2026年（新高考）数学（三模）试卷专项练习：平面向量与复数 含答案

/专题04平面向量与复数题型01平面向量的线性运算1．（2025年江苏如皋市三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（

）A．2 B． C．0 D．12．（2025·四川省自贡市·三模）在中，是边上的中点，则（

）A． B． C． D．3．（2025年山东省泰安市三模）正方形中，，，设，，则（

）A． B． C． D．4．（多选）（2025·河南省焦作市·三模）在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（

）A． B． C． D．5．（2025年天津市滨海新区三模）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.（1）若，则；（2）与的面积之比的最小值为.题型02平面向量的数量积、投影向量的运算1．（2025·四川省攀枝花·三模）平面向量，满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知，向量与的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．3．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（2025年河北石家庄三模）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（

）A．-1 B． C．0 D．15．（多选）（2025·陕西省安康市·三模）已知向量，则（

）A．B．C．D．在上的投影向量的坐标为6．（2025·河北省张家口·三模）在中，，，则（

）A．2 B． C． D．7．（2025·重庆市·三模）已知两个非零向量，，若，，，则.8．（2025·湖南省郴州市·三模）定义：，其中为向量的夹角.若，则（

）A．8 B．16 C． D．9．（2025·辽宁沈阳·三模）已知向量，满足，，则等于（

）A．12 B．10 C． D．10．（2025·湖南省永州市·三模）已知直线与圆C：交于A，B两点，且，则.11．（2025·湖南省郴州市·三模）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求的值；(2)若，求的长.题型03有关平面向量的垂直、共线的运算1．已知向量，满足，，且，则（

）A． B． C． D．2．（2025年江西省萍乡市三模）已知向量，，若，则（

）A． B． C．3 D．63．（2025·四川省绵阳市·三模）已知平面向量，若，则（

）A． B．0 C．1 D．24．（2025·安徽省安庆市·三模）已知向量满足,,且,则（）A．1 B． C． D．25．（2025年山东威海市三模）已知向量满足，则与的夹角为．6．（2025·河南省安阳市·三模）已知向量，，若，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2025年广东省广州市天河区三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（

）A． B．2 C．6 D．8．（2025年山西省吕梁市三模）已知向量，则的最小值是（

）A． B． C．5 D．25题型04有关复数的基本概念及几何意义1．（2025·四川省绵阳市·三模）已知复数满足，则的共轭复数为（

）A． B． C． D．2．（2025·四川省凉山州·三模）复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．43．（2025·四川省成都市·三模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数对应的点位于（

）.A．第一象限. B．第二象限. C．第三象限. D．第四象限.4．（2025·安徽省安庆市·三模）复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．5．（2025年江西省萍乡市三模）的虚部为（

）A． B． C． D．6．（2025·河南省安阳市·三模）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2025·河北省张家口·三模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2025年河北石家庄三模）设复数的共轭复数为，则（

）A． B． C． D．9．（2025·湖南省永州市·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（

）A． B． C． D．题型05有关复数的基本运算1．（2025·辽宁沈阳·三模）已知为虚数单位，若，则（

）A． B． C． D．2．（2025年山西省吕梁市三模）复数z满足，，则（

）A． B．10 C．8 D．3．（2025·陕西省安康市·三模）已知复数，则（

）A． B．C． D．4．（2025·四川省攀枝花·三模）（

）A． B． C．1 D．5．（2025·四川省自贡市·三模）已知，则（

）A．3 B．5 C． D．6．（2025·重庆市·三模）已知为虚数单位，则（

）A． B． C． D．7．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则（

）A． B． C． D．8．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知ⅰ为虚数单位，则（

）A．0 B．1 C． D．29．（2025年江西九江市三模）若，则（

）A． B． C． D．10．（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．11．（2025·河南省焦作市·三模）若为方程的两个不同的根，则（

）A．－2i B．2i C．－2 D．212．（2025年山东威海市三模）若复数满足，则（

）A． B． C． D．13．（2025年广东省广州市天河区三模）已知，则（

）A． B． C．0 D．14．（2025·山东省枣庄市·三模）已知是关于的方程的一个根，则（）A．2 B．3 C．5 D．15．已知复数，若，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．16．（2025年江苏如皋市三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（

）A．若则B．若，则C．若，则D．若，则17．（2025年天津市滨海新区三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为．18．（2025·湖南省郴州市·三模）已知复数是关于的方程的一个根，则.答案解析题型01平面向量的线性运算1．（2025年江苏如皋市三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（

