人教版七年级数学下册期末解答题培优试卷(附答案)

人教版七年级数学下册期末解答题培优试卷（附答案）

一、解答题

1.（1）如图1,分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成

一个大正方形，则大正方形的边长为cm；

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2nm"设圆的周长为。.正方形的周长

为CE，则G为〔填或或">"）

（3）如图2,若正方形的面积为900cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面

积为740cm2的长方形纸片.使它的长和宽之比为5:4,他能裁出吗？请说明理由？

2.如图，用两个面积为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形.

（1）大正方形的边长是cm；

（2）请你探究是否能将此大正方形纸片沿着边的方向裁出一个面积为14cm2的长方形纸

片，使它的长宽之比为2:1,若能，求出这个长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理

由.

3.如图，用两个面积为2（X）0/的小正方形拼成一个大的正方形.

（1）则大正方形的边长是；

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为

5：4,且面积为360cm2?

4.学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，现有两种方案：有人

建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越

小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由.（TI取3）

5.观察下图，每个小正方形的边长均为1,

（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间.

二、解答题

6.综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如

图，已知两直线。,力，且a/",二A8C是直角三角形，NBCA=90。，操作发现：

（1）如图L若Nl=48。，求Z2的度数：

（2）如图2,若4=30°/1的度数不确定，同学们把直浅。向上平移，并把N2的位置改

变，发现N2-NI=120。，请说明理由.

（3）如图3,若/4=30。，AC平分N84例，此时发现N1与N2乂存在新的数量关系，请

写出N1与N2的数量关系并说明理由.

7.如图，已知直线”〃2,点48在宜线（上，点C、D在直线4上，点C在点D的右侧,

N4QC'=80。,48c=（2〃）。,把平分乙48C,£）£平分ZWC,直线8旦DE交于点、E.

（1）若〃=20时，则ZBE£>=；

（2）试求出N8E。的度数（用含〃的代数式表示）；

（3）将线段8。向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出N8ED的度

数.（用含〃的代数式表示）

8.综合与探究

（问题情境）

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

（1）如图1，EF/fMN,点A、“分别为直线MN上的一点，点尸为平行线间一点，

请直接写出NR4/、NP/W和NAP3之间的数量关系；

m

图1图2

备用图备用图

（问题迁移）

（2）如图2,射线OM与射线QV交于点。，直线〃7//〃，宜线〃1分别交QM、QN于点A、

D,直线〃分别交。何、0N于点、B、C,点P在射线O/上运动，

①当点/在A、B（不与A、3重合）两点之间运动时，设ZAZ）P=Na,

4BCP=邛.则NCPO,N。，4之间有何数量关系？请说明理由.

②若点P不在线段A3上运动时（点P与点A、B、。三点都不重合），请你画出满足条

件的所有图形并直接写出NCP。，乙a,4之间的数量关系.

9.问题情境：

如图1,ABWCD,N%8=130。，ZPCD=120°.求NAPC的度数.小明的思路是：过P作

PEWAB,通过平行线性质，可得/4PC=/APE+NCPE=50°+60°=110°.

问题解决：

（1）如图2,4811CD,直线/分别与48、C。交于点M、N,点P在直线/上运动，当点P

在线段M/V上运动时（不与点M、/V重合），ZPAB=a,NPC0=B，判断/4PC、a、B之

间的数量关系并说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在线段M/V或A/M的延长线上运动时.请直接写出

4APC、a、8之间的数量关系；

（3）如图3,A8IICD,点P是A8、CD之间的一点（点P在点4、C右侧），连接外、

PC,/8AP和N0CP的平分线交于点Q.若NAPC=116。，请结合（2）中的规律，求NAQC

的度数.

10.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推

理的基础.

己知：AMWCN,点B为立面内一点，A8_L8C于8.

问题解决：(1)如图1，直接写出NA和NC之间的数量关系；

(2)如图2,过点B作8D_L4W于点。，求证：ZABD=Z.C；

(3)如图3,在(2)间的条件下，点E、F在。M上，连接8£、BF、CF,8F平分ND8C,

三、解答题

11.如图，以直角三角形40c的直角顶点。为原点，以0C、(M所在直线为x轴和)，轴

(1)C点的坐标为：A点的坐标为.

