2021-2025年中考数学试题分类汇编（新疆专用）解直角三角形

专题16解直角三角形（解析版）

•••@©oo•••

1.（2025•新疆•中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下:

实

验工具

测量校徽的高度测角仪，卷尺等

主准备

题

1.站在与教学楼底部4同一水平地面的8处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到

悬挂的校徽顶部£处（此时F,C,E三点在同一直线上）；

实

2.测量A,。两点和从。两点间的距离；

验

3.用测角仪测得从眼睛产处看校徽顶部E处的仰角田G；

过

4.向后退至点”处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N,C,M三点在同一直

程

线上），测量8,，两点间的距离；

5.用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角/MNG.

校1.AD=4m

E9

实徽

%2.BO=10m

4教

验测量

学

3.3H=13.5m

图楼数据

G

4.ZEFG=43°

示HBDA

5.4MNG=21.$

1.图上所有点均在同一平面内；

备2.AE,CDABN”均与地面垂直.

注参考数据：sin21.8°«0.37,cos21.8°=0.93,tan21.8%»0.40：

sin43°«0.68,cos430Ho.73,tan43°«0.93.

请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值.

【答案】2.02m

【解析】解：由题意得，四边形尸GA3,四边形MMG为矩形,

/.FG=AB=AD+BD=10+4=14m.NG^AHAD+DB+BH=4+\0+\3.5=27.5m,

•・•在RtZ\£FG中，tanZEFG=—,

FG

・•・tan43°=—«0.93,

14

；・EG=14x0.93=13.02m,

4zf/■

在RAMNG中，tanZ.MNG=--

.・.tan21.8=-^—^«0.40,

27.5

・・・MG=llm,

AEM=EG-MG=l3.O2-\]=2.02m,

答：校徽的高度为2.02m.

2.（2024.新疆•中考真题）数学活动课上为了测量学校旅杆的高度，某小组进行了以下实践活动：

（I）准备测量工具

①测角仪：把一根细线固定在半恻形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个尚单的测角

仪（图1）,利用它可以测量仰角或俯角；

②皮尺.

图1

（2）实地测量数据

①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；

②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m,眼睛到地面的距离为1.6m.

（3）计算旗杆高度

①根据图3中测角仪的读数，得出仰角2的度数为二

②根据测量数据，画出示意图4,A8=1.6m,Z?C=16.8m,求旗杆CO的高度（精确到0.1m）；（参考数据:

sin35°«0.57,cos35°«0.82,tail35°«0.7（）,sin550®0.82,cos550®0.57,tan55°«）.43）

③若测量者仍站在原处（3点），能否用三角板替代测角仪测出仰角〃？若能，请写出测量方法；若不能，

该如何调整位置才能用三角板测出仰角a，请写出测量方法.

读数为55。）

图2图4

图3

【答案】①35。；②13.4m；③不能，见详解

【解析】解：①如图:

；・ZA=«=90°-55o=35°；

②由题意得：CE=/A4=1.6m,4E=3C=16.8m,ZAED=9()C，

DF

・••在中，tanZ.DAE=tan350=——-

AE

,0・7=需

：.DE«11.8m,

，CD=DE+CE=1l.8+1.6=13.4<n,

答：旗杆C。的高度约为13.4m；

③不能,

若使用30。,60。,90。的三角板，可以把三角板的30c角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边

向上看，然后向后退，直至退到60。角的顶点与点。重合即可停卜，即得到此时的仰角为30。，标记自己的

位置，测量自己的位置与点。的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图:

D

尸14或）台2__________E

cr-~~~——----------*c

若使用45。,45。,90。的三角板，可以把三角板的45。角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜

边网上看，然后向前走，直至走到另一个45。角的顶点与点。重合即可停下，即得到此时的仰角为45。，标

记自己的位置，测量自己的位置与点。的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图：

3.（2023・新疆•中考真题）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天

放烟称“燧克孜尔在哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如

图I）.某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2,无人机飞至距地面高度31.5米的4处，测

得烽燧BC的顶部。处的俯角为50°,测得烽燧BC的底部B处的旃角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC

的高度.（参考数据：sin50°«0.8,cos50°«0.6,tan50«1.2,sin65°«0.9,cos65°«0.4,tan65°«2.1）

【答案】13.5米

【解析】解：过点A作。区的平行线交的延长线于点G,过点C作CF1A。，如图所示:

根据题意得：四边形AO8G为矩形，/月/。=65。,4。=31.5,

・・..=q=2,

tan65°2.1

315

・•・BD=AG=^,

2.1

cc

V（anZCAG=—,

AG

315315

CG=tanNGAGAG=tan50°x—=1.2x—=18米，

2.12.1

5c=31.5-18=13.5米.

