人教版初二年级上册期末模拟数学质量检测试题解析(一)

人教版初二上学期期末模拟数学质量检测试题解析（一）

一、选择题

1.下列图形不是轴对称图形的是（）.

2.人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077m,用科学记数法表示为（）

A.7.7xl0~5mB.V.VxlO^mC.77xl0-5mD.VVxlO^m

3.下列运算错误的是（）

A.a-«'=a4B.-i-a2=a6C.j=ahD.（-34=9/

3

4.要使分式—有意义，X的取值应满足（）

x-\

A.x>\B.xwlC.XWOD.x为任意实数

5.下列从左至右的变形是因式分解的是（）

A.x（x+y）=/+盯B.（。+力）（a-b）=a2-b2

C./+2a+i=（«+1）2D.»2叶9=1（x+2）+9

6.下列等式中，不成立的是（）

7.如图，已知/W=A£>,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△/WC二△APC的是

A.CB=CDB.NBAC=/DAC

C.ZBAC=ZDCAD.ZS=Z£>=90°

8•若关于'的方程含+>有增根则勿-3的值为（）

A.2B.3C.4D.6

9.如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积

为48,小正方形面积为6,若用x,y表示直角三角形的两直角边长（x>y）,则（x+y『的

A.60B.79C.84D.90

10.如图，线段A2=IO,ZA=ZB=45°,AC=BD=4g点E,尸为线段4?上两点.从

下面4个条件中：①CE=DF=5；®AF=BE；@CE=DF=1；④NCEB二NDFA.选择一

个条件，使得工AC£一定和二班力全等.则所有满足条件的序号是（）

C々

AB

A.①④B.②③C.①②④D.②③④

二、填空题

11.若分式的值为0,则x的取值为

2x-4-------

12.若P（〃?+2〃,T〃+6"）和点Q（2,-6）关于y轴对称，则〃?=—,n=—.

13.若ab=a-bwU,则分式"一，=__________.

ba

14.若3〃?=6,3〃=2,则3机一〃=

15.如图，4、8两点在直线/的同侧，在/上求作一点使AM+BM最小.小明的做法

是：做点A关于直线/的对称点A'连接45,交直线/于点用，点M即为所求.

请你写出小明这样作图的依据：.

16.已知关于工的二次三项式/+依+9是完全平方式，则常数4的值为.

17.若凸〃边形的内角和为1260。，则〃=；该多边形的对角线条数是.

18.如图，CAA.AB,垂足为点4射线垂足为点8,AB=12cm,

AC=6cm.动点E从八点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点。在射线8M上，随

着上点运动而运动，始终保持。=CB.若点上的运动时间为（>（））,则当f=

三、解答题

19.因式分解：

(1)6m(m+n)-4/2(m+n)；

(2)X4-x2.

20.解下列分式方程：

12

(1)-;+『=1:

x-11-x

21.如图，AB=AD.BC=DC.求证：ZBAC=ZDAC.

22.-43C中，ZC=70°,点。，E分别是-A8C边AC,4C上的点，点P是一动点、，令

ZPDA=Zl,4PEB=/"DPE=Na.

初探：

⑴如图1,若点产在线段A6上，且Na=60。，则Nl+N2=

(2)如图2,若点P在线段48上运动，则NLN2,Na之间的关系为；

⑶如图3,若点P在线段AB的延长线上运动，则Nl,N2,Na之间的关系为.

再探：

⑷如图4,若点P运动到,ABC的内部，写出此时NLN2,Na之间的关系，并说明理由.

⑸若点P运动到。的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时Nl,N2,Na之间的关

系，并说明理由.

23.列方程或不等式解应用题：

新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A,B两种消毒液，其

中A消毒液的单价比B消毒液的单价多40元，用3600元购买B消毒液的数量是用2600

元购买A消毒液数量的2倍.

⑴求两种消毒液的单价；

⑵学校准备用不多于7500元的资金购买A、B两种消毒液共70桶，问最多购买A消毒液

多少桶？

24.阅读下列材料：

材料1：将一个形如•产+户+9的二次三项式因式分解时，如果能满足且〃=/〃+〃

则可以把因式分解成(工+机)(x+〃),如：(1)炉+4工+3=(x+l)Cr+

3)；(2)x2-^-12=(x-6)(x+2).