(2)如图1,已知坐标轴上有两动点/＞、。同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1

个单位长度每秒的速度匀速移动，。点从。点出发以2个单位长度每秒的速度沿＞轴正方

向移动，点Q到达A点整个运动随之结束.AC的中点。的坐标是(1,2),设运动时间为

问：是否存在这样的/,使So”=S03?若存在，请求出，的值：若不存在.请

说明理由.

(3)如图2,过。作OG//AC,作=交AC于点尸，点E是线段上一动

点，连CE交OF于点、H,当点E在线段Q4上运动的过程中，生会铲士的值是否会

/.OEC

发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由.

12.已知射线A8〃射线CO,P为一动点，AE平分N2包，CE平分NPCD,且AE与CE

相交于点£.(注意；此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答)

图1图2图3

(1)在图1中，当点P运动到线段4C上时，ZAPC=180°.直接写出ZAEC的度数；

(2)当点P运动到图2的位置时，猜想4£C与乙4PC之间的关系，并加以说明；

(3)当点P运动到图3的位置时，(2)中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若

不成立，请写出NAEC与4PC之间的关系，并加以证明.

13.已知ABHCD,点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之

间，NAMP=NPQN=a,PQ平分NMPN.

(1)如图①，求NMPQ的度数(用含a的式子表示)；

(2)如图②，过点Q作QEIIPN交PM的延长线于点E,过E作EF平分NPEQ交PQ于点

F.请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；

(3)如图③，在(2)的条件下，连接EN,若NE平分NPNQ,请你判断NNEF与NAMP

的数量关系，并说明理由.

图1图2

(1)如图1,若/出C=ZAC8=120。，ACAD=-^FAC,4CBD='/CBN,求/CBN

22

与NAO8的度数；

(2)如图2,若/弘C=ZAC8=120。，ZCAD=1z7^C,4CBD=；/CBN,则

/ADB=—°：

（3）若把（2）中“NE4C=4C8=I2O。，ZCAD=-ZFACt/CBD=g/CBN"改为

"^FAC=ZACB=nf,ZCAD=-ZFAC,NCBD'/CBN”,则

nn

ZADB=°.（用含m，〃的式子表示）

15.如图，直线PQ//MN,一副三角板（NA5C=NC£）£=90。，4C8=30。，

N£4C=60o、NDCE=NDEC=45。）按如图①放置，其中点E在直线尸。上，点RC均在直线

MN上，且CE平分ZACN.

图①图②图③

（1）求/DE。的度数.

（2）如图②，若将三角形A8C绕8点以每秒5。的速度按逆时针方向旋转（AC的对应点

分别为EG）.设旋转时间为，秒（0VW36）.

①在旋转过程中，若边度7〃CD,求/的值；

②若在三角形A8C绕8点旋转的同时，三角形COE绕E点以每秒4。的速度按顺时针方向

旋转（C。的对应点分别为从K）.请直接写出当边垢//次时f的值.

四、解答题

16.如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中NONM=30。，ZOCD=

45°.

图①图②图③

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E,

求/CEN的度数；

（2）将图①中的三角板OMN绕点0按逆时针方向旋转，使NBON=30。，如图③，MN

与CD相交于点E,求NCEN的度数；

（3）将图①中的三角板OMN绕点0按每秒30。的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的

过程中，在第秒时，直线MN恰好与直线CD垂直.（直接写出结果）

17.如图1,CE平分NAC£>,AE平分NBAC,ZE4C-ZACE=90

（1）请判断43与CO的位置关系并说明理由；

（2）如图2,当NE=90且A笈与。。的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

/MCE=NECD,当直角顶点£点移动时，问否存在确定的数量关系？并

说明理由.

(3)如图3,P为线段AC上一定点，点Q为直线C。上一动点且A4与C。的位置关系保持

不变，①当点。在射线C。上运动时(点。除外)，NCPQ+NCQP与284C有何数量关

系？猜想结论并说明理由.②当点。在射线。。的反向延长线上运动时(点。除外)，

NCPQ+NC。。与。有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.

18.如图,△A8c和△ADE有公共顶点A,ZACB=Z.AED=90°,N8AC=45。，ZDAE=30°.

