人教版中学七年级数学下册期末解答题难题(含答案)

人教版中学七年级数学下册期末解答题难题（含答案）

一、解答题

1.如图，在9x9网格中，每个小正方形的边长均为1,正方形A4CO的顶点都在网格的格

点上.

（1）求正方形A8CO的面积和边长；

（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标.

2.喜欢探究的亮亮同学拿出形状分别是长方形和正方形的两块纸片，其中长方形纸片的长

为3dm,宽为2dm,且两块纸片面积相等.

（1）亮亮想知道正方形纸片的边长，请你帮他求出正方形纸片的边长；（结果保留根号）

（2）在长方形纸片上截出两个完整的正方形纸片，面积分别为25/和3dmh亮亮认为两

个正方形纸片的面积之和小于长方形纸片的总面积，所以一定能截出符合要求的正方形纸

片来，你同意亮亮的见解吗？为什么？（参考数据：V2-1.4I4,75«1.732）

3.有一块面积为100cm2的正方形纸片.

（1）该正方形纸片的边长为cm（直接写出结果）；

（2）小丽想沿着该纸片边的方向裁剪出一块面积为90c”2的长方形纸片，使它的长宽之比

为4：3.小丽能用这块纸片裁剪出符合要求的纸片吗？

4.如图，用两个边长为10后的小正方形拼成一个大的正方形.

⑴求大正方形的边长？

⑵若沿此大正方形边的方向出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3:2,且面

积为480cm2?

5.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长

方形纸片.

⑴请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；

⑵若使长方形的长宽之比为32小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽

设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.

二、解答题

6.已知，AE//BD,ZA=Z£).

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,作N8AE的平分线交。。于点b，点G为AB上一点，连接尸G,若NCFG的

平分线交线段AG于点”，连接AC,若NACE=NB4C+NBGW,过点”作交

FG的延长线于点A7,1.3ZE-5ZAF//-180,求NE4尸+的度数.

(1)求证：ZABF+ZDCF=NBFC；

(2)连接BE、CE、BC,若8E平分N4BC,B£_LCE,求证：CE平分N8C。：

(3)在(2)的条件下，G为EF上一点，连接BG,若，BFC=/BCF,NFBG=2NECF,

ZC8G=70°,求NFBE的度数.

Si®图3

8.已知，如图1,射线Pf分别与直线4B,CD相交于£、F两点，NPF。的平分线与直线

4B相交于点M,射线PM交CD于点N,设NPFM=a。，ZEMF=6°,且(40-2a)24-|0

-20|=0

(1)a=,6=；直线AB与C。的位置关系是：

(2)如图2,若点G、片分别在射线和线段MF上，且NMGH=NPNF,试找出NFMN

与NGHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3）,分别与48、CO相交于

点Ml和点ML时，作NPM18的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中

慧工的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

9.已知：直线4811CD,M,N分别在直线48,C。上，H为平面内一点，连HM,HN.

（1）如图1,延长H/V至G,N8MH和NGN。的角平分线相交于点E.求证：2ZMEN-

ZMHN=180°；

（2）如图2,NBMH和NHN。的角平分线相交于点E.

①请直接写出/MEN与NMHN的数量关系：；

②作MP平分/AMH,/VQIIMP交ME的延长线于点Q,若/H=140。，求/ENQ的度

数.（可直接运用①中的结论）

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合恃推

理的基础.

已知：AMIICN,点8为立面内一点，A8_L8c于8.

问题解决：（1）如图1,直接写出NA和NC之间的数量关系；

（2）如图2,过点8作8D_LAM于点。，求证：N48D=NC；

（3）如图3,在（2）问的条件下，点£、F在上，连接8£、BF、CF,8F平分NDBC,

8E平分NABD,若/FCB+ZA/CF=180°,ZBFC=3ZDBE,则/EBC=_.

11.如图，以直角三角形AOC的直角顶点。为原点，以OC、所在直线为x轴和丁轴

建立平面直角坐标系，点4（0，。），。（立0）满足血一处+R—2|=0.

(1)C点的坐标为;A点的坐标为.

