2026届高考数学（新高考）专题讲义：第03讲平面向量的数量积(知识+真题+11类高频考点) 含答案

/第03讲平面向量的数量积目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 2第二部分：高考真题试卷回顾 4第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析 4高频考点二：平面向量数量积的几何意义 5高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积） 6高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算） 7高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角） 8高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数） 10高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积） 11高频考点八：向量的垂直关系 12高频考点九：向量的投影（投影向量) 13高频考点十：平面向量的综合应用 13高频考点十一：最值范围问题 15第四部分：典型易错题型 16备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题 16第五部分：新定义题 17第一部分：基础知识1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量和，如图所示，作，，则()叫做向量与的夹角，记作．(2)范围：夹角的范围是．当时，两向量，共线且同向；当时，两向量，相互垂直，记作；当时，两向量，共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.②投影向量计算公式:当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；当为直角（如图（2））时，，所以；当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.当时，，所以；当时，，所以综上可知，对于任意的，都有.2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量，为向量和的夹角：2.1数量积2.2模：2.3夹角：2.4非零向量的充要条件：2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）3、平面向量数量积的运算①②③4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形中，则②三角形形式：在中，为的中点，所以5、常用结论①②③第二部分：高考真题试卷回顾1．（2023·北京·高考真题试卷）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．12．（2023·全国·乙卷文）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．53．（2023·全国·甲卷文）已知向量，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·乙卷理）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．5．（2023·天津·高考真题试卷）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．6．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知向量，满足，，则．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析典型例题1．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（）A． B．C． D．2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（

）①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）在三角形中，在上的投影向量为，则．练透核心考点1．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（

）A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．若，，则 D．，则高频考点二：平面向量数量积的几何意义典型例题1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则.

练透核心考点1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（

）

A． B．1 C． D．2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在中，C为直角顶点，，则的值为（）A．4 B．8 C．16 D．缺少条件，做不出来高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）典型例题1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边的边长为，那么（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为边上一点，满足，则（

）A． B．6 C． D．3．（2024·全国·模拟预测）在正六边形中，已知，则．练透核心考点1．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（

）

A．－8 B．－4 C．0 D．42．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A． B． C．1 D．3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，正八边形，其外接圆半径为2，则=.

高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）典型例题1．23-24高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量满足，则（

）A．3 B． C．7 D．2．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知平面向量满足且，则（

）A． B．5 C． D．63．（2024·全国·模拟预测）若，，则．4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，，，，则.练透核心考点1．（2024·陕西西安·三模）已知平面向量，的夹角为，若，，则（

）A．2 B． C．或2 D．2或2．（2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知向量，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（

）A．2 B．4 C． D．4．（2023·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．4高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）典型例题1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为.3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．(1)用表示向量；(2)若，且，求的余弦值．4．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量．(1)若，求的坐标；(2)若，求与的夹角．练透核心考点1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，则．2．（2021·河南·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角的正切值为．3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，．(1)求；(2)求向量与的夹角．4．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，，．(1)若，，求的值；(2)若，求与的夹角的余弦值．高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）典型例题1．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为．2．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是.3．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量，，．(1)①若，求；②若，求；(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．4．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知向量，．(1)若，求实数k的值；(2)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．练透核心考点1．（23-24高一下·甘肃天水·期末）已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为.3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为．4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，．(1)求以及向量与的夹角的余弦值；(2)已知与的夹角为锐角，求的取值范围．高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）典型例题1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量，，满足，则（）A． B． C． D．2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向，，，，，若，则的最大值为（

）A．8 B． C． D．3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若向量，满足，，，则.练透核心考点1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知平面向量与的夹角为，且，则（

）A． B．-2 C．2 D．3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）向量，若存在实数，使得，则的取值范围是高频考点八：向量的垂直关系典型例题1．（2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（

