指数函数 重点考点 专项练-2026年高考数学一轮复习备考

指数函数重点考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.设集合人=3|2'<8,工61<1,4=,6凶—1<工<2},则47笈等于（）

A.{0,1}B.{中<3}C.{x|-l<x<3}D.{0,1,2}

f（x+l）x<4

2.已知函数/*）=；；,，则/（2+log?3）=（）

A.8B.12C.16D.24

3.设直线尸切分别交曲线G：y=3"与曲线Q：y=3i于M,N两点,若点p在g上，满足LPMN为

等边三角形，则〃1=（）

A正B.友C.毡D.36

332

4.已知函数八幻的定义域为R,>'=f（x）-4c，为奇函数，y=/a）+2c"为偶函数，则/（%）的最小值

为（）

A.2GB.4x/3C.6x/3D.873

5.设函数/（"=3"一。）在区间（（）,£）上单调递减，则实数。的取值范围是（）

A.（f-1）B.[-3,0）C.（0.1]D.[3,问

6.若函数/"）=©言在区间（2，+8）上单调递增，则实数〃?的取值范围为（）

A.[—2,0）B.（-co,-2]C.（Y°,0）D.[2,+ooj

7.已知函数/（力=2卜叫一1为偶函数，记4=/（log°$3）,力=/（1。85）,C=/（2〃7）,则“也。的大

小美系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

8.高斯是德国有名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数''为；设xwR,用㈤

表示不超过x的最大整数，则)=[幻称为高斯函数，例如：lf]=-4,[L5]=l,已知函数/(x)=U，

设g(x)="*)],则下列结论错误的是()

A./(大)是奇函数B.g(x)是奇函数

C./(幻在R上是增函数D.冢幻的值域是{TO}

9.已知函数/0)二/7-2,若/(/叫+，。〃-2)+2:>0恒成立，则实数，〃的取值范围是()

A.(-2,1)B.(-12)C.(0.2)D.(2,4)

10.若正实数“，b»c满足，=Z?c，a"lna=c，则()

A.a>hB.a>cC.b>cD.c>b

二、多选题

11.设函数/(x)=2』+2i,则下列说法错误的是()

A./(刈在(0,+R)上单调递增

B.八幻为奇函数

C./(x)的图象关于直线工=1对称

D./(X)的图象关于点(1,0)对称

12.已知函数/(刈="+(1+4(00),则下列结论中正确的是()

A.当时,函数“可单调递增

B.存在正数4，使得函数“X)为偶函数

C.函数的图象与直线丁二2有两个交点

D.若函数“X)在(0,+8)上单调递增，则实数。的最小值为存1

三、填空题

13.已知函数/(x)=2、j-2T是偶函数，贝心=.

14.已知/(力=2-*-2，一不，则/卜2-3)+/(2”<。的解集为.

四、解答题

_y+l

15.已知函数〃力a=一丁是定义在R上的奇函数

3+b

⑴求/W的解析式；

(2)求当x«0.1］时，函数g(x)=/(X)•(3、+1)+9、-1的值域.

16.已知函数/(x)=10g2匕与M为常数,函数83=2'+吐2-'.

⑴若/(X)为奇函数，求"的值.

⑵若函数g(x)在［0,8)上单调递增，求实数机的取值范围.

(3)在第⑴问的条件下,当〃7=0时，肛④叩,+00),函数y=f(g(x))在区间环w］上的值域为

［1暇(/送(当)+2-3/).1。氏(1&)+2-3川，求实数，的取值范围.

Q

17.已知函数/(X)是定义在R上的偶函数，当入20时，f^)=a-y-y\且/(-1)=§.

(I)求4的值，并求出了(X)的解析式；

⑵若Zf(x)—9'—97—1400在xe(O.xo)上恒成立，求见的取值范围.

18.已知函数〃力=不一+¥

⑴求函数“X)的值域；

(2)若x>0时，恒有/(x)v2,-2-'+—二，求实数。的取值范围.

2—2

19.已知定义在R上的函数/(幻=上5(〃>0且"1).

1+a

⑴推断函数的奇偶性，并说明理由:

⑵若/⑴=-相试推断函数/*）的单调性并加以证明；并求八幻+1-〃?=。在［-2,3］上有解时，实

数机的取值范围.

