冀教版三年级数学下册一 问题与运算（二）教案（2026春）

第一单元问题与运算（二）

【单元课时数】10课时

【教学内容】

本节课属于“数与代数”领域“数的运算”中的内容，在学生己掌握表内乘除法、百以内加

减法及简单运算逻辑的基础上，系统学习混合运算（不带括号、带小括号）的运算顺序，掌握“求

比一个数的儿倍多（少）儿”“乘除两步计算”等实际问题的解题方法，同时渗透多角度解题思

路、数学规律探索及数学与传统文化融合的内容，构建从运算规则到实际应用的完整知识体系，

为后续复杂运算和综合问题解决奠定基础。

【教学目标】

1.掌握不带括号混合运算“先乘除后加减”、带小括号混合运算”先算括号内”的运算规则，

能规范书写综合算式并准确计算。

2.理解“单一量”“总量”“倍数”等核心概念，熟练运用“归一法”“归总法”“先乘后

加减”等思路解决各类实际问题，能从不同角度分析并解答同一问题。

3.经历数学规律探索的完整过程，能从诗歌等传统文化载体中提取数学信息，感受数学的趣

味性与文化内涵。

4.提升逻辑思维、归纳推理和问题分析能力，养成严谨计算、规范表达的习惯，感受数学在

生活中的广泛应用价值。

【教学重点】

混合运算的运算顺序；各类实际问题的数量关系分析与解题方法；多角度解题思路的运用。

【教学难点】

理解运算ii页序的合理性；准确判断实际问题类型（归一/归总、几倍多/少几）；掌握数学规律

探索的方法；从传统文化中提取数学逻辑并解答。

【教学策略】

结合超市购物、植树、教具配备等生活情境开展教学，让学生在实际场景中理解运算意义和

数量关系。通过“分步计算一综合算式”“单角度一多角度”的梯度设计，逐步突破重难点；多

组织小组合作、猜想验证、对比辨析等活动，强化学生对知识的理解与应用。关注学生在综合算

式书写、括号使用、思路表述等方面的易错点，通过专项练习和错题订正强化巩固。同时，融入

规律探索和传统文化元素，激发学生学习兴趣，培养综合素养。

第1课时不带括号的混合运算

【教学内容】

教科书第14〜15页

【教学目标】

1.结合具体生活情境，理解不带括号混合运算（既有乘除法又有加减法）的运算顺序，能准

确表述运算逻辑。

2.经历“分步计算一列综合算式”的推导过程，掌握综合算式的书写规范和计算步骤。

3.感受混合运算在生活中的实际应用，提升数学与生活的联系意识，培养严谨的计算习惯。

【教学重点】掌握“先算乘除法，后算加减法”的运算顺序，正确计算不带括号的混合运算

算式。

【教学难点】理解运算顺序的合理性，能结合实际问题情境解释为何先算乘除法再算加减法。

【教学准备】课件•、草稿本、小棒（辅助理解数量关系）

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师课件出示超市饮料陈列图）同学们，超市里正在整理饮料货架，大家仔细看：有3