(2)如图1,已知坐标轴上有两动点尸、。同时出发，尸点从C点出发沿“轴负方向以1

个单位长度每秒的速度匀速移动，。点从。点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方

向移动，点。到达A点整个运动随之结束.AC的中点。的坐标是(1,2),设运动时间为

问：是否存在这样的，使Sgp=S。"？若存在，请求出/的值：若不存在，请

说明理由.

(3)如图2,过。作OG//AC',作=交4c于点/，点E是线段。4上一动

点，连CE交3于点，，当点£在线段上运动的过程中，生察学至的值是否会

发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由.

12.如图1,由线段组成的图形像英文字母M,称为““形曲MCO”.

V

.W

8D

图1

(1)如图1,M形8AMCO中，若A8〃CZ),ZA+NC=50。，则NM=；

(2)如图2,连接M形朋MC。中优力两点，若/B+4)=150o,N4MC=a,试探求乙4

与NC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，且AC的延长线与3。的延长线有交点，当点M在线段

8。的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出乙4与NC所有可能的数量关系.

13.如图，己知A8//CD0是直线A8,8间的一点，PF工CD于点、凡PE交AB于点、

E,ZFPE=\20°.

（1）求NA£P的度数；

（2）如图2,射线PN从/^出发，以每秒40。的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂

直A8时，立刻按原速返回至P尸后停止运动：射线从£4出发，以每秒15。的速度绕E

点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN,射线同时开始运动，设运动诃为

t秒.

①当NMEP=20。时，求NEPN的度数；

②当EMHPNK，求t的值.

14.（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是

通过折纸做的，过程如（图1）.

图2图3

①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线仇使直线b经过点P,且初历，要求俣留

折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果.无需写画法：

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的_线.

（2）已知，如图3,AB//CD,BE平分乙ABC,CF平分N8CO.求证：BE//CF（写出每

步的依据）.

15.如图1,ABUCD,在A3、。。内有一条折线£7小.

（1）求证：ZAEP+NCFP=/EPF；

（2）在图2中，画々"的平分线与/力”的平分线，两条角平分线交于点。，请你补全

图形，试探索NEQ/与/£7不之间的关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件卜，已知NAEP和/。尸P均为钝角，点G在直线48、之间，且满

足NBEG=L/BEP,NDFG=L/DFP,(其中〃为常数且〃〉1),直接写出NEG〃与

nn

NEPb的数量关系.

四、解答题

16.如图，在.A5C中，AO是高，AE是角平分线，N3=20。，ZC=60°.

(1)求NCW、4EC和NE4O的度数.

(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当N8=3。。，ZC=60°,则

ZEAD=__________

当"=50°,NC=60。时，则ZE4£>=

当N8=60。，NC=60°时，则44D=

当N8=70。，NC=60°时，MAEAD=

(3)若DA和/C的度数改为用字母a和夕来表示，你能找到NE4O与。和夕之间的关系

吗？请直接写出你发现的结论.

17.如果三角形的两个内角。与夕满足2a+/7=90。，那么我们称这样的三角形是“准互余

三角形〃.

图1图2

(1)如图1,在RZA8C中，ZACB=90°,30是-A3c的角平分线，求证：△AB。是

“准互余三角形〃；

(2)关于“准互余三角形〃，有下列说法；

①在4ABe中，若NA=100。，NB=70。，ZC=10°,则A/WC是“准互余三角形”：

②若八8c是“准互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,则NB=20。；

③“准互余三角形”一定是钝角三角形.

其中正确的结论是(填写所有正确说法的序号)；

(3)如图2,B,。为直线/上两点，点A在直线/外，且NABC=50。.若。是直线/上一

点，且△ABP是“准互余三角形〃，请直接写出NA尸8的度数.

18.如图1,已知4811c0,8E平分/A8。，。£平分N8DC.

(1)求证：ZBED=90°：

(2)如图2,延长交CD于点H,点F为线段上一动点，ZEDF=a,NABF的角平

分线与NCDF的角平分线DG交于点G,试用含a的式子表示NBGD的大小；

(3)如图3,延长BE交CD于点H,点F为线段EH上一动点,NEBM的角平分线与

NFD/V的角平分线交于点G,探究N8GD与/8FD之间的数显关系，请直接写出结

论：.

