2025年数学试卷汇编（真题模拟题）专题8平面解析几何 含答案

/专题8平面解析几何考点2025年考情命题趋势考点01求圆的方程2022·全国甲卷2022·全国乙卷圆的方程及相关应用是考查核心：从数据来看，“圆的方程”相关考点考查覆盖求圆的方程、圆心半径确定、直线与圆的位置关系、弦长、切线、对称及最值问题，几乎涵盖圆的全部核心知识点.双曲线：离心率与渐近线成“绝对重点”双曲线在5年中保持“5考”的高频出现，其中离心率（2025年全国一卷、二卷，2024年新课标Ⅰ卷等多卷次考查）和渐近线（2023年全国甲卷等）是核心.最值问题：在多地试卷中频繁出现，涉及距离、面积、斜率、截距等的最值求解.考点02直线与圆的位置关系2022·新高考全国Ⅱ卷2022·上海2021·新高考全国Ⅱ卷考点03圆的弦长问题2024·全国甲卷2023·新课标Ⅱ卷考点04圆的最值问题2025·全国一卷2023·全国乙卷2021·新高考全国Ⅰ卷考点05圆锥曲线的最值问题2025·全国一卷2022·浙江2021·浙江考点06求椭圆的标准方程2024·新课标Ⅱ卷2022·全国甲卷考点07双曲线的离心率2025·全国一卷2025·全国二卷2024·新课标Ⅰ卷2024·全国甲卷2023·新课标Ⅰ卷2022·全国乙卷2022·浙江2021·全国甲卷考点08抛物线定义的应用2025·全国二卷2022·全国乙卷考点09与抛物线焦点弦有关的几何性质2025·全国一卷2023·新课标Ⅱ卷2022·新高考全国Ⅱ卷考点10圆锥曲线的面积问题2025·全国二卷2024·新课标Ⅰ卷2023·全国甲卷2022·新高考全国Ⅰ卷2021·全国乙卷考点01求圆的方程1．[2025届·辽宁辽阳·二模校考]已知直线经过圆的圆心，则的最小值为()A.-1 B. C.0 D.12．[2025届·湖北十堰·三模]已知函数的图象上,相邻的一个最高点与一个最低点恰好都在圆上,则的最小正周期为()A.4 B. C.2 D.考点02直线与圆的位置关系1．[2025届·辽宁鞍山·二模联考]记曲线，若直线与曲线C相切，则()A. B. C. D.2．[2025届·河北邢台·二模联考]已知直线，Q是圆上的一动点，则点Q到直线l的距离d的取值范围为()A. B. C. D.考点03圆的弦长问题1．[2025届·湖南师大附中·一模]已知直线与圆交于A，B两点，则()A. B.4 C. D.22．[2025届·海南海口·模拟考试校考]已知b是a,c的等差中项,直线与圆交于A,B两点,则的最小值为()A.1 B.2 C.4 D.考点04圆的最值问题1．[2025届·江苏镇江·三模]已知l为抛物线的切线，且l交圆于A，B两点，则的最大值是()A. B. C. D.42．[2025届·辽宁辽阳·二模校考]（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且，则()A.点到C的渐近线的距离为B.C.C的离心率为2D.分别以，为直径的圆的公共弦长为考点05圆锥曲线的最值问题1．[2025年全国一卷高考真题试卷]已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，.（1）求C的方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足.（i）设，求点R的坐标（用m，n表示）；（ⅱ）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求的最大值.2．[2025届·河北承德·一模联考]已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，C为短轴的一个端点，是直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)若直线恰好与椭圆E相切，求椭圆E的方程；(3)在(2)的条件下，设直线l不过点且与E交于两点M，N，若，求的最大值.考点06求椭圆的标准方程1．[2025届·海南海口·模拟考试校考]已知椭圆的焦距为,离心率为.（1）求椭圆的方程;（2）设过点且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A、B,点O在以线段为直径的圆外（O为原点）,求k的取值范围.2．[2025届·辽宁鞍山·二模联考]已知椭圆，点在椭圆C上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点A重合的点P、Q和点A连线的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)若一条斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，且线段的中点R的纵坐标为-1，过R作直线.定点到直线的距离记为d，求d的最大值并求出对应的直线的方程.考点07双曲线的离心率1．[2025届·海南海口·模拟考试校考]设双曲线的左、右焦点分别为,,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,,,则C的离心率为()A. B.2 C. D.2．[2025届·浙江·三模]已知直线为双曲线（,）的一条渐近线,则双曲线C的离心率为________.考点08抛物线定义的应用1．[2025年全国二卷高考真题试卷]设抛物线的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则()A.3 B.4 C.5 D.62．[2025春·高三·山西晋城·月考]已知抛物线的焦点为F,P是抛物线C上一点,若P到x轴的距离为4,且,则()A.2 B.4 C.6 D.8考点09与抛物线焦点弦有关的几何性质1．[2025年全国一卷高考真题试卷]（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则()A. B. C. D.2．[2025届·湖南师大附中·一模]（多选）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则()A.B.C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切D.当时，的面积为考点10圆锥曲线的面积问题1．[2025年全国二卷高考真题试卷]已知椭圆的离心率为，长轴长为4.（1）求C的方程；（2）过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求.2．[2025届·全国·三模联考]已知动圆M与圆内切，且与圆外切，记圆心M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设点P，Q在C上，且以为直径的圆E经过坐标原点O，求圆E面积的最小值.