【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键.

4.12022•新疆•中考真题）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋喽的高度.小

希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45。，看这栋楼底部的俯角为37。，已知两楼之间的水平距

离为30m,求这栋楼的高度.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75）

【答案】这栋楼的高度为：52.5米

【解析】解：过A作广£,

・•・ZAEB=ZAEC=90°

由依题意得：ZE4B=45°,ZC4E=37°,CD=AE=3(),

RhAEB和R^AEC中,

VtanZB4£=—,tanZCAE=—

AEAE

.・.BE=AExtan45°=30x1=30,

CE=AExtan37°«30x0.75=22.5

:.BC=BE+CE=30+22.5=52.5

・•・这栋楼的高度为：52.5米.

5.(2021・新疆•中考真题)如图，楼顶上有一个广告牌从与楼相距15m的。处观测广告牌顶部4

的仰角为37。，观测广告牌底部8的仰角为30。，求广告牌A8的高度(结果保留小数点后•位，参考数据：

sin37°«0.60,cos37°«0.80,tail37°«0.75,血、1.41，V3«1.73).

【答案】2.6m

【解析】在心△AC。中，AC=CDutan370®15x0.75=11.25(m)

万

在RmBCD中,BC=CD.tan300=l5x—«8.65(m)

3

・••伯AC-BGl1.25-8.65a2.6(m)

即广告牌AB的高度约为2.6m.

【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，运用正切函数的定义即可解决.

0000

3

6.(2025・吐鲁番市・中考模拟)如图,在菱形A88中，菱形的周长为20,垂足为E,sinA=g,

则DE的长是.

【答案】3

【解析】解：•••菱形A8C。的周长为20,

/.AD=AB=5,

'.DEIAB

/.ZAED=90°,

DE3

在Rt^AOE中，sinA=——=—,

AD5

.,.DE=3，

故答案为：3.

7.（2025•新疆乌鲁木齐•模拟预测）如图，在RlZ\A8C中，按以下步骤作图：①分别以A,8为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点；②作直线用N交AC于点。，连接30.若NBDC=30。，

【答案】2+6/G+2

【解析】解：设8c=*

vZC=90°.N8DC=300,

BD=2BC=2a,CD=®,

,:MN垂直平分线段AB，

:.DB=DA=2a,

AQ+CO=2a+Ga=(2+@a

AC

故答案为：2+右.

8.（2025•乌鲁木齐十一:中•三模）小亮利用所学的知识对大厦的高度CO进行测量，他在自家楼顶A处测得

大汉底部的俯角是30。，测得大厦顶部的仰角是37。，已知他家楼顶“处距地面的高度创为50米（图中点

A&CQ均在同一平面内）.

⑴求两楼之间的距离AC（结果俣留根号）；

⑵求大厦的高度CD（结果取整数）.

（参考数据：sin370工0.60,cos37°«0.80,tan370工0.75,6=1.73）

【答案】（1）两楼之间的距离4c为5（）6米；（2）大厦的高度C。为115米

【解析】（1）解：如图，作BEJLC。尸点E,则8E〃AC,

D

_

IODI

lool

lool

ltlgol

^37°

Elool

p声一LloD-I

叩

叩

皿

叩

由题意知N4C4=N£BC=30°,N84C=90。，BA=50,

卜，"AB50_r-

故AC=---------=------=5OnV3,

tanNBCAtan30°

即两楼之间的距离AC为50G米；

（2）解：由题意知N84C=N£C4=N8EC=90°,

1•四边形是矩形，

•.BE=AC=50G,CE=AB=50,

•••RIBBED中,/DBE=37°,

二•DE=BE-tanNDBE=5（）6xtan370才50x1.73x0.75=64.9，

/.CD=DE+CE=64.9+50=114.9«115,

即大厦的高度8为115米.

