1】2点半时，时针与分针所成的夹角为()

A.120°B.115°C.1103D.105°

【解答】解：由题意得：

3x30°+-x30°=105°,

2

：.2点半时,时针与分针所成的夹角为105°,

故选：D.

【变式训练2】上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是)

A.120°B.90°C.45D.30°

【解答】解：由题意得：

4x30°=120°.

二上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是120。，

故选：A.

【变式训练3】钟面上4点30分时，时针与分针所夹的锐角的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D,75°

【解答】解：由题意得：

30°+-x30°=45°,

2

钟面卜.4点30分时，射针与分针所夹的锐角的度数是：45。，

故选：B.

角的平分线

【例12】如图，0C是403的平分线，OD平分NAX,且NCOQ=30。，则4403=（

)

4D

C

OB

A.60°B.90°C.120。D.150°

【解答】解：♦.8平分NAOC，H.ZCOD=30°,

ZAOC=24coD=60°，

•••OC平分ZA西

:.ZAOB=2ZAOC=\2（T.

故选：C.

【变式训练1】如图，O是直线钻上的一点，过点O作射线OC,平分NAOC,0E平

分N8OC,若N8E=25。,则NZX用的度数为（）

A.115°B.50°C.65°D.130°

【解答】解：*OE平分ZBOC•ZCOE=25°,

ABOC=2ZCOE=2x25°=50°»

...ZAOC=180o-Z^OC=180o-50°=13（r,

・.•”）平分NAOC，

ZDOC=-Z4OC=-xl30°=65°,

22

;.NDOB=/DOC+Z5OC=65°45（^=115°.

故选：A.

【变式训练2】如图，点O在直线AB上，射线°。是的平分线，若NC〈M=401则

皿七的度数是（）

A.20°B.45°C.60°D.70°

【解答】解：由题意可知，

/COB与ZAOC互补，

NAOC=180。-40°=140°,

射线OD是NAOC的平分线,

/.ZDOC=-ZAOC=70°.

2

故选：D.

【变式训练3】如图，点°是直线°。上一点，以点°为端点在直线8上方作射线OA和射

线若射线OA平分/COB,NDOB=lly,则NA08的度数是（）

A.32°B.35°C.40°D.42°

【解答】解：根据题意可得，NCOB+ZDOB=18曾，

/.NC04=180°—ZZXM=1800-I100=70°,

・射线。4平分NCOA,

/.ZAOB=-NCOB=-x70°=35°，

22

故选：B.

角度的加减运算

【例13】如图，已知403=120。，OC是44O8内的一条射线，且ZAOC:ZBOC=1:2.

（1）求4OC的度数：

（2）过点O作射线OD,若ZAOD='ZAOB,求NC8的度数.

【解答】解：(1)•.ZAOC:ZBOC=1:2,ZAO8=120。,

,ZAOC=-ZAOB=-xl200=40°；

33

(2)•.•ZAOD=-ZAOB.

2

ZA8=60。，

当。。在NAO8内时，

Z.COD=ZAOD-ZAOC=20°,

当OD在NAO4外时，

Z.COD=ZAOC+ZAOD=100°.

故/COD的度数为20。或100。.

【变式训练I】如图所示，08是NAOC的平分线，8是NCOE的平分线.

(1)如果乙4。笈=50。，NDOE=35。,那么々8是多少度？

(2)如果NA。石=160。，NCOD=25°,那么NAOB是多少度？

【解答】解：(1)是NAOC的平分线，是NCO石的平分线，ZAOB=50°,

NDOE=35。,

.•.N8OC=NAO8=50°，NCOD=/DOE=35。,

/.ABOD=ABOC+Z.COD=50°+35°=85°；

(2)-O£)是NCOE的平分线，NCOD=25。,

ZCOE=24coD=2x25。=50。，

­.NAOE=1&)。,

ZAOC=ZAOE-ZCOE=I60°-50°=1IO9,

08是NAOC的平分线，

ZAOB=-ZAOC=-xllO0=55°.

22

多边形及其表示

多边形：由若干条—不在同一直线上—的线段，—首尾顺次相连—组成的封闭平面图

形.

【例14］如图所示的图形中，属于多边形的有()个.

D.6

【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个.