材料2：因式分解：(x+y)2+2(%+)，)+1,解：将“尤+)，看成一个整体，令孙=A,则

原式=A?+2A+1=(A+1)2,再将还原得：原式=(x+)，+l)2

上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问

题：

(1)根据材料1，把/+21-24分解因式；

(2)结合材料1和材料2,完成下面小题；

①分解因式：(x-y)2-8(x-y)+16；

②分解因式：〃？(加-2)(m2-2m-2)-3

26.已知△A8C是等边三角形，的顶点。在边8c上

(1)如图1,若AO=DE,ZAED=60°,求N4CE的度教；

(2)如图2,若点。为8c的中点，AE=AC,N0C=90°,连CE,求证：CE=2BF；

(3)如图3,若点。为8c的一动点，^AED=90°,N人DE=30。，已知ZkABC的面积为

4白，当点。在8C上运动时，△48E的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若变

化请说明理由.

E

26.(1)如图1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,8DJ_直线

m,CE_L直线m,垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.(提示：由于DEMD+4E,证明

AD=CE,AE=8。即可)

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在；48c中，AB=AC,。、4、E三点都在直线m上，

并且有N804=N4EC=/84>a,其中。为任意钝角，请问结论。G8D+CE是否成立？如成

立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)如图3,D、E是。、4、E三点所在直线m上的两动点(。、4£三点互不重合)，

点F为N847平分线上的一点，且“8F和一4CF均为等边三角形，连接8D、CE,若N

BDA=NAEC=NBAC,试证明.OEF是等边三角形.

【参考答案】

一、选择题

2.A

解析：A

【分析】根据轴对称图形的定义进行解答即可.

【详解】根据轴对称图形的定义，A图形不是轴对称图形，BCD图形是轴对称图形；

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟记定义.

3.B

解析：B

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlOZ与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负指数暴，指数由原数左边起第一个不为零的数字前

面的。的个数所决定.

【详解】解：0.0000077n=7.7xl0-€m,

故选：B.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为4X107其中14141Vl0,〃为

由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.C

解析：C

【分析1根据同底数基相乘，同底数基相除，呆的乘方，积的乘方的运算法则分别计算，

然后判断即可.

【详解】解：A.6浦=°­，故此选项计算正确，不符合题意；

B./+02="6,故此选项计算正确，不符合题意；

C.(―/丫=_*,故此选项计算错误，符合题意；

D.(-34)2=9/,故此选项计算正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了同底数暴的乘法、同底数暴的除法、辕的乘方、积的乘方，熟知相关

运算公式和法则是解题的关键.

5.B

解析：B

【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0即可求解.

【详解】解：由题意得，x—1工0,

解得：xwl,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分式的分母不等于。是

解题的关键.

6.C

解析：C

【分析】把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为儿个整式

的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，分别对四个选项进行判断即可.

【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

C、是因式分解，故此选项符合题意；

D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的知识.

7.C

解析：C

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.

【详解】解：A、三=5=3，故A不符合题意.

R、匕=故B不符合题意.

xx

C、新鼻■=产荽=三，故C符合题意.

(2-y)(y-2)y-2

D、1一山=匕二1=一工故D不符合题意.

XXX

故选：C.

【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基

础题型.

8.C

解析:C

【分析】要判定△AACgZVIQC,已知A8=AO,AC是公共边，具备了两组边对应相等，

故添加C8=C。、ZBAC=ZDAC.N8=NO=90。后可分别根据SSS、SAS、HL能判定

△ABC竺/XADC,而添加NBAC=NOC4后则不能.

【详解】解：A、添加CB=CO,根据SSS,能判定AABC丝△4OC,故A选项不符合题

意；

B、添力口NB4C=ND4C,根据SAS,能判定△ABCgAWC,故B选项不符合题意；

C、添加N84C=NQCA时，不能判定△ABCgAAQC,故C选项符合题意；

D、添加N8=/O=90。，根据HL,能判定△ABCgZXAOC,故D选项不符合题意；

故选：C

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS.

SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等

时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

9.B

解析：B

【分析】分式方程夫分母传化为整式方程,把增根戈=-1代入整式方程计算求出。的值.代

入原式计算即可求出值.

【详解】解：分式方程去分母得：僦〃3x+3(A+1)=Zx-(x+1),

把x=-l代入整式方程得：。=3,

则2a-3=6-3=3.

故选：B.

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整

式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

10.D

解析：D

【分析】根据勾股定理流出方程，进而利用完全平方公式解答即可.