9.（2025•乌鲁木齐经开区•初中学业水平监测）如图I,公园的湖心亭是中国传统建筑艺术的瑰宝，白天，

小刚家楼顶恰好能看到湖心亭及其在湖水面的倒影，如图2所示，小刚利用测角仪在楼顶4处测得湖心亭

顶端C的俯角NB4C=31。,测得湖心享顶端。在水面倒影E处的俯角ZME=54°.己知：点A到湖面的距

离A8=l（X）m.AB±BD,CD工BD,C,D,E三点共线，OE=C£）.求湖心亭的高度CD.（光线的折射忽

略不计，结果精确到1m.参考数据：

sin310®0.52.cos310n0.86,tan31%0.60,sin540ao.81,cos54°«0.59,tan54°«1.38)

AF

E

图1图2

【答案】39m

于力的方程，解方程即可得出结论.

【解析】解：延长0C,交水平线A尸于点”,如图,

由题意得：AHLEH,

vAB±BD,AHA.AB,

••・四边形为矩形,

/.AB=O”=l(X)m,

设望江楼的高度8=xm,则CH=(100—x)m,EH=(l00+x)m,

在Rt“〃C中,

vZE4C=31°,AH_LEH,

.而31。=累

„CH100-x

tan3100.6

在Rt~4〃E中,

VZFAE=54°,AHLEH,

.*n54。=翳

HEl(X)+x

/.AH

tan541.38

100—x100+x

"0.6~1.38

/.A«39（m）.

，湖心亭的高度CO大约39米.

10.（2025•新疆乌鲁木齐•三模）2025年4月23日是第30个世界渎书日.某学校为了解决师生在校园内露天

阅读、交流讨论时遮阳避雨的需求，学校在图书馆外的休闲阅读区安装了一组可调节角度的遮阳篷.如图

是遮阳篷的截面示意图，遮阳篷一端固定在图书馆二楼窗台下方（记为点〃），另一端斜向下延伸至点A.已

知遮阳篷的长度A4为5.5米，与水平面的夹角为16。.

⑴求点A到墙面4c的距离；

（2）当太阳光线AO与水平线CE的夹角为45。时，量得C。为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长.（参

考数据：sin16°«0.28,cos16°»0.96,tan16°«0.29）

【答案】（1）点A到墙面8c的距离为5.28米：（2）遮阳篷靠墙端离地高8C的长5.04米

【解析】（1）解：过点A作4F/8C,垂足为F,

B

/•••遮阳篷的长度A3为5.5米,与水平面的夹角为16。.

CD45E

/.AF=cos16°«5.5x0.96=5.28（米）.

・••点A到墙面6c的距离为5.28米.

（2）解：过点A作4G_LCE,垂足为G,

B

CDGE

由题意可得四边形AGC尸为矩形,

AG=CF,A/=CG=5.28米，

•••8=1.78米,

.•.£)0=。6-8=5.28-1.78=3.5米，

在RSADG中，NADG=45。，

.•.AG=£)G=3.5米，

.•.3=以；=3.5米，

在RS4初7中，

BF=人&sinl6°»5.5x0.28=1.£4米，

/.8C=A/+B=1.54+3.5=5.04米.

•.・遮阳篷靠墙端离地高8C的长5.04米.

11.(2025•新疆乌鲁木齐•模拟预测)电力部门在一处坡角为30。的坡地新安装了一架风力发电机.如图，某

校实践活动小绢对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度讲行了测最，并画了测后示意图.已知，风力发

电机垂直于地平面，斜坡CO长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端，点的仰角为45。，利用无人

机在点A的正上方53米的点B处测得尸点的俯角为18。.(参考数据：sin18°«().31,cosl8°»=0.86,

tanl8°®0.325)

AC

图1图2

(1)填空：ZAPB=°；

(2)求该风力发电机塔杆尸。的高度.

【答案】(1)63；(2)该风力发电机塔杆尸D的高度约为32米.