箱整箱的饮料，每箱24瓶，旁边还有12瓶零散摆放的饮料。想要知道这些饮料一共有多少瓶，

我们该怎么计算呢？

1

学生1:先算整箱的有多少瓶，再加上零散的。

学生2：整箱的3箱，每箱24瓶，用乘法算，再加12瓶。

教师：大家的思路很清晰！今天我们就来学习如何用更简洁的算式解决这类问题，认识“不

带括号的混合运算”。

（板书课题）

二、自主活动，探索新知

1.分步计算，梳理解题思路

教师：谁能把刚才的思路一步步算出来？

学生3：第一步算3箱饮料的数量，24义3=72（瓶）；第二步把整箱的和零散的相加，72+12=84

（瓶）。

教师：（板书分步算式）大家同意吗？我们再检查一r：每箱24瓶，3箱就是3个24,确实

是72瓶，加上零散的12瓶，总数就是84瓶，步骤很完整。

教师：如果把这两个步骤的意思反过来，先算零散的12瓶，再加上3箱的数量，算式该怎么

列？

学生4：12+24X3,先算24X3=72,再算12+72=84（瓶）。

教师：结果和之前一样，说明两种思路都是正确的。

2.列综合算式，探究运算顺序

教师：刚才的两个分步算式，能不能合并成一个算式呢？

学生5：24X3+12。

学生6：还有12+24X3。

教师：这两个都是综合算式，那它们该怎么计算呢？先算什么，再算什么？

学生7：应该先算乘法，再算加法！因为我们第一步要先算3箱的数量，也就是乘法部分。

教师：非常有道理！我们结合实际问题来看，“24X3”表示3箱饮料的数量，“+12”是加上

零散的，只有先算出整箱的数量，才能求出总数，所以必须先算乘法。

教师：我们来计算第一个算式：24X3+式,先算24X3=72,再算72+12=84（瓶（板书计算

过程，标注运算顺序）

教师：再算第二个算式：12+24X3,这里乘法还是要先算，24X3=72,再算12+72=84（瓶）。

（板书计算过程）

教师：大家发现了吗？不管乘法在算式的前面还是后面，都要先算乘法，再算加法。

3.巩固练习，强化规则

教师：课件出示练习题：35X4-70.78+1264-3.60-724-4,请大家先标出每道题第一步要算

的部分，再计算。

学生自主练习O

教师：大晟都能准确找到先算的部分，计算也很正确！关键就是记住“先乘除后加减”的规

则。

三、当堂训练

1.基础题：先说出运算顺序，再计算。

（1）28+4X15（2）120-604-5（3）7X8-29（4）56+7+32

2.应用题：学校买了4个足球，每个65元，还买了1个篮球花了80元，一共花了多少元？

（列综合算式解答）

3.拓展题：判断对错并改正。

（1）45+5X6=50X6=300（）

（2）90-60-r3=304-3=10（）

（学生独立完成，教师巡视指导，重点关注运算顺序错误的学生，集体订正时强调错误原因）

四、课堂总结

教师：今天我们学习了不带括号的混合运算，谁来说说核心规则是什么？

学生8：没有括号的算式里，先算乘除法，再算加减法。

教师：没错！解决实际问题时，我们可以先分步理清思路，再列综合算式，计算时一定要遵

2

守运算顺序，保证结果准确。

五、布置作业

1.完成教材对应练习题，要求先标注运算顺序再计算。

2.编一道“既有乘法又有加法”的实际问题，并列综合算式解答。

【板书设计】

不带括号的混合运算

分步计算：24X3=72（瓶）72+12=84（瓶）

综合算式:24X3+合=72+12=84（瓶）

或12+24X3=12+72=84（瓶）

运算规则：没有括号，先算乘除，后算加减。

第2课时求比一个数的几倍多（少）几

【教学内容】

教科书第16〜17页

【教学目标】

1.结合具体情境，理解“比一个数的几倍多（少）几”的数量关系，能准确分析题意并梳理

解题步骤。

2.掌握“先算倍数，再算多几或少几”的解题方法，能正确列分步算式和综合算式解答。

3.提升逻辑思维能力和问题分析能力，感受数学在生活中的广泛应用。

【教学重点】分析“比一个数的儿倍多（少）儿”的数量关系，掌握“先乘后加减”的解题

思路。

【教学难点】准确理解“多儿”“少儿”的含义，能根据数量关系灵活列出综合算式。

【教学准备】课件、彩色笔（绘制线段图用）

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师：（课件出示水果摊情境图）幼儿园为小朋友准备水果，买了35千克橘子，买的香蕉比

橘子的2倍多5千克，买的苹果比橘子的3倍少5千克。大家先说一说“香蕉比橘子的2倍多5

千克”这句话是什么意思？

学生1：就是橘子的重量乘2,再加上5千克，就是香蕉的重量。

教师：“苹果比橘子的3倍少5千克”呢？

学生2：先算橘子重量的3倍，再减去5千克，就是苹果的重量。

教师：大家理解得很到位！今天我们就专门学习解决这类“求比一个数的几倍多（少）几”