故选：A.

【变式训练1】下列说法正确的是（）

A.圆的一部分是扇形

B.一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫做扇形

C.三角形是最简单的多边形

D.由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形

【解答】解：A、扇形可以看成圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形，比如随便割一

刀下去，所造成的两部分很难会是扇形.故本选项错误；

8、扇形的概念是：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形，故本选项错误；

C、多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，故本选

项正确；

。、由不在同•直线匕的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，故本选

项错误；

故选：C.

【变式训练2】如图所示的图形中，属于多边形的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个.

故选：A.

【变式训练3】下列平面图形中，属于八边形的是（）

A.B.

【解答】解：A、是六边形，故此选项不符合题意：

是四边形，故此选项不符合题意；

C＞是八边形，故此选项符合题意；

。、是圆，故此选项不符合题意.

故选：C.

多边形的对角线

♦■■■■—■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■,,,■■■■♦■一—■,■r-TFF.一一-T-r-r-r-TF.一一TT-T-r-r-iFF...

多边形的对角线：多边形中连接一不相邻两个顶点一的线段.

------------------------------------------------------------------------------------------

【例15】过六边形的某一个顶点能画的对角线条数是（）

A.6B.5C.4D.3

【解答】解：由〃边形的一个顶点可以引（〃-3）条对■角线，

故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3,

故选：D.

【变式训练1】如图所示，从八边形ABCDEFG”的顶点A出发，最多可以作出的对角线条

数为（）

A.8B.7C.6D.5

【解答】解：从八边边形的一个顶点出发，最多可以引出该八边形的对角线的条数是8-3=5,

故选：D.

【变式训练2】十边形中过其中一个顶点有()条对角线.

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：♦.•从任意一个〃边形的一个顶点出发可得的对角线的条数为(〃-3)条，

十边形中过其中一个顶点有7条对角线.

故选：A.

【变式训练3】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多

边形的边数为()

A.7B.6C.5D.4

【解答】解：这个多边形的边数是4+2=6.

故选：B.

扇形的面积

1.扇形的圆心角的度数等于扇形占整个圆的比乘以360。，即扇形圆心角=所占的比

x360°.

2.求扇形面积的“两种方法”

(1)已知圆的半径为「及圆心角的度数为〃。，则扇形面积为黑.

(2)已知圆的半径为广及扇形所占的整个圆的百分比光p,则扇形面积为〃河

\______________7

【例16］如图，QO的半径为2,NAO8=90。，则图中阴影部分的面积为()

A.4乃B.24C.nD.-

2

【解答】解：•.=，OA=QB=2,

90•4x2?

.・鸟c形=360

故选：C.

【变式训练1】如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若A0=5,BO=2,NAQ力=120。,

则阴影部分面积为()

D.24

【解答】解：S阴影=S用形Ag-S扇形.

120^-x52120^x22

360360

21乃

=7万，

故选：B.

【变式训练2】半径为2的圆中，扇形AQ4的圆心角为&R则这个扇形的面积是_与_.

【解答】解：•.•扇形AO4的半径为2,圆心角为60°,

6()^x221.71

二扇形的面积为-------=——，

3603

故答案为：空.

3

【变式训练3】把一个圆分成甲、乙、丙三个塌形，这三个扇形的面积之比是3:4:5,则其

中最大扇形的圆心角的度数是_150。_.

【解答】解：由于三个扇形的面积之比是3:4:5,也就是三个扇形所对应的圆心角的度数比

是3:4:5，

所以最大扇形的圆心角的度数为360。x---=150%

3+4+5

故答案为：150。.

3

1.如图：点C是线段AB上的中点，点D在线段CB上，若AD=8,DB=-AD,则

4

CD的长为（）

•A-------C•~•D-------•B

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根据线段成比例求出DB的长度，即可得到AB的长度，再根据中点平分线段的长

度可得AC的长度，根据C0=AO-AC即可求出CD的长度.

3

【详解】VAD=8,DB=-AD

4

DB=6

，AB=AD+DB=M

•・•点C是线段AB上的中点

/.AC=-AB=1

2

：,CD=AD-AC=\

故答案为：D.

【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握成比例线段的性质、中点平分线段的长度是解题

的关键.