(1)若DE〃AB,则N54C=；

(2)如图1,过AC上一点。作0GJ_AC,分别交AB、AD.AE于点G、H、F.

①若公0=2,SAAGH=4,SAA“F=1,求线段OF的长:

②如图2,NAF。的平分线和N40F的平分线交于点M.NFHD的平分线和N0G8的平分

线交于点N,/N+/M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理

由.

19.如图，直线PQ//MN,

NACB=NEDF=90,/ABC=NBAC=45,ZDFE=30,NDEF=60.

(1)若AD律如图1摆放，当EO平分/正尸时，证明：F7)平分

图1

(2)若AABC,△。打'如图2摆放时，则=

图2

(3)若图2中固定，将ADE尸沿着AC方向平移,边Q户与直线PQ相交于点G.

作/尸GQ和NGK4的角平分线G，、在”相交于点〃(如图3),求NG"/的度数.

图3

(4)若图2中△£)£厂的周长35c7〃,A/=5C7〃，现将AABC固定，将ME/沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到△DEA，点。、E的对应点分别是。'、请直接写

出四边形。石4。'的周长.

(5)若图2中ADM固定，(如图4)将AA8C绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线4N首次重合的过程中，当线段AC与A/死产的一条边平行时，请直接写出旋

20.(1)如图1所示，A48C中，/ACB的角平分线CF与NE4C的角平分线AD的反向延

长线交于点F：

①若N8=90°则/F=；

②若N8=0,求NF的度数(用。表示)；

(2)如图2所示，若点G是C8延长线上任意一动点，连接4G,NAG8与NGA8的角平

分线交于点H,随着点G的运动，NF+/H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不

变，请求出其值.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）＜；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长,进而可求得圆和正方

形的

解析：（1）V2:（2）＜；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长,进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可;

【详解】

解：（1）•「小正方形的边长为1cm,

「•小正方形的面积为1cm2.

两个小正方形的面积之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

设大正方形的边长为xcm,

Ax2=2,

」•大正方形的边长为上cm；

（2）设圆的半径为r,

由题意得房产=2冗,

.，.r=&，

C用=2%==2乃五,

设正方形的边长为a

/=24，

a=\/27r♦

ClI；=4«=,

.Q2W2<71人

•--7=-——产<1

C正4疡2V4

故答案为：V;

(3)解：不能裁剪出，理由如下：

正方形的面积为900cm2,

」•正方形的边长为30cm

■「长方形纸片的长和宽之比为5:4,

设长方形纸片的长为5%,宽为4工.

则5X-4X=74O,

整理得：X2=37,

(5x>=25X2=25X37=925>9(X),

(5x)2>302,

5工>30,

长方形纸片的长大于正方形的边长，

・••不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

2.(1)4；(2)不能，理由见解析.

【分析】

(1)根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

(2)先设未知数根据面积=14(cm2)列方程，求出长方形的边长，将长方形

的长与正方形边长比较大小再

解析：(1)4；(2)不能，理由见解析.

【分析】

(1)根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

(2)先设未知数根据面积=14(cm2)列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方

形边长比较大小再判断即可.

【详解】

解:(1)两个正方形面积之和为：2x8=16(cm2),

.•.拼成的大正方形的面积=16(cm2),

」•大正方形的边长是4cm：

故答案为：4；

(2)设长方形纸片的长为2xcm,宽为xcm,

则2x・x=14,

解得：x=-V7»

2x=2近>4,

不存在长宽之比为2:1且面枳为14cm2的长方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根，能够根据题意列出算式是解此题的关键.

3.（1）；（2）不能剪出长宽之比为5：4,且面积为的大长方形，理由详见

解析

【分析】

（1）根据已知得到大正方形的面积为400,求出算术平方根即为大正方形的边

长；

（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据

解析：（1）20cm：（2）不能剪出长宽之比为5：4,且面积为360M/的大长方形，理由

详见解析

【分析】

（1）根据已知得到大正方形的面积为400cm2,求出算术平方根即为大正方形的边长；

（2）设长方形纸片的长为5.卬〃，宽为4.包机，根据面积列得5x・4工=360,求出x=＞/运，

得到5x=5炳＞20,由此判断不能裁出符合条件的大正方形.