）A． B．C． D．12．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知向量，若，则.3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，与的夹角为．(1)求；(2)若向量与相互垂直，求实数k的值．练透核心考点1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知，，，且与垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，，若与垂直，则.3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量，满足，，且，的夹角为.(1)求；(2)若，求实数的值；高频考点九：向量的投影（投影向量)典型例题1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知，则向量在上的投影向量的模长为（

）A．1 B． C． D．2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（

）A．1 B． C．2 D．3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量、、，其中且与的夹角是与的夹角是，则在方向上的投影数量为．练透核心考点1．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为．高频考点十：平面向量的综合应用典型例题1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知向量(1)向量夹角的余弦值；(2)若向量与垂直，求实数k的值；(3)若向量，且与向量平行，求实数k的值.2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）已知非零向量满足，且.(1)求；(2)当时，求向量与的夹角θ的值.3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知平面内的三个向量，，．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．高频考点十一：最值范围问题典型例题1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量满足，，则的最大值等于（

）A． B． C．2 D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·福建莆田·期中）设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为．练透核心考点1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（

）A．6 B．12 C．24 D．322．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，，，，，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．3．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知平面向量满足，则的最大值为.4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若，，平面内一点P，满足，的最大值是．第四部分：典型易错题型备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题1．（2024高三·全国·专题练习）已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为．2．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量．若，其中，若的夹角为锐角，则的取值范围．3．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为．第五部分：新定义题1．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．(1)设，解决下面问题：①求；②设与的夹角为，求；(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．第03讲平面向量的数量积目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题试卷回顾 3第三部分：高频考点一遍过 8高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析 8高频考点二：平面向量数量积的几何意义 11高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积） 13高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算） 16高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角） 19高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数） 23高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积） 27高频考点八：向量的垂直关系 30高频考点九：向量的投影（投影向量) 32高频考点十：平面向量的综合应用 34高频考点十一：最值范围问题 39第四部分：典型易错题型 48备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题 48第五部分：新定义题 50第一部分：基础知识1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量和，如图所示，作，，则()叫做向量与的夹角，记作．(2)范围：夹角的范围是．当时，两向量，共线且同向；当时，两向量，相互垂直，记作；当时，两向量，共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.②投影向量计算公式:当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；当为直角（如图（2））时，，所以；当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.当时，，所以；当时，，所以综上可知，对于任意的，都有.2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量，为向量和的夹角：2.1数量积2.2模：2.3夹角：2.4非零向量的充要条件：2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）3、平面向量数量积的运算①②③4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形中，则②三角形形式：在中，为的中点，所以5、常用结论①②③第二部分：高考真题试卷回顾1．（2023·北京·高考真题试卷）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【正确答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量满足，所以.故选：B2．（2023·全国·乙卷文）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【正确答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.3．（2023·全国·甲卷文）已知向量，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，，所以.故选：B.4．（2023·全国·乙卷理）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.5．（2023·天津·高考真题试卷）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．【正确答案】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故；.

6．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知向量，满足，，则．【正确答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析典型例题1．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得.【详解】，当且仅当共线时取等号，A错误；由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误；是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误；，因此，D正确.故选：D2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（

）①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】B【分析】根据向量的运算公式，即可判断选项.【详解】①，故①错误；②.故②正确；③，则，为等腰三角形，故③正确；④若，只能说明中，角是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断为锐角三角形，故④错误.故选：B3．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）在三角形中，在上的投影向量为，则．【正确答案】【分析】首先根据投影公式求，再转化向量，即可求解.【详解】由题意，，为中点，由在上的投影向量为，即，又，所以，所以.故练透核心考点1．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（

