2026年中考数学一轮复习：三角形的概念与性质（知识梳理+专项训练）

【中考数学一轮复习】三角形的概念与性质（知识梳理+专

题训练）

专题23三角形的概念与性质

知识梳理

一、三角形有关概念

1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图

形叫做三角形.

2.三角形的基本元素：

（1）三角形的三条边：即组成三角形的线段.

（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一

边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角.

（3）三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

3.三角形的特征：

（I）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；

（2）三角形是一个封闭的图形.

4.三角形的符号：

三角形用符号表示.顶点是A、B、C的三角形，记作ZABr,读作“三

角形

【注意】①△A8C是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；

②三角形48c的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b

表示，8C可用。表示.

③平时所说的三角形的角是指三角形的内角.

④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换.LABC也可以写成

"BA△BC^ACB”等.

二、三角形的分类

1不等边三角形

1.按边分类：三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形J

等边三角形

直角三角形

2.按角分类：三角形斜三角形锐角三角形

钝角三角形

【注意】三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个

不同的类别.如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直

角三角形.

三、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边.

推论：三角形任意两边之差小于第三边.

四、三角形的高、中线、角平分线

\三角形的高

三角形的中线三角形的角平分线

如图，从AABC的顶点A向如图，连接八钻。的顶

如图，画4AC的平分线

它所对的边6c所在的直线点A和它所对的边3c

AD交ZBAC所对的边BC

画垂线，垂足为。，所得线的中点。，所得线段

于点D,所得线段4）叫

段4）叫做^ABC的边BC4）叫做△/1成:的边

定义

做△/$€1的角平分线.

上的高.8C上的中线.

小

;A

上

----ff------CBDC

'：A£＞是。的高，・.,AD是zMBC的中・・・AD是A4BC的角平分

推理

ZAIX：=90。，ZADB=90°线，线，

语言

：.BD=DC^BC,

(«gZ47X，=Z4P^=90°).ZBAD=ZC4D=-ABAC.

2

用途（1）得到线段垂直；（1）得到线段相等；

得到角相等.

举例（2）得到角相等.（2）得到面积相等.

线段锐角三角三条高全在三角三条中线全在三角形三条角平分线全在三角形

在图形形内.内.内.

中的三角形内一条，另

直角三角

位置外两条与两直角

形

边重合.

钝角三角三角形内一条，三

形角形外两条.

线段锐角三角

交点在三角形内.

（或形

其所直角三角交点在直角顶点

三条中线交于三角形

在直形处.

内一点（这一点称为一交点在三角形内.

线）

角形的重心）.

的交钝角三角

交点在三角形外.

点位形

置

共同每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都

点分别交于一个点，它们都是线段.

五、三角形的稳定性

如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫

做二角形的稳定性.

六、三角形的内角

1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。.

2.因为三角形三个内角的和等于180。，所以任何一个三角形中至少有两个锐

角，最多有一个钝角或直角.

【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形.

（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角.

七、三角形的外角

1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

2.三如形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

3.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.

【拓展】

（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相

邻的内角.

（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶

点处的外角的和叫做三角形的外角和.它的度数为360。，即三角形的外角和

为360°.

专题训练

一、选择题（共8小题）

1.如图，有甲、乙两艰小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小

棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（）

甲।=□

乙।'

A.甲B.乙

C.甲或乙D.甲或乙均不可以

2.如图，在△A8C中，D,E分别是8C,AC的中点，AD与BE交于点、G.若

8G=6,则£G=()