的问题。

（板书课题）

二、自主活动，探索新知

1.解决“求比一个数的几倍多儿”的问题

教师：我们先算香蕉有多少千克。为了更直观地理解数量关系，我们可以用线段图来表示（课

件出示线段图）：先画一条线段表示橘子的35千克，香蕉的线段是橘子的2倍，也就是两条同样

长的线段，还要多出来一小段表示5千克。

教师：谁能根据线段图说说解题步骤？

学生3：第一步算橘子的2倍是多少，35X2；第二步再加上多的5千克，就是香蕉的重量。

教师：（板书分步算式）35X2=70（千克），70+5二75（千克）。教师：能不能把这两个分步算

式改成一个综合算式？

学生4：35X2+5。

教师：这个综合算式该怎么计算？根据上节课学的运算规则，先算什么？

学生5：先算乘法35X2=70,再算加法70+5=75（千克）。

教师：（板书综合算式及计算过程）非常正确!“35X2”对应“橘子的2倍”，“+5”对应“多

3

5千克”，完全符合数量关系。

2.解次“求比一个数的几倍少几”的问题

教师：接下来算苹果有多少千克。大家试着自己画线段图表示：橘子35千克，苹果是橘子的

3倍少5千克。

（学生自主画线段图，教师巡视指导）

教师：谁来展示自己的线段图，并说说解题思路？

学生6：我画了三条和橘子同样长的线段表示3倍，然后去掉一小段表示少5千克。解题时

先算35X3=105千克，再减去5千克，就是苹果的重量。

教师：思路很清晰！（板书分步算式）35X3=105（千克），105-5=100（千克）。

教师：综合算式怎么列？

学生7：35X3-5。

教师：计算时先算什么？

学生8：先算乘法35X3=105,再算减法105-5二100（千克）。

教师：（板书综合算式及计算过程）大家发现了吗？不管是“多儿”还是“少儿”，都要先算

“一个数的几倍”，也就是先算乘法，再算加法或减法。

3.对比分析•，总结解题方法

教师：我们对比一下香蕉和苹果的解题过程，有什么相同点和不同点？

学生9：相同点是都要先算一个数的几倍，用乘法；不同点是“多几”用加法，“少几”用

减法。

教师：（板书解题方法）求比一个数的几倍多儿：一个数X倍数十多的数；求比一个数的几倍

少儿：一个数X倍数-少的数。

教师：大家一定要记住，先算倍数（乘法），再算多几或少几（加减法），这是解决这类问题

的核心思路。

三、当堂训练

专项练习，强化应用

1.基础题：列式计算

（1）比28的3倍多12的数是多少？

（2）比45的2倍少18的数是多少？

2.应用题：学校组织植树活动，三年级植树42棵，四年级植树的棵数比三年级的2倍多15

棵，四年级植树多少棵？

3.拓展题：小明有25张邮票，小红的邮票比小明的3倍少8张，两人一共有多少张邮票？

（提示：先算小红的邮票数，再算总数）

（学生独立完成，教师巡视指导，重点关注拓展题中“两步计算”的逻辑，集体订正时强调

解题步骤）

四、课堂总结

教师：今笑我们学习了“求比一个数的几倍多（少）几”的问题，解题核心是什么？

学生12：先算一个数的儿者（乘法），再算多儿加、少儿减。

教师：没错！遇到这类问题，我们可以先画线段图理清数量关系，再按照“先卖法后加减”

的顺序列式解答，保证思路清晰、计算准确。

五、布置作业

1.完成教材对应练习题，要求先分析数量关系，再列式解答。

2.回家和家长一起编一道“比一个数的几倍多（少）几”的问题，互相解答并检查。

【板书设计】

求比一个数的几倍多（少）儿

1.几倍多几（香蕉）

分步：35X2=70（千克）70+5=75（千克）

综合:35X2+5=75（千克）

2.几倍少几（苹果）

4

分步：35X3=105（千克）105-5=100（千克）

综合：35X3-5=100（千克）

解题方法：先算倍数（乘），再算多（加）或少（减）。

第3课时带小括号的混合运算

【教学内容】

教科书第18〜19页

【教学目标】

1.理解小括号的作用，知道小括号能改变运算顺序，掌握“有小括号先算括号里”的运算规

则。

2.能将分步算式正确改写成带小括号的综合算式，熟练计算带小括号的混合运算。

3.感受小括号在解决实际问题中的必要性，提升灵活运用运算规则的能力。

【教学重点】理解掌握带小括号的混合运算顺序，能正确计算并改写综合算式。

【教学难点】理解小括号的作用，准确判断何时需要使用小括号，避免遗漏或滥用。

【教学准备】课件、钟表模型、草稿本

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师：（课件出示折纸玩具情境图）三年级同学手工课做了70件折纸玩具，送给中班16件，

剩卜的平均分给3个小班，每个小班分多少件？大家先说说第一步算什么，再算什么？

学生1：第一步算剩下多少件，70-16；第二步算平均分给3个小班，用剩下的数量除以3。

教师:如果我们直接列综合算式,写成“70T6+3”可以吗?为什么?

学生2：不行！按照之前的规则，会先算除法16・3,这就错了，我们需要先算减法70-16。

教师：大家发现问题了！当我们需要先算加减法，再算乘除法时，之前的规则就不够用了，

这时候就需要一个“帮手”一一小括号。

（板书课题：带小括号的混合运算）

二、自主活动，探索新知

1.认识小括号的作用

教师：小括号的作用就是改变运算顺序，它能让我们先算括号里面的算式。所以刚才的问题,

我们给我0T6”加上小括号，写成（70-16）4-3,这样就可以先算减法了。

教师：（板书综合算式）我们来计算这个算式：先算括号里的70-16=54（件），再算54+3=18

（件）。（标注运算顺序）

教师：大家验证一下，分步计算的结果是18件，带括号的综合算式结果也是18件，说明小

括号真的能帮我们实现“先算减法”的需求。

2.深化理解：对比练习显差异

教师：我们来做一组对比练习，感受小括号的重要性（课件出示）：

1.96+24X6

2.（96+24）X6

教师：这两个算式有什么不同？运算顺序会一样吗？大家先预测一下结果，再计算。

学生3：第一个没有括号，先算乘法24X6；第二个有括号，先算加法96+24。

学生计算后汇报：

1.96+24X6=96+144=240

2.（96+24）X6=120X6=720

教师：结果相差很大！这说明小括号能直接改变运算顺序，进而改变算式结果，所以使用时

一定要准确。

3.学习“分步算式一带括号综合算式”的改写

教师：我们再来看一个例子（课件出示）：分步算式135-72二63,634-7=9,怎么改成综合算

式？

5

学生4：(135-72)+7=9。

教师:为什么要给135-72加括号?