）A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形【正确答案】D【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可.【详解】因为，所以，所以，所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，故可为任意三角形.故选：D2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】A【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；0乘以任何向量都为零向量，故②正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误；故选：A3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．若，，则 D．，则【正确答案】BD【分析】根据数量积的运算律及定义判断即可.【详解】对于A：表示与共线的一个向量，表示与共线的一个向量，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：因为，即，又，所以，即向量与在向量方向上的投影相同，故C错误；对于D：若，则，即，所以，则，故D正确；故选：BD高频考点二：平面向量数量积的几何意义典型例题1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据数量积的定义可得为在上的投影，结合图，分别计算点与点重合、点与点重合时对应的的值，可得的取值范围，从而可得的取值范围.【详解】因为，其中为在上的投影，又因为点为边长为的等边中线上的动点，点为的中点，当点与点重合时，为等边三角形，此时有最大值，所以，当点与点重合时，此时有最小值，，所以，又，所以，即．故选：B．2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则.

【正确答案】18【分析】利用平面向量的投影求解.【详解】依题意得，则.故18练透核心考点1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（

）

A． B．1 C． D．【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.【详解】在正八边形中，连接，则，而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故选：D

2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在中，C为直角顶点，，则的值为（）A．4 B．8 C．16 D．缺少条件，做不出来【正确答案】C【分析】由已知结合数量积的几何意义求解.【详解】如图，∵C为直角，，∴.故选：C高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）典型例题1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边的边长为，那么（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得.【详解】等边的边长为1，则，，所以.故选：D2．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为边上一点，满足，则（

）A． B．6 C． D．【正确答案】B【分析】由题意分解向量得，进一步结合向量的数量积公式即可求解.【详解】由题意，因为，所以，所以，因为，所以.故选：B.3．（2024·全国·模拟预测）在正六边形中，已知，则．【正确答案】/【分析】求出角度，由余弦定理得到，利用数量积公式求出答案.【详解】在正六边形中，，，，．其中≌，由余弦定理可得，．故练透核心考点1．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（

）

A．－8 B．－4 C．0 D．4【正确答案】A【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则：，，，故选:A．

2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A． B． C．1 D．【正确答案】C【分析】根据数量积得运算律计算即可.【详解】由，所以，则.故选：C3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，正八边形，其外接圆半径为2，则=.

【正确答案】【分析】由，结合角度关系以及数量积定义和运算律即可求得结果.【详解】正八边形，故，故；则.故答案为.高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）典型例题1．23-24高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量满足，则（

）A．3 B． C．7 D．【正确答案】B【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】∵向量满足，，，，.故选：B2．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知平面向量满足且，则（

）A． B．5 C． D．6【正确答案】D【分析】由垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算即得.【详解】由，得，由，得，则，由，得，即，则，所以.故选：D3．（2024·全国·模拟预测）若，，则．【正确答案】【分析】首先求出，再根据数据量的运算律得到，最后根据计算可得.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，，，，则.【正确答案】【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得.【详解】由，，得，而，且，因此，解得，即，所以.故练透核心考点1．（2024·陕西西安·三模）已知平面向量，的夹角为，若，，则（

）A．2 B． C．或2 D．2或【正确答案】A【分析】将平方后，结合平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为，，所以，解得（舍负）.故选：A.2．（2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知向量，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【正确答案】D【分析】计算，再计算模长即可.【详解】由题意知，所以，故选：D．3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（

