广东广州市第三中学等三校2025-2026学年第二学期期中素养综合评估检测题高二数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东广州市第三中学等三校2025-2026学年第二学期期中素养综合评估检测题高二数学（问卷）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.记为等差数列的前n项和，若，，则（

）A.11 B.9 C.8 D.52.在曲线上的点处的切线方程为（

）A. B. C. D.3.3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（

）A.81 B.64 C.24 D.124.从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有（）A.12种 B.20种 C.24种 D.36种5.的展开式中的常数项是（

）A.352 B. C.1120 D.6.已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（

）A. B. C. D.7.设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（

）A. B. C. D.8.设数列{an}满足a1=1，a2=4，an+an+2=2an+1+2，若[x）表示大于x的最小整数，如[2）=3，[-2.1）=-2，记，则数列{bn}的前2026项和为（）A.6079 B.6080 C.6081 D.6082二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.记公比大于0的等比数列的前项和为.若，则（

）A. B. C. D.10.已知多项式，则下列说法正确的是（）A.a0=-2 B.a2=-8

C.a1+a2+a3+a4+a5=-16 D.a1+a3+a5=-811.对于函数，下列说法正确的是（

）A.在上单调递减，在上单调递增

B.

C.设有3个不同的零点，则

D.若方程有6个不等实数根，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有

种.13.在的展开式中，的系数为

.14.若存在4条不同的直线既是圆+=4的切线,也是曲线y=ax+(a>0)的切线,则a的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，其前项和为，证明：.16.(本小题15分)设函数．(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：(3)若在上单调递减，求的取值范围．17.(本小题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，BC＝CD＝2，AB＝4，PC＝PD＝3，平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥BC，Q是棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面PCD；（2）求平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值．18.(本小题17分)已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点．(1)求的方程．(2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值．(3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．19.(本小题17分)已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若在上有两个零点，求实数的取值范围；(3)若函数有两个极值点，，证明：．

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】18

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）由题意得解得所以.（2）由，所以.

16.【答案】解：（1）由题可得，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得；（2）由（1）知，令，解得由，解得，由，解得，所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值；（3）由在上单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，所以，令，易知在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即的取值范围为.

17.【答案】解：(1)如图,取CD的中点O,

​​​​​​​因为PC=PD=3,所以POCD,

因为平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,PO平面PCD,

所以PO平面ABCD,

又BC平面ABCD,所以POBC,

又BCPD,PO平面PCD,PD平面PCD,PDPO=P,

所以BC平面PCD.

(2)因为PC=PD=3,O为CD的中点,CD=2,

所以OC=1,PO==2.

过点O作OEBC交AB于点E,

由BC平面PCD,CD平面PCD,可得BCCD,则OECD.

以O为坐标原点,OE,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(2,-3,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),Q(0,,),

所以=(0,4,0),=(-2,,),

​​​​​​​=(-2,-1,2),=(-2,0,0)，

设平面ABQ的法向量为=(x,y,z),

则，

令x=1,得=(1,0,).

设平面PBC的法向量为=(a,b,c),

则，

令c=1,得​​​​​​​=(0,2,1).

设平面ABQ与平面PBC的夹角为,

则===,

故平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值为.

18.【答案】解：（1）已知离心率，故，结合得,所以双曲线方程可写为，代入点得：，解得，所以，双曲线的方程为.（2）由（1）得右焦点，分两种情况讨论：若直线斜率不存在，则，由得，不妨设，则：，所以；若直线斜率存在，设为，则，由，得，此时且.设，由韦达定理：，则：.综上，，即为定值.（3）假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合，设中点为，则。设，则，两式相减得，即，整理得方程为。又在双曲线上，代入得，即，故方程为.若，联立与双曲线，消去得，即，判别式：若，则，，代入双曲线得，无实根.因此不存在满足条件的三点.

19.【答案】解：（1）的定义域为，，当时，在上单调递增；

当时，由得，由得，由得，

则在上单调递减，在上单调递增．

综上，时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增;（2）因为在上有两个零点，

所以，由得，

令，则，

所以时，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

有极大值，也