A.4.5B.4C.3.5D.3

3.将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则NED尸的度数为（）

A.15°B.35°C.60°D.70°

4.若某三角形的三边长分别为3,5,〃z,则〃?的值可以是（）

A.2B.7C.8D.9

5.如图，在△ABC中，NACB=90。，直线/经过点C,则下列结论中一定正确

的是（）

A.Z1>Z2B.N3=N4C.ZA+ZB=90°D.Z2=Z3

6.在下列各组线段中，能组成三角形的是（）

A.1、6、6B.2、3、5C.2、6、9D.5、3、1（）

7.一张三角形纸片如图所示，己知NB+NC=a,若沿着虚线剪掉阴影部分纸片,

记Nl+N2=0,则下列选项正确的是（）

A

A.a=PB.a>P

C.a<pD.无法比较a和0的大小

8.将一副三角板按照如图方式摆放，点B、。、。共线，ZCDF=18°,则乙4所

A.89°B.83°C.93°D.103°

二、填空题（共8小题）

9.将一副直角三角板如图放置,已知NB=60。，ZF=45°,EF//AB,则NCG。

cE

10.已知AABC的边长两边长为2和4,第三边偶数，则第三边的值为.

11.如图，平面直角坐标系中，已知点4（1,3）,点8（4,0）,则aAOB的重

心坐标为_______________________

12.如图,RtAABC,ZBAC=90°,AC=6,48=8,点E为△48C的重心，则

AE的长是.

13.若a、b、。是△ABC的三边长，则代数式（.-〃）2-修的值（）（填

”或"V"）.

14.周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图）,

他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，

这样的设计利用的数学原理是.

15.如图，ZI,Z2,Z3是△48C的三个外角，则N1+N2+N3的度数

16.如图，4。是△45。的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若NDAC=

20°,则NE4C=

三、解答题（共5小题）

17.如图，△ABC中，4。平分NBAC,P为4。延长线上一点，PE_LBC于E,

已知NACB=80。，ZB=24°,

（1）NBAC的度数为；

（2）求N尸的度数.

18.如图，在四边形ABCQ中，DE平分NAOC,DE//BC,NAOC=NB=96。,

求NA的度数.

19.【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的

兴趣，他们在同一匚何图形中进行了不同探究活动.如图1,直线。M_LON,

垂足为0,三角板的直角顶点。落在NMON的内部，三角板的另两直角边分

别与ON、OM交于点。和点3.

(1)活动1：如图1,不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：ZOBC+

ZODC=.

(2)活动2：如图2,连结BQ,若8。平分N08C,那么OB平分NOQC吗？

请直接写出你的结论，不需写理由.

(3)活动3：如图3,若OE平分NOOC,BF平分NMBC,他们发现OE与

B厂具有特殊位置关系.请判断。石与4尸有怎样的位置关系并证明你的结论.

20.如图，在凹四边形A8CZ)中，NA=45。，/B=55。,ZD=20°,求N3CD的

度数.

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：

方法一：作射线AG

方法二：延长8C交AO于点£；

方法三：连接3。.

请选择上述一种方法，求N3CO的度数.

21.如图，在△A8C中，DE//BC.£/平分NAEO,交AB于点F.

(1)若NA=52。，ZB=60°,求NAEO的度数；

(2)在(I)的条件下，判断石尸与A3是否垂直，并说明理由；

(3)直接写出当NA与N3满足怎样的数量关系时，EFVAB.

参考答案与解析

一、选择题（共8小题）

题号12345678

答案BDABCAAC

一、选择题（共8小题）

1.【答案】B

【分析】通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒

长度之间是否满足三边关系来确定正确答案.

【解答】解：根据三角形的三边关系，

假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为剪成两段长度分别为〃7、甲小棒长

度为b.

二•乙小棒的长度大于甲小棒，即a>b,

/.m+n>bf

・••剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形；

假设剪开甲小棒，

1•乙小棒的长度大于甲小棒，

，同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符

合题意.

综上所述，剪开的小棒是乙，所以只有选项。正确，符合题意.

故选：B.

2.【答案】D

【分析】直接根据三角形重心的性质解决问题.

【解答】解：£分别是8C,AC的中点，AD与BE交于点、G.

・・・G点为△A8C的重心，

：.GE=匏G=*x6=3.

故选：D.

3.【答案】A

【分析】根据平行线的性质，得到/DfC=/5CA=6（）。，三角形的外角求出

/红下的度数即可.