）A．2 B．4 C． D．【正确答案】B【分析】先由模长公式得，再结合数量积公式求即可.【详解】由题意可得，，，可得，，解得.故选：B.4．（2023·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．4【正确答案】C【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【详解】依题意设，，由，所以，则，又，且，所以，即，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选：C高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）典型例题1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据投影向量可得，再结合向量夹角公式运算求解.【详解】由向量在向量上投影向量为，所以得，又因为，所以，故C正确.故选：C.2．（2024高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为.【正确答案】【分析】由，可得，结合数量积的运算律求出，再根据向量夹角的计算公式求解即可.【详解】因为且为非零向量，设，则，又，所以，则，所以，设向量的夹角为，则，即向量夹角的余弦值为.故答案为.3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．(1)用表示向量；(2)若，且，求的余弦值．【正确答案】(1)，(2)【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得；（2）利用结合条件根据向量夹角公式运算求解即得.【详解】（1），，.（2）因为三点共线，所以得，，得，所以，所以，即的余弦值为.4．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量．(1)若，求的坐标；(2)若，求与的夹角．【正确答案】(1)或；(2)．【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解即可；（2）利用坐标表示向量的数量积及向量夹角公式得解.【详解】（1）由题意，设，因为，所以，所以，所以或．（2）因为，所以，所以，即，设与的夹角为，则，又，所以，所以与的夹角．练透核心考点1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，则．【正确答案】/【分析】根据向量夹角的坐标运算公式进行计算即可.【详解】因为，则，所以，故答案为.2．（2021·河南·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角的正切值为．【正确答案】/【分析】确定，根据向量的夹角公式计算，再根据同角三角函数关系计算即可.【详解】设向量与的夹角为，因为，所以，，，所以，又，所以，所以，所以向量与的夹角的正切值为．故．3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，．(1)求；(2)求向量与的夹角．【正确答案】(1)3(2)【分析】（1）由条件结合数量积的运算律求，再结合关系求；（2）根据向量的夹角余弦公式求向量与的夹角余弦，再求其夹角.【详解】（1）因为，，所以，解得，．所以，所以．（2）．设向量与的夹角为，则．因为，所以．4．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，，．(1)若，，求的值；(2)若，求与的夹角的余弦值．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）借助平面向量基本定理与坐标运算计算即可得；（2）借助向量垂直可得数量积为0，结合向量夹角公式计算即可得.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，解得，所以；（2）因为，所以，即，解得，所以，故．高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）典型例题1．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为．【正确答案】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为，，与成锐角，所以，解得，当与同向时，，即，解得，此时满足，但与所成角为0，不满足题意，综上，与成锐角时，y的取值范围为.故2．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是.【正确答案】【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.【详解】因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，所以且，解得且，所以的取值范围为，故答案为.3．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量，，．(1)①若，求；②若，求；(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．【正确答案】(1)①或；②或(2)【分析】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得；（2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果.【详解】（1），，①若，则，即，解得或；②若，则，解得或.（2）由，解得或，又时，或，若向量与的夹角为钝角，则或或，故的取值范围为.4．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知向量，．(1)若，求实数k的值；(2)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【正确答案】(1)k＝(2)．【分析】（1）先求出，然后再根据垂直关系即可求出；（2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.【详解】（1），因为，所以，解得.（2）若与的夹角是钝角，则且与方向不相反，即，且解得：且，故实数k的取值范围是.练透核心考点1．（23-24高一下·甘肃天水·期末）已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.【正确答案】【分析】根据两向量夹角为钝角列不等式，求解的取值范围即可.【详解】因为与的夹角为钝角，所以，解得且，即实数的取值范围是.故2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为.【正确答案】【分析】根据与的夹角为钝角利用平面向量的夹角公式列出不等式，但是要排除两个向量成角时的情况.【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，所以，解得，同时向量，也不能成的角，所以，所以的取值范围为.故答案为.3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为．【正确答案】【分析】根据向量的夹角列式，从而求得的取值范围.【详解】依题意，向量与的夹角为钝角，所以，解得且，所以的取值范围是.故答案为.4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，．(1)求以及向量与的夹角的余弦值；(2)已知与的夹角为锐角，求的取值范围．【正确答案】(1)；；(2)【分析】（1）根据向量夹角公式计算求解即可；（2）夹角为锐角时数量积为正，同时注意排除夹角为0的情况即可.【详解】（1）由，，得，则；，（2），由与的夹角为锐角，则，解得；当时，有，有．此时．所以的取值范围为且．高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）典型例题1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量，，满足，则（）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据已知条件可得向量的夹角为，，再利用数量积运算可得解.【详解】由，可得向量的夹角为，，.故选：C.2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向，，，，，若，则的最大值为（

