定点（线）、定值问题-高考数学二轮复习

微专题4定点(线卜定值问题

［考情分析］以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查定点、定线与定值问题，运

算量较大，难度较大.

考点一定点问题

例1(2024•荆州适应性考试)已知人(・2,0),例(2,0),必是圆O：X斗产=1上任意一点,为关于点必

的对称点为N,线段"N的垂直平分线与直线EN相交于点兀记点7的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)设七"，0)(/>0)为曲线。上一点，不与x轴垂直的直线/与曲线。交于G,，两点(异于E点).若直线

GE,"E的斜率之积为2,求证：直线/过定点.

⑴解连接0河，

由题意可得|OM=1,且用为NR的中点，又。为B月的中点,

所以。/必〃可外，且WE|=2|OM=2.

因为线段向N的垂直平分线与直线PW相交于点T,

所以刑=1m1，

所以||「尸2|-ITFIIHIT尸2lT「M|=|NF2l=27尸/21=4,

由双曲线的定义知，动点r的轨迹是以乃为焦点的双曲线.

设其方程为悬b>0),贝!JQ=1,片!|尸1"21=2,h=>Jc2-a2=V3,

故曲线C的方程为

(2)证明由⑴知E(l,0),

依题意直线/的斜率存在，

设直线/的方程为片区+〃?，G(xi,y\),H(X2,yi),

(y=kx+m,

由y2_］得(3—k2>)x2-2kmx-m2-3=0,

、3

3-产#),由/>0,得〃产+3-〃2>0,

2kmm2+3

所以£|+X2=汴，xm卞孑

贝UkGFkHE—力•先_(5+M(g+⑼

人、°xi-lx2-l(勺-1)(4-1)

_k2X\X2+km(Xi+X2')+m2

xix2-(xi+x2)+l

炉*+寿+/

r心33-M

m2-t-32km.，

*2-33-*2

整理得F-4kni-5n，=0,

即(h5⑼/+加)=0,

解得k=5m或k=-m,

当k=5m时，直线l的方程为)^=5mx+m=m(5x+1),

直线;过定点(-90),

当k=-m时，直线/的方程为y=-mx+m=m{-x+1),

直线，'过定点仅1,0),不符合题意，舍去.

综上所述，直线/过定点&0).

［规律方法］(1)直线过定点问题，一般可先设出直线的方程：y=kx+b,然后利用题中条件整理出鼠〃的关

系，进而确定定点.

(2)圆过定点问题的常见类型是以48为直径的圆过定点?，常把问题转化为产力_LP8,也可以转化为

PAPB=0.

跟踪演练1(2024・厦门质检)双曲线C：篝=15>0,6>0)的离心率为V3,点小②企)在C上.

(1)求C的方程；

(2)设圆O：炉+产=2上任意一点。处的切线交C于M,N两点，证明：以A/N为直径的圆过定点.

2

2

-2

M一

«2/27-

(1)解依题后有一

2此

c二aA=

-

a

①当切线斜率存在时，设直线方程为尸匕+机,

因为直线与圆相切，所以是=我,

整理得病=2+2⑹联立

y=kx+m,

得（2下比2・25尔加2.2=0,

/=46"+4（2-的（加2+2）=8（〃，+2.3）＞o.

-mz-2

贝！JXl+X2=—2,^2^-r.

由对称性知，若以历V为直径的圆过定点，则定点必为原点.

0MON=x\X2+y\yi

2

=x\X2+（kx1+rn）（kx2+m）=（l+公卜阳+加攵（％1+x2）+w/

m2-2-2/c2

2-fc2'

又〃?2=2+2内，所以曲•丽=0,

所以丽±UN,故以MN为直径的圆过原点.

②当切线斜率不存在时，直线方程为产土企，

若M（VLV2）,Ma,-&）或-V2）,.V（V2,V2）,

一o

此时圆的方程为（X-&）+y=2,恒过原点；

若M（一&,V2）,?/（-V2,一划或.”（一鱼，-V2）,V2）,

此时圆的方程为（工+&）2+炉=2,恒过原点,

综上所述，以/WN为直径的圆过原点.

方法二设M8,巾），Ngy2）,

①当切线斜率存在时，设直线方程为尸底加，

因为直线与圆相切，所以却尹衣，

Vi+fc2

整理得机2=2+2产，联立卜2一口=L

y=kx±m,

得（2-产兴2-2h心〃入2=0,

/=46〃2+4（2-22）（加2+2）=8（加+2_%2）＞0,

以A1（xi,川），Ng,»）为直径的圆的方程为（x-xi）（x-％2）+（"-H）0f）=0,

即/-（勺+%2）%+乃也+）1-。1+以）八＞"2=0,

2+

因为x\X2+y\yi=x\X2+(kxi+m)(kx2+m)=(/c+l)xix2^w(xi+4)+〃尸

=华+|)•寻粒翁小

m2—2ZC2-2八

-一2家P

且y\^yi=Kx\^X2)+2m=k-^lm=^^,

所以所求的圆的方程为炉净+产凝产0，

所以以"N为直径的圆过原点.