【详解】

（1）:用两个面积为200c〃产的小正方形拼成一个大的正方形，

大正方形的面积为400c/n2,

大正方形的边长为同J=20cm

故答案为：20cm；

（2）设长方形纸片的长为5xc7〃，宽为

5x-4x=360,

解得：4=""^,

5x=5炳＞20,

答：不能剪出长宽之比为5：4,且面积为360a〃2的大长方形.

【点睛】

此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.

4.选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的

周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，

比较大小得到答

解析：选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据

圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答案.

【详解】

解：选择建成圆形草坪的方案，理由如下：

设建成正方形时的边长为X米,

由题意得：x2=81,

解得：x=±9>

x>0,

x=9,

・..正方形的周长为4x9=36,

设建成圆形时圆的半径为「米,

由题意得：nr2=81.

解得：r=±旧，

,/r>0.

圆的周长=2〃xJ—x6727,

5<历<6,

30<6x/27<36,

建成圆形草坪时所花的费用较少，

故选择建成圆形草坪的方案.

【点睛】

本题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根概念是解题的关键.

5.（1）图中阴影部分的面积17,边长是；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个

直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可

解析：（1）图中阴影部分的面积17,边长是J万；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形

的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；

（2）根据而后，可以估算出边长的值在哪两个整数之间.

【详解】

（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5x5-一’4=17

则阴影正方形的边长为：V17

答：图中阴影部分的面积17,边长是后

（2）,/瓶V炳V后

所以4<后V5

」•边长的值在4与5之间；

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的

面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算.

二、解答题

6.(1)42°；(2)见解析；(3)Z1=Z2,理由见解析

【分析】

(1)由平角定义求出/3二42。，再由平行线的性质即可得出答案；

(2)过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+ZABD=180°

解析：(1)42°；(2)见解析；(3)Z1=Z2,理由见解析

【分析】

(1)由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

(2)过点8作8DIIa.由平行线的性质得N2+N48。=180°,Z1=ZDBC,MzABD=£ABC-

ZDBC=60°-Z1,进而得出结论；

(3)过点C作CPII。，由角平分线定义得N84>30。，ZBAM=2^BAC=60°f由平

行线的性质得/1=N8AM=60。，ZPCA=ACAM=30°,Z2=ZBCP=60°,即可得出结论.

【详解】

解：(1)/1=48°,Z864=90°,

/.Z3=180°-NBC4-Z1=1800-90°-48°=420,

,/allb,

：.Z2=Z3=42°；

(2)理由如下：

过点B作BDIIa.如图2所示：

图2

则N2+Z>4BD=180o,

t/allb,

：.b\\BD,

Z1=ZDBC,

：.ZABD=Z.ABC-ADBC=6Q0-A1,

/.Z2+60。-/1=180°,

Z2-Z1=120°：

(3)Z1=Z2,理由如下:

过点。作CPIIa,如图3所示：

B

a

图3

,/AC平分/BAM

/.ZCAA4=ZBAC=30°,ZBAM=2NBAC=60°,

又;allb,

9

：.CPWb,Z1=ZBAM=6Qt

ZPCA=/CAM=30\

/.Z8CP=ZBCA-Z.PCA=W-30°=60°,

又丁CPWa,

Z2=ZBCP=6(r,

/.Z1=Z2.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、

角平分线定义、平角的定义等知识：本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质

是解题的关键.

7.(1)60°；(2)n°+40°；(3)n°+40°或n°-40°或220°-n°

【分析】

(1)过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度

数；

(2)同(1)中方法求解

解析：(1)60°；(2)ne+40°；(3)〃°+40°或〃°-40°或220°力°

【分析】

(1)过点£作EFII48,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBE。的度数；

(2)同(1)中方法求解即可；

(3)分当点8在点4左侧和当点8在点八右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作

EFWAB,由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可.

