2026年中考数学模拟试卷及答案（长沙卷）

2026年中考模拟考试（长沙卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.I可答第I卷时，选出每小题答案后，用2B钳笔把答题对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交I可。

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列数中是无理数的是（）

A-7B.。C谓D.0,1223

2.对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称

之美.惊施甲了千年的时光.下列常见的运动图标是轴对称图形的是（,）

3.湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播

种面积、单产、总产“三增二该数据用科学记数法可以表示为（）

A.710x103B.71x106C.7.1x107D.7.1x108

4.下列运算结果正确的是（）

A.4xy-3xy=1B.（-a2）3=-a6

C.7^7=-5D.>43+V12=V15

5.为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制戊如图所示的

折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（）

A.乙班视力值的众数是4.7

B.甲、乙两班视力值的平均数相等

C.甲、乙两班视力值的中位数相等

D.视力值的波动程度甲班大于乙班

6.如图，将一块有30。角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为2cm的长方形纸带边上.另一个顶点4在

纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边AC与纸带边所在的直线成45。角，则该三角板斜边力B的长为()

A.4cmB.4>/2cmC.48cmD.6cm

7.在平面直角坐标系中，已知点M(m,3m-8),若点M在两坐标轴的角平分线上，则机的值为()

A.±2B.±4C.-2或一4D.2或4

8.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售

量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设

第一月月销售最为Q辆，第二个月销售量的增长率为％,则可列出方程是()

A.a(l+x)2=3aB.a(l+2x)2=3a

C.a(l4-2x)(1+3%)=3aD.a(l+x)(l+2x)=3a

9.对于某个•次函数，两位同学探究了它的图象和性质.上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都

是正确的，设这个一次函数的解析式为7二心:+匕(上工0),则下列结论中错误的是()

A.k>0B.^<0CJ+b>0D.k=-^b

10.如图，菱形A8CD〜菱形AEFG,菱形4"G的顶点G在菱形48CD的"边上运动，GF与48相交于点〃,

乙E=60°,若CG=6,AH=14,则菱形力8。0的边长为()

BD

C

A.18V3B.16X/3C.18D.16

第H卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.因式分解4/-4=.

12.已知一元二次方程/一5x+a=0的一个根是3,则a=

13.在平面直角坐标系中，双曲线y=5同时经过点4（42），B（4,Q+1）,则a的值为.

14.如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径0Q=25cm,用长

为125cm的连杆将点Q与动力装置P相连QOQP大小可变），点P在轨道48上滑动，并带动磨盘绕点。转动，

0A1AB,0A=80cm.若磨盘转动过程中，则点尸到A的最小距离为.

图1

15.如图,在△ABC中,LC=90%按以下步骤作图：□以点4为圆心，小于AC的长为半径画弧,分别交4?,

4C于点E,F；匚分别以点E,尸为圆心，大于的长为半径画呱，两弧相交于点G；匚作射线4G交8C边于

点D.若CD=5,=12,则△4BO的面积是

16.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=2?-〃，7=

42-32,16=52-32,3,7,16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智餐数是.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第22、23题每小

题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：（-312+5-3）0-4（：0530。+|3-45|.

18.（6分）先化简，再求值：

+请从一2、一1、0、I、2中选择一个合适的值代入求值.

19.（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量

一条河的宽度MN,工作人员使用无人飞机通过设备在尸处测得M,N两处的俯角分别为a=60。和6=37°,

测得无人机离水平地面的高度PQ为240米，若Q,M,N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度MN为

多少米？（参考数据：£由37。、0.75,75、1.73,结果保留整数）

QMN

20.（8分）如图，中，48的垂直平分线EF交3c于点E,交48尸点尸，H为EC中点,BE=AC.

（1）求证：AH1BC：

（2）若ZB=36。，求N8AC的度数.

21.(8分)初三(1)班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类'的知晓情况

分为/、B、C、。四类.其中,4类表示“非常了解”,6类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”,。类表

示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完

整的条形统计图和扇形统计图.

