2024人教版八年级数学下册第21章《四边形》每课时导学案汇编（含13个导学案）

21.1.1四边形及其内角和导学案

一、学习目标

i.类比三角形，理解四边形的定义、相关概念及符号表示。

2.探索并证明四边形的内角、外角的性质，发展推理能力。

学习重点：探索并证明四边形的内角、外角的性质。

学习难点：探索并证明四边形的内角、外角的性质。

二、学习过程

（一）复习引入

问题1回忆一下，我们是怎样研究三角形的？学习了三角形的哪些知识？

问题2我们该如何研究四边形呢？

（二）合作探究

1.四边形的定义

在平面内，由的四条线段组成的图形叫作四边形.

2.四边形的组成元素

组成四边形的叫作四边形的边，

的公共端点叫作四边形的顶点.

四边形组成的角叫作四边形的内角，简称川边形的角；

四边形的角的一边与组成的角叫作四边形的外角.

3.四边形的相关元素

连接四边形的线段，叫作四边形的对角线.

问题3如下图，线段,,,是四边形的边；点,,,是

四边形的顶点，四边形记作；，,,是四边形的内角.

追问请在下图中分别画出四边形ABC。顶点4,C处的外角.

问题4下图中，线段,是四边形ABCQ的两条对角线.

A

D

C

4.四边形的分类

画出四边形ABCD的任何一条边所在直线,整个四边形这条直线的同一侧，这样的四边形叫

作凸四边形.

］二，

iBCBCBC\BC

1\

画出四边形ABC。的某一条边所在直线，整个四边形________这条直线的同一侧，这样的四边形叫作

凹四边形.

2I"

、

思考我们知道,三角形的内角和是180。,长方形的内角和是360。.那么，任意一个四边形的内角和是

多少度？你能证明你的结论吗？

A

BC

探究在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的

道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？

探索发现四边形具有.

应用举例说明在日常生活中，哪些地方利用了三角形的稳定性或四边形的不稳定性？

（三）典例分析

例1如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和

等于多少？

（四）巩固练习

1.求出下列图形中X的值:

(1)(2)O)

2.一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系?

3.下列图形中哪些具有稳定性?

（五）归纳总结

四边形及其内角和

在平面内，由的四条线段组成

的图形叫作四边形.

组成四边形的叫作四边形的边.

的公共端点叫作四边形的顶点.

相关概念四边形组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角.

四边形的角的•边与组成的角叫作四边形的外角.

连接四边形的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.

（六）感受中考

1.（2022年河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△48C与四边形3C。七的外角和的度数

分别为a,或，则正确的是（）

A.a/=0B.a-（J<0C.a-ft>0D.无法比较。与夕的大小

A

AE

C

BD

第1题图第2题图

2.（2021年江苏扬州）如图，点A、A、C、D、E在同一平面内，连接48、BC、CQ、O£\E4若口56=100。,

则□/+18+口。+匚E=()

A.220°B.240°C.260°D.280°

3.（2023年辽宁盘锦）如图，直线月4E1C。，将一个含60。角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点上

在上，边G尸、EF分别交CD于点H、K,若一BEF=64。,则LGHC等于（）

A.44°B.34°C.24°D.14°

第3题图第4题图

4.（2020年山东泰安）将含30。角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若口1=50。，则口2等于（）

A.80°B.100°C.110°D.120°

（七）布置作业

1.必做题：习题21.1第1,5题.

2.探究性作业：习题21.1笫8题.

21.1.2多边形及其内角和导学案

一、学习目标

1.了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值。

2.探索并证明多边形内角和、外角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题方法，发展推理能

力。

3.运用多边形内角和公式解决简单问题，发展应用意识。

学习重点：多边形内角和公式的探索与证明。

学习难点：多边形内角和公式的探索与证明。

二、学习过程

（一）情境引入

问题1我们是怎样研究四边形的？学习了四边形的哪些知识？

问题2多边形在生活中也很常见，观察图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？

本节课我们继续类比三角形，学习多边形的一些概念和性质.

（二）合作探究

1.多边形的定义

在平面内，由〃QG3）条线段4A2,人犯3，…，4/A”，AA,组成的图形叫作多边形.

2.多边形的组成元素

叫作多逅形的边，叫作多边形的顶点.