【详解】解：•・•大正方形的边长是直角三角形的斜边长，

・・・根据勾股定理可得:炉+/=48,

根据小正方形面积可得(X-)，『=6,

:.Zry+6=48,

A2A3=42,

则(x+y)2=x2+y2+2xy=90,

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理.、完全平方公式，解题的关健是利用方程的思想解决问题，学

会整体恒等变形的思想.

11.D

解析：D

【分析】利用全等三角形的判定定理对①②®④进行逐一判断即可.

【详解】解：①结合已知条件，判定条件为SSA.由rCE=5,AC=4应，CEVAC,...E点在

线段AB上有两个符合条件的点，同理F也有两个符合条件的点，由图可知ACE不一定和

二BDF全等,错误；

②结合已知条件，由SAS可以判定：ACE和一8。尸全等，正确；

③由于CE=7,AC=4夜，CEAAC,・•.线段AB上只有一个符合条件的点E,同理只有一个符合

条件的点F,如图，此时；ACE一定和一8DF全等.故正确；

④・・・NCE8=NOE4,・・.NAEC=NDFB,再结合已知条件，根据AAS,可以判定一AC石和

二助万全等.正确.

故选D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握判定定理是关键.

二、填空题

12.-2

【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.

【详解】解：由题意得，?-4=0,2工一4.0,

由丁-4=0得x=2或x=-2,

由2x-4w0得工工2,

工x=-2.

故答案为：-2.

【点睛】本题考查分式为。的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为

0：(2)分母不为0,这两个条件缺一不可.

13.0-1

【分析】利用关于y轴对弥的点的性质得出关于，〃，〃的方程组，求解即可得出答案.

【详解】解：•・"(m+2n»-m+6n)和点Q(2,-6)关于y轴对称,

m+2n=-2川=0

・•・〈，,，解得

-m+6/1=-67!=-1

故答案为：0,-1.

【点睛】此题主要考查了关于），轴对称的点的性质，正确理解关于坐标轴对称的点的性质

是解题的关键.

14.1

【分析】利用分式的减法运算将原式写成黑'即可得到结果.

【详解】解：=噌，

baababab

“；ab=a-b*0,

..原式=F=

abab

故答案是：1.

【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则.

15.3

【分析】根据同底数'幕的除法运算计算即可.

【详解】解：3〃「〃=工=竺3

3"2

故答案为：3.

【点睛】本题考查了同底数昂的除法，解题的关键是掌握同底数累的除法法则.

16.两点之间线段最短.

【分析】根据轴对称变换点A关于直线I的对称点，连接，交直线I于点M,

根据对称性质得出AM=A，M,进而得出AM+BM=A，M+BM二AB在直线I的取

Mz,连接AW，，BM

解析：两点之间线段最短.

【分析】根据轴对称变换点A关于直线/的对称点4,连接A'B,交直线/于点M,根据对

称性质得出入进而得出入M+BM=4'M+BM=©8,在直线/的取“，连接4”，

BMI利用两点之间线段最短得出即可.

【详解】解：作点A关于直线/的对称点连接A8,交直线/于点仞，

・•・AM+BM=A,M+BM=A'B，

在直线/的取M',连接加W,BMl

则

:・A'M'+BMAA'B,

小明这样作图的依据：两点之间线段最短.

故答案为：两点之间线段最短.

B

【点睛】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把4。在直线同侧的问题转化为在直

线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即"三角形两边之和大于第三边〃的问题加以

解决.本问题可归纳为"求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值〃的问题的数

学模型.

17.±6

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【详解】解：:关于x的二次三项式是完全平方式，

•••;，

则常数k的值为±6.

故答案为：±6.

【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握

解析：±6

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【详解】解：•・•关于x的二次三项式/+依+9是完全平方式，

x2+6x+9=(x+3)2；AT-6x+9=(x-3)”,

则常数&的值为±6.

故答案为：±6.

【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

18.927

【分析】根据凸n边形的内向和为1260。，求出凸n边形的边数，然后根据对

角线的条数的公式进行计算即可求解即可.

【详解】解：:凸n边形的内角和为1260°,

(n

解析：927

【分析】根据凸〃边形的内角和为1260。，求出凸〃边形的边数，然后根据对角线的条数的

公式进行计算即可求解即可.