“垃圾分类”知晓情况各类别人数条形统计图“垃圾分类”知晓情况各类别人数扇形统计图

根据以上信息解决下列问题：

(1)初三(1)班参加这次调查的学生有人，扇形统计图中类别C所对•应扇形的圆心角度数为°；

(2)求出类别8的学生数，并补全条形统计图；

(3)类别力的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”

知识竞赛，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

22.(9分)2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成

功.某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟•”模型的进价比“天宫”模型多5元，

同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个.

(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？

(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为

28元.设购进“神舟”模型。个，箱管这批模型的利润为w元.若购进“神舟”模型的数最不超过“天宫”模型

数最的：，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？

4

23.(9分)已知：如图，在矩形A8CD中，E、尸分别是边C。、AD上的点，且AE18凡AE=BF.

(1)求证：矩形4BCD是正方形；

(2)连接BE、EF,^DF2=AF-AD,求证：LDEF=LABE.

24.(10分)在△ABC中，BC为0。的直径，AC为过C点的切线.

⑴如图口，以点8为圆心，"为半径作圆弧交4B于点M,连结CM,若乙ABC=66。,求乙4cM的大小;

(2)如图口，过点。作。。的切线DE交4C于点E,求证：AE=EC；

⑶如图□.在(1)⑵的条件下，若tan4=3，求之如召工协的值.

25.(10分)若一次函数y=mx+n与反比例函数y=勺司时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx2+nx-k为

一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点.

(1)判断y=2x-l与y是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”.如果不存在，请说明理由；

(2)已知：整数m,九，七满足条件tV72V8771,并且一次函数y=(1+TI)X+2m+2与反比例函数y=存

在“共享函数“y=(m+t)x2+(10m-t)x-2024,求m的值.

(3)若一次函数y=x+m和反比例函数y=二三在自变量》的值满足的m<x<m+6的情况下.其“共享函

数”的最小值为3,求其“共享函数”的解析式.

数学.参考答案

第【卷

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)

12345678910

AACBDBDDCC

第n卷

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.4(x+l)(x-1)

12.6

13.-2

14.60cm/60厘米

15.30

16.2701

三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第22、23题每小

题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)

17.【详解】解：(-0-+(n-3)°-4cos30°+|3-V12|

=44-1-4x^+273-3(4分)

=2.(6分)

⑻解:*+(A+i)

(.v-2)2.3-(x-l)(x+l)

x+l•x+1

_(X-2)2x+1

x+13-X2+1

_(x-2)2

-(2+x)(2-x)

•「x+1W0,(2+x)(2—x)H0.

x-1»x。±2,

当％=0时，原式==1.

或当x=l时，原式=松=，(6分)

19.【详解】解：・・・PA||QN,

，乙PNQ=0=37。,4PMQ=a=60。,(2分)

在RtaPMQ中，

VzPQ/V=90°,

・・・tan"MQ=券，

:・QM==-^=军=806》138.4（米）,（4分）

ytanzPPQMQtan60°V3

在RtAPQN中，VtanzPNQ=^,

,\QN=P（l=«320（米），

xtan"NQtan370

AMN=QN-QM=320-138.4«182（米）.

答：这条河的宽度MN=182米.（6分）

•・3B的垂直平分线£7咬8C于点E,

：.AE=BE

'：BE=AC

.*.AE=AC,

•・•〃为EC中点，

：,AH1BCx（4分）

（2）-：AE=BE,48=36。

：.LEAB=Z-B=36°

：.LAEC=Z-EAB+Z_B=72°

'：AE=AC

AzC=z/lFC=72°

：,LBAC=180°-ZC-ZS=72°.（8分）

21.【详解】⑴解:初三（1）班参加这次调查的学生有4・10%=参（人）,

扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360。、翳=144。，

40

故答案为：40、144：（2分）

（2）8类学生人数为40-（4+16+2）-18（人），

补全条形图如下:

“垃圾分类”知晓情况各类别人数条形统计图

A人数

别

;(4分)

(3)列表得:

男1男2女1女2

男1--男2男1女1男1女2男1

男2男1男2--女1男2女2男2

女1男1女1男2女1--女2女1

女2男1女2男2女2女1女2--

由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能.