【解析】(1)解：63,理由如卜•：

如图：过点“作PEJ_A8，垂足为E,

由题意得：ZPAC=45°,BG//PE//AC,

:.£GBP=4BPE=1咨,NPAC=ZAPE=45。,

ZAPB=ZAPE+NBPE=450+18°=63°.

故答案为：63；

(2)解：如图，延长PO交AC于点〃，

ACF

由题意得：PFA.AF,48=53米，BG//PE//AC,ABJ.AC,

:・AE=PF,

在Rt^CQ尸中，Z/X?F=30°,CQ=16米，

。尸=geo=8(米)，

设PE=无米，

在RtZ\AEP中，NAPE=45。,

AAE=PEtan45°=x(米),

在中，ZBPE=18°,tan18°«0.325,

BE=PEtan18°«0.325x(>R),

­;AE+BE=AB,

..x+0.325x=53,

解得：大=40.

.•.人石=夕/=40米，

•.2=8米，

.•.尸。="一。尸=40-8=32（米），

答：该风力发电机塔杆尸。的高度约为32米.

12.（2025•新疆乌鲁木齐•模拟预测）2025年1月7口凌晨4点，长征三号乙火箭携尾焰腾空巨响，将实践

二十五号卫星送入预定轨道.这一伟大时刻，凝聚着无数航天人的智慧与汗水，承载着中华民族对宇宙探

索的梦想与追求.如图，运载火箭从地面0处发射，当火箭到达点A时，地面。处的雷达站测得八。二40km,

2秒后，火箭竖直上升到达点5处，此时地面C处的雷达测得3处的仰角/OCB=45。，0,C,。在同一

直线上，已知OQ=20Gkm,CD=4.6km,求火箭从A到8处的平均速度.（结果精确到lkm/s,参考数据:

6=1.732)

B

A

O

【答案】火箭从A到3处的平均速度为5km/s

【解析】解：在RSAODW，•.•4)=40km,00=20Gkm.

/.OA=^402-(20X/3)2=20(km),

•;CD=4.6km,

OC=OD-CD=(20y/3-4.6)km,

在Rt^OBC中，lan/OCB=,

X-z

OB=OCtan45°=OC=(20G-4.6)km.

AB=()B-OA=20G-4.6-20«10.04(km),

「•火箭从A到B处的平均速度=詈in04«5(km/s).

答：火箭从A到8处的平均速度为5km/s.

13.（2025•新疆乌鲁木齐•模拟预测）酒泉肃州钟鼓楼位于甘肃省酒泉城中央，是凝聚了古代肃州劳动人民

智慈结晶的标志性建筑.为传承酒泉文明、弘扬民族精神，某校综合与实践小组开展了测最饼鼓楼（如图

①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告.

【解析】解：由题意得PO_LOB,AB=16米,

设。A=x米，则OB=Q4+AB=K+16,

在R^AOP中，ZO4P=56°,

:.OP=OA-tan56°«L5x,

在中，/PBO=39。，

:.OP=O/Man39°*0.8(x+16),

A1.5x=0.8(x+16),

解得xu18.3米,

，OP=1.5x=1.5xl8.3=27米，

答：钟鼓楼的高度户。约为27米.

14.（2025•新疆乌鲁木齐•二模）果子沟大桥是穿越伊犁峡谷面山的空中巨龙，被誉为新疆最美大桥.已知

大桥主塔AA垂直于桥面BC于点8,其中两条斜拉索A。、AC与桥面BC的夹角分别为60。和45。，两固

定点。、C之间的距离约为87.78m,求主塔A8的高度.（结果精确到0.1,参考数据：，75«1.73）

【答案】207.4米

4D

【解析】解：在RtZ\/W力中，tar.60°=—

.•・BD=—AB,

3

AD

在中，tan45°=—

BC

・•・AB=BC.

,/BC-BD=CD=S7.7S,

:.A8-立AB=87.78,

3

・\AB=87.78-r(l-—)«207.4,

3

・•・主塔AB的高度约为207.4m.

