电磁感应中的综合问题-2026届高三物理（含答案）

计算题培优电磁感应中的综合问题

【典例】1(2024.湖北卷.15)如图所示，两足够长平行金属直导轨。。的间距为3固定在同一水

平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的;圆弧导轨相切。连线与直导轨垂

直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为4、方向竖直向下的匀强磁场。长为入、质量为用、电

阻为R的金属棒必跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2根、电阻为6R的均匀金属丝制成•个半径为

L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金

属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为公现将金属棒a〃山静

止释放，求：

⑴岫刚越过时产生的感应电动势大小：

(2)金属环刚开始运动时的加速度大小：

(3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。

【典例】2(2025・福建卷・16)光滑斜面倾角柒30。，I区域与0区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，

两区域中磁感应强度大小相等。止方形线框。儿•〃质量为"7,总电阻为凡线框由同种材科制成且粗细

均匀，I区域沿斜面的宽度为L”H区域沿斜面的宽度为心，两区域间无磁场区域沿斜面的宽度大于

线框的边长。线框从某一位置释放，cd边进入【区域时速度大小为也旦直到油边离开I区域时速度

大小始终为v,cd边进入H区域时的速度和油边离开H区域时的速度一致。已知重力加速度为g。

⑴求线框释放时〃边与1区域上边缘的距离；

⑵求"边进入I区域时cd边两端的电势差；

(3)求线框从刚进入II区域到完全离开II区域过程中克服安培力做功的平均功率。

【典例】3(2025•山东日照市二模)如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，窄轨MiM、M2M之

间的距离L=1m,光滑的宽轨0用、。222之间的距离L2=2m。窄轨以垂直于轨道的虚线4A2为分界线，

左侧粗糙，右侧光滑。窄轨左侧通过开关8连接一电容0002F的不带电的电容器(耐压值足够大)。

宽轨却窄轨连接处有开关S2,宽轨左侧接有电阻R=10C,质量〃尸1kg的金属棒c力静止在窄轨上，ab

棒到A1A2的距离x=4.5m,与窄轨粗糙部分间的动摩擦因数〃=0.2；质量M=2kg的金属棒cd静止在宽

轨上,整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小8=10T的匀强磁场中。现闭合S”断开S2,给ab

棒施加一与导轨平行、大小为5N的恒力R当其运动到儿4时，撤去凡同时断开S”闭合S2。窄

轨和宽轨足够长，必始终在窄轨上运动，cd棒始终在宽轨上运动。两金属棒在运动过程中始终与导轨

垂直且与导轨接触良好，4棒连入电路中的电阻4=20。，岫棒及导轨电阻均不计。重力加速度g取

10m/s2o求：

(1)恒力厂的作用时间；

(2)c4棒从开始运动到匀速的过程中，通过cd棒的电荷量；

(3)cd棒从开始运动到匀速的过程中，cd棒中产生的焦耳热。

计算题培优练电磁感应中的综合问题

［训练1］

［分值：28分］

1.（12分）（2025•四川攀枝花市三模）如图所示，一个匝数片1（）（X）、面积S=10（）cm?的水平圆形线圈内有竖直

向上［勺匀强磁场卅，磁感应强度大小随时间变化关系为8尸8。+0.25八线圈与右侧的平行导轨MN、通

过开关K相连，导轨MMMN构成的平面为水平面，其内有竖直向下的匀强磁场其右侧有倾角后30。

的倾斜平行导轨尸Q、PQ,N与尸、N与P通过一小段（长度不计）绝缘圆弧平滑连接，PP、连线均与所

有导轨垂直。倾斜平行导轨PQ、PQ'内有与两导轨构成斜面垂直向下的匀强磁场其顶端Q与。'之间

接有定值电阻R。现有一长L=0.5m的导体棒外垂直于导轨静止放置在水平导轨上，与导轨接触良好。闭

合开关K后，导体棒由静止开始运动，到达水平导轨右端前己经匀速。已知导轨间距均为L、阻值均不计，

导体棒必、线圈、定值电阻的阻值均相同，导体棒"的质量"=0.1kg,匀强磁场&、&的磁感应强度大

小均为1T,重力加速度g取10mH,不计一切摩擦，求：

⑴（3分）闭合开关前线圈产生的感应电动势E；

（2）（5分）从闭合开关到导体棒第一次运动到NN的过程中，导体棒产生的焦耳热Qi；

（3）（4分）若导体棒第一次冲上倾斜导轨经过时间r=1.7s后又返回导轨底端，求这段时间内导体棒产生的焦耳

热。2。

2.（16分）（2025・山东卷・18）如图所示，平行轨道的间距为L轨道平面与水平面夹角为二者的交线与轨道

垂直，以轨道上。点为坐标原点，沿轨道向下为工轴止方向建立坐标系。轨道之间存在区域I、11,区域

I（-2LWxv-L）内充满磁感应强度大小为以方向竖直向上的匀强磁场；区域11（x20）内充满方向垂直轨道平

面向上的磁场，磁感应强度大小8尸粒+他%,鬲和他均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间，均匀增加

