《全国百强校》江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二上学期期中考试数学

江苏省无锡市江阴四校学年高二上学期期中考试数学一、填空题：共14题1.命题“”的否定是_____________.【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“”的否定是故答案为2.过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是________.【答案】【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P（－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y1=0。考点：两条直线的位置关系3.是直线和直线平行的_______条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空)【答案】充分不必要条件【解析】若l1//l2,则=,则a=0或,经检验都符合题意，所以l1//l2充要条件是a=0或，故是a=0或的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4.若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为______________.【答案】【解析】因为点与点关于点对称,所以点C的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为.故答案为5.已知正方体分别是正方形和的中心,则和所成的角的大小是______.【答案】【解析】连接DC1,分别是正方形和的中心,所以分别为的中点，故DC1//EF,则DC1与所成的角即为和所成的角，大小为故答案为6.直线的倾斜角的取值范围是______________.【答案】【解析】由直线方程可得直线的斜率为,所以直线=的倾斜角的取值范围是故答案为7.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为,底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为,若,则的值为____________.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，因此考点：圆锥体积及侧面积8.直线被圆截得的弦长为2,则实数的值为___________.【答案】2【解析】圆=,则圆心(a,0),半径为,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离为,即=,则.故答案为29.在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为,则椭圆的方程为_________________.【答案】【解析】由题意可得,求解可得===,所以椭圆的方程为=.故答案为10.已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,.给出下列命题:①;②;③;④.其中正确的命题是____________.【答案】①④【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由可得或,又,则m,l的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,又,由线面垂直的判定定理可知,的位置关系可能不垂直,故③错误;由,又,所以,故④正确.故答案为①④11.已知实数满足方程=,则的取值范围是______.【答案】【解析】方程=化为,表示的图形是一个半圆,令,即y=kx,如图所示,当直线与半圆相切时,k=,所以的取值范围是故答案为12.已知圆=与圆=相外切,则的最大值为_______.【答案】【解析】因为圆=与圆=相外切,所以,两边平方可得a2+b2+2ab=9,又因为a2+b2≥2ab,所以ab≤,所以ab的最大值为.故答案为13.若圆=关于直线=对称,过点作圆的切线,则切线长的最小值是________.【答案】4【解析】因为圆=关于直线=对称,所以圆心在直线=上,所以,即,又圆的半径为,当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为=,所以切线长的最小值为=.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b)与圆心的距离最小时...................【答案】故答案为点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二、解答题：共6题15.(1)求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;(2)求经过点,且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程.【答案】(1);(2)所求直线方程为或.【解析】试题分析：(1)由已知直线求出所求直线的斜率,再利用直线方程的点斜式求解即可;(2)分两种情况讨论:当直线过原点时,设所求直线方程为,当直线不过原点时,设所求直线方程为=,则结论易得.试题解析：(1)所设求直线的斜率为,依题意==直线经过点所求直线方程为,即.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为=将(5,2)代入所设方程,解得,所求直线方程为,当直线过原点时,设所求直线方程为,将(5,2)代入所设方程,解得=,所求直线方程为=,即;综上:所求直线方程为或.16.如图,过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB,使AB＝2EF,且平面ABFE⊥平面ABCD,若点G在CD上且满足DG＝G.求证:(1)FG∥平面AED;(2)平面DAF⊥平面BAF.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)根据题意证明四边形DEFG为平行四边形,则FG∥ED,由线面平行判定定理，结论易证得;(2)由面面垂直的性质定理证明AD⊥平面BAF,由面面垂直的判定定理易证出结论.试题解析：(1)证明:(1)DG＝GC,AB＝CD＝2EF,AB∥EF∥CD,EF∥DG,EF＝DG.四边形DEFG为平行四边形,FG∥ED.又FG∥平面AED,ED⊂平面AED,FG∥平面AED.(2)平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD＝AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,AD⊥平面BAF,又AD⊂平面DAF,平面DAF⊥平面BAF.17.在平面直角坐标系中,设命题:椭圆的焦点在轴上;命题:直线与圆有公共点.若命题为假命题,且命题为真命题,求实数的取值范围.【答案】实数的取值范围是【解析】试题分析：命题为真:由题可知,;命题为真:与圆有公共点,则,又知命题p与q一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题为真:由题可知,,解得若命题为真:与圆有公共点,则圆心到直线的距离:=,解得命题为假命题,且命题为真命题,若真假,则解得若真假,则解得综上:实数的取值范围是18.如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面为的中点,在棱上,且.(1)求三棱锥的体积;(2)求证:平面;(3)若为中点,在棱上,且,求证:平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由求解即可;(2)在底面中,取的中点,连接,由题意证明,利用面面垂直的性质定理证明平面,则可得,即可证明结论;(3)连接,,设,证明,则∥,即可证明结论.试题解析：(1)因为△是正三角形,且,所以.又⊥平面,故==S△BCD.(2)在底面中,取的中点,连接,因,故.因,故为的中点.为的中点,故∥,则故因平面平面,故平面平面.△是正三角形,为的中点,故,故平面.平面,故.又,故平面.(3)当时,连接,.设,因为的中点,为中点,故为△的重心,.因==,故,所以∥.又平面平面,所以∥平面.点睛：本题主要考查空间几何体的体积、线面与面面平行与垂直的判定与性质,考查了等积法求体积、空间想象能力与逻辑推理能力.

19.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y212x14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+,求实数t的取值范围.【答案】（1）圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1；（2）直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0；（3）实数t的取值范围是22,2+2].【解析】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2xy+m=0，则圆心M到直线l的距离因为而所以，解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0.（3）设因为，所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.

20.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点.(1)求椭圆的方程;(2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）定点的坐标为.（3）当时,的最小值为.【解析】试题分析：(1)由椭圆的离心率,左顶点为易得结论;(2)直线的方程为,联立椭圆方程消去y,由根与系数的关系,求出点P坐标,根据题意,则结论易得;(3)设的方程可设为,联立椭圆方程,求出点M坐标,=,结合基本不等式求解即可.