【解答】解：由题意和图可知：ZDEC=45°,NACB=60。，DF//BC,

：.ZDFC=ZBCA=60o,

丁ZDFC=ZDEC+ZEDF,

：.ZEDF=ZDFC-ZDEC=15°；

故选：A.

4.【答案】B

【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到

2〈机V8,即可得到答案.

【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5-3V〃z<5+3,

.e.2</H<8,

：.m的值可以是7.

故选：B.

5.【答案】C

【分析】根据对顶角相等、直角三角形的性质、三角形的外角性质判断即可.

【解答】解：A、・・・Nl与N2是对顶角，

・・・Nl=N2,故本选项结论不正确，不符合题意；

B、Z3+Z4=90°,Z3与N4不一定相等，故本选项结论不正确，不符合题

意；

C、•・・NAC8=90。，

・・.NA+N8=90。，故本选项结论正确，符合题意；

。、由三角形的外角性质可知：Z2>Z3,故本选项结论不正确，不符合题意；

故选：C.

6.【答案】A

【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较

短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三

角形，由此即可判断

【解答】解：A、1+6>6,能组成三角形，故A符合题意；

B、2+3=5,不能组成三角形，故8不符合题意；

C、2+6V9,不能组成三角形，故C不符合题意；

D、3+5V10,不能组成三角形，故。不符合题意.

故选：A.

7.【答案】A

【分析】根据三角形的内角和定理可得，即可求解.

【解答】解：VZB+ZC=180°-ZA,Zl+Z2=180°-ZA,

AZB+ZC=Z1+Z2,

即a=[3,

综上所述，只有选项A正确，符合题意，

故选：A.

8.【答案】C

【分析】根据二角形的外角性质求出/力"C再根据平角的定义求出/4"兄

【解答】解：・・・NACB是的外角，

；・/ACB=/CDF+NDFC,

:./DFC=/ACB・ZCDF=45°-18。=27°,

ZAFE=1SO°-60°-27。=93。，

故选：C.

二、填空题（共8小题）

9.【答案】75°.

【分析】由直角三角形的性质得出N4=30。，由平行线的性质得出N4=N

尸=45。，再由三角形外角性质即可求出NCG。的度数.

【解答】解：•・,将一副直角三角板如图放置，NB=60。,

：.ZA=900-N8=30。，

•:EF〃AB,/b=45%

：.ZFDA=ZF=45\

：.ZCGD=NA+NHM=450+30°=75。.

故答案为：75°.

10.【答案】4

【分析】根据三角形的三边关系定理可得第三边的范围是：大于已知的两边的

差，而小于两边的和.再根据范围确定X的值.

【解答】解：设第三边的值为X，

根据三角形的三边关系可得4-2<x<4+2,

即：2<x<6,

・・,第三边是偶数，

・•・第三边的长为4,

故答案为：4.

11.【答案】0，1).

【分析】分别求出三角形的边0A和。3上中线所在直线的解析式，据此进行

计算即可.

【解答】解:如图所示，

•・,点A(1,3),点B(4,0),

13

.•・OA的中点M的坐标为(-,-),。8的中点N的坐标为(2,0).

22

令直线AN的函数解析式为y=kx^b,

则｛渣7=3。，

解得仁「，

・•・直线AN的函数解析式为y=-3x+6.

同理可得，直线的函数解析式为y=+

由-3x+6=-9%+专得,

则）=-3x|+6=1,

.••△A08的重心坐标为《，1)・

故答案为：弓，1).

12.【答案】当

【分析】先根据勾股定理求出3C的长，再结合重心的定义及性质即可解决问

题.

【解答】解：・・・AC=6,AB=8,NB4C=90。，

:.BC=76?+8?=10.

・・,点E为△ABC的重心，

：.AD=^BC=5,

则AE=.4。=学.

故答案为：孚

13.【答案】<

【分析】利用平方差公式和三角形三边关系进行解答.

【解答】解：・・&b、c是△ABC的三边长，

/.a+c>b,b+c>a

贝ija+c-Z?>0.a-b-c<()

(a-b)2-(?=(a-b+c)Ca-b-c)—(a+c-b)(a-h-c)<0.