学生5：因为要先算减法，再算除法，所以必须加括号。

教师：(板书改写过程)大家总结一下改写方法：找到需要先算的分步算式，给它加上小括号,

再和其他算式连接起来。

教师：再试一个(课件出示)：分步算式25+15=40,80+40=2,综合算式是什么？

学生6：804-(25+15)=2o

教师：非常正确！这里要注意，先算的加法在除法的后面，也要给它加括号，才能保证先算

加法。

4.总结带小括号的运算顺序

教师：结合刚才的学习，大家说说带小括号的混合运算顺序是什么？

学生7：一个算式里有小括号，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。

教师：(板书运算规则)如果小括号里面既有乘除法又有加减法，怎么办？比如(30+12X2)

・6,先算什么？

学生8：先算括号里的乘法12X2=24,再算括号里的加法30+24=54,最后算括号外的除法

544-6=9o

教师：没错！小括号里面的运算顺序，仍然遵循“先乘除后加减”的规则，小括号只改变“先

算括号里，再算括号外”的整体顺序。

三、当堂训练

1.先说说运算顺序，再计算：

(48+36)4-7

100-(23+47)

(72-48)X54.6X(35-27)

2.基础题：计算下列算式

(1)(28+42)4-5(2)7X(56-49)

(3)180-(65+35)(4)(32X4)+28

3.改写题：将下列分步算式改写成综合算式.

(1)56-28=2828X3=84f()

(2)7X8=5690-56=34-*()

4.应用题：图书角有58本故事书和34本科普书，把这些书平均放在4层书架上，平均每层

放多少本？(列综合算式解答)

(学生独立完成，教师巡视，重点关注改写题和应用题中括号的使用情况，集体订正时纠正

遗漏括号的错误)

四、课堂总结

教师：今黄我们学习了带小括号的混合运算，小括号有什么作用？运算顺序是什么？

学生9：小括号能改变运算顺序，让我们先算括号里的；有小括号的算式，先算括号里的，

再算括号外的，括号里先乘除后加减。

教师：总结得非常全面！小括号是我们解决复杂问题的好帮手，以后遇到需要先算加减法再

算乘除法的情况，一定要记得用小括号。

五、布置作业

1.完成教材对应练习题，要求先说说运算顺序再计算。

2.编一道需要使用小括号的实际问题，并列综合算式解答。

【板书设计】

带小括号的混合运算

分步：70-16=54(件)544-3=18(件)

综合:(70-16)4-3=18(件)

运算顺序：有小括号，先算括号里的(括号内先乘除后加减)。

对比练习：96+24X6=240(96+24)X6=720

6

第4课时用不同的方法解答问题

【教学内容】

教科书第20〜21页

【教学目标】

1.能从不同角度分析同一实际问题，掌握两种及以上解题方法，理解每种方法的逻辑思路。

2.经历“多角度审题一不同方法解答一对比优化”的过程，提升发散思维和问题解决能力。

3.感受解题方法的多样性，体会数学思维的灵活性，激发探索不同解题思路的兴趣。

【教学重点】从不同角度分析数量关系，用两种方法解答同一问题，并能清晰表述每种方法

的思路。

【教学难点】突破单一思结模式，找到第二种解题方法，理解不同方法之间的内在联系。

【教学准备】课件

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师：（课件出示情境图）学校要给6个班各配备一个保温桶和一个垃圾桶，每个保温桶65