【详解】解：•・•凸〃边形的内角和为1260。，

:.(//-2)xl80o=1260o,

解得〃=9,

，这个多边形的对角线的条数是E'9x(9-3)=27.

故答案为：9,27.

【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对兔线，熟记多边形的内角和计算公

式是正确解答本题的基础.

19.2或6或8

【分析】分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成

两种情况AC=BE,AB=BE进行计算即可.

【详解】解：①当E在线段AB上，AC二BE时，

AC=6,

解析：2或6或8

【分析】分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况

AC=BE,AB=BE进行计算即可.

【详解】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，一ACB^BED

AC=6,

*'.BE=6,

•••AE=12-6=6,

•••点E的运动时间为6+3=2(秒).

②当E在BN上，AC=BE时，ACB合.BED

AC=6,

BE=6>

AE=12+6=18.

•••点E的运动时间为18+3=6(秒).

③当E在BN上，AB=BE时，_ACB=,BDE

：.AE=12+12=24.

.••点E的运动时间为24+3=8(秒)

④当E在线段AB上，AB=BE时，一AC8=8DE这时E在A点未动，因此时间为0秒不符

合题意.

故答案为：2或6或8.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三旃形全等的一般方法有：SSS、

SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等

时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

三、解答题

20.(1)2(m+n)(3m-2n)；(2)x2(x+1)(x-1)

【分析】(1)原式提取公因式即可；

(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：(1)6m(m+n)-4n(

解析：(1)2(m+n)(3///-2n)；(2)x2(x+1)(x-1)

【分析】(1)原式提取公因式即可；

(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：(1)6m(m+n)-4〃(in+n)

=2(m+n)(3m-2n)；

(2)f

=/(x2-1)

K2(x+l)(X-1).

【点睛】本题考杳了提公为式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题

的关键.

21.(1)x=0；(2)无解

【分析】(1)(2)首先将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意

求出的整式方程的解要进行检验.

【详解】解：(1)+=1,

方程两边同时乘(X-

解析：(1)x=0：(2)无解

【分析】(1)(2)首先将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意求出的整式

方程的解要进行检验.

12

【详解】解：(1)・・・」+—=1,

x-7l"X

X-\x-1

方程两边同时乘(X-1).可得：1-2=x-1,

解得：x=0,

经检验：x=0是原分式方程的解，

・•・原分式方程的解为：x=0.

**7^2-1=U+2)(x-2i，

方程两边同时乘(x+2)(x-2),可得：x(工+2)-(1+2)(x-2)=8,

整理得：214=0,

解得x=2,

检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0,

工原分式方程无解.

【点睛】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确解分式方程的步骤：①去

分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

22.见解析

【分析】、，再加上公共边即可正面两个三角形全等.

【详解】证明：在和中

【点睛】此题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的条件是解题的关

键.

解析：见解析

【分析】AB=AD.5C=DC,再加上公共边即可正面两个三角形全等.

【详解】证明：在ABC和.AOC中

AB=AD,BC=DC,AC=AC

・•・Z\ABC^Z\ADC(SSS)

：.ZBAC=ZDAC

【点睛】此题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的条件是解题的关键.

23.(1)130

⑵

(3)

(4)

⑸或

【分析】(1)如图1所示，连接CP,证明N1+N2=NACB+NDPE即可得到答

案；

(2)只需要证明即可得到答案；

(3)利用三角形外

解析：(1)130

(2)Zl+Z2=70°+Za

⑶Nl=N2+Na+70。

(4)Zl+Z2=430°-Za

(5)/1-/2=70。一/。或/2-4=/。-70。

【分析】(1)如图1所示，连接CP,证明N1+N2=NAC4+NOPE即可得到答案；

(2)只需要证明Nl+N2=NC+NDPE即可得到答案；

(3)利用三角形外角的性质求解即可；

(4)利用二角形外角的性质求解即可；

(5)根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可.