【详解】

解：(1)当n=20时，ZABC=40°,

过E作EFIIAB,贝IJEFIICD,

ZBEF=NABE,ZDEF=/CDE,

•：BE平分/ABC,DE平分/ADC,

二./BEF=/ABE=20°,/DEF=/CDE=40°,

...ZB£D=Z8EF+NDEF=6C°；

（2）同（1）可知：

Z8EF=ZABE=n°,ZDEF=CDE=40°,

ZBED=N8EF+NDEF=〃°+40°；

（3）当点8在点2左侧时，由（2）可知：ZeED=no+40°；

当点B在点人右侧时，

如图所示，过点E作EFIMB,

•「8E平分N48C,。£平分NAOC,ZABC=2n°tZADC=80°,

Z.ABE=^ABC=n0,ZCDG=^XADC^AO°,

,/4811CDIIEF,

ZBEF=ZABE=n°,NCOG=NOEF=40°,

ZBED=ZBEF-ZDEF=n°-40°；

.「BE平分/AB。，OE平分/ADC,ZABC=2n°fZADC=80°,

：.ZABE=^ZABC=n°,NCDG=；NADC=40°,

ABWCDIIEF,

ZB£F=180°-ZABE=180°-n\ZCDE=ZDEF=40°,

Z8ED=N8EF+ZDEF=180f'-nn+40n=220f,-n\

如图所示,过点E作EFII48,

a

...BE平分/ABCtDE平分/ADC,ZABC=n°,ZADC=7Q,

ZABG=^AABC=nQ,NCDE=gN40C=4O。,

,/4811CDIIEF,

ZBEF=^AB6=nQ,NCC£=NO£F=40°,

综上所述，ZBED的度数为〃。+40。或〃。-40。或220。-〃。.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角

之间关系是解题关键.

8.(1);(2)①，理由见解析；②图见解析，或

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论

解析：(1)ZPAF+ZPBN+AAPB=360°；(2)①NCP。=Na+N/7,理由见解析；

②图见解析，乙CPD—乙。一乙a或乙CPD—乙a-乙［3

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过P作夕E//AD交8于E,由平行线的性质，得到Na=NDPE,邛=4CPE,

即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在胡延长线时；当?在8。之间时；与①

同理，利用平行线的性质，即可求出答案.

【详解】

解:(1)作PQIIEF,如图：

图1

1/EF//MN,

EFHMNHPQ,

NPAF+ZAPQ=180°,/PBN+4BPQ=180°,

•「ZAPB=ZAPQ+N3PQ

^PAF+APBN+/LAPB=360°；

(2)①NCPO=Na+N/?：

理由如下：如图，

过?作尸日/AO交CD于E,

,/ADIIBC,

：.ADUPE!IBC,

：.4a=4DPE,"=/CPE,

NCPD=NDPE+NCPE=Na+皿

②当点尸在81延长线时，如备用图1：

备用图1

,/PEWADW8C,

.\ZEPC=P,ZEPD=a,

4CPD=4。一4a；

：.ZEPD=a,zCPE”,

4CPD=ta-邛.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等，从而得到角的关系.

9.（1）ZAPC=a+p,理由见解析；（2）NAPC=af或NAPC邪-a；（3）58°

【分析】

（1）过点P作PEIIAB,根据平行线的判定与性质即可求解；

（2）分点P在线段MN或NM的延长线

解析：（1）NAPCw+6,理由见解析；（2）N4PC=a-6或NAPC=6-a：（3）58。

【分析】

（1）过点P作PEII48,艰据平行线的判定与性质即可求解：

（2）分点P在线段M/V或NM的延长线1：运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角

的和差即可求解；

（3）过点P,Q分别作PEIIAB,QFWAB,根据平行线的判定与性质及角的和差即可求

解.

【详解】

解：（1）如图2,过点P作PEIM8,

PEIIA8IICD,

/.ZAPE=a,ZCPE=6,

Z4PC=ZAPE+NCPE=a+6.

