山东省2026届高三高考模拟数学试卷（一）

山东省2026届高三高考模拟数学试卷(一)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数z满足(1+i)z=-i|,i为虚数单位，则2=()

A.1-tB.1+iC.2-2iD.2+2i

2.己知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7卜则An(Q8)=()

A.[1,3,4}B.{3,4}C.[2,4,6}D.{2,4}

3.设2WR,则'"2-5%<0，，是-i|vi”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若非零向量乙石满足@=2|砧且向量族在向量G上的投影向量是一扣，则向量G与前勺夹角为()

A.?B.§C亨D.TT

b5o

5.已知数列{即}满足%=l,log2an+1=log2an+l(n€AT),它的前n项和为%,则满足1>1025的最小八

的值是()

A.10B.9C.12D.11

6.若函数/⑺满足/(a+8)=獴瑞，K/(2)=f(3)=,则f(7)=()

A.1B.18C.14D.3

7.已知四棱锥P—/BCD的底面为正方形，PAI平面4BCD,P4==1,点E是BC的中点，则点E到直

线PD的距离是()

9.若函数f(x)={:;二：：：[()且函数9(“)=血，则下列结论正确的是()

人」。）的值域为[-4,+8）

B.fQ）有3个零点

C.若m=则g（x）仅有1个零点

D.若g。）仅有2个零点，则机的取值范围为（一4,一1]U{0}

10.如图,正方体ABCD-AZCiDi的棱长为1,线段占历上有两个动点E,F,且EF=苧,则下列结论中

正确的是（）

A.4C1BEB.点C到平面GOB的距离为关

C.三棱锥力-8EF的体积为定值D.异面直线AE,5万所成的角为定值

11.设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,抛物线C的准线过点力（-2,0）.若点M满足|M*=V2|MF|,则

下列结论正确的是（）

A.p=2

B.点M在以眩00）为圆心，Mp为半径的圆上

C.若点M在抛物线C上，则|MF|=8

D.效物线C上恰好存在两个满足题意的点M

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原

因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为.

13.（3—口）8展开式中，含一项的系数为

14.已知椭圆和双曲线有相同的焦点Fi和尸2,设椭圆和双曲线的离心率分别为%,62,点P为两曲线的一个

公共点，且I所-的1=2质1(。为坐标原点)，若616(苧,手],则。2的取值范围是一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

n

已知数列｛%｝满足的=1，%t+i=an-2+2,

(1)判断数列｛5十2"｝是否为等差数列，并说明理由：

(2)记治为数列｛a，｝的前几项和，求Sn.

16.(本小题15分)

为方便4B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线.该线路运营一段时间

后，为了解乘客对该线路的满意程度，从4B两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的

满意程度评分分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],整理得到如下频率分布直方图:

A地区100名乘客满意程度评分B地区100名乘客满意程度评分

根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：

满意程度评分[50,70)[70,90)[90,100]

满意程度等级不满意满意非常满意

(I)从川也区随机抽取一名乘客，以频率估计概率，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率:

(II)从加也区与8地区各随机抽取一名乘客，记事件C为“抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为

非常满意且另一名乘客的满意程度等级为不满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，

求事件C的概率；

(川)设％为从4地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，%为从B地区随机抽出的这100名

乘客的满意程度评分的平均数，〃为从48两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试

比较|〃1一〃|与|〃2-川的大小,并说明理由.

17.(本小题15分)

如图，AEL^ABCD,CF//AE.AD//BC,ADLAB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(【)求证：BF〃平面力DE：

(I【)求直线CE与平面60E所成角的正弦值；

(HI)若二面角E-BD-尸的余弦值为事求线段C尸的长.

18.(本小题17分)

已知椭圆l(a>b>0)的离心率为苧,&、Fz分别为椭圆。的左、右焦点，M为椭圆C上一点，

△MFiF2的周长为4+2/W.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若4F1MF2=60。，求^MFiB的面积；

(3)设P为圆/+y2=5上任意一点，过P作椭圆C的两条切线，叨点分别为48,判断福•丽是否为定值?

若是，求出定值；若不是，说明理由.

19.(本小题17分)

己知函数/'(%)=ax—lnx(a€R).

⑴若a=3,求函数/(%)的最值；

(2)若函数/(乃与0(切=短-。工+2都存在极值，且极值相等，求实数Q的值；

(3)若函数/i(x)=x-xf(x)+a有两个不同的极值点工1，¥2，且在<汇2，求证：与慰>e~3.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由(1+i)z=-i|=2,得z=2=二1一3

故，=1+i.

2.【答案】D

【解析】解:因为U={1,2,3,456,7},4={2,4,5},B={1,3,5,7},

所以QB={2,4,6},

则<n(QB)={2,4}.