参考答案

题号12345678910

答案DDCADCCBAB

题号1112

答案ABDABD

I.D

【分析】依据指数函数单调性得出集合，再应用并集定义计算求解.

【详解】由于集合A=N2X<8,X€N}={I,2},B={XCN|-1<X<2}={0,I},

则AD8={0,1,2}.

故选：D.

2.D

【分析】依据分段函数的定义域.、对数、指数的运算可得答案.

【详解】由于3<2+log23v4,则3+log?3>4,

3

^rtt/(2+log23)=/(3+log23)=2x3=24.

故选：D.

3.C

【分析】求出P点坐标，代入函数解析式求解.

【详解】由3'=洲得％=BP/W(Iog3m,m),由=)得x=log3m+2,即NQog?+，

所以|MN|=2,为等边三角形，如图，则尸(log3，〃+l,百)，

所以m-6=3*"'+T,解得力=三叵，

故选；c.

4.A

【分析】由奇偶函数定义，利用方程组法求解析式，再利用基本不等式求最值.

【详解】由y=f(x)-4e”是奇函数,得/(-x)-4eT=-/*)+4e，，

由y=/*)+2e，是偶函数,得f(-x)+2e~x=f[x)+2e,,

联立解得/3)=e'+3e-'i2Je'•3e*=2G，当且仅当e、=3e，即x=：ln3时取等号，

所以〃幻的最小值是2石.

故选：A

5.D

【分析】依据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.

【详解】由于函数y=3'在R上单调递增，而函数〃x)=35")在区间(0§)上单调递减,

则有函数)，二人(八一〃)=。一■!)—!在区间上单调递减，

因此^之^，解得所以实数。的取值范围是[3,y).

故选：D.

6.C

【分析】依据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围.

nt，、，、

【详解】由函数/")=已5的定义域为(-8,〃7)D(〃7，+8)，

设，则丁=占，

x-m

又,单调递增，

当〃?=()时，/=(),/(x)=e°=l,无单调性，不成立；

当〃?v0时，t=黄£在(-8,tn)和(〃入+8)上单调递增，

tn.、/、

即/(X)=在(y，/〃)和(〃?，+8)上单调递增，

所以(2,+8)U(〃Z,+8),则〃”2,即〃?<0;

当〃?>0时，/=m在(7,in)和(〃?,+R)上单调递减，

x-m

即,(力=©=在(70/〃)和(〃4+8)上单调递减，不成立；

综上所述m<0,

故选：C.

7.C

【详解】试题分析：由于/(x)为偶函数，所以/(—)=/(%),

2卜”叫-1=2卜-"-1|-工-7"=卜-叫/.m=0

.•./3=2惘-1”(只在［0,+00)上单调递增，并且。=/(|log“3|)=/(log?3),〃=/(kg5),c=/(0),

由于。vlogQvlogN人，故选C.

考点：函数的单调性

【思路点睛】本题考查的是比较大小相关学问点，一般比较大小我们可以接受作差法、作商法、单调

性法和中间展法，本题的题设中有解析式且告知我们为偶函数，即可求出参数机的值，所以我们接受

单调性法，经观看即可得到函数的单调性，然后依据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而推断

出几个的大小，然后利用函数的单调性即可推断出所给几个值的大小.

8.B

【分析】利用奇偶性定义及特殊值法推断A、B；依据指数函数、复合函数的单调性推断C,由函数

新定义及分式型函数、指数函数性质求g@)的值域推断D.

【详解】由/(-x)=--------=——=-/,*)且xwR,则/(%)是奇函数，A对；

1+2*2*+1

2

由，。)=1-7二7,依据指数函数、复合函数单调性易知：/“)在R上是增函数，C对；

1+2

24

由g(i)=[/a)]=u—§]=o,M-i)=[/(-i)]=n--]=-i.明显以—1)工—g(D,B错：

2

当x20时，1+2-2,WJ/(x)=l--?[0,1),此时g(x)=O：

2

当xvO时,lvl+2'v2,则/(x)T•昕？(1，。)，此时g(x)=T；

所以或幻的值域是{T,0},D对.