的匀强磁场和随x轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为小边长为心电阻为R的匀质正方形闭合金

属框缈。•放置在轨道上，/坷边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动，磁场

上、下边界均与x轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g,不计自感。

（1）（6分）若金属框从开始进入到完全离开区域I的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v和释放时pq

边与区域1上边界的距离

（2）（10分）金属框沿轨道下滑，当以边刚进入区域II时开始计时（广0）,此时金属框的速率为如若攵尸喏曾，

求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，牙边移动的距离d°

［训练2］

［分值:27分］

1.（12分）（2025•四川成都市二模）如图所示，将电阻为R=0.02。、质量为片0.01kg的单匝正方形闭合线圈岫c〃

水平放置在顺时针运行的水平传送带的最左端，其边长为边界MM与传送带运行方向垂直，

在MMPQ区域内加一个垂直于传送带平面向下、磁感应强度为8=0.4T的匀强磁场，MMP。边界间距

为占0.26m,线圈在运动过程中左右两边始终与磁场边界平行，其与传送带间的动摩擦因数为4=0.2,线圈

。〃边进入磁场区域前已和传送带共速，传送带的速度为w=ln"'s,10时刻，线圈。力边与MN重合，0二0.2

s时刻，线圈cd边与MN重合，殳时刻线圈必边与PQ重合，已知重力加速度g取l（）m/s2,最大静摩擦力

等于滑动摩擦力，求：

B

步户N\/Q力

6y看6（。/

（1）（2分）片0时刻，线圈中的感应电流大小；

（2）（3分相时刻，线圈的速度大小:

（3）（4分加

（4）（3分）0~/2时间内，线圈中产生的焦耳热。

2.（15分）（2025・河北卷・15）某电磁助推装置设计如图,超级电容器经调控系统为电路提供I000A的恒定电流,

水¥固定的平行长直导轨处于垂直水¥面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的

无人机。初始时a静止于MM处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，

损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动

能，a与b分离。已知电容器电容C为10F,导轨间距为0.5m,磁感应强度大小为1T,MM，到的距离

为5m,a、b质量分别为2kg、8kg,a在导轨间的电阻为0.01Q。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触

良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。

（1）（2分）若分离后某时刻a的速度大小为10m/s,求此时通过a的电流大小。

（2）（8分）忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为1.25m时，求b分离后的速度大小，分析其是否

为b能够获得的最大速度；并求a运动过程中电容器的电压减小康。

（3）（5分）忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为白人\上0.025N-s2/m2）,初始位

置与⑵问一致，试估算a运行至NM时。a分离前的速度大小能否达到⑵问中分离前速度的99%,并给出结

论。（0.992=0.9801）

计算题培优电磁感应中的综合问题

【典例】1(2024・湖北卷・15)如图所示，两足够长平行金属直导轨MMPQ的间距为L,固定在同一

水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的;圆弧导轨相切。MP连线与直导

轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为4、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为〃7、

电阻为R的金属棒跨放在两圆弧导*九的最高点。质量为2〃?、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径

为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以

及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒心

由静止释放，求：

(1)加7刚越过时产生的感应电动势大小:

(2)金属环刚开始运动时的加速度大小：

(3)为使"在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。

【答案】(1皿河⑵胃警

⑶B2L2

【解析】(1)根据题意可知，对金属棒必由静止释放到刚越过M尸过程中，

由动能定理有mgL=^mv02

解得vo=y/2gL

则金属棒ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为E=BLv^BL/2^L

(2)根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，凯道外侧的两端圆弧金属环被短路,

由几何关系可得，每段圆弧的电阻为％=R

可知，整个回路的总电阻为

3R+篝青

岫刚越过M尸时，通过金属棒岫的感应电流为

,E2BLd2gL

1———-

R总3R

对金属环由牛顿第二定律有

解得归手等

(3)根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒仍所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于