(1)

解：如图1所示，连接CP,

VZ1=Z/)CP+ZCPD,/2=NCPE+NECP,

AZ1+Z2=ZDCP+ZCPD+ZCPE+ZECP=/ACB+ZDPE,

VZACB=70°,ZDPE=60°,

.\Zl+Z2=130°,

故答案为：130；

图1

(2)

解：•・・Nl+NCDP=180°,Z2+ZC£P=180°,

・•・Zl+Z2+ZCDP+ZC£P=360°,

VZC=70°,NOPE=Na,NCDP+NCEP+NC+NDPE=36。。,

/.N1+N2=NC+NDPE=70。+a

故答案为：Zl+Z2=70°+Ztz；

(3)

解：设DP与BC交于F,

VZC+ZCF/J=Z1,ZCFD=Z2+Za,

:.Zl=Z2+Za+70°,

故答案为：Nl=N2+Na+70。；

(4)

解：如图所示，连接CP,

VZ1=Z/)CP+ZCPD,N2=NCPE+/ECP,

/.Z1+Z2=ZDCP+ZDPC+ZECP+ZCOD=ZACB+3600-ZDPE,

:.Zl+Z2=430°-Za；

图4

(5)

解：如图5・1所示，VZ1=ZC+ZCOD,N2=NP+NP0E,/COD=NPOE,

；・Z1-Z2=ZC-ZP=70°一乙a

D

AB

图5-1

如图5-2所示，VZ1=ZP+ZPOD,N2=NC+/COE,/POD=/COE,

：.N2—Nl=NP-NC=Na—70。

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解

题的关键.

24.（1）A消毒液的单价为130元，B消毒液的单价为90元

（2）30桶

【分析】（1）根据题意，找出题中的等量关系，列出方程求解即可；

设B消毒液的单价为X元，则A消毒液的单价为元，

种类团单价团

解析：（1）A消毒液的单价为130元，B消毒液的单价为90元

（2）30桶

【分析】（1）根据题意，找出题中的等量关系，列出方程求解即可；

设8消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为（x+40）元，

种类单价数量总价

2600

4消毒液.*02600

x+40

3600

8消毒液X3600

X

（2）设购进A消毒液机桶，则购进8消毒液（70。桶，结合（1）中计算出的单价，列

出不等式求出解集即可.

（1）设8消毒液的单价为工元，则A消毒液的单价为（工+40）元，依题意得：

磔=2x2缥，解得：工=90,经检验，工=90是原方程的解，且符合题意，・・・

xx+40

x+40=130.答：A消毒液的单价为130元，B消毒液的单价为90元.

（2）设购进A消毒液用桶，则购进B消毒液（70-〃?）桶，依题意得：

130〃+90(70-〃7)W7500,解得：〃”30.答：最多购买A消毒液30桶.

【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，仔细理解题

意，找出题中的等量关系和不等关系，正确地列出方程和不等式是解题的关键.

25.(1)(x-y-4)2；(2)①(x-y-4)2；②1m・3)(m+1)(m-1)2

【分析】(1)将x2+2x-24写成x2+(6-4)x+6x：・4),根据材料1的方法可得

(x+6)(x-4)

解析：(1)(x-y-4)2；(2)①(x-y-4)2；②(m-3)(w+1)(w-1)2

【分析】(1)将f+2x・2人写成N+(6-4)x+6x(-4),根据材料1的方法可得(x+6)(x-

4)即可；

(2)①令原式可变为42-84+16,再利用完全平方公式即可；

②令(m-2)=m2-2ni,原式可变为8(8-2)-3,即B2-28-3,利用十字相乘法可分解为

(B-3)(8+1),再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可.

【详解】解：(1),V2+2X-24=A2+(6-4)x+6x(-4)=(x+6)(x-4)；

(2)①令x-y=A,则原式可变为/_8A+I6,

A2-8A+16=(A-4)2=(x-y-4)2,

所以(x-y)2-8(x-y)+16=(x-y-4)2；

②设6=向2〃?，则原式可变为8(8-2)3

即82-28-3=(8-3)(8+1)

=(m2-2m-3)(in2-2m+l)

=(m-3)(/7/+1)(w-1)2,

所以m(w-2)(m2-2w-2)-3=(m-3)(m+1)(m-1)2.

【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构

特征是正确应用的前提.

26.(1)60°；(2)见解析；(3)不变，

【分析】(1)由题意，先证△ADE是等边三角形，再证4BA隆4CAE,得

ZACE=ZB=60°；

(2)由题意，先求出NBEC=30。，然后求出NCF

解析：(1)60。；(2)见解析；(3)不变，20

【分析】(1)由题意，先证UDE是等边三角形，再证“八。丝△CAE,得N4T=N

8=60°；

(2)由题意，先求出N8EC=30。，然后求出NCF£=90。，利用直角三角形中30度角所对直

角边等于斜边的一半，即可得证；

(3)延长4E至F,使EFME,连OF、CF,先证明z^DF是等边三角形，然后证明

△EHA,结合HG是定值，即可得到答案.