故选：B

9.A

【分析】将函数解析式变形，推断函数的单调性和奇偶性，利用奇偶性以及单调性解不等式即可.

o/2、|-er

【详解】由题可知，/U)=-^--x-2=-^-7-1-x-l=---x-1,

I1\I1I1

令且(外=/。)+1=与三-工，则g(-x)=+x=-+x=_g(x),

I1尸+le'+l

所以g(x)是奇函数.又由/(〃『)+f(〃♦2)+2>0,可得/(4)+1+"〃.2)+1>0,

即g(〃『)+g(〃?-2)>0,得g(〃『)>#(2-.

由双幻=匚7=一(C'+1)+2T=_]+二——一由于丁=-7，)，=一—1均为口上的减函数,

所以g(x)在R上单调递减,所以即〉+〃?_2<0,

解得一2<加v1,即实数州的取值范围是(-2,1).

故选；A

10.B

【分析】借助导数争辩函数单调性，进而得到函数值大小即可.

(详解】ah=be，=c,则bc\na=c,则〃Intz=1,则0=1.

则/=(e%)"=e，则a'=(e*)b=e=bc，则'=g

先比较a,b：作差a_b=e%-b'设f(x)=e,一x(x>0)，

i1i

求导/J)=——1v0,(x>0),则=「.x(x>0)在。+/)单调递减.

/(I)=e—1>0,f(2)=-2=y/c—>/4<0»故/a)=e；-x(x>0)有正负还有零•

即值有正负还有零，故不能比较大小.故A错误.

再比较a,c：作差〃-。二亚一与，设f(x)=e；-£(x>0),求导/"(x)=--:

bxx~x~

则x=l

I1

由于0<x<l=>—>l=»e-e'<0nfr(x)<0,则/*)在(0,1)单调递减.

x

i1

x>l=>—<l=>e-er>0=>f\x)>0,则/(*)在(l,+8)单调递增.

且/⑴=。，则/a)N0,g|J-c=ez-->0,即aNc.故B正确.

ab

最终比较〃，c,由于c==,假设〃=。=人满足题意，

b

假设〃>c,即即6>e，即〃〉人也满足题意，

b

假设即即/<e，即0<%<人也满足题意.

b

则Ac无法比较大小，故CD错误.

故选：B.

11.ABD

【分析】对于B,由于八刈=21+2-的定义域为R,但/(0)=5+2,0，故/。)不是奇函数；对于C,

只需验证/'(2-幻=/(幻是否成马上可；对于D,只需验证/(2-幻+/。)=0是否成马上可；结合C,D

可以推断A.

【详解】V/(x)=2t-'+2'-\

A/(2-x)=2,-*+2-,=/(x),

即"2-x)=/(》)，

即的图象关于直线x=称，故C正确，A,D错误；

••・由于/(x)=+2~的定义域为R,但/(0)=g+2工0,

・・・/(x)不是奇函数，故B错误.

故选：ABD.

12.ABD

【分析】分。=1、两种状况争辩，结合指数函数的单调性可推断A选项；取。=避二，结合函

2

数奇偶性的定义可推断B选项；取结合函数的单调性可推断C选项；利用函数单调性与导数

的关系求出。的取值范围，可推断D选项.

【详解】对于A选项，当a=l时，/(力=1+2，为增函数，

当时，。+1>2,则函数y=a、、y=(a+l)、均为增函数，

故函数/(x)=优+(1+a丫也为增函数，

综上所述，当时，函数/(x)单调递增，A对；

对于B选项，取二1,则〃+1=史上1,此时。(〃+1)=避二1.正里=1,

22''22

xx

所以a+1二｝,此时/、(x)=a'+=«、+(•!")=a+a~?