金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使外在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒外和

金属环速度相等时，金属棒外恰好追上金属环，设此时速度为打

由动量守恒定律有〃曲尸〃zv+2〃八，

解得V=1vo

设经过时间3金属棒必与金属环共速,

对金属棒由动量定理有-8〃/="卜得-〃?用

则有BLq=；mvo

设金属棒运动距离为M，金属环运动的距离为Q，

BL(X-X)

则有，712

联立解得&6「处若偿

则金属环圆心初始位置到MP的最小距离

d=L+M=*禁画。

【典例】2（2025・福建卷・16）光滑斜面倾角柒30。，I区域与0区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，

两区域中磁感应强度大小相等。正方形线框Hcd质量为加，总电阻为R,线框由同种材料制成且粗细

均匀，I区域沿斜面的宽度为L，II区域沿斜面的宽度为小，两区域间无磁场区域沿斜面的宽度大于

线框的边长。线框从某一位置释放，cd边进入【区域时速度大小为v,且直到时边离开［区域时速度

大小始终为ncd边进入II区域时的速度和外边离开II区域时的速度一致。已知重力加速度为g。

⑴求线框释放时cd边与I区域上边缘的距离；

⑵求cd边进入I区域时4边两端的电势差；

（3）求线框从刚进入II区域到完全离开II区域过程中克服安培力做功的平均功率。

【答案】（1咛（2gJ挈（3）见解析

【解析】（1）设线框释放时〃边与【区域上边缘的距离为比

从线框释放到cd边到达I区域上边缘过程中，由动能定理得〃3sin”，加，解得冷吐

29

（2）因为〃边进入I区域时速度大小为也且直到而边离开I区域时速度大小始终为也可知线框的边长

L-L\>根据平衡条件有〃?gsin48%

又E=BLii，,/=1

R

cd边两端的电势差U=；E

4

联立解得但舞

472

（3）①若L2>L1,线框在cd边进入II区域到必边离开II区域运动过程中，根据动量定理mgsinOh-2由Lm=0

_处

根据尸72/=旨△广本•△片竽=学2，知线框进、出磁场过程中电荷量都相等.，

HKHH

HP/r=—

3R

由（2）如B=属

联立解得A二年

根据动能定理-W立安+/"gsin供〃+切=0

w廿

克服安培力做功的平均功率P—

「2

联立解得P二鳖四产1

4Li

②若上＜〃，同理可得/二学

K

根据动量定理"话sin0-t4-2BlLit5=O

其中（7-7r5

联立解得

根据动能定理-W九安'+〃zgsm供G+Li）=O

克服安培力做功的平均功率P三?

[4

联立解得叫sg+5

也

③若二二小，结合上述分析知，线框从刚进入n区域到完全离开II区域的过程，始终受安培刀，可能一直

减速，也可能先减速后匀速，则〃边进入区域H时的速度与面边离开区域n时的速度不可能一致，故不

存在此种情况。

【典例】3（2025・山东口照市二模）如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，窄轨MM、之

间的距离L尸1m,光滑的宽轨。回、02P2之间的距离乙2=2m。窄轨以垂直于轨道的虚线为分界

线，左侧粗糙，右侧光滑。窄轨左侧通过开关Si连接一电容C=0.02F的不带电的电容器（耐压值足够

大）。宽轨和窄轨连接处有开关S2,宽轨左侧接有电阻尺=10Q。质量"尸1kg的金属棒岫静止在窄轨

上.，c【Z?棒到44的距熟人=4.5m,与窄轨粗糙部分间的动摩擦因数〃=0.2；质量M=2kg的金属棒cd静

止在宽轨上。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小B=10T的匀强磁场中。现闭合，，断开

S2,给岫棒施加一与导轨平行、大小为5N的恒力尸，当其运动到A02时，撤去尸，同时断开S1,闭

合Sz。窄轨和宽轨足够长，"始终在窄轨上运动，川棒始终在宽轨上运动。两金属棒在运动过程中始

终与导轨垂直且与导轨接触良好，棒连入电路中的电阻长=20。，油棒及导轨电阻均不计。重力加

速度g取10m/s2o求：

f匕

P、

（1）恒力C的作用时间;