小亮：已知，如图三角形A8C,点。是三角形ABC内一点，连接80,CD,试探究

N3OC与NA,Zl,Z2之间的关系.

小明：可以用三角形内角和定理去解决.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

(1)请你在横线上补全小明的探究过程：

•//BDC+/DBC+NBCD=1期,()

/BDC=180。-4DBC-/BCD,(等式性质)

,/ZA+N1+N2+NOBC+N68=180°,

ZA+Zl+Z2=180°-ZD/3C-ZBCD,

/.ZBDC=ZA+Z1+Z2.()

(2)请你按照小丽的思路完成探究过程；

(3)利用探究的结果，解决下列问题：

①如图①，在凹四边形ABC。中，ZBDC=135°,Z^=ZC=25°,求NA=：

②如图②，在凹四边形八8C。中，NAHO与NAC。的角平分线交于点E,2=60。，

Z£?ZX?=140°,贝ijNE=；

③如图③，ZABD,4c。的十等分线相交于点、片、尸2...与，若NBDC=120。,

NB尸3c=64。,则N4的度数为；

④如图④，NBAC,N8DC的角平分线交于点E,则可，NC与NE之间的数量关系是

⑤如图⑤，ZABD,"AC的角平分线交于点七，ZC=40°,N8DC=140°,求NAE8的

度数.

A

20.已知，AB!/CD,点E为射线FG上一点.

(1)如图1,写出/七4尸、ZAED、NEDG之间的数量关系并证明：

(2)如图2,当点E在PG延长线上时，求证：ZEAf=ZAED+ZEDG；

(3)如图3,外平分NBAE,Q/交A/于点/，交.AE于点、K,且ZED/：ZCD/=2:1,

ZA瓦＞=20。，Z/=30°,求NEK。的度数.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)面积为29,边长为；(2),,,,图见解析.

【分析】

(1)面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求

得边长即可；

(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标

解析：(1)面积为29,边长为炳；(2)A((),5),3(2,0),C(7,2),D(5,7),图见解

析.

【分析】

(1)面积等于一个7x7大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根

定义求得边长即可；

(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可.

【详解】

解：(1)正方形的面积s正方开M叱。=7?-4x；x2x5=29,

正方形边长为直=回；

(2)建立如图平面直角坐标系，

则A(0,5),8(2,0),C(7,2),0(5,7).

【点睛】

本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面枳，从图形中整理出直角三角形

是进一步解题的关键.

2.（1）；（2）不同意，理由见解析

【分析】

（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的

意义即可求出x的值；

（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个

解析：（1）如m；（2）不同意，理由见解析

【分析】

（1）设正方形边长为Mim,根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义

即可求出X的值；

（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个正方形边长的和，并

与3比较即可解答.

【详解】

解：（1）设正方形边长为xdm,则f=2x3,由算术平方根的意义可知x=#，

所以正方形的边长是6dm.

（2）不同意.

因为：两个小正方形的面积分别为2dm2和3dm2,则它们的边长分别为&dm和

x/3dm.互+$3.1，即两个正方形边长的和约为3.1dm,

所以3.1>3,即两个正方形边长的和大于长方形的反，

所以不能在长方形纸片上截出两个完整的面积分别为2di12和3dm2的正方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是读懂题意并熟知算术平方根的概念.

3.（1）10；（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【分析】

（1）根据算术平方根的定义直接得出；

（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案.

【详解】

解：（1）根据算

解析：（1）10；（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【分析】

（1）根据算术平方根的定义直接得出；

（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案.

【详解】

解：（1）根据算术平方根定义可得，该正方形纸片的边K为10“〃；

故答案为：10;

（2）•.•长方形纸片的长宽之比为4：3,

・••设长方形纸片的长为4xcm,则宽为3xcm,

则4x・3x=90,

/.12x2=90,

,30

J.x2=——,

4

解得：x=画或x=•画（负值不符合题意，舍去），

22

「•长方形纸片的长为2而cm,

,/5<V30<6,

10V2质，

••・小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根.解题的关键是掌握算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫

这个数的算术平方根：0的算术平方根为0.也考查了估算无埋数的大小.