多边形组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角；

多边形的角的一边与组成的角叫作多边形的外角.

3.多边形的相关元素

连接多边形的线段，叫作多边形的对角线.

追问1说一说六边形44CQEF的边和顶点:

追问2说•说六边形的内角:

追问3画出六边形ABCOE尸顶点A处的外角.

追问4请你在上图中画出六边形ABCOE广的全部对角线.

4.多边形的分类

与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多

边形都是凸多边形.

5.正多边形

正六边形

探究1类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述

推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗?

从五边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将五边形分为..个三角形，五边形的内

角和等于.xl80°；

从六边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将六边形分为个三角形，六边形的内

角和等于.xl80。；

从〃边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将〃边形分为.个三角形，〃边形的内角

和等于.x180°.

探究发现

探究2与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和,

多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.

探究发现多边形的外角和等于.

(三)典例分析

例2一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形?

(四)巩固练习

1.求出下列图形中x的值:

2.(1)一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形是几边形？

(2)一个多边形的每一个内角都等于120°,这个多边形是几边形？

⑶一个多边形的每一个外角都等于72。，这个多边形是儿边形？

（六）归纳总结

多边形及其内角和

在平面内，由皿仑3）条线段44,4出.....G4,“I

多边形

,组成的图形叫作多边形.

_______叫作多边形的边，

____________叫作多边形的顶点.

相关概念多边形.组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的加;

多边形的角的边与.组成的角叫作多边形的外角.

连接多边形的线段,叫作多边形的对角线.

（六）感受中考

1.（2025年北京）若一个六边形的每个内角都如巴则工的值为（）

A.60B.90C.120D.150

2.（2025年四川遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（）

A.10B.11C.12D.13

3.（2025年甘肃兰州）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六

边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中口/lBC的大小是（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

第4题图

4.（2025年四川攀枝花）如图，在正五边形48。）七中，口。。的大小为（)

A.30°B.36°C.40°D.45。

5.（2025年湖南）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为

正八边形，连接4C，BD,AC与BD交于点M,匚4M8='

第5题图第6题图

6.（2025年江苏淮安）如图，直线。b,正六边形力8CDE厂的顶点A、C分别在直线〃上，若口1=4（）。,

则口2的度数是（）

A.15°B.20°C.30°D.40°

（七）布置作业

1.必做题：习题21.1第2,3,4题.

2.探究性作业：习题21.1第6,7题.

21.2.1平行四边形及其性质（第1课时）导学案

一、学习目标

L理解平行四边形的概念，发展抽象能力。

2.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.在此过程

中，发展推理能力。

3.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路。

学习重点：探索并证明平行四边形的性质定理。

学习难点：探索并证明平行四边形的性质定理。

二、学习过程

（一）情境引入

将几何图形的组成元素特殊化，可以获得新的研究对象：如将三角形的边特殊化，可以得到等腰三角

形，将三角形的角特殊化，可以得到直角三角形.类似的，对四边形的边特殊化，可以得到平行四边形和梯

形等.

问题1我们该如何研究平行四边形呢？

问题2平行四边形是常见的凡何图形，学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象.你

还能举出一曲例子吗?

追问你还记得平行四边形的定义吗?

（二）合作探究

平行四边形的定义

的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“—”表示，如图，平行四边形A8CQ

记作“____________

卜.面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的角度研究平行四边形的性

质洗来研究平行四边形的边和角.

探究1根据定义画一个平行四边形并进行观察，除「'两组对边分别平行“，它的边之间还有什么关系？

它的角之间呢？

猜想.

追问1度量一下，和你的猜想一致吗？

追问2你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下.

己知：.

求证：.

证明：

BC

追问3如何证明NB4ZXNQCB?

追问4不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等呢?

平行四边形的性质］.

符号语言

,/四边形ABCD是平行四边形，

探究2如图，在/WCQ中，连接AC,BD,并设它们相交于点。.点。把每条对角线都分成两部分，这

两部分有什么关系？

猜想.

追问1利用信息技术工具，改变必BC。的形状，你发现的结论还成立吗？

追问2证明你发现的结论.

己知：.

求证：.

证明：

平行四边形的性质2.