故选：D.

由已知结合集合的交集及补集运算即可求解.

本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查充分条件和必要条件的判断，考查解不等式问题，属于基础题.

根据充分条件与必要条件的定义结合不等式的解法可推结果.

【解答】

解：：x2-5x<0,0<x<5,

|x-1|<1,0<x<2,

0<x<5推不出0<x<2,

0<%<2=>0<%<5,

A0<x<5是0VXV2的必要不充分条件，

即严-5x<。是氏-1|<1的必要不充分条件.

故选B.

4.【答案】B

【解析】解：•••非零向量落3满足间=2的，

且向量B在向量五上的投影向量是-3，

|b|cos(a,b)~=曙8s@历)五=Gcos@A)))=一软,

解得cos(心力=一5,

因为〈乙方£[0,利，

所以向量G与前勺夹角是年.

故选:故

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了等比数列通项公式及等比数列求和，

由已知条件条件出皿=2,得到数列｛册｝为等比数列，公比q=2,又的=1,根据等比数列前n项和公

an

式，由已知条件S”>1025,由此能求出71的最小值.

【解答】

解：•.•数列数列满足的=1,log2an+1=log2a„+1.

,1%2即+1-loga=log^=1，

2n2an

•/+1-7

厮

・•・数列Sn｝为等比数列，公比q=2,又%=1,

根据等比数列前几项和公式，>1025,

即为兄>1025,化简，得2n>1026,解得"Nil,

1-Z

••.九的最小值是11.

故选。.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

【解答】解:

••・函数"X)满足/伍+匕)=儒篇，K/(2)=i/(3)=i

/(2)+八3)

•••f⑸=f(2+3)=

l-/(2)/(3)

/(7)=/(2+5)=f(2)+f(5)=

l-/(2)/(5)-

故选。.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查点线、点面.、线面.、面面距离（几何法），利用余弦定理解三角形，线面垂直的性质，属于中档

题.

利用余弦定理求出COSMPDE,再求出sin^PDE,利用DE•sin^PDE,即可求出结果.

【解答】

解：连接力E,PE,DE,

底面488为正方形，点E是8C的中点,

所以4E=\!AB2^-BE2=

PE=yJPA2+AE2=

DE=>JDC2+CE2=

PD=>/PA2+AD2=/I，

所以cosiPDE=PD?+DE2-PE2

-2PDDE-

,59

=2o+C=J_

-2X&X尊一5,

所以sin乙PDE=V1-cos2zPDF=言，

所以点E到直线PD的距离是

DEsinzPDE等畜攀

故选：D.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了函数图像、对数函数和二次函数，分|?|>1和|：|VI两种情况，进行讨论即可得出结论.

【.解答】

解：若y=1og1甲单调递增，4、8符合，此时1金＞今

则由y=Q/+板的图像，4、B不符合；

若白＜1,y=logm3单调递减，C、0符合，此时

CL—'a1/QZ

则由y=Q/+bx的图像，C不符合，。符合，

故选。.

9.【答案】ACD

【脩析】解:根据题意得，/(%)的图像如图所示，易得/0)的值域为[-4,+8),

那么可得/'(%)仅有2个零点，因此选项A正确，选项8错误.

而g(x)的零点个数等于/(%)的图像与直线y=m的交点个数.

根据图可知，若巾=看那么函数/(%)的图像与直线y=m的交点个数为1,因此选项C正确.

若/'(%)的图像与直线y=m的交点个数为2,

那么m的取值范围为(一4,一1]1){0},因此选项。正确.

故选：ACD.

画出/(%)的图像，结合图像得到/(无)的值域，零点个数，g(x)的零点个数等于f(x)的图像与直线y=m的

交点个数，观察图像可得/(%)的图像与直线y=m的交点个数，若/XM的图像与直线y=m的交点个数为

2,结合图像得到m的取值范围.

本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题.

10.【答案】AC

【解析】解：连接80,在正方体中，有AC1.80,

又在正方体中，。。11平面43。。，ACa^ABCD,

则DO114C,又BDCDDi=D,BD、0。1u平面口1。1。8,

AC1平面当OWE,

乂BEu平面B/iDB,•••4C1BE,故人正确；

•••正方体48CD-&B]GDi的棱长为1,则正方体对角线长为C，

故点C到平面G08的距离为苧，故4错误；

•••EF=苧,BBiJ_平面

：,△BEF的面积为定值1xEFx1=W，

24

乂4c1平面BDDiBi,设ACCBD=0,

•••力。为棱锥4-8"的高且4。=等，

三棱锥4-BE尸的体积为定值，故C正确；

设异面直线AE,8尸所成的角为a,

当E与4重合时,尸为与Di中点,连接AD1和BQ,

在止方体中易知四边形力8C]Di为平行四边形，则4D1/8G，

Q.P1

a=乙FBCi,sina=—=-a=30°；

。LI乙t

当F与以重合时，E为当，中点，

在正方体中有力为〃8名，

则a=z.EAAx,tana==W，

1AA12

二异面直线/E、9尸所成的角不是定值，故D错误.