元，每个垃圾桶47元。一共要花多少元？大家先独立思考，你能想到几种解题方法？（板书课题）

（学生独立思考，尝试列式，教师巡视，了解学生的解题思路）

二、自主活动，探索新知

1.方法一：先算“一套”的费用，再算6套的总价

教师：谁来说说你的第一种方法？

学生1：我先算一个班买1个保温桶和1个垃圾桶的总费用，也就是“一套”的钱，再乘6

个班。

教师：（板书思路）一套的费用二保温桶单价+垃圾桶单价，总费用二一套的费用X班级数。

教师：怎么列式？

学生2：分步算式:65+47=112（元）,112X6=672（元）。

学生3：综合算式：（65+47）X6=112X6=672（元）。

教师：为什么要给65+47加括号？

学生4：因为要先算一套的费用（加法），再算6套的总价（乘法），所以需要加括号。

教师：计算正确！这种方法是从“每个班的费用”入手。

2.方法二：先算同种物品的总价，再求和

教师：除了先算一套的费用，还有别的思路吗？我们可以从“物品类型”入手想一想。

学生5：可以先算6个保温桶的总费用，再算6个垃汲桶的总费用，最后把两者加起来。

教师：（板书思路）保温桶总价:保温桶单价X6,垃圾桶总价二垃圾桶单价X6,总费用二保温

桶总价+垃圾桶总价。

教师：谁来列式？

学生6：分步算式：65X6=390（元），47X6=282（元），390+282=672（元）。

学生7：综合算式:65X6+47X6=390+282=672（元）,

教师：这个综合算式的运算顺序是什么？

学生8：先算两个乘法，再算加法，符合“先乘除后加减”的规则，不需要加括号。

教师：这种方法是从“同种物品的总价”入手，我们称之为“先分后合法”（板书方法名称）。

3.对比两种方法，理解内在联系

教师：我们用两种方法解决了同一个问题，结果都是672元，说明两种方法都正确。大家对

比一下，两种方法的思路有什么不同？运算顺序和算式有什么差异？

学生9：思路不同：方法一是先算一套（一个班）的费用，再算6套；方法二是先算6个保

温桶和6个垃圾桶的费用，再相加.

学生10：算式不同：方法一有小括号，先算加法再算乘法；方法二没有括号，先算两个乘法

再算加法。

7

教师：那它们之间有什么联系呢？其实两种方法都是在求“6个65和6个47的总和”，只

是计算的顺序不同，结果自然相同。

4.小组合作，巩固两种方法

教师：课件出示练习题：学校买5个篮球，每个94元，买5个足球，每个86元，一共花多

少元？请小组合作，用两种方法解答，并在记录单上写出每种方法的思路。

（小组合作解答，教师巡视指导，重点关注有困难的小组，引导他们从不同角度思考）

小组汇报：方法一：（94+86）X5=180X5=900（元），思路:先算一个篮球和一个足球的总价,

再乘5个。

方法二：94X5+86X5=470+430=900（元），思路：先算5个篮球和5个足球的总价，再相加。

三、当堂训练

1.基础题：用两种方法解答。

商店卖出4箱苹果，每箱15千克，卖出4箱梨，每箱12千克，一共卖出多少千克水果？

2.变式题：用两种方法解答。

买4件上衣，每件65元，买4条裤子，每条28元，买上衣比买裤子多花多少元？

（提示：方法一先算一件上衣比一条裤子多花的钱，再乘4；方法二先算4件上衣和4条裤

子的总价，再相减）

3.拓展题：选择合适的方法解答

学校组织学生参观博物馆，低年级有3个班，每班42人，高年级有4个班，每班45人，

共有多少学生参加？

（鼓励学生选择自己喜欢的方法）

（学生独立完成，教师巡视，集体订正时强调每种方法的思路，鼓励学生灵活选择方法）

四、课堂总结

教师：今黄我们学习了用不同的方法解答问题，你有什么收获？

学生11：解决同一个问题可以从不同角度思考，有多种方法。

学生12：我学会了两种方法，一种是先算一套的费用再乘数量，一种是先算同种物品的总价

再相加。

教师：没错！解决数学问题时，我们要打开思路，多角度分析，选择最简便的方法解答。不

同方法之间可能存在内在联系，大家要学会对比和理解。

五、布置作业

1.完成教材对应练习题，要求用两种方法解答，并写出每种方法的思路。

2.和家长分享今天学到的两种解题方法，一起解决一道生活中的实际问题。

【板书设计】

用不同的方法解答问题

例题：6个班，每班1个保温桶（65元）和1个垃圾桶（47元），共花多少元？

方法一：（按“一套”算）

（65+47）X6=112X6=672（元）

思路：一套费用义班级数=总费用

方法二：先分后合（按“物品类型”算）

65X6+47X6=390+282=672（元）

思路：保温桶总价+垃圾桶总价二总费用

核心：多角度分析，方法不同，结果相同

第5课时乘除两步计算的问题

【教学内容】

教科书第22〜23页

【教学目标】

1.理解乘除两步计算问题的数量关系，掌握“归一法”“归总法”两种核心解题思路，能正

8

确列综合算式解答。

2.经历“审题一分析数量关系一列式计算一检验”的完整过程，提升分析和解决实际问题的

能力。

3.感受乘除法在生活中的紧密联系，体会“单一量”“总量”在解题中的关键作用，培养逻

辑思维的严谨性。

【教学重点】掌握乘除两步计算问题的解题思路（归一、归总），能正确列综合算式解答。

【教学难点】准确判断题目类型（归一或归总），理解“单一量”和“总量”的含义及在解题

中的作用。

【教学准备】课件、小棒（辅助理解数量关系）

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师：（课件出示酸奶情境图）妈妈去超市买酸奶，买5盒酸奶花了40元，想知道买15盒这