4.（1）大正方形的边长是；（2）不能

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

（1）大正方形的边长是

（2）设长方形纸

解析：（1）大正方形的边长是10而；（2）不能

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

（1）大正方形的边长是10而

（2）设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm.

则3x<2x=480,

解得：x=7so

因为3厢>106，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸

片的长宽之比为2：3,且面积为480cm2.

【点睛】

本题考查算术平方根，解题的关键是能根据题意列出算式.

5.（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段

作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即

可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

/.a2=400

又<a>0

a=20

又•••要裁出的长方形面积为300cm2

・•・若以原正方形纸片的边长为长方形的长，

则长方形的宽为:3004-20=15（cm）

・•・可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符

介要求的长方形

（2）,••长方形纸片的长宽之比为3：2

二设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm

/.6x2=300

x2=50

Xvx>0

：.x=5五

•••长方形纸片的长为150

又「（15&『=450>2。2

即：15a>20

・•・小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片

二、解答题

6.（1）见解析；⑵

【分析】

（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即

可得证；

（2）过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得

出，再根据平角的

解析：（1）见解析；（2）72°

【分析】

（1）根据平行线的性质得出乙4+4=180°,再根据等量代换可得N3+NO=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

（2）过点、E作收//CD,延长DC至Q,过点M作根据平行线的性质及等量

代换可得出NECQ=N8GM=NO/G,再根据平角的含义得出/反F=NCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出N8"F=NCF",/CE4=NE4B；设

/FAB=a2CFH=0,根据角的和差可得出NA£C=2NAF”，结合已知条件

3NAEC-5NA尸”=180。可求得NAFH=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

（1）证明：-,AE//I3D

.•.Z4+ZB=180°

vZA=ZD

ZB+ZD=180°

AB//CD；

（2）过点E作EP//CD,延长OC至Q,过点M作MV〃然

;ABI/CD

ZQCA=ZCABf/BGM=/DFG,NCFH=/BHF,ACFA=FAG

ZACE=4AC+4BGM

ZECQ+ZQCA=ZBAC+乙BGM

：.ZECQ=乙BGM=ZDFG

•/ZECQ+ECD=180°,Z.DFG+CFG=180°

ZECF=ZCFG

-AB//CD

：.ABHEP

NPEA=NE4B,NPEC=NECF

ZAEC=ZPEC-ZPEA

:.ZAEC=NECF—NEAB

:.NECF=ZAEC+/EAB

4F平分ZftAE

ZEAF=ZFAB=-ZEAB

2

・•FH平分4CFG

ZCFH=ZHFG=-ZCFG

2

QCD//AB

NBHF=4CFH/CFA=NFAB

玻乙FAB=a、乙CFH=/3

•・・ZAFH=ZCF/7-ZCFA=ZCF/7-ZFAB

:"AFH=0-a,4BHF=4CFH=。

ZECF+2ZAFH=ZAEC+NEAB+2/AFH=ZAEC+2fl

NECF+2ZAFH=ZE+24BHF

ZAEC=2ZAFH

3ZAEC-5Z4AH=180°

.-.ZA/7/=l8°

FHLHM

：.ZFHM=90°

:"GHM=90。-0

•••NCBW+ZMW/=180。

/HMB=4HMN=900-p

-ZEAF=ZFAB

NEAF=ZCFA=4CFH-AAFH=/7-18°

ZE4F+NGMH=#-18°+90。一尸=72。

/.ZE4F+ZGMH=72°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

7.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)ZFBE=35。.

【分析】

（1）根据平行线的性质得出NABF=NBFE,ZDCF=ZEFC,进而解答即可;

（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）NFBE=35。.

【分析】

（1）根据平行线的性质得出N4BF=/8FE,NOCF=NFFC,进而解答即可；

（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；

（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可.

