高考数学二轮复习讲义：三角恒等变换（解析版）

第十二讲：简单的三角恒等变换

【考点梳理】

1、两角和与差的三角函数公式

sin(a+P)=sinacosft+cosasin°sin(«-0=sin。cos夕一cosasin0

cos(a+/?)=cosacos£-sinasinpcos(a-£)=cosacos£+sinasin£

tana-tanJ3tana+tan/?

tan(a一1)=tan(a+/?)=

1+tanatanfl1-tan(7tanp

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosacos2a=cos2a—sin2acos2a=2cos2a-1

2tana

cos2a=1-2sin2atan2a=

1-tan2a

3、辅助角公式

asinx±〃cosx=J"+1sin(x±0)(其中tan^=—)

a

4、降累公式

,1+cos2cr1-cosla

cos-a=------------sin2a=

2~T~

【典型题型讲解】

考点一：两角和与差公式

【典例例题】

例I.（2022・广东汕头•高三期末）已知如。=走,“（巴,兀），则85（”当=（）

226

A.-1B.0C,1D.当

【答案】B

【详解】•.•sina=等,ae（T，兀），・••夕=与，故cos（a-*=cos]=0.

故选:B

471

例2.(2022•广东湛江•一模)已知cosa=—，0<a<-则sin[a+aj=()

52

A.立B.辿C.一2

101010

【答案】B

43

【详解】由cosa=-,0<a<—.得sina=-,

525

所以sin(a+a=2ina+旦。s”受x2+正&述,

V4J22252510

故选:B.

例3.（2022・广东汕头•一模）已知夕.0噂1,（anf^+^l=-|tan^,则吗8s2）=（）

k2J\4J3sinO+cos。

I35

A.—B.--C.3D.—

253

【答案】B

【详解】由。e（0,巳），得lan6>0,又lan3+C）=-二tan。，

243

tan^+tan—,

tan0+1

得----------=--tan19--tan<9

,八n3

1-tan0tan—1-tan03

4

整理，得tan6=3或lan。=-g（舍去）,

所以sinO=3cos。，乂sin2e+cos'e=l,。6（。，1）,

解得sin。=翅叵,cos。

1010

,rsin6^cos2^sin6^（cos2^-sin29}sin^（sin0+cos^）（cos0-sin0}

fix--------------=-------------------------=---------------------------------------

sin。+cos。sin0+cos0sin0+cos0

=如。（3。-疝M=噜（噜-零）=-|.

故选：B

【方法技巧与总结】

1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降哥与升幕等.

2.绐值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含己知角的式子表示出来，求解时要注意对

角的范围的讨论.

【变式训练】

._,,5兀、1ri

1.已知tan（a-----）=-,则tana=__________.

45

【答案】|

2

【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能九

5兀

/\tana-tan——.1,

5c兀4tancjf-lI33

tana---=----------=--------=一『?为程得tana=二.故答案为—.

a"…2"a522

4

2.12022•广东韶关•一模）若sin（笈-a）=-^,ae（0仁，tan（a+£）=；,则tan/?=.

【答案】y

【详解】因为sing—0=巫,a所以sina=巫，所以cosa=Jl-siYa=土叵,所以

710\2)1010

sina1

tana=-------=一.

cosa3

-

「八「/八、itan(cr+/?)-tana7Q1

又tan'=tan[(«+/?)-«1=----二——J-----=，1J=

L」]+tan(a+')tana]+117

23

故答案为:y

3.[2022•全国•高考真题)若sin(a+Q)+cos(a+夕)=2夜cos[a+f]sinp,则()

A.tan(a-/7)=lB.tan(a+/7)=l

C.tan(«-/7)=-lD.tan(a+4)=-l

【答案】C

【详解】

由已知得：sin6rcos/y+cos(2sin+cosacos/?-sin(2sin/?=2(costz-sina)sin",

即：sinacos/7-cosasin/y+cosacos/y+sinasin/7=0,

即：sin(a-4)+cos(a-⑶=0,

所以tan(a-/7)=-l.