）A．2 B． C．0 D．1【正确答案】A【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可.【详解】，，因为与共线，，故选：A．2．（2025·四川省自贡市·三模）在中，是边上的中点，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】因为是边上的中点，所以，即.故选：A.3．（2025年山东省泰安市三模）正方形中，，，设，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据向量的线性运算可求.【详解】由题设有，其中，，在正方形中，，所以.故选：C.4．（2025·河南省焦作市·三模）在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】AD【分析】本题考查平面向量的运算性质，对于，先将表示为，求的坐标，再求出其模长；对于，先利用向量数量积的坐标表示求出，再求出；对于，由，得为边上的高，再由等面积法求出；对于，由，得到平分，即，又，所以，最后利用求出即可.【详解】对于，，故正确；对于，因为，所以，故错误；对于，因为，所以为边上的高，的面积为，所以，故错误；对于，因为，所以平分，即，又，所以，所以，故正确．故选.5．（2025年天津市滨海新区三模）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.（1）若，则；（2）与的面积之比的最小值为.【正确答案】/【分析】根据，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得，根据三点共线可得，利用三角形的面积公式可得，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）；（2）因为，所以，因为M，O，N三点共线，故，即，又因为，而，，则，即，当且仅当时取等号，所以与的面积之比的最小值为.题型02平面向量的数量积、投影向量的运算1．（2025·四川省攀枝花·三模）平面向量，满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用投影向量的公式即可求解.【详解】由在上的投影向量为，故选：B.2．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知，向量与的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【正确答案】B【分析】利用及数量积的运算律即可求出.【详解】由题意可得，，解得或（舍）.故选：B3．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据平面向量的模长与数量积的关系就得的值，再根据投影向量的定义求解即可.【详解】由，，，得，则，所以在上的投影向量为.故选：A．4．（2025年河北石家庄三模）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（

）A．-1 B． C．0 D．1【正确答案】B【分析】由投影向量的概念求得，从而求出，再利用向量数量积的运算律展开运算即可.【详解】因为平面向量，是两个单位向量，故在上的投影向量为,所以,所以,故选：B.5．（多选）（2025·陕西省安康市·三模）已知向量，则（

）A．B．C．D．在上的投影向量的坐标为【正确答案】ABD【分析】A利用向量的模的坐标公式计算；B利用向量加法和数乘的坐标运算；C利用公式即可；D利用投影向量公式.【详解】因，则，故A正确；，则，则，故B正确；，则，故C错误；在上的投影向量为，故D正确.故选：ABD6．（2025·河北省张家口·三模）在中，，，则（

）A．2 B． C． D．【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解.【详解】依题意，.故选：C.7．（2025·重庆市·三模）已知两个非零向量，，若，，，则.【正确答案】2【分析】先对进行平方，再结合向量数量积的运算性质以及已知条件求出.【详解】对进行平方，可得.已知，，，.将上述值代入可得.即.已知，所以.又因为，所以.可得.因为为非零向量，所以，可得.故2.8．（2025·湖南省郴州市·三模）定义：，其中为向量的夹角.若，则（

）A．8 B．16 C． D．【正确答案】B【分析】由，结合同角三角函数式即可求解.【详解】因为，所以.故选：B.9．（2025·辽宁沈阳·三模）已知向量，满足，，则等于（

）A．12 B．10 C． D．【正确答案】C【分析】由得，又展开即可求解.【详解】由有，所以，所以，故选：C.10．（2025·湖南省永州市·三模）已知直线与圆C：交于A，B两点，且，则.【正确答案】【分析】根据圆与直线相交的几何性质结合向量数量积的几何意义求解相交弦长，再根据直线与圆相交弦长公式列方程求解的值即可.【详解】取中点，连接，因为点为中点，所以，所以，所以或（舍），由于圆C：的圆心，半径，则圆心到直线的距离相交弦长，则，解得.11．（2025·湖南省郴州市·三模）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求的值；(2)若，求的长.【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得；（2）利用余弦定理计算可得，再由向量定比分点以及余弦定理计算可得的长.【详解】（1）依题意可得，得.因为，所以，则，因为，所以，所以由题意得，解得（负根已舍去）.因为，所以，所以由余弦定理可得.题型03有关平面向量的垂直、共线的运算1．已知向量，满足，，且，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为，，所以，因为，所以，从而.故选：D.2．（2025年江西省萍乡市三模）已知向量，，若，则（

