高三二轮高效复习讲义数学专题突破函数与导数教考衔接1三次函数

教考衔接1三次函数▶对应学生用书P25[教材溯源](人教B版选择性必修三P114第4题)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，求实数a的取值范围.解：①当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1，令f(x)＝0，解得x＝±33，所以此时不符合题意②当a＞0时，f'(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f'(x)＞0，解得x＞2a或x＜0则f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(0)＝1，当x→－∞时，f(x)→－∞，则存在一零点在(－∞，0)上，所以此时不符合题意；③当a＜0时，令f'(x)＞0，解得2a＜x＜0，令f'(x)＜0，解得x＜2a或x＞所以函数f(x)在(－∞，2a)上单调递减，在(2a，0)上单调递增，在(0，＋∞)若f(x)在R上存在唯一的零点x0，且x0＞0，则f(2a)＝－4a2＋1＞0，整理得a2＞4，解得a＜－2或a＞2，又a＜0，所以a综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2).[真题示例]1.(多选)(2024·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则()A.当a＞1时，f(x)有三个零点B.当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴D.存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心解析：选AD.由题可知，f'(x)＝6x(x－a).对于A，当a＞1时，由f'(x)＜0得0＜x＜a，由f'(x)＞0得x＜0或x＞a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)有三个零点，A正确；对于B，当a＜0时，由f'(x)＜0得a＜x＜0，由f'(x)＞0得x＞0或x＜a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，B错误；对于C，若x＝b是曲线y＝f(x)的对称轴，则f(x＋b)＝f(b－x)，即2(x＋b)3－3a(x＋b)2＋1＝2(b－x)3－3a(b－x)2＋1，即x3＋3b2x＝3abx，不存在a，b使等式恒成立，故不存在a，b，使得直线x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，C错误；对于D，若(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，则f(1＋x)＋f(1－x)＝2f(1)，即2(1＋x)3－3a(1＋x)2＋1＋2(1－x)3－3a(1－x)2＋1＝6－6a，整理得(12－6a)x2－6a＋6＝6－6a，解得a＝2，所以存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确.2.(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为.解析：令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x＞0)，则g'(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，令g'(x)＝0(x＞0)得x＝1，当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增，又g(0)＝1，g(1)＝－2，作出y＝g(x)的大致图象如图，因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，所以等价于直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个交点，所以a∈(－2，1).答案：(－2，1)[方法点评]1.三次函数的零点：设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，其导函数为二次函数：f'(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，判别式为：Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，设f'(x)＝0的两根为x1、x2，结合函数草图易得：a＞0a＜0图象Δ＞0Δ≤0Δ＞0Δ≤0(1)若b2－3ac≤0，则f(x)＝0恰有一个实根；(2)若b2－3ac＞0，且f(x1)·f(x2)＞0，则f(x)＝0恰有一个实根；(3)若b2－3ac＞0，且f(x1)·f(x2)＝0，则f(x)＝0有两个不相等的实根；(4)若b2－3ac＞0，且f(x1)·f(x2)＜0，则f(x)＝0有三个不相等的实根.2.三次函数的对称中心(1)二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即f″(x0)＝0，则x0，fx0为函数f(2)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则对称中心是(－b3a，f(－b(3)三次函数f(x)的对称中心为(t，k)，则f(t－x)＋ft＋x＝2[预测训练]1.(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋2，则()A.f(x)有两个极值点B.点0，2是曲线y＝f(xC.f(x)有三个零点D.直线y＝0是曲线y＝f(x)的一条切线解析：选ABD.由题意，f'(x)＝3x2－3，令f'(x)＞0得x＞1或x＜－1，令f'(x)＜0得－1＜x＜1，所以f(x)在－∞，－1，1，＋∞上单调递增，－1，1上单调递减，令hx＝x3－3x，该函数的定义域为R，h－x＝(－x)3－－3x＝－x3＋3x＝－hx，则hx是奇函数，0，0是hx的对称中心，将hx的图象向上移动两个单位得到f(x)的图象，所以点0，2是曲线y＝f(x因为f－1＝4＞0，f1＝0，f－2＝0，所以函数f(x)在－∞，－1上有一个零点，当x＞1时，f(x)＞f1＝0，即函数f(x)在1，＋∞上无零点，综上所述，函数f令f'(x)＝3x2－3＝0，可得x＝±1，又f1＝0，f－1＝4，当切点为1，0时，切线方程为y＝0，当切点为－1，4时，切线方程为y＝2.(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋4，x∈[0，2]，则下列选项中正确的是()A.f(x)的值域为2B.f(x)在x＝1处取得极小值为2C.f(x)在0，D.若方程f(x)＝a有2个不同的根，则a∈[2，4]解析：选AB.因为函数f(x)＝x3－3x＋4，x∈[0，2]，则f'(x)＝3x2－3，令f'(x)＝0，即3x2－3＝3x+1x－1＝0，解得x＝1或x＝－1当x∈0，1时，f'(x)＜0，则函数f(x)当x∈1，2时，f'(x)＞0，则函数