⑵〃棒从开始运动到匀速的过程中，通过4棒的电荷量：

(3)〃棒从开始运动到匀速的过程中，c〃棒中产生的焦耳热。

【答案】(1)3s(2)0.1C(3)1J

【解析】(1)先闭合开关断开升关S2,设金属棒必在产作用下加速度为m根据牛顿第二定律可得：

-ma

I=^,=CBI^v=a

AtAt

解得为第-襁2

则金属棒ab在拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，根据

解得占3s

(2)当金属棒而运动到402处时，其速度为加v0=«/=3m/s,此时撤去恒力F,同时断开开关闭合开

关S2，金属棒仍在安培力作用下向右减速，金属棒cd在安培力作用下向右加速，最终都做匀速直线运动,

设金属棒而、cd匀速直线运动的速度分别为也、也，根据动帚定理可得：

对金属棒〃〃：

对金属棒cd：似L2&=MV?

对整个闭合电路，，山、c〃棒匀速时有

BLm-BL2v2二。

解得v)=2in/s,v2=1m/s

对金属棒cd：BIL2At=BL灯Mv2

解得尸0.1C

(3)金属棒〃在向右加速的过程中，设系统产生的焦耳热为Q,根据能量守恒可得：

。二如()2_1叫2TM吭2=］5J

则金属棒〃产生的焦耳热Q二鸟。=1Jo

计算题培优练电磁感应中的综合问题

［训练1］

［分值：28分］

1.(12分)(2025•四川攀枝花市三模)如图所示，一个匝数〃=1000、面积S=100cm2的水平圆形线圈内有竖直

向上的匀强磁场⑤，磁感应强度大小随时间变化关系为6产4+0.25/。线圈与右侧的平行导轨MM通

过开关K相连，导轨MN、MTV构成的平面为水平面，其内有竖直向下的匀强磁场所，其右侧有倾角族30。

的倾斜平行导轨PQ、P'Q',N与P、M与P，通过一小段(长度不计)绝缘圆弧平滑连接，PP\MV，连线均与

所有导轨垂直。倾斜平行导轨尸。、PQ'内有与两导轨构成斜面垂直向下的匀强磁场合，其顶端。与。'之

间接有定值电阻凡现有一长L0.5m的导体棒疑垂直干导轨睁止放置在水平导轨匕与导轨接触良好.

闭合开关KB,导体棒由静止开始运动，到达水平导轨右端前已经匀速。已知导轨间距均为L、阻值均不

计，导体棒。虫线圈、定值电阻的阻值均相同，导体棒"的质量"7=0.1kg,匀强磁场当、B3的磁感应强

度大小均为1T,重力加速陵g取lOm/sz,小计一切摩擦，求：

(1)(3分)闭合开关前线圈产生的感应电动势E；

(2)(5分)从闭合开关到导体棒第一次运动到NM的过程中，导体棒产生的焦耳热Qi；

(3)(4分)若导体棒第一次冲上倾斜导轨经过时间片1.7s后又返回导轨底端，求这段时间内导体棒产生的焦

耳热。2。

【答案】(1)2.5V(2)0.625J(3)0.31875J

【解析】(1)对圆形线圈，由法拉第电磁感应定律有七=，若二〃誓

其中等=0.25

at

代入数据得E=2.5V

(2)导体棒他在到达NN向已匀速，设匀速时的速度为力，贝I」有0=々"尸"

解得v\=5m/s

对导体棒a〃从开关闭合到匀速，取水平向右为正方向，由动量定理有与辽△仁〃2-0

设这段时间内通过导体棒的电荷量为4,有达/=，/

圆形线圈、导体棒他的电阻相同，由能量守恒定律有后能二屈尸2+2Q]

解得。尸0.625J

(3)从导体棒〃〃冲上斜面到再次返回斜面底端，全程通过回路的电荷量为零，可得全程安培力的冲量为零。

设导体棒返回斜面底端时的速度为生，取沿斜面向上为正方向，由动量定理，O=mv2-invi

解得功二-3.5m/s

导体棒附和定值电阻R的阻值相同，在该过程中，由能量守恒有如22=202

解得02=0.31875J。

2.(16分)(2025・山东卷・18)如图所示，平行轨道的间距为L轨道平面与水平面夹角为a,二者的交线与轨

道垂直，以轨道上。点为坐标原点，沿轨道向下为工轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域I、II,区

域I(-2LWx<1)内充满磁感应强度大小为8、方向竖直向上的匀强磁场；区域【1。20)内充满方向垂直轨

道平面向上的磁场，磁感应强度大小M斗产hr，用和刈均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间/均匀