【详解】解：(1)根据题意，

•；AD=DE,ZAED=60°,

•••△AOE是等边三角形，

."。=八£,ZDAE=60°,

\'AB=AC,ZBAC=60°,

・••ZBAC-ZDAC=ZZM£-ZDACf

即"4O=NC4E,

.•.△8A0g△CAE,

:.ZACE=ZB=60°；

(2)连CF,如图：

图2

*：AB=AC=AE,

:.ZAEB=ZABE,

VZe4C=60°,NE4C=90°,

：.ZBAE=150°,

:.N4E8=NA8E=15°；

•••△4CE是等腰直角三角形，

:.ZAEC=45°,

/.ZBFC=30°,ZEBC=45°,

•・S。垂直平分8C,点F在4。上，

：.CF=BF,

:.ZFCB=Z£8C=45°,

:.NCFE=90°,

在直角ACEF中，NCFE=90。，NCEF=30。，

：・CE=2CF=2BF；

(3)延长至F,使EF=4E,连。F、CF,如图:

VZAED=90\EF=AE,

・・・D£是中线,也是高，

•••△ADF是等腰三角形，

,:ZADE=30°,

:.ZDAE=60°,

•••△ADF是等边三角形；

由(1)同理可求N4CF=N4BC=60。，

:.ZACF=ZBAC=6Q0,

：,CF//AB,

过E作EG_LCF于G,延长GE交84的延长线于点片，

易证AEGF也△£/■//，

；・EH=EG=；HG,

•・・HG是两平行线之间的距离，是定值，

:.S^ABE=JS^ABC=-x4x/3=2A/3；

22

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的

性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握

所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

57.已知，4(0,Q),B[b,0),点为x轴正半轴上一个动点，AC=CD,48=90。.

(1)已知。，b满足等式Ia+b|+川+4匕=—4.

①求A点和B点的坐标；

②如图1，连8。交y轴于点H,求点H的坐标；

(2)如图2,已知a+b=O,OOOB,作点8关于y轴的对称点E,连。2点F为DE的中

点，连OF和CF,请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论.

(1)①4(0,2),B(-2,0)；②〃(0,-2)；(2)CFLOF,CF=OF,证明见解析.

【分析】(1)①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答

案；

②过C作y轴垂线交8A的延长线于£,然后证明△CEAgaCBD,得到。8=。从即可得到

答案；

(2)由题意，先证明△OFGgAEFO,然后证明△DCGgZ\4：。，得到ZiOCG是等腰直角三角

形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立.

【详解】解：(1)•・・|。+4+〃+4〃=-4,

/.\a+t\+b2+4b+4=0,

.・.|a+〃|+S+2)2=0,

.*.«+/?=(),Z?+2=0,

b=-2f

a—2,

：,A(0,2),B(-2,0)；

②过C作x轴垂线交BA的延长线于E,

*：OA=OB=2,ZAOB=9Q\

••.△AOB是等腰直角三角形，

:.NA8O=45°,

VEC±ec,

•••△8CE是等腰直角三角形，

；・BC=EC,ZBCE=9Q°=ZACDf

：.NACE=NDCB,

*：AC=DCt

:.△CEAdCBD,

ZCDD=Zf=45°,

：・OH=OB=2,

:.H(0,-2)；

(2)补全图形，如图：

•・•点8、E关于v轴对称,

：,OB=OE,

a+b=O»BPa——b

：.OA=OB=OE

延长OF至G使FG=OF,连DG,CG,

•：OF=FG,ZOFE=ZDFG,EF=DF

：,DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

，NCOG=NOC。；

'：ZACO+ZCAO=ZACO+ZDCO=9Q°,

：.ZDCO=ZCAO；

:.ZCDG=ZDCO=ZCAO；

*：CD=AC,OA=DG

：./\DCG^LACO

：,OC=GC,ZDCG=ZACO

/.ZOC6=90°,

:.NCOF=45°,

•••△OCG是等腰直角三角形，

由三线合一定理得CF_LOF

VZOCF=ZCOF=45°,

:・CF=OF；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性

质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题.

58.已知点A在X轴正半轴上，以OA为边作等边404?,A(x,0),其中X是方程

3I22…

------------7=-------的解.