答案与解析考点01求圆的方程1．答案：B解析：可化为，故圆心为，因直线经过圆心，则，则，此二次函数开口朝上，对称轴方程为，故其最小值为.故选：B2．答案：B解析：,.的最小正周期为最大值点为,相邻的最小值点为,代入圆方程,得,.故选:B考点02直线与圆的位置关系1．答案：C解析：当，，，则，当，，，则，当，，则，当，，，则，显然，直线的斜率为-1，如下图示，则原点到直线的距离，所以.故选：C2．答案：B解析：直线，可化为，由，解得，，所以l过定点，又因为点Q在圆O上，且，圆O的圆心为，半径，所以当，且Q，O，P三点共线时，点Q到直线l的距离d最大，最大为，此时，所以直线l的斜率为1，即，无解，故直线l不存在，所以；当直线l与圆O相交或相切时，点Q到直线l的距离d最小，最小为0，故点Q到直线l的距离d的取值范围为.故选：B.考点03圆的弦长问题1．答案：B解析：圆的圆心，半径，点C到直线的距离，直线l与圆C相交，则.故选：B2．答案：C解析：因为a,b,c成等差数列,所以,,代入直线方程得,即,令得,故直线恒过,设,圆化为标准方程得:,设圆心为C,画出直线与圆的图形,由图可知,当时,最小,,,此时.故选:C考点04圆的最值问题1．答案：B解析：设切点为，所以，所以直线l的方程为，即，圆心到直线l的距离为，所以，令，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选：B.2．答案：ACD解析：因为双曲线，所以，又因为，可得，，又因为，所以，，则在中由余弦定理有，即，解得或（舍），则，则，所以，即点到C点渐近线的距离等于，正确；C的离心率为，正确；在中，由余弦定理可得有，则，解得，所以，错误；过点作于点E，因为,则点E在为直径的圆上，所以以，为直径的圆的公共弦为，且，所以，正确.故选：ACD考点05圆锥曲线的最值问题1．答案：（1）（2）（i）（ii）解析：（1）由题意知，所以，设，，则，所以.又，所以，所以C的方程为.（2）（i）设，由（1）知，又，所以.①由，得，②由①②得，，故.（ii）由（i）得，得，即.由题设，，则，设，则，故当时，取得最大值，且，故的最大值为.2．答案：(1)(2)(3)解析：(1)设短轴的端点为，左右焦点为，由于是直角三角形，所以，结合，解得，故，(2)由可得椭圆方程为，与直线联立可得，由于直线恰好与椭圆E相切，故，解得，所以椭圆方程为(3)由于在椭圆上，设，由可得，当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程中，消去y可得，则，由，可得即，化简得，由于不在直线上，所以，故，，故直线的方程为，故过定点，当直线的斜率不存在时，可得，代入可得，结合可得或（舍去），此时直线也经过，综上可得直线恒经过.因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长，又直线恒经过，所以,考点06求椭圆的标准方程1．答案：（1）（2）解析：（1）设椭圆的半焦距为c,则,得,又离心率为,解得,,故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为,,,由,得,由,得,则,因为点O在以线段为直径的圆外,所以为锐角,因A,B,O不共线,所以,故,即,因所以解得,因,则得,解得或,故实数k的取值范围为.2．答案：(1)(2)，.解析：(1)设，且，则，所以，又P在椭圆上，即，可得，所以，由A在椭圆上，即，即，故，可得，综上，椭圆方程为；(2)由题意，直线l的斜率存在，设，，由，，作差得，整理有，因为线段的中点R，则且，所以，可得，故，所以直线，即，过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，由，而，可得，经检验满足题设，所以d的最大值为，直线.考点07双曲线的离心率1．答案：D解析：由双曲线的对称性可知,,则四边形为平行四边形,令,则,由双曲线定义可知,故有,即,即,,,则,因为,所以,故,则有,即,即,则,由,故.故选:D2．答案：或解析：由题意可得,设,,则,所以离心率.故答案为:.考点08抛物线定义的应用1．答案：C解析：根据直线得，所以C的准线方程为，C的方程为，所以，所以，所以.2．答案：A解析：由题得,代入得,,即,解得,故选：A.考点09与抛物线焦点弦有关的几何性质1．答案：ACD解析：A（√）直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知.方法一：错误项分析：B（×）当轴时，，，，，，此时.C（√）易知直线AB的斜率不为0，设直线，，，由，得，则，，，.D（√）当，即轴时，由B知，，.当时，直线，，，，所以.综上，.故选ACD.方法二：错误项分析：B（×）以焦点弦为直径的圆与准线相切，AB为直径，AE为弦，所以.C（√）抛物线的焦点弦中通径最短，，则.D（√）由选项B可知，如图，设，由，可得.故选ACD.2．答案：ABC解析：因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确；设在上，所以，所以，B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；当时，，，且，，所以，或舍所以的面积为，D选项错误.故选：ABC.考点10圆锥曲线的面积问题1．答案：（1）（2）解析：（1）由，得.由题意得，则，又，所以.所以C的方程为.（2）由题意得l的斜率存在，设，代入消去y并化简得，由，得，设，，则.，解得.所以.2．答案：(1)(2)解析：（1）设圆M的半径为r，由题意可知，，，且，且，因，故圆心M的轨迹为椭圆，易知椭圆C的长轴长为，焦距为，则，，，故C的方程为.（2）方法1：设，，由题意可得，则，即得，当直线的斜率不存在时，设直线，则，，由可得，，所以，解得，则，此时，圆E的面积为.当直线的斜率存在时，设直线，由可得，，所以，，所以，所以，即，代入，所以，当且仅当时，取得最小值，所以圆E面积的最小值为.方法2：因为以为直径的圆E经过坐标原点O，所以，①