【详解】

证明：（1）,「4811CD,EFWCD,

A8IIEF,

...ZABF=Z.BFE,

,/EFWCD,

：.ZDCF=Z.EFC,

：.Z8FC=NBFE+NEFC=£ABF+/DCF；

（2）BEA.EC,

：.ZBEC=9Q°,

ZE8C+NBCE=90°f

由（1）可得：ZBFC=^ABE+AECD=9Q°,

ZA8E+NECD=4EBC+ABCE,

..BE平分/ABCt

ZABE=Z.EBC,

：.ZECD=ZBCE,

C£平分NBCD；

（3）设N8CE=B，ZECF=v，

3平分/BCD,

ZDCE=N8CE=。，

/.ZDCF=4DCE-ZECF=B-V，

ZEFC=P-Y，

ZBFC=ZBCF,

Z8FC=N8CE+N£CF=y+B，

ZABF=ABFE=2y,

ZF8G=2NECF,

/.ZFBG=2v，

ZA8E+NDCE=2BEC=90°,

Z/ABE=90°-p,

/.ZGBE=NABE-ZABF-ZFBG=90°-p-2y-2y»

•/8E平分/ABC,

NC8E=NA8£=90°-B，

ZCBG=ACBE+ZGBE,

70°=90°-P+900-P-2y-2y,

整理得:2Y+P=55°>

ZFBE=Z.FBG+NGBE=2y+90°-p-2y-2y=90°-(2y+3)=35°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答.

8.(1)20,20,；(2)；(3)的值不变，

【分析】

(1)根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；

(2)先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；

(3)作的平分线交的延长线于

4FPN

解析：(1)20,20,AB//CD；(2)NFMN+NGHF=180。；(3).0’的值不变,

/FPN」

NQ

【分析】

(1)根据(40-202+|夕-20|=0,即可计算。和£的值,再根据内错角相等可证A8//CO；

(2)先根据内错角相等记G/7//PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

(3)作NPEM的平分线交M。的延长线于R，先根据同位角相等证以〃世，得

NFQMi=/R,设NPER=/REB=x,/PM】R==y,得出/9昭=2/7?,即可

NFPN\

得=2.

【详解】

解：（1）（40-2。尸+|/-20|=0,

40-2a=0,/-20=。,

:.a=/3=20,

"FM=ZMFN=20°,ZEMF=20°,

/./EMF=„7V,

/.AI3//CD；

故答案为：20、20,ABI/CDx

（2）NFMN+NGHF=18（『；

理由：由（1）得A3//C。，

=NPME,

ZMGH=AMNF,

；2PME=/MGH,

:.GH//PN,

:/GHM=/FMN,

Z.GHF+NGHM=180°,

:"FMN+NGHF=180。；

、ZFPN\八,“丁"NFPMc

（3）/Q的值不变,/Q=2；

理由：如图3中，作NPEM1的平分线交M|Q的延长线干R,

•.AB//CD,

NPEML4PFN,

ZPER=L/PEM\,ZPFO=-ZPFN,

2,-2

/PER=/PFQ,

:.ER/!FQ,

图3

/./FQM、=4R,

设NPER=NREB=x,NPM】R=NRA^B=y,

一(y=x+ZR

则有：.r/UDKA，

2y=2x+N"M

可得/EPM=24?,

:.NEPM\=24FQM\,

.N"M二2

"NFQM•

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

9.（1）见解析；（2）①2NMEN+NMHN=360。；@20°

【分析】

（1）过点E作EPIIAB交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻

补角和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等即

解析：（1）见解析；（2）①2NME/V+NMHN=360。；②20。

【分析】

（1）过点E作EPIIA8交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为

180。，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证.

（2）①过点H作G/II46,利用（1）中结论2/MH/V=180°,利用平行线的性

质、向平分线性质、邻补用和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等得出NAM片十

ZHNC=360°-(Z8MH+NHND),进而用等量代换得出2/MEN+NMHN=360°.

②过点H作HTWMP,由①的结论得2ZMEN+NMHN=360°,ZH=140\ZMEN=

110。.利用平行线性质得NENQ+NENH+NNHT=180。，由角平分线性质及邻补角可得

NENQ+NENH+140。-J(180°-ZBMH)=180。.继续使用等量代换可得NENQ度数.