符号语言

•C^ABCD的对角线AC.BD交于点O,

*

••・

(三)典例分析

例1如图，在中，A8=10,AO=8,ACL8C.求BC,CD,AC,。4的长，以及口A8CQ的面积.

(四)巩固练习

1.在口/WCQ中，

(1)已知A8=5,BC=3,求另外两边的长;

(2)已知乙4=38。，求其余各内角的度数.

2.如图，在%8C。中，BC=10,AC=8,BD=14nA0力的周长是多少?△ABC与△OBC的周长哪个长?

长多少?

3.如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了

一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系?为什么?

（七）归纳总结

（六）感受中考

1.（2025年河北）平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为〃.若〃为整数，贝胸的值可以

为.（写出一个即可）

2.（2022年湖南湘潭）在%中（如图），连接/C,已知匚A4C=40。，口力C8=80。，则n8c£>=（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

3.（2024年贵州）如图，加的对角线4C与8。相交于点。，则下列结论一定正确的是（）

C.OA=OBD.AC3BD

第2题图第3题图

4.（2022广东广州）如图，在。48CO中，AD=10,对角线AC与8。相交于点O,AC+BD=22,则4BOC

的周长为

5.（2025年甘肃平凉）如图，把平行四边形纸片48c。沿对角线力。折叠，点8落在点从处，8'C与力。相

交于点E,此时nCOE恰为等边三角形，若48=6cm,则力。=cm.

6.（2023年甘肃兰州）如图，在中，BD=CD,4E「BD于点、E,若口。=70。，则匚84£=

第6题图

7.（2023年四川凉山州）如图，。/18co的顶点。、力、C的坐标分别是（0,0）、（3,0）、（!，2）.则顶

点5的坐标是

（七）布置作业

1.必做题：习题21.2第1,2,3题.

2.探究性作业：习题21.2第12,15题.

21.2.1平行四边形及其性质（第2课时）导学案

一、学习目标

1.利用平行四边形的性质定理解决简单问题，发展应用意识。

2.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。

学习重点：理解两条平行线之间距离的概念。

学习难点：利用平行四边形的性质定理解决简单问题.

二、学习过程

（一）复习引入

问题1平行四边形的定义是什么？

问题2平行四边形有哪些性质？

（二）合作探究

距离是几何中的重要度量之一.我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离.在此基础上,

我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离.

如图，a//b,did,c,d与a,5分别相交于A,B,C,。四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边

形;WOC是,AI3=.

1.两条平行线之间的任何两条都相等

2.如果两条直线平行，那么都相等

两条平行线之间的距离

两条平行线中，，叫作这两条平行线之间的距离.

如图，aHb,人是。上的任意一点，ABLb,垂足为氏就是平行线a,£之间的距离.

—t—啜

问题两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？

距离类型研究对象图形区别与联系|

点与点之间

A*

的距离

/

点到直线

的距离

1

d--------a

两条平行线之间

的距离

力、---b

（三）典例分析

例2如图，0Abe。的对角线AC,3。相交于点0,EF过点。且与AB,C。分别相交于点E,F.求

证OE=OF.

例3如图，在梯形43CQ中，ADHBC,AB=DC.求证N8=NC.

追问你还有其他证明方法吗?

（四）巩固练习

1.如图，四边形A8CO是平行四边形，N4BC=70。，BE平分NA8C且与4。相交于点E,DF//EB凫与

8c相交于点F.求N1的大小.

2.如图，UABCO的周长为16,对角线AC,8。相交于点。，点E在A。上，Of_L4c.求△CQE的周长.

3.如图，在梯形4BCD中，AD//BC,ZC=90°,AD=3,AB=4,BC=5,E为边BC上一点、,AB//DE.求

AD,BC之间的距离.

4.如图，直线A48C与的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与AABC面积相等的三

角形吗?

5.已知直线。，b,c互相平行，直线小〃之间的距离是3cm,直线爪。之间的距离是4cm,那么直

线。，。之间的距离为.

（八）归纳总结

（六）感受中考

1.（2023年福建）如图，在%8c。中，。为8。的中点，月尸过点。且分别交力员8于点及F.若力七=10,

则C/的长为.