样的酸奶要花多少元？大家先思考:题目中“每盒酸奶的价格”是固定不变的，我们把它叫作“单

一量”；“5盒花40元”“15盒花的钱”是“总量”。今天我们就通过“单一量”和“总量”的

关系，学习乘除两步计算的问题。

（板书课题）

二、自主活动，探索新知

1.归一法：先求单一量，再求总量

教师：我们先看第一种思路，先算出每盒酸奶的价格（单一量），再算15盒的总价（总量）。

谁来分步列式？

学生1：第一步算每盒酸奶的价格，40+5=8（元）；第二步算15盒的总价，8X15=120（元）。

教师：（板书分步算式）这种先求“单一量”再求“总量”的方法，叫作“归一法”（板书方

法名称）。

教师：怎么把分步算式改成综合算式？

学生2：40+5X15。

教师：这个综合算式的运算顺序是什么？

学生3：从左到右依次计算，先算除法40・5=8,再算乘法8X15=120（元工（板书综合算式

及计算过程）

教师：为什么可以从左到右算？因为我们的解题思路就是先求单一量（除法），再求总量（乘

法），运算顺序和解题思路一致，不需要加括号。

2.倍比法：先求倍数，再求总量

教师：除了先求单一量，还有别的思路吗？我们可以看看15盒是5盒的几倍。

学生4：15是5的3倍，所以买15盒花的钱也是40元的3倍。

教师：（板书思路）倍数二所求数量+已知数量，所求总量二已知总量X倍数。

教师：分步算式怎么列？

学生5：第一步算倍数，15・5=3；第二步算总价，40X3=120（元）。

教师：综合算式呢？

学生6：40X（154-5）=40X3=120（元）。

教师：为什么要给15+5加括号？

学生7：因为要先算倍数（除法），再算乘法，虽然从左到右也算，但加括号能让思路更清晰,

避免误解。

教师：这种先求“倍数关系”再求总量的方法，叫作“倍比法”（板书方法名称），它是归一

法的一种特殊形式，当数量之间是整数倍时，用这种方法更简便。

3.归总法：先求总量，再平均分

教师：我们再看一道不同类型的题目（课件出示）：健胃药每盒8板，每板12粒，每天吃6

粒，这盒药能吃多少天？

教师：这道题的“总量”是什么？

学生8：这盒药的总粒数。

9

教师：解题思路是什么？

学生9：先算这盒药的总粒数（总量），再除以每天吃的粒数，得到能吃的天数。

教师：（板书思路）总粒数;每板粒数X每盒板数，

吃的天数;总粒数♦每天吃的粒数。

学生分步列式：12X8=96（粒），964-6=16（天）。综合算式：12X84-6=964-6=16（天）。（板

书算式及计算过程）

教师：这种先求“总量”再进行平均分的方法，叫作“归总法”（板书方法名称），运算顺序

是“先乘后除”，从左到右依次计算。

4.对比归一与归总，明确差异

教师：我们对比一下归一法和归总法：

归一法：先求单一量（除），再求总量（乘），算式多为“除乘”；

归总法：先求总量（乘），再平均分（除），算式多为“乘除”。

教师：解题时，关键是找到“单一量”和“总量”，判断是需要先求单一量，还是先求总量。

5.巩固练习，强化应用

教师：课件出示练习题，判断是归一法还是归总法，再解答：

（1）王阿姨买3瓶饮料花18元，买9瓶要花多少元？（归一法）

（2）一批货物，每车运6吨，需要8辆车，若每车运8吨，需要多少辆车？（归总法）

学生独立解答，教师巡视指导，指名汇报解题思路和算式，强调题目类型的判断依据。

三、当堂训练

1.基础题：用合适的方法解答

（1）一个打字员3分钟打120个字，照这样计算，10分钟能打多少个字？（归一法）

（2）学校买来4箱粉笔，每箱36盒，平均分给6个年级，每个年级分多少盒？（归总法）

2.变式题：乘除混合运算

水果店运来6箱苹果，每箱25千克，卖出80千克后，剩下的苹果要装在5个袋子里，平均

每个袋子装多少千克？

（提示：先算总千克数，再减卖出的，最后平均分）

3.拓展题：解决实际问题

小明从家到学校，每分钟走60米，15分钟到达。如果每分钟走75米，多少分钟能到达学校？

（提示：归总法：先算总路程，再算新的时间）

（学生独立完成，教师巡视，重点关注变式题和拓展题的解题步骤，集体订正时强调“多步

计算”的逻辑）

四、课堂总结

教师：今天我们学习了乘除两步计算的问题，掌握了哪两种核心方法？

学生10：归一法和归总法。