增加的匀强磁场和随x轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为〃?、边长为L、电阻为R的匀质正方形

闭合金属框印好放置在轨道上，pq边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动,

磁场上、下边界均与x轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g,不计自感。

（1）（6分）若金属框从开始进入到完全热开区域I的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率I，和释放时

“6/边与区域【上边界的距离s；

（2）（10分）金属框沿轨道下滑，当^边刚进入区域II时开始计时（片0）,此时金属框的速率为如若

女尸陪曾，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，边移动的距离4

1%宓】（\严g'tana而勺/^E一mR%

1

口荣J（^2Lzcosa28七34a（,忆后

【解析】（1）金属框从开始进入到完全离开区域I的过程中，金属框只有一条边切割磁感线，所受安培力水

平向左，则切割磁感线产生的电动势E=8Lvcosa

金属框中电流

金属框做匀速直线运动，则BILcos圻〃？gsina

解得金属框从开始进入到完全离开区域I的过程的速率-鬻吧

B2L2cosa

金属框开始释放到P，/边进入磁场的过程中，只有重力做功，由动能定理可得"侬sina=1〃M

可得释放时网边与区域I上边界的距离5忌=需黑

⑵当边刚进入区域H时开始计时（仁0）,设金属框^边到O点的距离为x时，金属框中产生的感应电动

势E若总留乂也瑞台出+心力乂J其中v..=^

此时金属框中的感应电流

金属框P夕边受到沿轨道向上的安培力，大小为F契尸伙"+k式x+L）］IL

金属框gf边受到沿轨道向下的安培力，大小为6安2=（粒+自工）〃

则金属框受到的安培力FyFh-Fg

代入3陪兽

24

k2Lvn

化简得/安二川gsinan-------

R

当金属框平衡时/安=〃?gsina,可知此时金属框速率为0。

则从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，根据动量定理可得〃伊in

24

k2Lvu

即------Ar=//zA\-

R

对时间累积求和可得■空担=0而心

R

可得上鬻。

［训练2］

［分值:27分］

1.(12分)(2025•四川成都市二模)如图所示，将电阻为R=0.02C、质量为〃.0.01kg的单匝正方形闭合线圈

他cd水平放置在顺时针运行的水平传送带的最左端，其边长为占0.1m,边界MMPQ与传送带运行方向

垂直，在MN、PQ区域内加■个垂直于传送带平面向下、磁感应强度为8=0.4T的匀强磁场，MN、PQ边

界间距为占0.26m,线圈在运动过程中左右两边始终与磁场边界平行，其与传送带间的动摩擦因数为

〃=0.2,线圈a〃边进入磁场区域前已和传送带共速，传送带的速度为m/s,/=0时刻，线圈a〃边与MN

重合，八二0.2s时刻，线圈cd边与历N重合，打时刻线圈岫边与PQ重合，已知重力加速度g取lOm/sZ,

最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：

,小Q、

步户/力

6y看6(。/

(1)(2分)片0时刻，线圈中的感应电流大小；

⑵(3分)八时刻，线圈的速度大小；

(3)(4分)“；

⑷(3分)0~口时间内，线圈中产生的焦耳热。

【答案】(1)2A(2)0.6m/s(3)0.4s(4)0.0052J

【解析】(I)UO时刻，线圈中的感应电动势为E=8/i，o，线圈中的感应电流大小为

R

解得1=2A

(2)八时刻，设线圈的速度大小为巧对线圈进入磁场的过程，以水平向右为正方向，

由动量定理有-痴〃1+"用gzi=/nv-mvo

又7=萼，/三力1

联立解得v=0.6m/s

(3)人时刻开始，线圈在摩擦力作用下做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有〃“尸陷

解得<7=2m/s2

根据速度时间公式有f后尘？=0.2s

a

根据速度位移公式有xin=V°-^-=0.16m

2a

又d=(+xui=0.26m

即线圈与传送带共速时，，沿边恰与PQ重合，则有打二八十/加

解得；2=0.4s

(4)八~6时间内，线圈中隹耳热为。：对线圈，0〜八时间内，根据动能定理有1%+卬讴/=］〃己］202

又Q=-WA

解得2=0.0052J。

2.（15分）（2025・河北卷・15）某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供IOCX）A的恒定电

流，水平固定的平行长直导轨处十垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝

缘的无人机。初始时a静止于处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起

运动，损失动能全部储存为弹性势能。当