②当切线斜率不存在时，同方法一，It匕时圆的方程为(X±A②2+产2,恒过原点,

综上所述，以，WN为直径的圆过原点.

考点二定线问题

例2己知椭圆£本，=1(心力>0)的短轴长为2V5,左、右顶点分别为C,D,过右焦点厂(1,0)的直

线/交椭圆E于48两点(不与C,。重合)，直线与直线8。交于点「

(1)求帏圆E的方程；

(2)求证：点7在定直线上.

(1)解依题意，b=y[3,半焦距c=l,则斫“2+c?=2,

22

所以椭圆E的方程为?±1.

43

(2)证明显然直线力8不垂直于j轴，设直线48：A/1,

由｛；j",消去x并整理得(3产+4).y+6y9=0,

/=36尸+36(3-+4尸144(产+1)>0,设3gy。,5(xz,/),

贝川/鼎p

且有沙必=|0，|+户)，

直线，4C：y4'x+2),直线8。：产言#・2),

联立消去y彳铛]+2)令.2),即(含"年"翁42y22,

整理得|>2(x1+2)少1(也-2)]x=2yi(.t2-2)+2y2(x\+2),

即DM夕1+3)-»1(少2-1)]x=2yi(少2-1)+2j”(例+3),

于是(3y2tF1)x=4tyiy2-2yi+6y2,

.3

而W2=K);ity2),

顺3#+yi)x=6eitV2)-2j，i+6y2,

因此尸6()“+，2)-2力+6y2

3y2+yi

_12龙-4)，1一

3y2一力4'

所以点7在定直线X=4上.

［规律方法］解决定直线问题的主要方法有

(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.

(2)待危系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出参数.

(3)险巡法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行险证.

跟踪演练2(2024・安康模拟)已知双曲线C：炉与1的左、右顶点分别是小，小，直线/与。交于",

N两点(不与力2重合)，设直线上区力2N,/的斜率分别为3〃2，k,且(佑+的"=-6.

(1)判断直线/是否过x轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由；

(2)若"，N分别在第一和第四象限内，证明：直线与附2的交点P在定直线上.

⑴解由题意可知4(-1,0),Ai(l,0),后0,设直线/的方程为产丘+〃?，M(xi,y\),Ngyi).

由3'消去匕

(y=fcx+m,

可得(3-公我2-2女机x-〃P-3=0,

贝A=12(/H2+3-ZT2)>0,即/〈加斗，

2kmm2+3

Xl+也中'X42=/.

因为囱+3公的+攀加,产第*鬻沪m］

_J2｛等2mL6k

m24-32km,.Im+k'

2

3-k23-fcJ

所以m=-2k,

故直线/的方程为尸3-2),恒过点(2,0).

⑵证明由题可知，直线M4的方程为尸布/1),

直线鹿的方程为严洋台-1),

联立两方程得:+；--,：+；｛

XTynX2-i)

一的-2)(勺+1)

(X1-2)(X2-1)

_第1%2-2XI+X2-2

X1%2"2X2-X1+2

_肛％2+(力+X2)-3T[-2

勺七-2(勺+工2)+犬1+2

所以尸!,故点尸在定直线W上.

考点三定值问题

例3（2024・武威模拟）已知抛物线C：y=233>0）的焦点为「，准线为/,尸是。上在第一象限内的点,

且直线尸尸的倾斜角为60。，点，到/的距离为1.

（1）求。的方程；

（2）设直线尸7与。交于力，8两点，。是线段48上一点（异于4,8两点），〃是C上一点，且。〃〃不

轴.若平行四边形。EMN的三个顶点E,M,N均在。上，DH与EN交于煎G,证明：鹄为定值.

⑴解根据抛物线的定义，得|呐=1,过点P作PQ_Lx轴，垂足为。，则附舄，|叼4，

2

又唱o）,所以飕+》苧），代入户2"得住）=2〃噜+3

整理得4P2+4〃-3=0,解得p=~|（舍去）或p=|,故C的方程为产=工

⑵证明设D（7,t）,显然EN与x轴不平行，

设直线屈V的方程为产〃产％E(x\,y\),N(X2,yi),

M(XM,y,M),

联立晨工

得产加y-〃=0,

贝!]/=〃产+4〃>0,且卜1+次=〃?，

因为四边形。EWN为平行四边形，所以砒=而，

BP(XI-XA/,y]-yM)=(7-X2,t-yi),所以XLXW=7・X2,y\-yM=t-y2,

得到y\t=y\^y2-t=m-t,

又x\/=x\+x2-7=rny\+n+niy2+n-7=fn(y\+y\)+2n-7=m2+2n-7,

2

由点M在。上，得(机")2=〃户+2〃-7|解得〃-'

所以直线EN的方程为x=ml7mt,即,

y+t乙-4

所以直线EN过点(手，£),

又将产”弋入V=x,得〃(吃)所以。”的中点坐标为(子，)即G为。”的中点,

所以舞I，故^为定值•

［规律方法］圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

跟踪演练3(2024・石家庄模拟)已知A/为平面上一个动点，A/到定直线x=l的距离与到定点少(2,0)距

离的比等于当，记动点M的轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程；

(2)过点厂的直线/与曲线C交于48两点，在x轴上是否存在点P,使得方•而为定值？若存在，求

出该定值；若不存在，请说明理山.