15.（2025•新疆乌鲁木齐•一模）某数学兴趣小组用无人机测量乌鲁木齐市红山塔A3的高度，测量方案如图:

先将无人机垂直上升至距水平地面l（X）.5m的P点，测得红山塔顶端A的俯角为37。，再将无人机面向红山

塔沿水平方向飞行210m到达。点,，测得红山塔顶端A的俯先为45。，求红山塔A4的高度约为多少？（结

334

果保留一位小数）（参考数据：由37。。二疝37。3,337。、9

【答案】10.5m

【解析】解:延长明交PQ于点C,如图,

由题意得：BCVPQ,BC=100.5m,

设PC=mi,

'/PQ=210m,

・•・CQ=PQ—CP=（210-x）m,

在RiAAPC中，ZAPC=37°,

3

Z.AC=PCtan37。3Mm）,

在Rt^ACQ中，NAQC=45。，

AC=C（?tiin45°=（210-A）m.

：.-x=2\0-x,

4

解得：x=120,

・•・AC=210-x=90（m）,

Z.AB=fiC-/AC=100.5-90=10.5m,

故答案为：10.5m.

16.（2025•新疆乌鲁木齐•一模）如图1,是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，为了测

量此展板的最高点A到地面/的高度.绘制了如图2所示的展板侧面的截面图（底座高度忽略不计），并测

得A3=l（X）cm,Z?F=80cm,A8与水平线的夹角4=37。，8户与水平线的夹角N2=65。，请求出展板最高

点A到地面/的距离（精确到1cm,参考数据：sin37°»0.6,8s37。。0.8,tan37。翔0.75,sin65°«0.91,

cos650ko.42,tan65°«2.14）

图I图2

【答案】133cm

【解析】解：如图所示，AC1.BC

A

F

图2

在中，A8=100cm,Zl=37°

.....AC

.sinZI=——

AB

AC=ABsinZ1«I(X)x0.6=60(cm)

在RtAJJE厂中，Z?F=80cm,Z2=65°

FF

,?sinZ2=—

BF

・•・EF=BFsinZ2之8()x0.91=72.8(cm)

A到地面/的距离为AC+EF=60+72.8=132.8«133（cm）.

17.（2025•新疆乌鲁木齐•一模）如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，

其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，师动抽油杆上

下运动以抽取原油.图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若AE是抽油杆，ED是驴头,。尸是游梁，CB

是支架，支架与游梁的夹角N£>C8=12（y.点E在点。的北偏东28”方向测得石。=2口］，DC=2.5m,

5c=10m.求抽油杆顶端到地面的距离AE（结果精确到0.1m）.（参考数据:sin28。0.47,co<28°。0S8,

tan28Z0.53，6=1.73)

北

［答案】抽油杆顶端距地面高度4K约是9.5米

交8C的延长线于N.

ZB=Z4=ZA^4=90°,

二四边形人肋VB是矩形，

・•・AM=NB,

・•・EM=cosZMED•ED=cos28°x2«0.88x2=1.76

CN=cosZDCN-DC=cos60°x2.5=-x2.5=1.25.

2

BC=10

I.AE=AM-EM=BN-EM=BC+CN—EM=1（）+1.25-1.76n9.5（米）

答：抽油杆顶端距地面高度AE纥是9.5米.

18.（2025•新疆乌鲁木齐•二模）雅玛里克山位于乌鲁木齐西侧，经过10年的建设已是绿树成荫，东可望白

雪皑皑的博格达峰，西可赞赤火通红的西山落霞.某数学“综合与实践”小组的同学在学完了三角函数知识后,

把“测量雅玛里克山青塔的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测

量.为了减小测量误差，小组在测量仰角以及两点间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为

测量结果，测量数据如表：

课题测量雅玛里克山青塔的高度

实物

图

组长：XXX

成员

组员：XXX,XXX,XXX

测量

卷尺，测角仪…

工具

A说明：AB表示肯塔最高点到地面的竖直距离，测

测量

E^--—角仪的高度CO=EF=1.5m,点C、F与点B在

示意

同一直线上，点C、尸之间的距离可直接测得，旦

图

FBC点A、B、C、D、E、F在同一平面内.

测量项目第一次第二次平均值

a的度数35.95°36.05°36°

测量

数据

”的度数45.09°44.91°45°

C、厂之间的距离29.68m29.72m29.7m

木*木

请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据,求雅玛里克山青塔的高度八（结果精确到0.1m,参考数据:

sin36«0.59,cos36Ho.81,tan36«0.73»>/2s；1.41）

【答案】雅玛里克山青塔的高度A5约为14m

【解析】解:设。上交A4于G.