【详解】

解：(1)证明：过点E作EPII28交MH于点Q.如答图1

EPWAB且ME平分NBMH,

ZMEQ=N8ME=^NBMH.

「EPWAB,ABWCD,

EPWCD,又NE平分NGND,

：.4QEN=，DNE=；4GND.（两直线平行，内错角柱等）

I.NMEN=NMEQ+/QEN=g/BMH+；，GND=；（NBMH+NGND）.

/.2ZMEN=NBMH+NGND.

,/ZGND+Z.DNH=180°,ZDNH+乙MHN=NMON=ZBMH.

ZDHN=NBMH-ZMHN.

ZGND+NBMH-ZMHN=180°,

UP2ZMEN-ZMHN=180°.

答图2

由（1）可得JBMH+NHND）,

由图可知NMHN=NMHI+NNHL

•/G/llAB,

/.ZAMH=NMHI=180°-ZBMH,

'/G/llAB,ABWCD,

G/llCD.

ZHNC=NNHI=130°-ZHND.

ZAMH+NH/VC=1800-Z8MH+180°-ZHND=360°-（ZBMH+NHND）.

文:ZAMH+NHNC=£MHI+NNHI=ZMHN,

ZBMH+NHND=360°-ZMHN.

即2/MEN+NMHN=360°.

故答案为：2/MEN+/MHN=360°.

②：由①的结论得2ZMEN+NMHN=360°,

,/ZH=NMHN=140°,

2ZMEN=360°-140°=220°.

ZMEN=110°.

过点H作HTIIMP.如答图2

,/MPIINQ,

/.HTWNQ.

.•・/E/VQ+NENH+NNHT=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

,/MP平分NAMH,

：.ZPMH=ZAMH=（180u-ZBMH）.

22

ZNHT=4MHN-ZMHT=1AO°-ZPMH.

ZENQ+NENH+140。-（180°-ZBMH）=180°.

ZENH=^NHND.

：.ZENQ+g/HNO+140。-90。+8MH=180。.

NE/VQ+g（HND+NBMH）=130°.

ZE/VQ+^ZMEN=130°.

NE/VQ=130°-110°=20°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运

算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强.

10.（1）；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即口、求解.

（2）过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质

解析：（1）ZA+ZC=90°：（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点8作8GliDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用。）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：(1)如图1,设AM与8c交于点OJFMIICN,

ZC=ZAOB,

■：AB.LBC,

/48C=90°,

ZA+N408=90°,

NA+NC=90。，

故答案为：ZA+zC=90°：

(2)证明：如图2,过点8作8GII0M,

BD±AM,

：.08J_8G,

/.Z08G=90°,

「./48D+/A8G=90°,

•/AB±BC,

「.NC8G+NA8G=90。，

ZABD=Z.C8G,

AMWCN,

ZC=ZCBG,

：.ZA80=NC：

(3)如图3,过点8作8GliDM,

图3

:8F平分N08C,8£平分N48。，

NDBF=NCBF,ZDBE=ZABE,

由(2)知/ABD=ZCBG.

NABF=Z.GBF,

设NOBE=a,^ABF=6,

贝ijNA8E=a,ZABD=2a=^CBG,

ZG8F=NAFB=6,

ZBFC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6,

ZAFC+NNCF=180°,/FCB+NA/CF=180°,

/FCB=NAFC=3cr+6,

△8CF中，由/C8F+NBFC+N8CF=180°得：2a+6+3a+3cr+6=180°,

•「AB±BC,

厂.6+6+2a=90°,

a=15°,

：.AABE=15°,

：.ZEBC=ZABE+AA8C=150+90°=105°.

故答案为：105。.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

三、解答题

11.(1),;(2)1：(3)不变，值为2

【分析】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a,b的值，再利用中点坐标公

式即可得出答案；

(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-

解析：⑴C(2,0),A(0,4)；(2)1；(3)不变，值为2

【分析】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出

答案；

(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,42=4-23再根据％OM=SAODQ,列出关于t的方程,

求得t的值即可；

(3)过H点作AC的平行线，交x轴于P,先判定0GII4C,再根据角的和差关系以及平行

线的性质，得出NPHO=NGOF=N1+Z2,

ZOHC=ZOHP+ZPHC=ZGOF+N4=Z1+Z2+Z4,最后代入+乙式上进行计算即可.