所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为三=；(8分)

22.【详解】(1)解：设“天宫”模型进价为每个x元，贝广神舟”模型进价为每个a+5)元，

依题意得出=空+2,

xx+5

解得％=20.

经检验，％=20是原分式方程的解戊+5=25.

答：“天宫”模型的进价为每个2()元，“神舟”模型的进价为每个25元.(4分)

<2),・,购进“神舟”模型a个,则购进“天宫”模型(100-a)个,

•••w=(35-25)a+(28-20)(100-a)=2a+800.

•・•购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的;.

4

aW：(100-a),

解得：Q420.

vw=2a+800,k=2>0.

:.当a=20时，ivmax=2x20+800=840（元）,

即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元.（8分）

23.【详解】（1）证明：•・•四边形ABC。是矩形，

：,ABAD=Z.ADE=90°,

：.AABF+LAFB=90°,（1分）

*：AELBF.

：.z.DAE+^-AFB=90°,

：.LABF=乙DAE,（2分）

Z.ABF=4DAE

在尸和△D4E中，Z.BAF=LADE=90°,（3分）

BF=AE

：.AABF三△ZX4E（AAS）,

：.AB=AD,

・•・矩形ABCD是正方形；（4分）

（2）证明:如图，

由（1）可知，三△ZX4E,

；・AF=DE,（5分）

;正方形ABCD,

：,AD=DC=BC=AB,40=NC=90°,AB\\CD,

：.DF=CE,（6分）

*：DF2=AF-AD,

（7分）

BCEC

♦:乙FDE=乙BCE=90°,

・•・△尸DE〜ABCE,

:.乙DEF=cCEB,（8分）

V/I5HCD,

C.LABE=Z.CEB,

：.Z.ABE=^DEF.（9分）

24.【详解】（1）由题意知，BC=BM,

V/ARC=66°,

・・・Z8MC=NBCM=57。,

=90。，

：.LACM=Z.ACB-乙BCM=900-57°=33°；(3分)

(2)连接CD,

•・・BC为。。的直径，

••・"OC=90。，

•・"C为过C点的切线，过点。作0。的切线OE交ACJ■点E,

：,DE=CE,

:.乙EDC=LECD,

•：AEDC+Z-ADE=90°,Z,ECD4-Z/l=90°,

LA=Z.ADE,

：.AE=DE,

：.AE=CE：(6分)

(3)连接CD,

由(1)(2)可得N40C=90。，AE=DE=CE,z/1=z5CD=90°-zF,

tanz.DCB=tanz/l=：=箸,

・••设8D=3x,CD=4x,则8C=BM=5x,

・・4.3CD4xBC5x

・tanZ-A=-=—=—=——=——,

4ADADACAC

・16x20x

..AD=—,ACr=—

：.AB=BD+AD

：

.AM=AB-BC=-3x,

・“△ACM=-i4M=X4xXyX=yX2,

SAADE=3S»ACD=\^\CDAD=;x4xxyx=yx2,

•・S&4DE：S&4CM==/(10分)

25.(10分)若一次函数y=mx+〃与反比例函数y=勺司时经过点P(.r,y)则称一次函数y=mx2+nx-k为

一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点.

(1)判断y=2x-1与y=：是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”.如果不存在，请说明理由：

(2)已知：整数m,九，£满足条件£V7i<8m,并且一次函数y=(1+九)％+2m+2与反比例函数y=存

在“共享函数“y=(m+t)x2+(10m-t)x-2024,求zn的值.

(3)若一次函数y=%+TH和反比例函数y=受声在自变量％的值满足的m<%<m+6的情况下.其“共享函

数”的最小值为3,求其“共享函数”的解析式.

【答案】⑴点P的坐标为：(|,2)或(一1,一3)；

(2)m=2

(3)y=x2+mx—(m2+13)=x2+(—9—x/61)x—(155+18VST)或y=x2+4%—29.

【分析】(I)联立y=2%-1与y=：并整理得：2X2-X-3=0,即可求解；

'_n+3

(2)由题意得\1］彳=累+£,解得厂一8烹，而tv九<8血，故6V71V24,则9<n+3<27,

12m+2=10m-11=8n+6

9

故1V7MV3,m是整数，故m=2：