A

CF=DE=29.7m,

在Rt~40G中，ZAGD=90°,

,：tanZADG=,

DG

芷=0.73,

DG

AG

在Rt^AEG中，tanZA£G=—

1.(J

警，

EG

/.AG=EG,

DG=DE-EG=DE-AG,

AG»12.53(m),

：.AB=AG+BG=12.53+1.5«14|；m).

答：雅玛里克山青塔的高度AB约为14m.

19.(2025•乌鲁木齐兵一•模拟预测)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公

楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45。，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是2()米，梯坎坡长

BC是12米，梯坎坡度i=l：8，求大楼AB的高度是多少？(精确到0.1米，参考数据：72=1.41,gl.73,

得2.45)

【答案】39.4米

【解析】

延长A8交/)C'于”，作上G_LA8于G,如图所示:

A

，BH:CH=1:瓜

设米，则米，

在RS8C”中，8c=12米，

由勾股定理得：■+（岳）2=122,

解得：A-6.

：.BH=6米,C〃=6百米，

:.BG=GH-BH=15-6=9（米）,EG=DH=CH+CD=66+20（米）,

■;Na=4S,

/E4G=90-45。=45。，

•••△AEG是等腰直角三角形，

AAG=EG=6x/3+20（米），

・•・A8=4G+BG=+20+9。39.4（米）.

故大楼AB的高度大约是39.4米.

20.（2025•乌鲁木齐•三月学业测试）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器

和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示.

⑴如图2,在尸点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,8两点均在视线尸C上时，测得视线与

铅垂线所夹的锐角为a，设仰角为夕，请直接用含。的代数式示夕；

（2）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往永州市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟

壮观所震撼，想知道纪念碑的高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量.如图3,

他们在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为35。，在。点处测得碑顶A的仰角为45。，己如BC=\5m,

（3,。,。在同一直线上）,根据以上数据求烈士纪念碑的高4）.（疝35°二0.57,8835。20.82,画35。=0.70）

［答案］⑴#=90-；⑵35m

【解析】（1）解：如图所示：

由题意知。DJLPZ）

在RSPOD中，？。90?,则NP+NPOD=90。，即a+£=90°

（2）解：由题意“J'得：AD1BD，

在RtZXACO中，/46=45。，由等腰直角三角形性质得到8=4）,

在Rt/MBO中，ZAZ?D=35°,

ADADAD

lhtanZ.ABD=tan35°=

诟-CD+15-4)+15'

AD

即0.7=

AD+15

解得：AD=35m,

检验：把AO=35m代入AO+15中，AO+15/0,所以AO=35m是方程的解，

・•・烈士纪念碑的高AO为35m.

21.（2025•乌鲁木齐兵一•三模）如图，小睿为测量公园的一凉亭人8的高度，他先在水平地面点E处用高

15〃的测知仪。石测得NADC=31。，然后沿所方向向前走3〃?到达点G处，在点G处用高15/〃的测角仪

尸G测得NAR7=42。.求凉亭48的高度.（A,C,8三点共线，ABLI3E,AC±CDtCD=BE,BC=DE.结

果精确到0.1m）（参考数据：sin31°M）.52,cos31°M）.86,tan3l°«0.6（）,sin42°«0.67,cos42°«0.74,

t<m42°«0.90)

【答案】6.9m

【解析】解：由题意得:

BC=FG=DE=15,DF=GE=3,NAC/=90°,

设CF=x,

：.CD=CF+DF=(x+3),

在用△AC尸中，ZAFC=42°,

.•MC=CF-tan42°^0.9x(m),

在RsAC。中，ZADC=3\0f

AC0.9x

tan31°==0.6

~CDx+3

经检验：x=6是原方程的根，

・・・4B=AC+BC=0.9x+l.5=6.9（m）,

・•・凉亭AB的高约为6.9m.

