公式法 同步练-2025-2026学年苏科版八年级数学下册

9.3公式法

第1课时用平方差公式分解因式

要点感知

1.了解公式法的概念.

2.能熟练地运用平方差公式分解因式.

，基地过W.建议用时：15分钟

1（2025泰州泰兴二模）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是

)

A.~a2~b2B.tz2+/?2C.cr~h2D.cr-b2-\

2（2025南京玄武模拟）关于多项式一，下列选项中因式分解正确的是

)

A.(3x—1)2B.(3x—^)2

C.（3x-1V）（3x+jV）D.（3i—力V（3x+|V）

3侬情境）如图,在边长为2r的正方形纸片上剪去一个边长_____/

为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，则长入---------1

方形的一组邻边长分别是（）I

A.2x+3和2x—3B.2x-4-9和2x~3-----'---

C.4x+3和4x-3D.4.r+9和4x~9

4（2025常州）分解因式：9）2=.

5（2025连云港赣榆月考）用合适的式子填空：（%+2＞）=%—4-

6俸错题）若〃+8=3,a—b=7,则的值为.

7把下列各式分解因式:

(1)16一寸;⑵0.4如2-144；

(3)9a2—4(〃+〃产(4)(3a—b)2—4(tz—b)2.

8（教材Pill例3变式）设攵是正整数，求证：（2攵+2）2—（24是4的倍数.

建议用时：25+5分钟

9(2025南通启东月考)已知o?+/=(3x+4y)(3x-4y),则a+b的值为

()

A.7B.-1C.25D.-7

10(2025常州新北期中)已知。一〃=5,则〃一户一10〃的值为()

A.5B.1()C.15D.25

11已知A=2x+y,B=2x~yt则/一外：.

12(2025南通田家炳中学月考)在平面直角坐标系xQy中，点尸(〃2,〃)在函数

y=—x+5的图象上，且小一〃=2,则代数式〃P—〃2的值为

13己知两个正方形的边长的和是10cm,若它们面积的差是40cm二则它

们面积的和是________cm2.

14用简便方法计算：

(1)3X852—3X152；(2)20252~2026X2024;

(3)40372—8072X2019;(4)(1—如一/)(1/)•••(1

15【观察】(2+3)2—22=(2+3+2)(2+3—2)=7X3,

(4+3户-42=(4+3+4)(4+3—4)=11X3,

(6+3)2-62=(6+3+6)(6+3-6)=15X3,...

【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除.

【验证】(1)若这个偶数是10,通过计算说明13和10的平方差能否被3

整除；

(2)若设这个偶数为2〃，试说明比2〃大3的数与2〃的平方差能否被3整

除；

［延伸］(3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9

整除.

第2课时用完全平方公式分解因式

要点感知

能熟练地运用完全平方公式分解因式.

、基础_过关建议用时：15分钟

1下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A.f+2x—1B.C.f+2x+4D.x2—6x+9

2（2025镇江扬中期末）对多项式2xy+），2进行因式分解，下列等式中正确

的是（）

A.x2—2xy-\-）r2y）+y2氏x1—Ixy^y2=（x+y）2

112212

C.x-2xy-]-y=（x-2y）D.x-2xy-1-y=（＜x—y）

30错题）（2025无锡新吴期末）若多项式『+1加上一个单项式后，能够直

接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（）

A.2xB.-2xC.D.—%*4

4（2025甘肃）分解因式：x2—6x+9=.

5（2025南通如东期末）分解因式：4f-4x+l=.

6（2025苏州太仓月考）分解因式：.

7分解因式：。〃+4（机+〃）+4=.

8把下列各式分解因式：

（1）4/+25〃+20砧；（2）9-2Z?+p

(3)("?一〃产一6(〃­，〃)+9;(4)4-12(x-y)+9(x-y)2;

(5)/+2a(a+1)+(〃+1产(6)(〃+/?>—4(〃+/?—1).

、熊力_堤_优建议用时：25+5分钟

9(2025苏州张家港月考)下列多项式中，能用公式法分解因式的有()

①f+V；②一/十)?；③f+与,一)八④一/+4肛一4){

A.1个B.2个C.3个D.4个

10(2025南通港闸月考)若非零实数a，b满足44+后=4",则与勺值为

()

A.2B.-2C.4D.-4

11(2025安徽合肥)已知a,b,c,是互不相等的实数，且〃=/一力+1,c=一

/+5〃-4,则a,b,c中最大的数为()

A.aB.bC.cD.不能确定

12◎错题)若多次式4炉一加x)，+9)2能用完全平方公式因式分解，则m的

值是.