解⑴设点M的坐标为(x,y),

则|j|/,

7(x-2)2+y22

即2(x-1)2=(X-2)2+V，化简得号产2,

所以曲线C的标准方程为务1.

(2)当直线/的斜率不为0时，设其方程为x=〃少+2.

由于直线与双曲线的交点有两个，则直线不能与渐近线平行，渐近线斜率为土1,则“9L

代入手1，整理得(--11+4〃/2=0,

J=8(w2+l)>0,|B^3i,

设4(后，川),8(M,yi］,P(t,0),

贝以启云，

所以正•丽=(X1“)(X2")+y+2")(〃?、2+2-。+〉1)，2

=(〃?-+1加)，2+m(2“)什|+>2)+(24)-

=(加+1)x占皿2")x缶(2・f)20.

若要上式为定值，则必须有4卜6=-2,即片1,

所以吟笄分+=],

故存在点尸(1,0)满足西•而=-1.

当直线/的斜率为0时，若4-或，0),B(V2,0),此时点尸(1,0)亦满足万•丽=-1,故存在点尸(1,0)满

足方丽=-1.

综上所得，在x轴上存在点P(l,0),使得同•而为定值，定值为-1.

专题强化练

(分值:50分)

IW素养提升

1.(16分)已知椭圆C：过点尸(2,&),且离心率为日.

(1)求椭圆。的方程；(6分)

(2)记椭圆C的上、下顶点分别为48,过点(0,4)且斜率为攵的直线交椭圆。于.”，N两点，证明：直线

BM与AN的交点、G在定直线上，并求出该定直线的方程.(10分)

解⑴由椭圆过点P(2,V2)z且离心率为今

&

以-

所

=4.

故所求的椭圆C的方程为什1.

(2)由题意得4(0,2),8(0,-2),

直线MN的方程为y=kx+4,

设M(xi,yi),N(X2,yi),

(y=kx+4,

联立y2/_

W+7一，

整理得(I+2K)X2+16h+24=0,

』=64杉-96>0,

-16k24

所以Xl+X2=Ml?'XlX2-]+242,

贝!J米e2=*M+X2）,

则直线NN的方程为广2*x,直线8"的方程为广2卫X,

X2X1

（y-2=^x,

联立功二2

»+2=寸，

得）一2一。2-2）勺_（匕2+2）勺

可y+2（月+2）也（5+6）x2

_52+2孙_一/1+也）+2》1

匕10+6工2-1（XI+X2）+6X2

13

_/F_1

^~3~~9----oi

丁1丁23

解得尸1,即直线8必与4V的交点G在定直线尸1上.

2.（17分）已知双曲线。的中心为坐标原点O,C的一个焦点坐标为"i（0,3）,离心率为VI

（1）求。的方程；（6分）

（2）设C的上、下顶点分别为4,A2,若直线/交C于M[xi,川）,Ng”），且点N在第一象限，孔及＞0,

直线小M与直线4N的交点尸在宜线产|上，证明：直线"N过定点.（11分）

（1）解由题意得c=3,^=V3,则所以〃=/-〃2=6,

故C的方程为？》1.

5o

⑵证明由已知条件得直线"N的斜率存在，设直线"N：y=kx^t.

联立]y=kx+t,

2y2-x2=

消去y整理得，（2^-l）x2+4^x+2/2-6=0,

由题设条件得2公一1视，/=1662-4（2/-1）（2产-6）=8（产+65-3）＞0,

4kt2tz-6

则4以2=X\X=-

1-2/c222k2-1'

由（1/导小（0,V3）,J2（O,-V3）,

则直线小M：y-y/3-yi~^x,

直线的百04,

x2

因为直线4M与直线4W的交点P在直线.尸!上，

2-V32

所

5攵

因梆力，

所以'2一8y2+\®_4_3_1

X2X2X22'

即。2+乃一相

即X22S-m

3广丫1-6

f2，

雨'1£2_=_21_=?yyi~^y2~v3_(yi~^)(yz-^T)

所以在百22~X2勺不,

'X2

2

又(力一V3)(y2-75)=〃2加42+“(£一V3)(%i+x2)+(t-V3)

士号小⑸号(一可

_«可

2k2T1

所以督福，解得片5，

所以直线MV过定点(0,5).

ID思维创新

3.(17分)(2024・岳阳质检)已知动圆P