22.（2025・吐鲁番・三模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，

如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高A3所在的直线.为了测量房屋的高

度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35。，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继

续向房屋方向走8〃?到达点。时，又测得屋檐E点的仰角为60。，房屋的顶层横梁E"=12〃?，EFHCB,AB

交E尸于点G（点C,D,3在同一水平线上）.（参考数据:sin35°«0.6,cos35°«0.8,tan35°«0.7,交句.7）

图①图②

（1）求屋顶到横梁的距离AG；

（2）求房屋的高A3（结果精确到皿）.

【答案】（1）4.2米;（2）14米

【解析】解：（I）:房屋的侧面示意图是轴对称图形，八B所在直线是对称轴，EF//CB,

AAGLEF,EG=、EF=6,ZAEG=ZACB=35°.

2

在町AAGE中，ZAGE=90°，Z/1EG=35°,

VtanZ>4EG=—,EG=6,tan35°«0.7.

EG

，AG=6tan35°、42（米）

答：屋顶到横梁的距离八G约是4.2米.

（2）过点E作EHLCB于点H,设

任RfAEDH中,ZEHD=9O°,ZEDH=60°,

FHr

tanNEDH=—,DH=---

DHtan60°

在HAEC”中，ZEHC=90°,ZECH=35°,

FHx

'：lanZECH=—：.CH=

CHtan35°

•：CH-DH=CD=8,

・x4二g

lan35°tan60°

*.*t<in35°«0.7,75«1.7,

解得1。9.52.

JAB=AG+BG=4.2+9.52=13.72«14（米）

答：房屋的高A8约是14米.

23.（2（）25.吐鲁番・二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消

防救援的主要装备.图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点。，。在同一直线上，。。可绕

着点0旋转，A8为云梯的液压杆，点。，A,C在同一水平线上，其中4。可伸缩，套管08的长度不变,

在某种工作状态下测得液压杆A8=3m,N84C=53。，2DOC=37°.

图1图2

(1)求60的长.

(2)消防人员在云梯末端点。高空作业时，将8。伸长到最大长度6m,云梯。O绕着点。顺时针旋转一定的

角度，消防人员发现铅直高度升高了3m,求云梯O。旋转了多少度.(参考数据：sin37°«3^,tan37°«34,

54

44

sin53°,tan53°«—,sin640%0.90>cos64°«0.44)

53

【答案】(l)O8=4m：(2)27°

【解析】(1)解：加图，过点8作3E_LOC干点£

在RtAABE中，ZBAC=53°,AB=3m,

412

BE=ABsinZBAE=3xsin53°»3x-=—,

55

12

在Rtz^OE中，ZBOE=37°,BE=­f

RF

VsinZBOE=—,

OB

1-2

BE54

：.OB=3-

ZBOE-

sin5

(2)解：如图，过点。作Ob_LOCF点R旋转后点。的对应点为以，过点ZX作。GJ_OCf点G,过

点D作O〃_LO'G于点儿

在Rl△尸O/)中，07)=08+A力=4+6=10,ZDOF=37°,

/.DF=ODsin37°«10x—=6m,

5

・•・0G=D77+”G=3+6=9m,

在R^O'OG中，OD,=\0m,D,G=9m,

=一,

・•・ZDW«64°,

・•・ZDW=64°-37°=27°,即云梯O。大约旋转j'27°.

1

C1!n

尸GEA]

24.(2025•吐鲁番•中考模拟)2022年11月9日是我国第31个“全国消防宣传日”,该年“119消防宣传月”活动

的主题是“落实消防责任，防范安全风险为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习.已知，

图I是•辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩(15mWACW26m),且起

重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为/C4E(9()0<ZC4E<15()0),转动点A距离地面的高度

AE为3m.

(1)当起重臂AC长度为20m,张角NC4E=127。，求云梯消防车最高点。距离地面的高度CF；

(2)已知该小区层高为2.8m,若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由.(结

果精确到0.1m,参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,6=1.73)

【答案】(1)云梯消防车最高点C距离地面的高度C/.为15m；(2)该消防车能畲效救援10层

【解析】（1）解：如图所示，过点C作垂足为尸，过点A作AGJ_CF,垂足为G,

I

___2_______________D—

BEFD

则AE=FG=3m,ZE4G=ZAGC=90°,

,/ZC4E=127°,

ZC4G=ZCAE-ZEAG=127°-90。=37°，

在RtZ\AGC中，AC=20m,sinZC4G=sin37°=—«0.60,

AC

・•・CG=ACsin37°=20x0.60=12（m）,

・•・Cr=CG+G/=12+3=15（m）,

J云梯消防车最高点。距离地面的高度CF为15m.