13(教材P113练习T3变式)若M=2f-12t+15,11,则股与

N的大小关系为.

14己知(a+〃)(a+Z?—6)+9=0,且〃/一4曲+4=0,求〃一〃的值.

、思维拓展

15(1)【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线

上：『+6x+9=；x2—2x+l=；4)，2—20y+25=；

(2)【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：62=4X1X9；(-

2)2=4X1X1；(—20)2=4X4X25.

【归纳猜想】若多项式+c>0)是完全平方式，猜想：系数m

b,c之间存在的关系式是什么？

(3)【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式

验证你猜想的结论；

(4)【解决问题】若多项式/一(〃+6)x+(10+3〃)是一个完全平方式，利用

你猜想的结论求出〃的值.

第3课时因式分解方法的综合应用

要点感知

能综合运用提公因式法和公式法分解因式.

、基础过关建议用时•：15分钟

I（2025南京秦治模拟）多项式〃一c8因式分解的结果为（）

A.a（a2—b2）B.a2（a-b2）C.ab{a—b）D.a（a~\~b）（a—b）

2（2025连云港海州期末）下列各等式中，因式分解正确的是（）

A.nrn-2mn+〃=〃（，〃-1yB.a3-2cr-\-a=cr（a-2）

C.—2产+4），=-2y（y+2）D.jr-l=（x-l）2

3金靛在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生

成的密码，方便记忆.如：将/一9因式分解的结果为（工一3）。+3）,取个人年龄

作为x的值，当x=13Ebhx-3=10,x+3=16,由此可以得到数字密码1016.

小旭按这种方式将/一上因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设

置的密码可能是（）

A.151416B.151515C.141514D.131415

4（2025南通海安期末）分解因式：ac2—4ab2=.

5（2025南通海门期末）分解因式：3，加-6九9+3〃/=.

6（2025扬州祁江模拟）用简便方法计算：1（）1X1022—101X982=.

7把下列各式分解因式：

（1）a3b2~4a;（2）Zr2—4工+2；

(3)(x-yp-9(x-y);(4)/(x+yj+ZrjQ+jD+Va+y).

8（教材Pl11例2变式）如图，在半径为R的圆形纸片上，剪去4个半径均为

厂的圆形.当R=8.5,r=1.75时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积.（用

含兀的式子表示）

\o07

%能力提优建议用时：25+5分钟

9(2025苏州昆山月考)已知不一)，=-4,则多项式gf-xy+y2的值为()

A.4B.6C.8D.10

1()(2025南通海门期末)已知根表示大于1的整数，设。=2加，b=m2—\,c

=2团2+2m，J=w2+1,其中选三个数一定能构成勾股数的为()

A.a,b,cB.〃，b,dC.a,c,dD.hfc,d

11(2025南通崇川月考)分解因式：3d—48=.

12(2025南通海门期末)已知多项式x2—2()24x—2025,当x=a时,该多项

式的值为4当时，该多项式的值为。.若aW4则。+〃的值为.

13对于二次三项式f+2ar—3〃不能直接用公式分解，但可用以下方式分

解因式：d+2ai—3，=『+20¥+，一42-3层=，+2(优+。2)-4/=。+幻2一

(2〃)2=(X+Q+2〃)(X+〃一2〃)=(工+3〃)(1一〃).像这样把二次三项式分解因式的方

法叫作配方法.

(1)请用以上方法分解因式：①«+2以一8/；②d+f+i；

(2)能否根据以上方法确定式子)?+2y+3有最小(或最大)值，若能，请求

出这个值.

\思维拓展

14第一步：阅读材料，掌握知识.

要把多项式。〃?+。〃+加z+版分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并

提出公因式4,再把它的后两项分成一组，提出公因式b,从而得到〃(m+〃)+

伙机+〃).这时，由于4(机+〃)+匕(机+〃)中又有公因式〃?+〃，于是可提出

从而得到(〃?+〃)(。+6),因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=aim+

〃)+伙机+〃)=("2+〃)(〃+匕).这种方法称为分组法.

第二步：理解知识，尝试填空.