2.（2024年四川眉山）如图，在口"CO中，点O是3。的中点，即过点O,下列结论：①DC-.②EO=ED；

③口4=口。；④S四边形d8O£=S四边形a。尸其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个

3.（2023年海南）如图，在勿4c。中，4B=8,OABC=60°,AE平分匚力4C,交边4D于点E,连接CE,

若XE=2ED,则CE的长为（）

A.6B.4C.4V3D.2V6

4.（2025年黑龙江齐齐哈尔）如图，在％88中，BC=2/1B=8,连接力C,分别以点A,。为圆心，大

干;力。的长为半径作弧，两弧交干点E,F,作直线上巴交力D干点、M,交灰:干点M若点N恰为的中点,

则4c的长为

第5题图

5.12024年四川广安）如图，在勿〃。。中，/4=4,AD=5,CM8C=30o,点历为直线8C上一动点，则M4+M。的

最小值为.

（七）布置作业

1.必做题：习题21.2第4,10,14题.

2.探究性作业：习题21.2第16题.

21.2.2平行四边形的判定（第1课时）导学案

一、学习目标

1.探索并证明平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的

四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.在此过程中，发展推理能力。

2.利用平行四边形的判定定理解决简单问题，发展应用意识。

学习重点：探索并证明平行四边形的判定定理。

学习难点：利用平行四边形的判定定理解决简单问题。

二、学习过程

(-)复习引入

问题1满足什么条件的四边形是平行四边形？

问题2还有其他判定平行四边形的方法吗？你能说说平行四边形的性质定理的逆命题吗？

(二)合作探究

猜想1的四边形是平行四边形.

已知：________________________________________

求证：.

证明：

平行四边形的判定定理1的四边形是平行四边形.

符号语言

・•・四边形A4CO是平行四边形.

猜想2的四边形是平行四边形.

己知：，

求证：.

证明：

4_________.D

BC

平行四边形的判定定理2的四边形是平行四边形.

符号语言

・•・四边形ABCD是平行四边形.

猜想3的四边形是平行四边形

己知：.

求证：.

证明：

平行四边形的判定定理3的四边形是平行四边形.

符号语言

・•・四边形ABCD是平行四边形.

（三）典例分析

例4如图，办8。。的对角线4C,8。相交于点。，点E,尸在4C上，并且尸.求证：四边形

是平行四边形.

追问你还有其他讦明方法吗？

（四）巩固练习

1.如图，在四边形八8CD中，/ADB=/CBD,ZC+Z/\/?OI80°,四边形/WC7）是平行四边形吗？请

AD

B

说明理由.

2.如图，AB=DC=EF,AD=BC,DE=CF.图中有哪些互相平行的线段？

3.如图，四边形A8C。的对角线相交于点0,若ABHCD,请添加一个条件_（写一个即可）,

使四边形A4CD是平行四边形.

4.如图，0ABe。的对角线AC,9相交于点0,且E,/分别是OA,0c的中点，连接OE,DF,BE,

BF.求证：四边形是平行四边形.

（九）归纳总结

平行四边形的判定方法

定义___________________的四边形叫作平行四边形.

判定定理1___________________的四边杉是平行四边形.

判定定理2___________________的四边形是平行四边形.

判定定理2的四边形是平行四边形.

（六）感受中考

1.（2022年内蒙古赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在•起，重合部分构成•个四

边形力BCD,其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A.四边形48CD周长不变B.AD=CDC.四边形48CO面积不变D.AD=BC

2.（2024年山东济宁）如图，四边形力8c。的对角线力C,8。相交于点O,OA=OC,请补充一个条件.

ADBC,使四边形是平行四边形.

3.（2023年湖南邵阳）如图，在四边形/13C。中，ADUCD,若添加一个条件，使四边形,438为平行

四边形，则下列正确的是（）

A.AD=BCB.UABD=^BDCC.AB=ADD.QA=DC

4.（2021年河北）如图1,E48CZ）中，AD>AB,C48C为锐角.要在对角线8D上找点N,使四边形

•取⑷V,CM、分别平

;分N8/1。，NBCD

图2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

5.（2023年浙江杭州）如图，平行四边形力8CQ的对角线4C,8。相交于点O,点瓦语对角线8。上，且

BE=EF=FD,连接片区EC,CF.FA.

（I）求证：四边形力EC/7是平行四边形.

（2）若匚44后的面积等于2,求:ZC?.。的面积.