（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时,

...Z1=ZPAB=a,

・「Z1=ZAPC+APCD,ZPCD=6,

a-Z.APC+6,

：.ZAPC=a-B；

如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MW的延长线上运动时,

,/ABWCD,ZPCD=6,

Z2=ZPCD=6,

•/Z2=ZPAB+Z.APC,ZPAB=a,

0=a+ZAPC,

ZAPC=6-a；

（3）如图3,过点P,Q分别作PEIIAB,QFII48,

图3

,/ABWCD,

.,.4811QFIIPEWCD,

：.ZBAP=Z.APE,ZPCD=ZEPC,

APC=116°,

ZBAP+Z.PCD=llb”,

AQ平分/BAP,CQ平分/PCD,

/.Z8AQ=；/BAP,ZDCQ=；NPCD,

Z84Q+NOCQ=；(ZBAP+NPCD)=58°,

'/ABWQFIICD,

Z84Q=ZAQF,ZDCQ=ZCQF,

ZAQF+NCQF=Z8AQ+NDCQ=58°,

Z4QC=58°.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的

关键.

10.(1)；(2)见解析；(3)105°

【分析】

(1)通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

(2)过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质

解析：（1）NA+NC=90。；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点8作8GliDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：（1）如图1,设与8c交于点C/V,

N'Z.AOBt

'：AB±BC,

NA8C=90°,

NA+N408=90。，

/A+NC=90°,

故答案为：/4+/C=90。；

(2)证明：如图2,过点8作8GIIOM,

•/BD±AM,

：.DB±BG,

Z08G=90°,

.•.NA8D+NA8G=90。，

1.,AB.LBC,

.••/C8G+/A8G=90。，

NABD—Z.CBG,

TAMIICN,

ZC=ZCBG,

：.ZABD=ZC；

(3)如图3,过点8作8GliDM,

EA

DM

旃^^…厂G

N.......—

图3

••,8F平分N08C,8E平分N48D,

ZDBF=Z.CBF,ZDBE=ZABE,

由(2)矢口NA80=NCBG，

/ABF=Z.GBF,

设/08E=a,NA8F=6,

则/ABE=a,ZABD=2a=Z.CBG,

ZG8F=NAFB=6t

ZBFC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6,

ZAFC+NNCF=180°,/FCB+N/VCF=180°,

ZFC8=N4FC=3a+6,

△8CF中，由/C8F+NBFC+N8CF=180°得：2a+6+3a+3cr+6=180°,

•「AB±BC,

6+6+2a=90°,

a=15°,

NA8E=15°,

ZFBC=ZABEA-Z』BC=1S°+9O°=1OS°.

故答案为：105°.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

三、解答题

11.(1),;(2)1：(3)不变，值为2

【分析】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a,b的值，再利用中点坐标公

式即可得出答案；

(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-

解析:(1)C(2,0),4(0,4)；(2)1：(3)不变，值为2

【分析】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求得。，b的值，再利用中点坐标公式即可得出

答案；

(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,4a=4-23再根据S“OOP=SA次,列出关于t的方程,

求得t的值即可；

(3)过H点作AS的平行线，交x轴于P,先判定0GII4C,再根据角的和差关系以及平行

线的性质，得出/PHO=NGOF=N1+Z2,

ZOHC=ZOHP+NPHC=ZGOF+/4=Z1+Z2+Z4,最后代入十乙1(、进行计算即可.

Z.OEC

【详解】

解：⑴J”2b+|b-2|=O,

a-2b=0,b-2=0,解得a=4,b=2,

：.A(0,4),C(2,0).

(1,2),

图1

由条件可知：P点从C点运动到。点时间为2秒，Q点从。点运动到A点时间为2秒,

J.0VK2时,点Q在线段A。上，即CP=30P=2-t,0a=234Q=4-2t,

「•SA。。产;•OP・yo=g(2-t)x2=2-t,SAOOQ=；•OQ・XD=Jx2,l=3

SAODP=SAODQ»

24=3

/.t=l.

ZOHC+ZACE

(3)结论:的值不变，其值为2.理由如下：如图2中,

ZOEC

图2

*/Z2+Z3=90°,又•「Z1=Z2,Z3=ZFCO,

：.ZGOC+NACO=180°,

OGWAC,

Z1=ZCAO.

ZOfC=ZCAO+Z.4=Z1+Z4,

如图，过H点作A?的平行线，交x轴于P,则N4=NP，C,PHIIOG,

ZPHO必GOF=N1+Z2,

/.ZOHC=ZOHP+APHC=AGOF+N4=Z1+Z2+Z4,

.NOHC+NACEN1+N2+N4+N4

一~ZOEC-Z1+Z4—•

【点睛】

本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面枳、平行线的性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题.