函数"D的定义域为K，〃7：)=Q+a'=/(x)，即函数f(x)为偶函数，

因此，存在正数4，使得函数为偶函数，B对；

对于C选项，当。之1时，由A选项可知，函数/(1)在R上为增函数，且"0)=2,

此时，函数/(X)的图象与直线)，=2只有一个公共点，C错；

对于D选项,由于f(x)=ax+(\+a)K(a>0),则r(x)=a,lnu+(“+l)'ln(“+l),

由题意可知。21时，函数/(x)为增函数，

当Ovavl时，由题意可知,对任意的x>0,/'(x)=a”na+(a+l)‘ln(a+l)NO恒成立,

即」n(a+l).2

只需(a+1)、In(a+1)2-axIna

Int?\a+\J

由于ae(O,l),则言y

由于x>0,则!’一1'e(O,l),所以「+即ln(a+l)N-ln〃=lnL

[a+ljIn«a

所以1可得片+a_|so,解得。工一^11或

a22

由于0<avl,所以>T4a<[.

2

综上所述，实数。的取值范围是与1,+oo],故实数a的最小值为近二1,D对.

L2)2

故选：ABD.

13.-1

【分析】利用特值法求出。值，再证明/")是偶函数即口J.

【详解】函数"x)=2、—a・2L“GR是偶函数,

/./(-1)=/(I),则2a=2-!〃，解得〃二T,

22

当〃=一1时，f(x)=2x+2~x,

/./(-x)=2力+2'=f(x)t故f(x)是偶函数.

综上所述，a=-\.

故答案为：—1.

14.{x|x<-3或x>l}

【分析】利用奇偶函数的推断方法及基本函数的单调性，可得/")为奇函数，且在定义上单调递减,

从而得到f_3>-2x,即可求解.

【详解】易知/(6=2--2'-文的定义域为R,又/(_力=2'-2一"+人•=—/"),

所以“X)为奇函数，又易知/(工)=2'-2T7=(4-2"T在定义上单调递减，

故由3)+/(2x)<。，可得到/(/一3)<-/(2力=/(一2"，

所以f-3>-2x,即/+2%-3>0，解得不<一3或x>l,

所以/任-3)+〃2”<()的解集为{x|x<-3或工>1},

故答案为：{x|x<-3或x>l}.

⑸⑴加警

⑵卜江

【分析】(1)利用奇函数定义及性质，列式计算求出〃，〃作答.

(2)由(1)的结论，求出函数雇工)的解析式，利用换元法转化为二次函数求出值域即可.

【详解】(1)由函数/(工)=喘，是R上的奇函数，则令/(0)=雷=0,解得4=3,

3-3在

所以〃大)=

V+b

3-3-x+,：3"i33-3t+l

VxeR,〃T)=-x

yx+b~b3x+\-3+b

即DxeR,43，+1=3'+〃，解得〃=1,

阅历证得a=3,〃=1时，/("是奇函数,

30-3、)

所以/%)=

1+3'

2(3Y1

(2)由(1)知，^(x)=/(x|-(3x+l)+9l-l=3-3A+l+9v-l=(3vy-3x3v+2=3r-^一一

令/=3。XG[0,1],则1KY3,

于是函数g(x)变为y=/-3f+2jw[l,3],

对称轴为/=|,所以)，=产-3/+2在[19单调递减，在[|,3]单调递增，

31

因此当1=3'二/时，葭矶加二一"当，=3'=3时，g(X)tnax=2,

所以函数g(力的值域为-；，2.

16.(!)«="1

(2)(5]

【分析】(I)依据函数为奇函数可得/(r)+/(x)=0,由此即可得解：

(2)令人＞也之()，依据增函数的定义可得网七)-8(w)＞。恒成立，进而可得出答案；

(3)依据(1)中所得函数解析式确定函数/(”的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再依

据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最终求解出参数的取值范围.