23x-l6.r-2

(1)求点4的坐标；

(2)如图1,点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边ACD,连。8并延长

交V轴于点E求N8EO的度数：

(3)如图2,点F为x轴正半轴上一动点，点F在点4的右边，连接FB,以FB为边在第

一象限内作等边；FBG,连G4并延长交y轴于点H,当点F运动时，。〃-人”的值是否发

生变化？若不变，求其值；若变化，求出具变化的范围.

(1)4(3,0)；(2)120°：(3)尸的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解为x=3,即可求解；

(2)由"SZS'可证△C4O也△048,可得ND84=NCO4=90°,由四边形内角和定理可求

解；

(3)由"S4S"可证△ABG妾AOBF可得OF=AG,N84G=N8OF=60°,可求NOAH=60°,可

得47=6,即可求解.

312，

【详解】解：(1)〈X是方程;-h、=二•的解.

23x-\6x-2

解得：x=3,

检验当x=3时，6x-2w0,3x-lw0,

:.x=3是原方程的解，

工点A(3Q);

(2);△ACD,AAB。是等边三角形，

：.AO=AB,AD=AC,^BAO=ZCAD=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=48,AD=AC,

•・•△CAg△勿8(5A5)

：.ZDBA=ZCOA=90°,

:.ZABE=9Q\

*/NAOE+ZABE+/0A8+NBEO=360°,

，N8EO=120°；

(3)GH-AF的值是定值,

理由如下：•••△ABC,Z^FG是等边三角形，

：,BO=AB=AO=3,FB=BG,ZBOA=ZABO=ZFBG=60°,

：.ZOBF=ZABG,且08=48,BF=BG,

/\AB6^/\0BF(SAS),

：,OF=AG,N84G=N8CF=60°,

・MG=OF=OW+AF=3+AF,

ZOAH=18Q0-ZOAB-ZBAG,

；・NOAH=60°,且N4OH=90°,04=3,

.\AH=6,

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=6+3+AF-AF=9.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的

性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.

59.等边A48c中，点〃、K分别在边3C、AC上，旦AK=C〃，连接A”、歌交于点

F.

(1)如图1，求NAFB的度数：

图1

BF

(2)连接CF,若N6fC=9()。，求——的值；

AF

(3)如图2,若点G为47边的中点，连接FG,且Ab=2尸G,则的大小是

图2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由AA8C是等边三角形，可得出A8=AC=8C,

ABAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C〃，可证A43Kg△C4，(SAS),得出

ZCAH=ZABK,由/3阳=乙$长+/加?=/64/7+/84/可求出/5"/,最后由外角

定义求出/AF8.

(2)在所上取点O,^BD=AF,由&尸8=120。可证N4/，C=150。，冉利用

AB=AC,ZABD=^CAF,或>=A尸可证明A48Z泾AC4/(SAS),进而求出

44DB=NCFA=15O°,再用补角的性质得知NAH>=120。，在V4/7)中利用外角的性质可

求出/皿)=44。8-乙4律=30。，进而证出VA")为等腰三角形，最后可证出

HF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延长至E,使AA庄为等边三角形，延长尸G交CE于7,可得出

^ABF^^ACE(SAS),进而得出NA£C=N41・8=I2O。，利用角的和差得出

4FET=泣=4AFE,则证出八F//EC,进而证出AAFG当△C76(A4S),再利用

AF=2FG,从尸="＞证出为等边三角形，进而记出NAR7=120。.

【详解】(1)•・•AABC是等边三角形，

AAB=AC=BC,ZBAC=ZAI3C=ZACI3=60°,

在AABK和A。”中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

SABK^ACAH(SAS),

JZCAH=ZABK,

J./RFH=ZABK4NBAF=NGA"-l-NRAF=60°,

JZAFB=180°-NBFH=18()°-60。=120°.

(2)在所上取点£),使8D=Ab.

由(1)知ZAAB=120。，

又NBFC=90。,

：.ZAFC=150°.

在AAB£)和ACA尸中，

AB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

・•・AABD^ACAF(SAS),

ZAD2?=ZCE4=15O°,

Z/™=30°,

•・,ZAFD=120°,

:.ZLFAD=ZADB-ZAFD=30°,

/.ZFDA=ZFAD.

AF=DF,

VBD=AF,

：.BD=DF=AF,

/.BF=BD+DF=2AF,

；・BF:AF=2.

(3)ZBFG=120°.