教师：归一法的关键是什么？归总法呢？

学生11：归一法先求单一量，归总法先求总量。

教师：没错！解题时，我们要先分析数量关系，找到单一量或总量，再选择合适的方法列式

计算，运算顺序大多是从左到右依次进行。

五、布置作业

1.完成教材对应练习题，要求先判断题目类型（归一/归总），再解答。

2.观察生活中需要用乘除两步计算解决的问题，记录下来并解答。

【板书设计】

乘除两步计算的问题

一、归一法（先求单一量）

例：5盒酸奶40元，15盒多少元？

方法I：40+5X15=8X15=120（元）

方法2：40X（154-5）=40X3=120（元）（倍比法）

二、归总法（先求总量）

10

例：每盒8板，每板12粒，每天吃6粒，能吃几天?

8X12+6=96+6=16（天）

核心：找单一量/总量，选择合适方法

第6课时探索规律

【教学内容】

教科书第24〜25页

【教学目标】

1.经历“举例一计算一观察一猜想f验证一总结”的规律探索过程，掌握“两位数的差除以

9”的规律和“角谷猜想”的基本规则。

2.提升观察分析、归纳推理和动手验证的能力，感受数学规律的趣味性和科学性。

3.激发探索数学规律的兴趣，培养勇于尝试、严谨求证的科学态度。

【教学重点】探索“两位数的差除以9”的规律，体验规律探索的完整过程；了解“角谷猜

想”的规则并进行验证。

【教学难点】归纳总结“两位数的差除以9”的规律，理解规律背后的数学原理；坚持完成

“角谷猜想”的多步验证，感受其必然性。

【教学准备】课件

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师：数学世界里藏着很多有趣的规律，只要我们仔细观察、认真计算、大胆猜想，就能发

现它们！今天我们就一起来探索两个有趣的数学规律，体验探索的乐趣。

（板书课题：探索规律）

二、自主活动，探索新知

1.探索“两位数的差除以9”的规律

（1）明确活动要求

教师：（课件出示活动要求）用;9中的两个不同数字组成两个两位数（十位和个位数字不重

复），求出它们的差（大数减小数），再用差除以9,记录下每个步骤的结果，看看能发现什么规

律。

（2）举例计算，收集数据

教师:我们先一起举一个例子，比如用数字2和1组成21和12,差是2-12=9,94-9=1o大

家记录下来：数字2、1,两位数21、12,差9,商1。

教师：现在请大家小组合作，每人至少举3组不同的数字，按照要求计算并填写记录单。

（小组合作举例计算，教师巡视指导，提醒学生“大数减小数”，确保数据准确）

（小组汇报记录单）

（3）观察数据，提出猜想

教师：大家观察表格中的“数字a、数字b”和“商”，有什么发现？

学生1：商好像等于两个数字的差！比如数字3和1,差是2,商就是2；数字5和2,差是3,

商就是3o

教师：这个猜想很有价值！我们验证一下：数字7和4,差是3,商是3,符合；数字9和2,

差是7,商是7,也符合。

（4）验证猜想，总结规律

教师：大家再举一组新的数字验证一下，比如数字6和3,组成63和36,差是27,274-9=3,

6-3=3,符合猜想!

教师：（板书规律）用「9中的两个不同数字组成的两个两位数，它们的差（大数减小数）除

以9,结果等于这两个数字的差.

（5）理解规律原理（可选拓展）

教师：为什么会有这样的规律呢？我们可以用字母表示：设两个数字为a和b（a>b）,组成

11

的两位数是lOa+b和lOb+a,差是（10a+b）-（10b+a）=9a-9b=9（a-b）,9（a-b）-?9=a-b,所

以商就是两个数字的差。

2.探索“角谷猜想”的规律

（1）介绍角谷猜想规则

教师：接下来我们探索一个有趣的猜想一一角谷猜想，也叫冰雹猜想。它的规则是：任取一

个自然数（0除外），如果是双数（偶数），就除以2；如果是单数（奇数），就乘3再加1；按照

这个规则重复运算，最终结果必定是1。

（2）教师示范验证

教师：我们以两位数“12”为例,一起验证（板书步骤）：12（双数）+2=6-6（双数）+2=3-3

（单数）X3+l=10f10（双数）彳2=5-5（单数）X3+l=16f16（双数）

:2=8f8+2=4-4+2=2f2+2=1。

教师：大家看，经过9步运算，最终得到了1!