12.(1)；(2),证明见解析；(3),证明见解析.

【分析】

(1)过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平

行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；

解析：(1)90°：(2)ZAPC=2ZAEC,证明见解析；(3)ZAPC+2NAEC=360。，证

明见解析.

【分析】

(1)过点E作EF//AB,先根据平行线的性质、平行公理推论可得

"EF=ZBAE,/CEF=NDCE,从而可得NAEC=4A£+ZDCE,再根据平行线的性质可

得NP4A+NPCO=180。，然后根据角平分线的定义可得

NBAE=gNPAB,NDCE=NPCD,最后根据角的和差即可得；

(2)过点E作EF//AB,过点尸作PQ//A8,先根据(1)可得

/4FC=NB4E+NOCE=g(NB4K+NPC。)，再根据(1)同样的方法可得

ZAPC=/PAB+/PCD,由此即可得出结论；

(3)过点E作跳7/48,过点尸作PQ〃AB,先根据(1)可得NPA8+NPCD=2ZAEC,

再根据平行线的性质、平行公理推论可得44。。=180。-NPA良NCPQ=180。-NP8,然

后根据角的和差、等量代换即可得出结论.

【详解】

解：(1)如图，过点E作EF〃AB,

:.ZAEF=ZBAE,

QAB//CD,

EFf/CD,

..ZCEF=ZDCE.

/.ZAEC=ZAEF+/CEF=NBAE+/DCE,

乂QABHCD,且点尸运动到线段AC上，

NPA3+NPCO=180°,

,「AE平分NE4B,CE平分乙PCD,

：.NBAE=1/PAB,ZDCE=g/PCD,

ZAEC=-NPAB+-NPCD=-(ZPAB+NPCD)=90°；

222

(2)猜想NAPC=2NAEC,证明如下：

如图，过点E作打7/A8,过点P作PQ//A8,

由(1)已得：/AEC=/BAE+NDCE=；(NPAB+NPCD),

同理可得：ZAPC=ZPAB+ZPCD,

：.ZAPC=2ZAECt

(3)ZAPC+2ZAEC=360°,证明如下：

由(1)已得：ZAEC=NBAE+NDCE='(NPAB+NPCD),

2

即4PAB+ZPCD=2ZAEC,

vPQ//AB,

ZAPQ+4PAB=180°,即ZAPQ=180。-4PAB,

QAB//CD,

：.PQ//CD,

/.NCPQ+NPCD=180°,即NCPQ=180°-NPCD,

ZAPC=ZAPQ+Z.CPQ,

=180°-/PAB4-180°-/PCD,

=360°-(Z/V1B+ZPCD),

=360°-2ZAEC,

即ZAPC+2ZAEC=360°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的

性质是解题关键.

13.(1)2a；(2)EFJ_PQ,见解析；(3)ZNEF=ZAMP,见解析

【分析】

1)如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

(2)根据已知条件可得2ZEPQ+2ZPEF=

解析：(1)2a：(2)EF_LPQ,见解析；(3)NNEF=^NAMP,见解析

【分析】

1)如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

(2)根据己知条件可得2ZEPQ+2ZPEF=180°,进而可得EF与PQ的位置关系；

(3)结合(2)和己知条件可得/QNE=NQEN,根据三角形内角和定理可得NQNE=；

(180°-ZNQE)=；(180°-3a),可得NNEF=1800-NQEF-NNQE-/QNE,进而可

得结论.

【详解】

图①

,/ABHCD,

ABIICDIIPR,

/.ZAMP=ZMPR=a,ZPQN=NRPQ=a,

...ZMPQ=NMPR+ZRPQ=2a；

(2)如图②，EF_LPQ,理由如下：

A

图⑵

•/PQ平分NMPN.