(1)ab-ac-\-bc-序=(ab~ac)+(Z?c-Z?2)=a(b-c)-b(b—c)=；

第三步：应用知识，解决问题.

(2)分解因式：x2＞一4y—2^+8；

第四步：提炼思想，拓展应用.

(3)已知三角形的三边长分别是a,〃，c,，且满足2a2+/72+c2=2aS+c),

试判断这个三角形的形状，并说明理由.

微专题8因式分解的常见方法及应用

类型一：提公因式法

1(2025浙江期中)将多项式-4/+16/+⑵分解因式，应提取的公因式是

()

A.B.4a2C.—4a2D.~4a

2(2025苏州相城期末)已知孙=-3,x+)，=2,则代数式孙2的值是

()

A.-6B.6C.-5D.-1

3(2025南京玄武期末)如图，已知长、宽分别为〃，人的长方形---------

的周长为10,面积为6,则庐的值为()

A.60B.30C.24D.15”

4(2025镇江句容期末)已知(2工一8)(31-4)一[31-4)。一13)可因式分解为(3x

+a)(x+b),则a+2b的值是.

5(2025无锡月考)若m=2A+1,〃=4叶23用含机的代数式表示〃，则〃=

6利用因式分解，解答下列各题：

(1)当x=g,y=—5寸，求代数式2xCr+2y)2—(2y+x)2(x—2y)的值；

JJ

(2)求证：32°25—4X32°24+1()X32023能被7整除.

类型二：公式法

7(2025泰州姜堰期末)多项式/一9与多项式*+64+9的公因式是()

A.x+3B.x-3C.(X+3)2D.(X-3)2

8(2025南通通州月考)下列因式分解中，不正确的是()

A.3。28-6〃力+36=3/。-1)2

B.一4屋+36〃=4(3〃+力(3〃一力

C.f(〃一/?)—4(/?—〃)=(〃-Z?)(x+2)(x—2)

D.(a2+l)2—4a2=(a+l)2(a—I)2

9(2025南京模拟)分解因式：一%+工=.

1()已知〃+2b=6,ab=3,贝1]4(〃+与2—3层的值为.

23

11(2025盐城东台期末)已知ab=-求代数式4%+2/户+〃护

的值.

类型三：分组分解法

12用分组分解法将％2一”+2)，一2x分解因式，下列分组中不恰当的是()

A.(/-2x)+(2y-xy)B.(『一工)，)+⑵，一级)

C.(『+2y)+(—X)：—2x)D.(x2~2x)—(xy—2y)

13分解因式：d4+/74+c4-2a2b2-2b1c1-2ra2=.

14®^^(2025南通期末)若x,y是自然数且满足f+V=4x+4)，-7,则

x-\-y=.

类型四：十字相乘法

15阅读材料：将一个形如f+px+q的二次三项式因式分解下~1

时，如果能满足〃=〃，+〃且则可以把.d+px+q因式分、、义

解成(x+〃?)(x+〃).例如分解x2+3x+2时，具体做法是先分解二次[/、'2

项系数，分别写在如图所示的十字交叉线的左上角和左下角，再I1X2+1XI=3

分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘,求代数和，

使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”.这样，我们可以得到X2

+3x+2=(x+l)(x+2).利用材料中的十字相乘法，分解因式：f+15=

16(2025南通海门模拟)因式分解：f—x—6=.

类型五：因式分解的应用

17(2025南通如星期末)对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面枳最

大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的

长方形裁成长方形&边长为2和x)和长方形8,并拼成图2.由面积相等，得M4

一x)=22—(2—42,所以当工=2时，长方形面积取得最大值为4.据此可得，代数

式(；x+2)(8—x)的最大值为.

图1图2

18（2025苏州调研）我们定义：一个整数能表示成。2+/（〃，〃是整

数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为5=

22+12,所以5是“完美数”.

（1）解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成/+/（〃，〃是整数）的

形式：;

（2）探究问题：已知5=2?+），2+与，+12工一网-），是整数，%是常数），要

使S恒为“完美数”，试求出符合条件的A值，并说明理由；

（3）拓展结论：已知x,），满足一『+3x+厂5=0,求x+y的最小值.

9.3公式法

第1课时用平方差公式分解因式

1.C2.D3.A4.(x-3y)(x+3y)

5.&L2Y)6.—21

7(1)G+给(4-给

(2)(0.7p+12)(0.7/7-12)

(3)(5«+2Z?)(fl-2Z?)