（3）学生自主验证

教师：现在请大家任选一个自然数（两位数最佳，如15、17、23等），按照规则验证，记录

每一步的结果，看看是否最终得到1。

（学生自主验证，教师巡视指导，提醒学生区分单双数，计算时细心，对于步骤较多的学生

给予鼓励）

（学生汇报验证过程）

（4）感受猜想的趣味性

教师：不管我们选哪个自然数，按照规则运算，最终都会回到1,就像冰直从高空落卜一样，

所以叫冰雹猜想。这个猜想至今没有被完全证明，但无数人验证过，都没有发现例外。

三、当堂训练

1.基础题：运用“两位数的差的规律”计算

（1）用数字8和5组成两个两位数，求差后除以9,结果是多少？

（直接根据规律写出结果，再验证）

（2）一个两位数，十位数字是7,个位数字是2,交换数字位置后得到新的两位数，它们的

差除以9,商是多少？

2.拓展题：角谷猜想挑战

选择一个三位数（如123）,按照角谷猜想的规则验证，记录运算步骤，看看需要多少步能得

至IJ1。

3.创新题：探索新规律

用「9中的三个数字组成不同的三位数，求出它们的差（大数减小数），再除以9,看看有什

么新规律。

（提示：商是两个数字的差相关）。

（学生独立完成，教师巡视指导，重点关注创新题的探索过程，鼓励学生大胆猜想）

四、课堂总结

教师：今黄我们探索了两个有趣的数学规律，你有什么收获？

学生2：我学会了“两位数的差除以9”的规律，能直接根据数字差写出结果。

学生3：我验证了角谷猜想，不管选哪个数，最终都能得到1,太神奇了！

学生4：我知道了规律探索的步骤，要先举例，再观察，再验证。

教师：大家的收获真不少！数学规律无处不在，希望大家以后在学习中多观察、多思考、多

验证，发现更多数学的奥秘。I

五、布置作业

1.完成教材对应练习题，运用“两位数差规律”快速计算。

2.和家人分享角谷猜想，选择一个家人喜欢的数字，一起验证，记录运算步骤。

【板书设计】

探索规律

一、两位数差的规律

12

L举例:21-12=9-9+9=1（2-1=1）；52-25=27->274-9=3（5-2=3）

2.规律：用「9两个不同数字组成的两位数，差（大数-小数）+9=两个数字的差

二、角谷猜想

1.规则：双数・2,单数X3+l->最终得1

2.示例：12f6f3->10->5fl6f8f4f2fl

探索流程：举例一计算一观察一猜想一验证一总结

诗歌与数学

【教学内容】

教科书第29〜30页

【教学目标】

1.能从古代题画诗、对歌等文学形式中提取数学信息，理解整数分拆的数学逻辑，能用所学

方法解答诗歌中的数学问题。

2.感受我国古代用诗歌进行数学教育的传统，体会数学与传统文化的跨界融合，提升跨学科

理解能力。

3.激发对数学和传统文化的双重兴趣，培养逻辑思维、创新思维和语言表达能力。

【教学重点】从诗歌中准确提取数学信息，理解整数分拆的思路，能解答诗歌中的数学问题

并尝试新的分拆方法。

【教学难点】理解诗歌中隐臧的数学逻辑（如整数分拆的巧妙设计），体会诗歌与数学结合的

匠心，能自主完成简单的整数分拆任务。

【教学准备】课件

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师：同学们，我国古代有个特别有趣的传统一一用诗歌传递数学智慧！诗人会把数学问题

巧妙藏在诗句里，既浪漫又严谨。今天我们就走进“诗歌与数学”的世界，解锁诗句里的数学密

码。

（板书课题：诗歌与数学）

二、自主活动，探索新知

1.解读《百鸟归巢图》题诗：感受整数分拆的巧妙

（1）赏析诗歌，引发疑问

教师：（课件出示《百鸟归巢图》图片及题诗）宋朝大诗人苏轼画了《百鸟归巢图》，状元伦

文叙为画作题诗：“归来一只复一只，三四五六七八只。凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石食。”大

家发现了吗？画名是“百鸟”，诗里却没出现“百”字，诗人是怎么暗藏“百鸟”这个数字的呢？

学生L诗里有“一只复一只"，还有“三四五六七八”这些数字，是不是要把它们算一算？

教师：猜得很有道理！我们来看看这些数字：1、1、3、4、5、6、7、8,怎么组合能得到100

呢？

（2）揭秘数学逻辑，理解整数分拆

教师：诗人用了整数分拆的方法，把100拆成几个数的和，而且臧得特别巧妙。大家试着算

一算这个算式：1+1+3X4+5X6+7X8。

学生分组计算：3X4=12,5X6=30,7X8=56,1+1+12+30+56=100!

教师：太神奇了！诗人没有直接写“百”，而是把10。拆成两个1、3与4的积、5与6的积、

7与8的积，通过“加”“乘”组合，含而不露地呼应了“百鸟归巢”的主题，真是匠心独运。

（3）体会诗歌寓意

教师：诗歌后两句“凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石食”，大家觉得诗人想表达什么？

学生