NOEC

【详解】

解：(1)J"2%+|b-2|=O,

/.a-2b=0,b-2=0,解得。=4,b=2,

.,.4(0,4),C(2,0).

(2)存在，理由：如图1中，。(1,2),

图1

由条件可知：P点从C点运动到。点时间为2秒，Q点从。点运动到A点时间为2秒:

―2时,点Q在线段4。上，即CP=t,0P=2-t,0Q=2t,4Q=4-2t,

SADOP=^•OP*yo=^(2-t)x2=2-t,SADOQ=^*OQ*XD=x2txl=f,

•SAOD^SAODQf

2-0,

/.t=l.

(3)结论：0嚓W”的值不变，其值为2.理由如下：如图2中，

Z.OEC

图2

•••Z2+Z3=90°,又＜Z1=Z2,Z3=ZFCO,

ZGOC+ZACO=180°,

/.OGWAC,

：.Z1=ZCAO,

：.ZOEC=NC40+Z4=Z1-Z4,

如图，过丹点作八c的平行线，交x轴于P，则N4-NP〃C,PHWOG,

：.ZPHOMGOF=/1+Z2,

ZOHC=ZOHP+NPHIGOF+N4=Z1+Z2+Z4,

.4)HC+Z4CE_N1+/2+/4+/4_2

"~ZOEC-Z1+Z4-•

【点睛】

本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题.

12.(1)50°；(2)ZA+ZC=30°+a,理由见解析；(3)NANDCM=3(T+cx或

30°-a

【分析】

（1）过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长BA,DC交于E,

解析：（1）50°；（2）NA+NC=30°+a,理由见解析；（3）N4/DCM=30°+a或30”

【分析】

（1）过M作MNII48,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长84DC交于E,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

（3）分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：（1）过M作MNIIAB,

VM

BD

图1

•「ABIICD,

/MBIIMNWCD,

Z1=ZA,Z2=ZC,

ZAMC=Z.1+Z2=ZA+NC=50°；

故答案为：50。；

（2）ZA+NC=300+a,

延长B4OC交于£,

EA9»

•••Z8+N0=150°,

ZE=30。，

ZBAM+A0cM=360°-(ZEAM+AECM)=360°-(360°-/E-ZM)=30°+a；

即NA+ZC=30°+a：

（3）①如下图所示:

延长84、DC使之相交于点E,延长MC与84的延长线用交于点F,

•/ZB+Z0=150°,ZAMC=a,/.ZE=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

：.Z1=30°+/3+a

/.Z1-Z3=30°+a

即：ZA-Z.C=30°+a.

②如图所示,215/4=(180°-ZDCM)+a,即N4-NDCM=30°-a.

综上所述，ZA-Z.DCM=30°+a或30°-a.

【点睛】

本题考查了平行线的性质,解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川48,利用平行

线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得NM的度数.

13.（1）；（2）①或；②秒或或秒

【分析】

（1）通过延长作辅助线，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算

得到结果；

（2）①当时，分两种情况，I当在和之间，n当在和之间，由，计算出的运

动时间

解析：（1）30。；（2）①手或半；②9秒或附或3秒

【分析】

(1)通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得至|JNPGE=9O。，再根据外角的性质

可计算得到结果；

(2)①当NM£P=20。时，分两种情况，I当ME在AE和EP之间，II当ME在砂和石8

之间，由NMEP=20。，计算出EM的运动时间/,根据运动时间可计算出NF/W,由已知

/FPE=l2()°可计算出/EPN的度数；

②根据题意可知，当时，分三种情况，

I射线PN由“逆时针转动，EM/1PN,根据题意可知ZA£M=15/。，/FPN=40t。,正平

行线的性质可得乙曲=再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结

论；

II射线PN垂直A3时，再顺时针向尸产运动时，EM//PN,根据题意可知，N4EW=15产，

MEHPN,ZGHP=\5t°,可计算射线PN的转动度数180。+90。-15产，再根据PN转动可列

等量关系，即可求出答案；

ID射线PN垂直A8时，再顺时针向P/运动时，EMHPN,根据题意可知，ZAEM=15r°,

9

ZGPA^=40(/--)0,根据(1)中结论，ZPEG=30°,ZPGE=60,可计算出与

NEPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论.