(4)(5。-3〃)(a+/?)

8.证明：由题意，得(2火+2)2—(2女)2=[(2火+2)+(26][(2火+2)—(26]=(24+2+2好(2%

+2—26=4(2%+1).

因为上为正整数，所以2攵+1为正整数，

所以4(2女+1)是4的倍数，

所以(22+2)2一(2女打是4的倍数.

9.D10.D11.8孙12.1013.58

14.解：(1)原式=3X(852-152)=3X(85+15)X(85—15)=3X100X70=21000.

(2)原式=20252-(20254-1)X(2025-1)=20252-(20252-1)=1.

(3)原式=40372—2X4036X2019=40372-4036X4038=40372-(4037-1)X(4

037+1)=40372-(40372-1)=1.

—32435

------2()242026_12026_1013

223344X2O25X2O25-2X2025-2025,

15.解：⑴由题意:得132-102=(i3+io)(]3-io)=69.因为69+3=23,所以能被3

整除.

(2)因为(2〃+3)2—(2〃)2=(2〃+3+2〃)(2〃+3—2〃)=3(4〃+3),所以能被3整除.

(3)设这个数为〃，比〃大9的数为〃+9.

因为(〃+9)2—〃2=(〃+9+〃)(〃+9—〃)=9(2〃+9),所以能被9整除.

第2课时用完全平方公式分解因式

22

1.D2.D3.D4.(A-3)5.(2x-l)

6.7.("i+〃-2>

2

人

-I

8.(1)(2a+5〃)2(2)力

(3)(加一“+3)2(4)(2—3x+3>')2

(5)(2。+1)2(6)(a+b-2)2

9.B10.A11,AI2.+1213.MNN

14.解：由3+加(a+力-6)+9=0,得(a+b)2-2X3(a+b)+32=0,

则3+〃-3)2=0,解得。+人=3.

由//一4他+4=0,得(")2一2X2H+22=0,

即3〃-2)2=0,解得必=2,

所以(“一〃)2=。2—2+/?2=〃2+2。力+82—4aZ?=(a+b)2—4ab=32—4X2=1,

所以a—b=±\.

15.解：⑴(X+3)2(A—I)2⑵，一5户

(2)f=4ac.

(3)可用f+4x+4,验证如下：

因为序=42=16,44c=4X1X4=16,

所以b2=4ac.

(4)因为多项式,一(〃+6)x+(10+3〃)是一个完全平方式，

所以[—(〃+6)]2=4XlX(10+3〃)，

所以〃2+|2〃+36=4。+12〃，

即/12=4,解得〃=±2.

第3课时因式分解方法的综合应用

1.D2.A3.A4.”(c+23(c-2〃)

5.3/AZ(X—y)26.80800

7.(1)—+2)(ab-2)

(2)2(x—1)2

(3)(x-.y)(K—>+3)a-y-3)

(4)(x+y)3

8.解：因为R=8.5,厂=1.75,

所以nR2~4nr=n(R2-4?)=it(R+2r)(R—2r)=兀(8.5+1.75X2)X(8.5-1.75X2)=

nX12X5=6071.

故剩余部分的面枳是60TL

9.C10.BIL3(F+4)(X+2)(X-2)

12.2023

13.解：(1)①/+26-8，=『+2ar+a2-a2-8a2=a+a)2-9a2=(x+a)2-(3a)2=a

+a+3〃)(x+〃-3〃)=(x+4a)(x—2〃).

②f+『+1=(X2)2+2X2+1一/二(1+l)2-f=(1+"+1)(『一彳+]).

(2)由题意，得尸+2〉+3=产+2)，+1-1+3=6+1户+2.

因为。+1)220,所以()，+1)2+222,

所以9+2)，+3有最小值，最小值为2.

14.解：⑴(b-c)(a-b)

(2)x2y-4y-2x24-8=(^2y-4>')-(2x2-8)=y(x2-4)-2(x2-4)=(y-2)(x2-4)=0^-

2)(X+2)(A—2).

(3)这个三角形为等边三角形.理由如下：

因为2a2+/+c2=2aS+c),

所以2/+〃+/—2ab—2ac=0,

所以〃一2。/?+〃+〃一2。。+/=0,

即3—bp+(a—c)2=0.

因为Q