ZMPQ=ZNPQ=2a,

QEIIPN,

/.ZEQP=ZNPQ=2a,

ZEPQ=ZEQP=2a,

VEF平分/PEQ,

ZPEQ=2NPEF=2ZQEF,

ZEPQ+ZEQP+ZPEQ=P80°,

2ZEPQ+2NPEF=180°,

/.ZEPQ+ZPEF=90°,

ZPFE=180°-90°=90°,

/.EF_LPQ：

(3)如图③，ZNEF=^ZAMP,理由如下:

图③

由(2)可知：NEQP=2Q,ZEFQ=90°,

ZQEF=90°-2a,

zPQN=a,

ZNQE=NPQN+NEQP=3a,

VNE平分NPNQ,

/.ZPNE=ZQNE,

1/QEIIPN,

/.ZQEN=ZPNE,

/.ZQNE=ZQEN,

ZNQE=3a,

NQNE=g(1800-ZNQE)=g(1800-3a),

ZNEF=180°-ZQEF-ZNQE-ZQNE

=180°-(90°-2a)-3a-(1800・3a)

3

=180°-90°+2a-3a-90c+-a

2

1

=Ia

=yZAMP.

ZNEF=yZAMP.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

14.(1)1202,1205；(2)160；(3)

【分析】

(1)过点作，，根据，平行线的性质和周角可求出，则，再根据，，可

得，，可求出，，根据即可得到结果；

（2）同理（1）的求法，

解析：（1）120%1205；（2）160；（3）^-（360-.77）

【分析】

（1）过点C。作CGEF,DH所，根据NE4C=4CB=I2O。，平行线的性质和周

角可求出NGC3=120。，则NCBN=NGC8=120。，再根据NC4。=1/E4C,

2

NCRD=工/CRN,可得ZCRD=-/CRN=60°,ZCAD=-ZFAC=60。，可求出

222

ZA£>/7=ZM£>=60°,/BDH=/DBN=g0,根据NAOB=/4。〃+/3。〃即可得至Ij结果；

（2）同理（1）的求法，根据NE4C=NAC4=120。，zCAZ9=-ZF4C,

3

NCBD=-/CBN求解即可；

3

（3）同理（1）的求法，根据NE4C=NAC8=〃?。，ZCAD=-ZMC,/CBD=L/CBN

nn

求解即可；

【详解】

解：（1）如图示，分别过点C。作CGEF,DHEF,

EF§MN,

/.EFJMNf）CGDH,

/.ZACG=ZE4C=120°,

ZGCB=360°-ZACG-Z4C5=120°,

NCBN=NGCB=12。。，

Z.CBD=-Z.CBN=60°,ZCAD=-ZMC=60°

22

ZDI3N=ZCBN-ZCI3D=60°,

又ZFAD=ZFAC-ZCAD=60°,

/.ZAD/7=ZE4D=60°,/BDH=/DBN="。,

ZADB=ZADH+ZBDH=120°.

（2）如图示，分别过点C,力作CGEF,DHEF,

EFMN,EFMN/CG//DH,

/.ZACG=ZE4C=120°,

ZGCB=360°-ZACG-Z4CB=120°,

NCBN=NGCB=120°,

'：Z.CBD=-ACBN=40°,ZC4D=-/FAC=40°

33

/.ZDBN=ZCBN-Z.CBD=80°,

文：ZMD=ZMC-ZC4D=80°,

/.ZADH=ZFAD=^r,zW〃=ZD/W=80°,

/.ZADB=ZADH+ZBDH=160°.

故答案为：160；

(3)同理(1)的求法

•「EFHMN,EFVMN月CGRDH,

ZACG=ZFAC=tff,

ZGCB=3«r-ZACG-ZACB=36(F-2//f,

/.NC3N=NGC8=36(r-"

/w

….乙，C厂〃BD八=।一/乙「CABZN=-3--6-0--0---2-.-7--1-°-,^,C，cAD=-Z1AAC=—°

nnnn

...4DBN=/CBN-NCBD=(36O°-2/n°)-即0°-2，〃。=^(36()0_2,w°),

nn

又「ZMD=ZE4C-ZC4D=WJO--=,

〃n

ZADH=ZFAD=nf,ZBDH=Z.DBN=—(360°-2/r0),

nn

OO

：.ZADB=ZADH+ZBDH=^ZU/W+^Z1(3600-2/M)=—(360°-wt°).

nnn

故答案为：—(360-w).

n

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键.

15.(1)60°；(2)①6