提示：目测即得答案.详细理由如下：

由(1)知NAF3=120。.延长至£,使44所为等边三角形.

延长尸G交CE于r.

•・•ZBAF+ZFAC=ZFAC+Z.CAE=60°,

・•・ZBAF=NCAE,

在△84F和VC4E中，

AF=AE

ZBAF=乙CAE,

AB=AC

JA/W尸@AACE(%S),

，ZAEC=ZAFB=\2(T.

：.々£7=60。=44庄，

AF//EC.

:・/FAG=NTCG,ZAFE=ZTEF=6O0

在,AFG和C7G中，

ZAG=4TCG

<AG=CG,

ZFGA=NTGC

・•.^AFG^CTG(AAS),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

ZAFE=Z7EF=60°

・・・AEFT为等边三角形,

・•・NEFF=60。

・•・ZBFG=1800-ZEFT=120°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.

60、在平面直角坐标系中，4。，0),8(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C

与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点.

(1)当2a2+4ab+4b2+2Q+1=0时，求4,8的坐标；

(2)当Q+b=0时，

①如图1,若。与P关于y轴对称，P£_LD8并交。8延长线于E,交28的延长线于F,求

证：P8=PF；

②如图2,把射线8P绕点8顺时针旋转45o,交x轴于点Q,当CP=4Q时，求N4PB的

(1)A(-1,()),8(0《)；(2)①见解析；②N4P8=225

【分析】(1)利用非负数的性质求解即可；

(2)①想办法证明NPBF=NF,可得结论；②如图2中，过点。作QF_LQ8交P8于F,

过点F作FH_Lx轴于H,可得等腰直角"QF,证明也△QB。(AAS)，再证明FQ=FP

即可解决问题.

【详解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+2b)2+(a+1)2=C,

'：(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

・・・a=-1,b=y,

：.A(-1,0),8(0,y).

:a+b=0,

，a=-b,

：,OA=OB,

又：N4O8=90。，

：,ZBAO=ZABO=45°,

•・・。与P关于y轴对称,

:・BD=BP,

；・NBDP=/BPD,

设N80P=N8P0=a,

贝ljNP8F=ZBAP+^BPA=45Q+a,

•；PELDB,

，N8EF=90°,

：.ZF=90°-ZEBF,

又NEBF=/ABD=NBAO_N8OP=450・a,

/.ZF=450+a,

:・NPBF=/F,

：.PB=PF.

②解：如图2中，过点Q作QF_LQ8交P8「F,过点F作FH_Lx轴于H.可得等腰直角

'：ZBOQ=NBQF=ZFHQ=90°,

/.ZBQO+ZFQH=90%NFQH+NQFH=90。,

工/BQO=/QFH,

•；QB=QF,

：・AFQH学AQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

:.HO=AQ=PC,

:,PH=OC=OB=QH,

:・FQ=FP,

又N8FQ=45°,

NAP8=22.5°.

【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三

角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题.

61.如图，已知C。是线段的垂直平分线，垂足为D,C在。点上方，N84C=30。，P是

直线CD上一动点，E是射线AC上除4点外的一点，PB=PE,连8E.

(1)如图1，若点P与点C重合，求NA8E的度数；

(2)如图2,若P在C点上方，求证：PD+^AC=CE,

(3)若AC=6,CE=2,则PD的值为(直接写出结果).

(1)Z4BE=90°；(2)PD+^AC=CEt见解析；(3)1

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：ABPE为等边

三角形，则NCB£=60°,故N48E=90°；

(2)如图2,过P作PHL4E于H,连8C,作PG_LBC交8c的延长线于G,构造含30度

角的直角APCG、直角ZiCPH以及全等三角形(RZGBgRSPHE)，根据含30度的直角三

角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；

(3)分三种情况讨论，根据(2)的解题思路得至1」。。=4八。+。£或。。=。£-：4。，将数值代

22

入求解即可.

【详解】(1)解：如图1,•・•点P与点C重合，CD是线段48的垂直平分线，

图1

：.PA=PB,

：.ZPAB=^PBA=3Q\

:.NBPE=NPAB+NPBA=6G0,

•:PB=PE,

•••△8PE为等边三角形，

:.NC8E=60°,

:.Z48E=90°；

(2)如图2,过P作PH14E于小连8C,作PG_L8c交8c的延长线于G,

<8垂直平分八8,

：,CA=CB,

•••/8AC=30°,

，4CD=N88