2.几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现

象中可以反映“线动成面''的是（）

A.笔尖在纸上移动划过的痕迹

B.长方形绕一边旋转一周形成的几何体

C.流星划过夜空留下的尾巴

D.汽车雨刷的转动扫过的区域

【答案】D

【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定.

【详解】解：A.笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是“点动成线”，故不符合题意：

B.长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是“面动成体”，故不符合题意；

C.流星划过夜空留下的尾巴，反映的是“点动成线”，故不符合题意：

D.汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是“线动成面”，故符合题意.

故选：D

【点睛】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，面

动成体是解决本题的关键.

3.下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（）

【分析】根据面动成体，判断出各个选项旋转得到的立体图，即可得出结论.

【详解】A.旋转一周可得本题的几何体，故选项正确，符合题意；

B.旋转一周为两个圆锥结合体，故选项错误，不符合题意；

C.旋转周为圆锥和圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；

D.旋转一周为两个圆锥和一个圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；

故选：A.

【点睛】此题考查了面动成体，解题的关键是要有空间想象能力，熟悉并判断出旋转后的立

体图形.

4.如图，0为我国南海某人造海岛，某国商船在人的位置，Zl=40°,商船在海岛的（）

北

A.北偏西50。方向B.东偏南40。方向

C.北偏西40。方向D.南偏东40。方向

【答案】D

【分析】利用方位角先南北，后西东判断即可

【详解】因为Nl=4（）。

所以点4在O的南偏东40。方向

故选：D

【点睛】本题考查了方位用，熟练掌握是解题的关键.

5.用一个平面去截如图所示的立体图形，可以得到三角形截面的立体图形有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】根据截面与几何体的三个面相交，可得截面是三角形.

【详解】解：用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有：圆锥，长方

体，三棱柱，

故选：B.

【点睛】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和

方向有关.对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的

思想方法.

6.数学源于生活，并用于生活，要把一根木条固定在墙上至少需要钉两颗钉子，其中的数

学原理是（）

A.过一点有无数条直线B.线段中点的定义

C.两点之间线段最短D.两点确定一条直线

【答案】D

【分析】根据直线的公理，可得答案.

【详解】解：要把一根木条固定在墙上至少需要钉两颗钉子，其中的数学原理是两点确定一

条直线.

故选：D.

【点睛】本题考查了直线的公理，熟记直线的公理是解题关键.

7.如图所示，正方体的展开图为（）

【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可；

【详解】A中展开图正确；

B中对号面和等号面是对面，与题意不符；

C中对号的方向不正确，故不正确；

D中三个符号的方位不相符，故不正确；

故答案选A.

【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键.

8.下列几何体中，圆柱体是（）

【答案】C

【分析】根据圆柱体的定义，逐一判断选项，即可.

【详解】解：A.是圆锥，不符合题意；

B.是圆台，不符合题意；

C.是圆柱，符合题意；

D.是棱台，不符合题意，

故选C.

【点睛】本题主要考查几何体的认识，掌握圆锥、圆柱、圆台、棱台的定义，是解题的关键.

二、填空题

9.正方体有个顶点，经过每个顶点有条棱，这些棱都;

【答案】83相等

【分析】根据正方体的概念和特性即可解答.

【详解】正方体属于四棱柱.有4x2=8个顶点.经过每个顶点有3条棱，这些棱都相等.

故答案为：8,3,相等.

【点睛】本题主要考查正方体的构造特征，熟知正方体的特征是解题的关键.

10.一个长方体包装盒展开后如图所示(单位：cm),则其容积为cm3.

【答案】60(M)

【分析】根据题意分别求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可求解.

【详解】解：由题意可得，该长方体的高为：42-32=10(cm),宽为：32-10=20(cm),

长为：(70-10)《2=30(cm),

故其容积为：30x20x10=6000(cm3),

故答案为：6000.

【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高.

11.将一个所有的面都涂上漆的正方体（如图所示）切开，使之成为27个大小相同的小正

方体，那么只有两面涂漆的小正方体有.

【答案】12

【分析】如图所示，只有两面涂漆的小正方体，是在正方体的棱上，且在中间的小正方体,

每条棱上有一个，正方体有12条棱，因此得解.

【详解】解：一个正方