【详解】（I）由于/（X）为奇函数，所以〃T）+〃X）=O,

.I+OV..1-ar..\-a2x2八

即Hnlog,-------+k）g,--------=0,即Hnltog,---------=0,

--x-1x-\_\-x

所以三二-=1，所以/=1，所以。=±1,

\-x2

经检验4=1不符题意，

所以。=-1：

（2）令a>x3>0,

则g（项）-g⑸=2"券一2=2-2」（::二2:）

（2个々-〃）7（2。-2-）

243+44

由于函数g"）在［0,8）上单调递增，

所以g（x,）-g«）=b"-鬻"HL恒成立,

由于%20，所以9+勺>0,2">2”,

所以2项十三一〃?>0恒成立，即，〃v2位。，

由于马+3>0,所以2,尸，>1，

所以mWL

所以实数〃?的取值范围为（-85；

(3)由(1)ft|/(x)=log2^|=log2

x-11/}

2

令〃=1+,函数在（1,田）上单调递减,

x-1

又函数)，=IOg2〃为增函数,

所以函数外力在(1,+8)上单调递减，

当〃2=0时，g(x)=2'，函数g(x)在［1,+00)上单调递增,且g(x)w［2,+8),

所以函数产/(J?(")在［1,位)上单调递减，

所以函数y=/(g(x))在区间［8,与］上的值域为,0^2',0§2，

又由于函数y=/(g(x))在区间［和占］上的值域为

[log2(r-^(x2)+2-3r),log2(r^(x1)+2-3r)],

叫2=l°g?U.g伍)+2-3/)

所以2T

2।+1

心82=心当(八gai+2-3。

1。氏答|=1%(八2-+2-3/)

即27,

2演+1

I。氏=I。氏(zf•28+2-3。

2VJ+1

=t-2X2+2-3i

2J

所以

2X'+1

=t-2x'+2—3,

l2V--l

令人=2*1£[2,y),

则关于〃的方程组=，为+2-3/在［2,田)上有两根不同的实数根,

I)—\

等价于关于X的方程4+(1-4f)x+3—3=0在［2,4<O)上有两根不同的实数根,

令力(力=1+(1-4，卜+3/-3,则函数在xw［2,y)上有两个不同零点,

当，=0时，〃(x)=x-3为一次函数，不行能有两个零点，舍去;

4r-l

当，〉。时，函数/?（x）的对称轴为X

2/

t>()

处1>2

2/

则仅2)=T-l>0无解;

当/<0时，函数/心）的对称轴为1=嚓

什<0

啖2

解得-1vrvO且/*――»

+3/-3>0

4/

综上所述，实数/的取值范围为1-1，-£|口卜；,0.

【点睛】关键点点睛：其次问，依据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区

间内有两个不同实根，是解决本题的关键.

3v-3-x^>0

17.⑴々=1,/a)=・

3~x-y\x<o

⑵（YO,8]

【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得。=1,再由偶函数定义可得其解析式；

（2）将不等式恒成立转化为求2W3'-3一r一47r恒成立问题，由基本不等式计算可得4的取值范

围.

1Q

【详解】⑴由于/（X）是偶函数，所以/（一1）=/⑴=34.=],

解得。=1,

当x<0时，可得T>o,Wf(x)=f(-x)=rx-3-(-x)=3-*-3X,

所以函数fW的解析式为/（%）=:

[3x-3\x<0.

（2）由（1）知，当入>0时，f（x）=y-3-x>0,

由于47"）一'―9-*—14K0在工£（0,y）上恒成立，

所以％<9、+"+14=W-歹）2+16-,

一3'-3-r3、-3-**3v-3-x

又由于31-3一+N2r-3一）•手写=8,

当且仅当3、-3-=-^―时，即x=log3（x/5+2）时等号成立，

3—3

所以尤$8,即>1的取值范围是（7,8].

18.（1）（-OO,-3）U（1,-H»）

（2）[-2,+oo）

【分析】（1）分x>0和x<0两种状况，结合指数函数的单调性即可求得值域；

（2）将/3<2'-2一、凳（化为（2，+2寸-（2'+2-，）+〃>0,利用换元法结合参变分别的思想

即可求得。的范围.

【详解】（1）/⑴的定义域为｛出=。｝,

2

当工>。时，/（zA-）=—+1，

由于4，>1，所以喜>0,所以/（司>1；

2

当x<0时，=

4-1

由于0<4、<1,-£-<-2,所以〃6<-3,

4-1

综上，可得函数/（"的值域为（-8,-3）51，+8）.

2

（2）由于x>U,2v-2-r>0./（x）=——+1

4-1

/（x）<T-Tx+a+4,即二一+1<T-Tx+a+4

J'>2X-2~X4V-1X-2~x

两边同时乘以2、-2r的2X2T+2r-2~x<（2、-2-）2+4+4

即4,+一（2'+）+