【详解】

解：(1)延长尸P与/W相交于点G,

如图1,

•.PFLCD,

ZPFD=ZPGE=9QP,

/EPF=NPGE+ZAEP,

ZAEP=NEPF-NPGE=\邓一骄=30°：

图1

(2)①I如图2,

Z4EP=30°,ZMEP=20°,

:.ZAEM=\0°,

in7

•,・射线ME运动的时间，=三=((秒),

9Qf)O

「•射线PN旋转的角度4FPN=-x400=—,

J

又ZEPF=120°,

280°

NEPN=/EPF-/EPN=12(F----

33

GEB

n如图3所示，

­.ZAEP=30°,/MEP=20°,

.-.ZA£M=50°,

・•・射线ME运动的时间l=*号（秒）,

104000

••・射线尸N旋转的角度/mv=gx40o=丁，

又Z£PF=120°,

4（）0040°

4EPN=4FPN-4EPF=E--120°=—；

33

图3

@I当尸N由P尸运动如图4时EM///W,

PN与AB相交于点〃，

根据题意可知，经过，秒，

ZAEM=\5t0,N"N=40r,

EMf/PN,

:.ZAEM=ZAHP=\5tQ,

又4FPN=/PGH+ZPHA,

.",4Or=9O°+15f°,

1Q

解得，=?（秒）；

J

N

图4

n当尸N运动到PG,再由PG运动到如图5时加〃川,

PN与A2相交于点〃，

根据题意可知，经过/秒，

ZAO7=15/°,

EM//PN,

NGHP=I5ZO,Z.GPH=9Cr-l5/°,

二.PN运动的度数可得，IS00+NG/W=40r。，

图5

m当PN由尸G运动如图6时，EM//PN,

根据题意可知，经过，秒，

ZAEM=15/°,ZGPN=40t-\S（r,

•.ZAEP=30°,NEPG=60°,

.•.ZPZJV/=15ZO-30°,Z£P^=240°-40z,

又EM//PN,

.•.NQEW+N£PN=180°,

.•.15/o-30°+40/-240o=180°,

解得，若（秒），

185490

当/的值为三秒或三或/秒时，EM//PN.

GEB

图6

【点睛】

本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关

键.

14.（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂

直，从而得到直线；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线.

（2）先根据

解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过。点折纸，使痕迹垂直直线”，然后过尸点扑纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而

得到直线/八

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点尸的直线〃的垂线.

（2）先根据平行线的性质得到再利用角平分线的定义得到/2=/3,

然后根据平行线的判定得到结论.

【详解】

故答案为垂；

（2）证明：跳:平分48C,CF平分NBCD（己知），

=N3=N3（角平分线的定义），

-AB//CD（已知），

；.ZABC=NBCD（两直线平行，内错角相等），

「.2/2=2/3（等量代换），

/.Z2=Z3（等式性质），

:.BE//CF（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】

本题考查了作图一亚杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合

了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关健是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的性质与

判定.

15.（1）见解析：（2）：见解析：（3）

【分析】

（1）过点作，根据平行线性质可得；

（2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得；

（3）由（2）结论可得：.

【详解】

（1）证明：如图1，过

解析；（1）见解析；⑵NEPF—NEQFh3600；见解析；（3）

ZEPF+/?ZEGF=360°

【分析】

（1）过点尸作PG//A/3,根据平行线性质可得；

（2）由（1）结论可得：NEPF=ZAEP+NCFP,ZEQF=ZBEQ+ZDFQ,再根据角平

分线性质可得NEQF=NBEQ+NDFQ=1（360°-ZEPF）；

⑶由（2）结论可得：ZEGF=ZBEG+ZDFG=i（ZBEP+ZDFP）=1（360°-ZEPF）.

【详解】

（1）证明：如图1,过点P作PG//A8,

,/AB//CD,

：.PG//CD,

•.ZAEP