故答案为：V.

14.【答案】三角形具有稳定性.

【分析】根据三角形具有稳定性即可求解.

【解答】解：儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，

这样的设计利用的数学原理是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性.

15.【答案】360°.

【分析】根据平角的性质和三角形内角和进行计算.

【解答】解：VZl+ZBAC=180°,N2+NABC=180。，N3+NAC8=180。,

ZBAC+NABC+NACB=180。,

.,.Zl+Z2+Z3+180°=540°,

・・・N1+N2+N3=36O。，

故答案为：360°.

16.【答案】70°.

【分析】根据三角形的外角性质得到NE4C=N5+NACD求出NEAC的度

数，根据角平分线的定义求出即可.

【解答】解：・・・4D是△A8C的角平分线，ND4C=20。，

,ZBAC=2ZDAC=40°f

，N8+/4CO=140。，

AZEAC=|ZMC=1(ZB+ZACD)=70。.

故答案为：70°.

三、解答题(共5小题)

17.【答案】(1)76°；

(2)28°.

【分析】(1)利用三角形内角和定理求N84C的度数即可；

(2)利用箱平分线的定义得/孙。的度数，利用外角的性质得N8QP的度

数，利用三角形内角和定理求得NP的度数.

【解答】解：(1)由三角形内角和定理得：

ZBAC=180°-ZB-ZC=180°-24°-80°=76°.

故答案为：76°；

(2)•・•一(平分N84C,

・•・NBAD=^ZBAC=1x76°=38°,

〈NBDP=NB+NBAD,

AZBDP=24O+38°=62O,

〈PE上BC于E,

：.ZPED=90°,

：.ZP=90°-ZBDP=90Q-62°=28°.

即N尸的度数为28。.

18.【答案】36。.

【分析】根据箱平分线的定义求出NCQE的度数，再根据平行线的性质即可

求出NC的度数，再根据四边形内角和的度数即可求出NA的度数.

【解答】解：:OE平分NAOC,

:・NCDE二乙ADC,

丁NAOC=96。，

・・・/COE:48。，

YDE//BC,

AZC+ZCDE=180°,

AZC=132°,

在四边形A8CQ中，ZA+ZB+ZC+ZADC=（4-2）x180°=360°,

*/NAOC=N8=96。，

・•・NA=360。-96°-96°-132。=36°.

19.【答案】（1）180°；

（2）OB平分NOQC,理由见解答过程；

（3）DELBF,证明见解答过程.

【分析】（1）依题意得NBOQ=NC=90。，再根据四边形内角和等于360。可

得N08C+N0。。的度数；

（2）先根据8。平分N08C得/0。8=/。。8再根据/。。8+/08。=90。，

ZCDB+ZCBD=90。得ZOBD=ZCBD,据此可得出结论；

（3）先证NOOC=NM8C,根据角平分线定义的NCDE=NC3F,再根据N

C为直角得NCDE+NCED=90。,然后根据NCEO=NBEG可得NCBF+N

BEG=90。,据此可得出QE与肝的位置关系.

【解答】解：（1）NC为直角,

・・・N8OO=NC=90。，

根据四边形内角和等于360。得：

ZOBC+ZODC+ZBOD+ZC=360°,

・・・NOBC+NOQC=180。，

故答案为：180。,

（2）。8平分N。。。，理由如下：

・・・8。平分NOBC

：・NODB=NCDB,

•・・OM_LON,NC为直角，

・•・/ODB+NOBD=9。。,NCDB+NCBD=9D。,

：・/OBD=/CBD,

・・・。8平分NOQC；

(3)DE与跖的位置关系是：DELBF,证明如下：

由(1)可知：NOBC+NOQC=180。，

又ZOBC+NMBC=180°,

・•・ZODC=/MBC,

・・・。七平分/。。。，B/平分NM3C,

/CDE=』NODC,乙CBF=%4MBC,

・・・NCDE=NCBF,