）A．8 B． C． D．【正确答案】B【分析】根据题意由各向量间的夹角以及模长，画出图形利用圆心角和圆周角的关系并由向量数量积定义可得结果.【详解】如下图所示：令，，，由余弦定理得，，因为，所以，则C点在圆E的优弧AB上运动，可得圆心角，其中，，，，则，所以，所以故选：B．3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若向量，满足，，，则.【正确答案】【分析】利用垂直向量的数量积为0，结合数量积的运算法则即可求得，从而得解.【详解】因为，所以，又，，所以，解得.故答案为.练透核心考点1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（

）A．2 B．4 C． D．【正确答案】B【分析】先由模长公式得，再结合数量积公式求即可.【详解】由题意可得，，，可得，，解得.故选：B.2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知平面向量与的夹角为，且，则（

）A． B．-2 C．2 D．【正确答案】C【分析】首先根据已知条件结合数量积的定义运算求出，然后再根据向量的运算法则进行求解即可.【详解】，解得.因此可得.故选：C3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）向量，若存在实数，使得，则的取值范围是【正确答案】【分析】对给定向量等式两边平方，借助一元二次方程有实根求出的取值范围即得.【详解】向量，由两边平方，得，整理得，依题意，关于的方程有实根，显然，否则，则，即，解得或，由，得，因此，，所以的取值范围是.故高频考点八：向量的垂直关系典型例题1．（2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（

）A． B．C． D．1【正确答案】B【分析】根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.【详解】因为向量与互相垂直，所以．所以，因为，所以，所以，解得，故选：B2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知向量，若，则.【正确答案】【分析】利用数量积的坐标运算求得，，再根据数量积运算求解即可.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，解得.故3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，与的夹角为．(1)求；(2)若向量与相互垂直，求实数k的值．【正确答案】(1)2；(2).【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可；（2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值.【详解】（1）根据题意，，又.（2）根据题意，，即，，解得.练透核心考点1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知，，，且与垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据向量垂直的数量积表示、向量数量积的运算律可构造方程求得结果.【详解】，，与垂直，，解得.故选：C.2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，，若与垂直，则.【正确答案】【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求解.【详解】因为单位向量，的夹角为，可得，又因为与垂直，可得，即，解得.故答案为.3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量，满足，，且，的夹角为.(1)求；(2)若，求实数的值；【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解；（2）根据题意，得到，结合数量积的计算公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：由向量，，且，的夹角为，可得，则.（2）解：因为，所以，即，即，可得，即，解得.高频考点九：向量的投影（投影向量)典型例题1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知，则向量在上的投影向量的模长为（

）A．1 B． C． D．【正确答案】B【分析】直接根据投影的公式计算即可.【详解】向量在上的投影向量的模长为.故选：B.2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（

）A．1 B． C．2 D．【正确答案】B【分析】根据数量积的定义求出，再由向量在向量上的投影数量为计算可得.【详解】因为向量与的夹角为，且，，所以，所以向量在向量上的投影数量为.故选：B3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量、、，其中且与的夹角是与的夹角是，则在方向上的投影数量为．【正确答案】1【分析】先求出数量积，再根据数量积的几何意义求解即可.【详解】因为且与的夹角是与的夹角是，所以，所以在方向上的投影数量为.故1练透核心考点1．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据投影向量的定义，把在上的投影向量化简为，代入坐标计算即得.【详解】在上的投影向量为.故选：D.2．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】根据向量在向量上的投影向量公式：计算即得.【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得:向量在向量上的投影向量为：，即，因，则，，则向量在向量上的投影向量为.故选：D.3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为．【正确答案】【分析】根据题意，求得，结合投影向量公式，求得，即可求解.【详解】由向量，，可得，可得，所以向量在向量上的投影向量为.故答案为.高频考点十：平面向量的综合应用典型例题1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知向量(1)向量夹角的余弦值；(2)若向量与垂直，求实数k的值；(3)若向量，且与向量平行，求实数k的值.【正确答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据向量数量积以及模的坐标运算，计算即可得出答案；（2）求出向量与的坐标，根据向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可得出答案；（3）求出向量与向量的坐标，根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，，，，所以，向量夹角的余弦值.（2）由已知可得，，.又向量与垂直，所以，，即，解得.（3）由已知可得，.又与向量平行，，所以有，整理可得，，解得.2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）已知向量满足，设与的夹角为，(1)若对任意实数，不等式恒成立，求的值；(2)根据（1）中与的夹角值，求与夹角的余弦值．【正确答案】(1)(2)．【分析】（1）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解；（2）分别求出，再利用夹角公式即可得解．【详解】（1）将不等式两边同时平方，得，即因为，与的夹角为，则恒成立，所以，化简得，解得．（2）由（1）知，则，，则，则，故与夹角的余弦值为.3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且．