（七）布置作业

1.必做题：习题21.2第5,6,13题.

2.探究性作业：习题21.2第7,8题.

2122平行四边形的判定（第2课时）导学案

一、学习目标

1.探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.经历平行四边形判

定定理的发现与证明过程，发展推理能力。

2.会综合运用平行四边形的性质和判定进行推理和计算。

学习重点：探索并证明平行囚边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

学习难点：综合运用平行四边形的性质和判定进行推理和计算。

二、学习过程

（一）复习引入

问题1平行四边形有哪些判定方法？

问题2如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？

（二）合作探究

思考对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？

位置关系,数量关系.

追问类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边

形是平行四边形的方法吗？

猜想的四边形是平行四边形.

己知：.

求证：.

证明：

4_________,D

BC

平行四边形的判定定理4的四边形是平行四边形.

符号语言

••

•，

:.四边形ABCD是平行四边形.

（三）典例分析

例5如图，在口A8CO中，E,尸分别是A/3,CO的中点.求证。EW汜

（四）巩固练习

1.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可

以了，你能说出其中的道理吗?

2.如图，在办8c。中，8。是它的一条对角线，过A,C两点分别作CF1BD,垂定分别为E,

F.求证：四边形A/CE是平行四边形.

追问你还有其他证法吗？

3.如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形?为什么？

（十）归纳总结

平行四边形的判定方法

定义__________________的四边脑叫作平行四边形.

判定定理1_________________的四边彩是平行四边彩.

判定定理2__________________的四边形是平行四边形.

判定定理3__________________的四边形是平行四边形.

判定定理4____________________的四边脑是平行四边形.

（六）感受中考

1.（2（）20年黑龙江）如图，在四边形A8C。中，AD//BC,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一

个条件，使四边形A5C。是平行四边形（填一个即可）.

第1题图第2题图

2.（2023年湖北宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片拧叠，使点力落在长边C。上的点J处，并得到

折痕。区小宇测得长边8=8,则四边形的周长为.

3.（2024年湖北武汉）如图，在口力88中，点E,尸分别在边8C,上，AF=CE.

（1）求证：口力BESF；

（2）连接请添加•个与线表相关的条件，使四边形48E尸是平行四边形.（不需要说明理由）

4.（2023年江苏镇江）如图，8是AC的中点，点。，£隹4。同侧，AE=BD,BE=CD.

（1）求证："1BE丝UBCD.

⑵连接。E,求证：四边形5cDE是平行四边形.

5.（2024年湖南）如图，在四边形力8。中，力8Z1C。，点£在边力8匕.请从“①匚归二:六。；

②公E=BE,4E=CZT这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：

（1）求证：四边形8。七为平行四边形；

（2）若力。口48,40=8,8010,求线段4E的长.

（七）布置作业

1.必做题：习题21.2第5,8题.

2.探究性作业：习题21.2笫17题.

21.2.3三角形的中位线导学案

一、学习目标

1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容。

2.经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力。

学习重点：探索并证明三角形中位线定理。

学习难点：探索并证明三角形中位线定理。

二、学习过程

（一）复习引入

前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个,利用研究平行四边形

的有关问题.下面利用平行四边形研究三角形的有关问题.

（二）合作探究

三角形的中位线

如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,4C的中点，连接。£像。E这样，连接的

线段叫作三角形的中位线.

思考1一个三角形有几条中位线?

思考2三角形的中位线和中线一样吗?

探究观察图形，你能发现△ABC的中位线。七与边4c的位置关系吗?度量一下，QE与8c之间有什

么数量关系？

猜想.

追问你能证明你发现的结论吗？

已知：如图，。，E分别是△ABC的边4B,AC的中点.

求证：.

证明：

B

三角形的中位线定理

三角形的中位线平行于,并且等于.

符号语言

在△4BC中,

,:D,E分别是边A&AC的中点，

（三）典例分析

例6求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形足平行四边形.

已知：如图，在四边形A8C0中，E,F,G，”分别是边/W,BC,CD,D4的中点.求证：四边形

是平行四边形.

（四）巩固练习

1.如图，在△ABC中，D,E：尸分别是48,BC,CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少

个平行四边形？为什么它们是平行四边形?