11.【答案】BD

【蟀析】解：因为抛物线C的准线过点力(一2,0),所以一号=一2,解得p=4,A错误;

抛物线C的方程为y2=8x,所以焦点为9(2,0),

设点M(%y),则(％+2)2+y2=2(x-2)2+2y2,BP(x-6)2+y2=32,

所以点M在以(6,0)为圆心，4/2为半径的圆上，8止确；

由管普”2.32解得［所以MU%C错误,。正确.

I［人o)~y一。4,kz-LF，

故选：BD.

12.【答案】20

【解析】【分析】

本题主要考查分层抽样的应用，属于中档题.

根据条件建立比例关系是解答本题的关键.

【解答】

解：该地区中小学生共有3500+4500+2000=10000名，

用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，

则样本容量为10000x2%=200名,

抽取的高中生有200=40名，

因为高中牛.的近视率为50%,

故抽取的高中生中近视的人数为40x50%=20.

故答案为20.

13.【答案】1

【解析】解：(3-，7)8展开式通项为：

Tl+1=仆•38f•(-G)==C>3&-r.(-1)「.£

令W=4,解得r=8,

所以含项的系数为：

•38-8-(-1)8=1x1x1=1.

14.【答案】［千,+8)

【脩析】解：设椭圆的长半轴长为Q,双曲线的实半轴长为优，它们的半焦距为C,

于是得Q=a优=/

由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点F］和尸2在X轴上，。在y轴右侧，如图,

解得|PFi|=a+优，|PF2|=a—a'

因为|闸一羽|=2|前I，

即|然|=2|可I，而0是线段F#2的中点，因此有4F1PF2=90。，

则有|PF1|2+|PF2『=|F1F2|2,

即(Q+优)2+(a-a')2=4c2,

整理得：a2+a，2=2c2,

从而有(》2+弓)2=2,

即有看=2-看

又苧〈一等

12

则有oV2-葭式午

el,

即董非，解得与之平，

乙Z

所以©的取值范围是［乎,+8).

故答案为：［上”,+8).

设半焦距为c,根据椭圆与双曲线的定义可得|PF/=a+优，仍叼=。一优，由|西一国=2|而I，得

出PF?=90%从而可得

今=2-2，由“的范围即可求©的取值范围.

e2el

本题考查椭I词与双曲线离心率的计算，属于中档题.

n

15.【答案】解：(l)van+1=an-2+2,

n+1n

二Qn+i+2)-(an+2)=2,

•••Qi=1,%+2=3

，数列｛a〃+2"｝为首项为3,公差为2的等差数歹小

(2)%=1,

•,•%+2=3,由(1)可得：册+2"=3+2(n-1)=2n+1,

0n=2九-2"+1,

Sn=2(1+2+3+…+n)—(2+2之+2，+…+2")+n

n(l+n)2(1-2”)

=2X+n

21-2

=n2+2n-2n+14-2.

【解析】本题主要考查等差数列的应用及数列求和，根据分组求和法以及等差数列的求和公式是解决本题

的关键.

(1)根据等差数列的定义进行判断，即可得到结论；

(2)根据｛册+2n｝为等差数列求出数列｛6｝的通项公式，利用分组求和法即可求出％.

16.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，(0.005+0.015+0.03+0.03+Q)X10=1,解得Q=0.02,

则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.02xl0=0.2;

(II)从⑷也区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.02x10=0.2,是不满意的

概率为(0.005+0.015)x10=0.2;

从B地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.015xl0=0.15,是不满意的

概率为(0.015+0.02)x10=0.35;

则P(C)=0.2x0.35+0.2x0.15=0.1;

(IH)|内一川=1%—川，理由如下:

=55x0.05+65x0.15+75x0.3+85x0.3+95x0.2=79.5,

%二55x0.154-65x0.2+75x0.3+85x0.24-95x0.15=75.

因为A,8两地区人数比为1:1,^=1^+1^2=77.25.

则|的一川=2.25,I%--=2.25,则心一川=|也一川.

【解析】本题考查频率分布直方图与独立事件乘法公式，属中档题.