(1)以，为基底表示向量与；(2)若，，与的夹角为，求．(3)设线段AM、FM的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值．【正确答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用向量的线性运算及向量的中点表示即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的定义，结合向量的数量积的运算律即可求解；（3）利用（1）（2）及向量的数量积运算律，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，．，.（2）由（1）知，，，，，与的夹角为，,.（3）由（1）（2）知，，，，，，，，，，因为线段AM、FM的交点为，所以就是向量与的夹角，所以.故的余弦值为.练透核心考点1．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．(1)若，求的值；(2)若，设点D为线段OA（包括端点）上的动点，求的最小值；(3)若，向量，，求式的最小值及对应的值．【正确答案】(1)(2)(3)当时，最小0.【分析】（1）求出，将目标式转化为用表示，然后代入的值计算即可；（2）设点，利用向量的坐标运算以及二次函数的性质计算模的最小值；（3）计算化简，然后利用正弦函数的性质求解最值.【详解】（1）因为，则，则；（2）因为，且，则点，设点，，则，所以，当时，最小，且最小为；（3）由已知点，则，又，所以，因为，所以，则当，即时，取最小值，且最小值为.2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）已知非零向量满足，且.(1)求；(2)当时，求向量与的夹角θ的值.【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得.（2）利用数量积的运算律及夹角公式求解即得.【详解】（1）向量，由，得，即，所以.（2）由（1）知，，而，则，，因此，而，所以所求夹角.3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知平面内的三个向量，，．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算，得到，，再利用共线的坐标运算，即可求出结果；（2）根据条件，利用垂直的坐标运算，即可求出结果.【详解】（1）因为，，，所以，，因为，所以，解得．（2）由（1）知，又，因为，所以，得到，解得．高频考点十一：最值范围问题典型例题1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量满足，，则的最大值等于（

）A． B． C．2 D．【正确答案】A【分析】由，即得到点共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【详解】设，因为，，所以，又，所以，所以点共圆，要使的最大，即为直径，在中，由余弦定理可得，又由正弦定理，即的最大值等于，故选：A.关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.2．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】C【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得.【详解】如图，设，，，点在圆上，点在圆上，则，，由可得：，作矩形,则.下证：.设交于点，连接,因则，同理可得：，两式左右分别相加得：，.即，故.又，因，即，故有．故选:C．方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.3．（2023·全国·模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】取线段的中点，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.【详解】取线段的中点，则，，由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，由图形可知，当取最大值时，点在折线段上，连接，则，同理，由正六边形的几何性质可知，，所以，，则、、三点共线，则，即，当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大，同理可知，，当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大，所以，当取最大值时，点在折线段上运动，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、、、、，设点，（1）当点在线段上运动时，，直线的方程为，即，所以，线段的方程为，则；（2）当点在线段上运动时，，，则，所以，；（3）当点在线段上运动时，，直线的方程为，即，所以，线段的方程为，所以，，因为函数在上单调递增，故.综上所述，的最大值为，故，故的取值范围是.故选：B.方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运