）A． B． C．3 D．6【正确答案】A【分析】根据已知结合向量垂直的坐标表示列出方程，求解得出，进而根据模的坐标运算求解，即可得出答案.【详解】由已知，可得，，解得，，故.故选：A.3．（2025·四川省绵阳市·三模）已知平面向量，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【正确答案】A【分析】根据平面向量平行的坐标表示求出，再根据数量积的坐标表示求解即可.【详解】由，，则，即，此时，则.故选：A.4．（2025·安徽省安庆市·三模）已知向量满足,,且,则（）A．1 B． C． D．2【正确答案】A【分析】根据向量数量积的运算律，数量积求模，垂直关系的向量即可求解.【详解】因为，则，又因为，由得，则，则，故选：A.5．（2025年山东威海市三模）已知向量满足，则与的夹角为．【正确答案】/【分析】利用垂直向量的数量积为0可求得，然后由向量夹角公式可解.【详解】因为，所以，得,因为，所以与的夹角为.6．（2025·河南省安阳市·三模）已知向量，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据平面垂直向量和数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】由，得，解得.故选：B7．（2025年广东省广州市天河区三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（

）A． B．2 C．6 D．【正确答案】A【分析】由向量共线得到，求解即可.【详解】因为与共线，所以，解得：，故选：A8．（2025年山西省吕梁市三模）已知向量，则的最小值是（

）A． B． C．5 D．25【正确答案】C【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再结合二次函数的性质求出最值可得.【详解】，，即，所以，所以最小值为5，当时取得.故选：C.题型04有关复数的基本概念及几何意义1．（2025·四川省绵阳市·三模）已知复数满足，则的共轭复数为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的定义求解即可.【详解】由，则，则的共轭复数为.故选：B.2．（2025·四川省凉山州·三模）复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．4【正确答案】D【分析】根据复数的乘法运算和复数虚部的概念即可得到答案.【详解】，则其虚部为4.故选：D.3．（2025·四川省成都市·三模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数对应的点位于（

）.A．第一象限. B．第二象限. C．第三象限. D．第四象限.【正确答案】C【分析】根据复数的几何意义和共轭复数概念判断即可.【详解】复数对应的点坐标为，因此可表示为：所以，对应的点坐标为，位于第三象限.故选.4．（2025·安徽省安庆市·三模）复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可.【详解】由题意知，令，所以复数的共轭复数为，故选：C5．（2025年江西省萍乡市三模）的虚部为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用复数的乘法运算化简复数，即得其虚部.【详解】因，故其虚部为.故选：C.6．（2025·河南省安阳市·三模）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算，化简得出，根据复数的几何意义即可得出答案.【详解】由已知得，则在复平面内对应的点的坐标为，该点在第三象限.故选：C.7．（2025·河北省张家口·三模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正确答案】D【分析】由复数乘法和复数的几何意义即可求解.【详解】，在复平面内对应的点的坐标为，它位于第四象限.故选：D.8．（2025年河北石家庄三模）设复数的共轭复数为，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】先求出，再根据复数的乘法计算即可.【详解】由可得，则.故选.9．（2025·湖南省永州市·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义确定其所在的象限即可.【详解】因为，所以，则z在复平面内对应的点为.故选：D.题型05有关复数的基本运算1．（2025·辽宁沈阳·三模）已知为虚数单位，若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用复数的运算化简复数，利用共轭复数的定义可求得复数.【详解】因为，故.故选：B.2．（2025年山西省吕梁市三模）复数z满足，，则（

）A． B．10 C．8 D．【正确答案】A【分析】由复数的乘法运算及模长公式即可求解.【详解】由，可得，所以，故选：A3．（2025·陕西省安康市·三模）已知复数，则（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法求解.【详解】复数，则，所以.故选：D4．（2025·四川省攀枝花·三模）（

）A． B． C．1 D．【正确答案】A【分析】利用复数的运算法则，然后借助和幂的运算性质即可求解.【详解】由，故选：A.5．（2025·四川省自贡市·三模）已知，则（

）A．3 B．5 C． D．【正确答案】C【分析】先求出复数，再结合模的公式计算即可.【详解】因为，所以，则.故选：C.6．（2025·重庆市·三模）已知为虚数单位，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据复数的除法运算法则求出，再求模即可.【详解】因为，所以.故选：B.7．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】利用复数的除法直接求出z.【详解】因为，所以.故选：A8．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知ⅰ为虚数单位，则（

）A．0 B．1 C． D．2【正确答案】C【分析】根据题意，化简，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】因为，所以，所以..故选：C．9．（2025年江西九江市三模）若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用共轭复数的定义结合复数的除法可化简所求复数.【详解】因为，则，故.故选：C.10．（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】利用复数的除法运算可求，再根据复数的共轭及乘法计算即可.【详解】由，则，所以.故选：A.11．（2025·河南省焦作市·三模）若为方程的两个不同的根，则（

）A．