2.如图，△48C的中线80,CE相交于点O,且凡G分别是08,0C的中点.求证：四边形O£PG是

平行四边形.

、D

FG

BC

3.如图，A,3两点被池塘隔开，在A8外选一点C,连接AC和8c怎样利用三角形的中位线定理测出

A，B两点间的距离?

（十一）归纳总结

三角形的中位线

连接三角形的线段叫作三角形的

定义

中位线.

三角形的三角形的中位线平行于

中位线定理并且等于_____________

（六）感受中考

1.（2025年江苏无锡）在148C中，D、石分别是JB、4C的中点.若。石=4,则8。的长为（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2025年四川资阳）如图，三角形的周长为48cm,则它的三条中位线组成的三角形的周氏是（）

A.12cmB.24cmC.28cmD.30cm

3.（2025年四川广元）如图，在平行四边形49CQ中，48=8,对角线4C,8。交于点O,点尸是48的

中点，连接。P,点E是。P的中点，连接。巴则的长是（）

4.（2025年山西）如图，在平行四边形力4。中，点。是对角线4C的中点，点E是边4。的中点，连接（无.下

列两条线段的数量关系中一定成立的是（)

A.OE=；ADB.OE=：BCC.OE=：ABD.OE=^AC

5.（2025年湖南）如图，在二力品、中，〃C=6,点七是AC的中点，分别以点力，〃为圆心，以大于:4的

长为半径画弧，两弧相交于点M,M直线交48于点。，连接Z）E,则QE的长是

第5题图第6题图

6.（2024年四川凉山）如图，四边形48。。各边中点分别是££G,〃，若对角线4c=24,40=18,则四边

形E/GH的周长是.

7.（2025年山东淄博）已知：如图：在匚48C中，D,尸分别为退18,8c的中点，匚MEZA匚DF8.求证:

（1）口力EO□匚。厂E；

（2）ZC=E1£DF.

（七）布置作业

1.必做题：习题21.2第6题.

2.探究性作业：（2022年江苏扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片

ABC,第1次折叠使点8落在3c边上的点方处，折痕4。交6。于点。；第2次折叠使点4落在点。处，折痕MV

交幺月于点P.若8c=12,则MP+MV=.

AA

21.3.1矩形（第1课时）导学案

一、学习目标

1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系。

2.探索并证明矩形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，发展推理能力。

3.会用矩形的性质解决简单的问题，发展应用意识。

学习重点：探索并证明矩形的性质。

学习难点：明确矩形与平行四边形的区别与联系。

二、学习过程

（一）复习引入

将几何图形的组成元素特殊化，可以获得新的研究对象：

如将三角形的边特殊化，可以得到,将三角形的角特殊化，可以得到.

类似的，对四边形的边特殊化，可以得到和等.

对平行四边形的角或边特殊化，可以得到特殊的平行四边形.本节课我们就来研究特殊的平行四边形.

（二）合作探究

矩形的定义

的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.

问题矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象.你还能举出一些例子吗？

与研究平行四边形的性质类似，对于矩形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究.

思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它有一个角为直角，它是否具

有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

四边形平行四边形矩形

边

角

对角线

追问说一说，如何证明“矩形的四个角都是直角”？

矩形的特有性质［__________________________.AD

符号语言

丁四边形4AC。是矩形，

BC

*

••.

思考你能证明“矩形的对角线相等“这个结论吗？

已知：在矩形48CO中，对角线AC、BD交于点a

求证：______________.

证明：

忌

BC

进一步可证：。4:___=____=____.

矩形的特有性质2________________________.

符号语言

•・•四边形43co是矩形,

矩形是轴对称图形，就是它的对称轴.

探究如图，30是A8C斜边AC上的中线，8。与4c有什么关系？

猜想.

追问你能证明这个猜想吗?

直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于.

符号语言

♦：B0是RIAABC斜边AC上的中线，

（三）典例分析

例1如图，矩形A8CQ的对角线AC,6。相交于点O,NAO4=60。，43=4.求矩形48C。的对角线的

长.

例2如图，中，AB=AC=\（）,点尸为43的中点，以点A为圆心，

适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点M,N,分别以点M,N为圆心，大

于的长的一半为半径画弧，两弧交于点、D,画射线A。交BC于点E,连接

EF,则的长是（）

A.5B.5/C.8D.