(I洗由频率和为1解出a=0.02,再求是非常满意的概率即可；

(H)分别求出4B地区非常满意和不满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可；

(IH)由频率分布直方图求得出,生，进而求出〃，计算求解即可.

17.【答案】(【)证明：因为4EL平面/BCD,AD,48在平面4BCO内，

则＜E_L/1O,AE1AB,又40J.AB,

故以力为坐标原点，分别以通，AD，荏所在直线为％,y,z轴建立空间直角坐标系,

可得4(0,0,0),8(1,0,0),6(1,2,0),1)(0,1,0),E(0,0,2).

设。尸=八(八>0),则F(l,2,h).

则荏=(1,0,0)是平面4DE的法向量,又回？=(0,2,人),可得目?.荏=0.

又♦.,直线仁平面/OE,

/.BF//平面4DE；

(H)解：依题意,~BD=(-1,1,0)，~BE=(-1,0,2)»CE=(-1,-2,2).

设元=(%y,z)为平面BDE的法向量,

则俨.回=r+'=0,

In-FE=—x+2z=0

令z=l,得元=(2,2,1).

,KT：t、CEn4

•••cos<CE,n>==—

|CF|-|n|9

.•・直线CE与平面BDE所成角的正弦值为余

(川)解：设沆=01，yi，4)为平面8。尸的法向量,

则M•££=-Xt+=0

(m-=2yl+hzx=0'

取为=1,可得率=(1,1,-^),

|cos<m,n>|=g1=

由题意,

解得h=f.

经检验，符合题意.

••・线段CF的长为*

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，利用空间向量求解线面角与二

面角的大小，是拔高题.

(I)以A为坐标原点，分别以标，AD,荏所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求得4B,C,

D,后的坐标，设。尸=以八＞0),得尸(1,2,九).可得而=(1,0,0)是平面40E的法向量，再求出加=

(0,2,h),由丽•丽=0,且直线BFU平面AOE,得8/7/平面ADE：

(II)求出而二(一1,-2,2),再求出平面80E的法向量，利用数量积求夹角公式得到直线CE与平面80E所成

角的正弦值；

(山)求出平面8。尸的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为：列式求线段C尸的长.

2Q+2c=4+2-\^3,

合苧，

=匕2+2

(Q2cf

解得a=2,b=1,c=V~3.

2

所以椭圆C的方程为ar+'2=1.

22

(2)根据椭圆的定义可知|M0|+|MF2|=2a=4,|MFJ+|MF2|+2|MFJ•|MF2|=16①，

2

由余弦定理得IRFZF=|MFJ2+|MF2|-2|MFi|•|MF2|•cos60%

2

即12=IMF/?+\MF2\一|MFJ"MFzl②，

由①②得|MFJ•IMF2I=*所以=I­l^il'|MF2|.sin60°=1xx

(3)解：设POo，yo),则诏+羽=5.

当加=±2,则y()=±1,此时两条切线一条垂直》轴，一条垂直y轴，显然两切线P41P8,则可•丽=

0.

当沏丰±2,过点P的切线可设为j=/c(A-x0)+y0,

22

由匕D得(4/+l)x+8k(y0-kxo)x+4[(y0-^0)-1]=0,

222

所以/=64/c(y0-RXQ)-16(4/+l)[(y0-/cx0)-1]=0.

2

整理成关于k的方程(4-Xo)k+2xoyok+1-％=0,

此方程的两个根自，心就是切线P4P8的斜率，

所以自3密=*2…

所以P41PB.

所以以•丽=0为定值.

【脩析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，

考查了推理能力计算能力，属于拔高题.

2a+2c=4+2V3

£=立，，联立解得；

a2

(a2=b24-c2,

(2)根据椭圆定义以及余弦定理求出IMF/•IMF2I=土三角形面积易求；

k2

⑶设2区),%)由题意可得匕2;_髭；"),化为(4/+1)/+Qk(y0-kxQ)x+4[(y0-kx0)-1]=

0,利用根与系数的关系、向量数量积运算性质即可得出.

19.【答案】解：(1)当Q=3时，函数/(x)=3x—lnx,定义域为％>0,求导得广(%)=3-：，

令/'(X)=0，解得无=当0V工<:时，r(x)<0,/(x)单调递减；

当力>：时，尸(%)>0,/(%)单调递增，

因此，f(x)在％=♦处取得极小值，也是最小值，

最小值为/(§=3x"-Ing=1+ln3,无最大值.

(2)对/(%)=ax-Inx求导得尸(x)=a-g=咋二(3>0),

因为/(%)存在极值，所以尸(%)=0在(0,+8)上有解，解得％=i(a>0),

a

当0VXV%寸，f'M<0,/(%)