（2）解：该消防车能有效救援10层，理由如下，

当/C4E=150。，AC=26m时，能达到最高高度，

•・•ZE4G=90°,

ZC4G=ZC4E-ZE4G=150°-90°=60%

在KtZXCAG中，sinZC4G=sin600=—=—»

AC2

•:CG=AC・sin6（）o=26x走=13、与（m）,

2

ACF=CG+FG=l3x/3+3»25.49（m）,

•・•25.49+2.8=9.1,

・•・该消防车能有效救援10层.

25.（2025・吐鲁番・模）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重耍意义.某电力部门在某

地安装了一批风力发电机，如图某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图

（2）为测量示意图（点A,B,C,。均在同一平面内，ABJ.BC）.已知斜坡CO长为20米，斜坡CO的

坡角为60。，在斜坡顶部。处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20。，坡底与塔杆底的距离3c=30米,

求该风力发电机塔杆A8的高度.

（结果精确到个位；参考数据：sin20°«034,cos20°«0.94,tan20°«0.36,6上1.73）

A

(1)(2)

【答案】32m

【解析】解：过点。作_L48于点”，作于点，

在RtZ\OC”中，

coCH.DH

•/cos600=-----,sm60°=------

CDCD

CH=CDcos60°=10m,

DH=C。sin60。=10>/3m工17.3m

•/NDFB=/B=NDHB=90°,

，四边形。/话〃为矩形，

：.BH=FD,BF=DH,

BH=BC+CH=(30+10)m=40m,

FD=40m

在△"口中.

AT

——=tan20°,

FD

...AF=I'D-tan20°«40x0.36=14.4m

AB=AF+BF«(17.3+14.4)m=31.7m«32m

答：该风力发电机塔杆A3的高度为32m.

26.(2025•新疆昌吉•一模)头屯河大桥是连通乌昌的交通要道.某数学小组想利用无人机测量头屯河大桥

桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方62米的N处时，测得桥面正中心A的俯

角为45。，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点人的俯角为37。，并抽象出如图所示的数学图形.请

343

利用以上信息求头屯河大桥桥面距水面的高度.（参考数据：而37。3，8小。，丁，皿37。中.

----------------水面

【答案】23米

【解析】解：延长84交点C,如图

由题意得AC_LMN

设MC=x米，则CN=（9I—x）米

AC

在RMACM中tanZAMC=—

MC

3

AC=A/Ctan37°=-x

4

在RtAACN中，VZA7VC=45°,

AC=CN

—x=91-x

4

解得：x=52

・・・AC=39米，A8=8C-AC=23米

答：头屯河大桥桥面距水面的高度为23米.

27.（2025・喀什地区•三月学业测试）陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1）,该支架

可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，八4=4C=24cm.陈老师调整支

架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置，测得/43C=130,，NC=30。，求此时顶部边缘A处离桌面

CZ）的高度.（结果精确到0.1cm,参考数据：sin10°«0.174,cos10°«0.985,Uinl0°«0.176）

【答案】35.6cm

【解析】解：过点8作%:_LC。，垂足为E,过点A作4尸J_C。，垂足为F，过点8作8G_LAF,垂足为

G,

图2

由题意得：BE=FG,NE8G=/4GB=90。，

在RS8CE中，ZC=30°,8。=24cm,

BE=-BC=l2(cm),ZCBE=90°-ZC=60°,

2

vZ4BC=130o,

?.ZABG=360°-ZABC-ZCBE-ZEBG=80°,

NBAG=90°-ZAfiG=10°,

在Rt^ABG中，48=24cm,

/.AG=ABcos10°»24x0.985=23.64(cm),

/.AF=AG+FG=AG+BE=23.64+12。35.6(cm),

••・此时顶部边缘A处离桌面8的高度约为35.6cm.

28.(2025・喀什地区•四月学业测试)小吉购买了可升降夹书阅读架(如图1),将其放置在水平桌面上的侧

面示意图如图2,测