故选:c

4.已知sina--瓜,

COS(«-/?)=且0<a<—,0<夕<—,plijsinp=()

7~5~f44

A.妪R11V10V15D.叵

0.--------\r-z•-----

35353535

【答案】A

【解析】

易知sin^=sin(。一(a-/?)),利月角的范围和同角三角函数关系可求得cosa和sin(a-/?)，分别在

5(。-用=巫和-姮两种情况下，利川两角和差正弦公式求得sin夕，结合夕的范围可确定最终结果.

55

【详解】

sina-<—.0.0<«<—,.,.()<«<—,cosa-Vl-sin2a=-.

72447

又0＜分＜平，/3,：.sin(a-^)=±^l-cos2(a-^)=±

当sin(a-/?)="5时，

2底M515x/l5

sin//=sin(ar-(tz-//))=sinacos|a-/7)-cosasin(a-/7)=—X

757

0</<多，「.sin6>0,.七由夕二―巫不合题意，舍去;

435

,同理可求得sin/?=等，符合题意.

^1sin(a-/7)=-

5

综上所述：sin0=亚.

35

故选：A.

15°-^j=tan

5.已知sin210。，则疝（60。+0）的值为（)

A192

A-3BD.

-4c-53

【答案】A

【解析】

=x/3进而得到8s[15。*6（3。。-。）=；

根据题意得到311（15。一|cos从而有

-T9

sin(60°+«)=sin[90。-(30。-叨=cos(30。-e).

【详解】

Vsin15°--=(an210°,

2J

sin150-—j=tan2100=tan(1800+30o)=tan30°=^y,

k2)

则cos

229

cos(30°-flf)cos2150---sin2150--

22)3

:.sin(60o+«)=sin[90°-(30°-^)]

=cos(30°-a)=^,

故选A.

考点二：二倍角公式

【典例例题】

2

例1.（2022•广东中山•高三期末）若sina=y,则8s2a=,

【答案】g

【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.

【详解】cos2cr=l-2sin2a=l-2x

故答案为；—.

例2.（2022・广东清远•高三期末）已知tana=2,则MT+_

sin2a

答案】

sin(a-；Jcos(a+(J1(sjna-COs«)(cosa-sina)

【详解】

sin2a2sinacosa

-sin2a-cos2cr+2sinacosa-tan2a-l+2tancrI

=——

4sinacosa4tana8

故答案为：-：

o

例3.若ae(0,g),tan2a=则tana=()

I2J2-sina

A.巫B.@C.在D.萼

1553

【答案】A

【详解】

COST

tan2a=

2-sina

csin2a2sinacosacosa

二.tan2a=--------=----------；——=----------,

cos"1-2sin-a2-sina

‘八乃1八2sina1.I

*.o,G0,—,「.cosaHO,/---------；—=---------,解得sina=一,

I2)l-2sin2a2-sina4

r———\f\5sina715

**.cosa=-sin*ex=-----,「.Ianex=-------=------・

4coser15

故选:A.

【方法技巧与总结】

三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角（名），化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联

系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.

【变式训练】

1.(2022・广东汕头•一模)已知tan(夕+!|=-枭皿，则吗8s2：=()

I2JI4)3sin。+cos。

I35

A.—B.--C.3D.—

253

【答案】.B

【详解】由。e(0,£),得lan9>0,又lan(J+工)=一二tan。，

243

tan£+lan一

2tan0+1

得4——tan0,即--tan<9,

，八兀

1-tan8tan—31-tan03

4

整理，得tan6=3或lan。=-g（舍去）,

所以sin6=3cos。，乂sin2e+cos，d=l,。£(0,1),

解得sin。=cos。=,

1010

,,sin6^cos2^sin6^(cos2^-sin29}sin^(sin0+cos^)(cos0-sinO')

fix---------------=---------------------------=-------------------------------------------

sin。+cos。sin0+cos0sin0+cos0

3

=sin0(cos0-sin0)=

5

故选：B

•广东韶关•二模)已知则y+0+1

2.(2022sina+cosa=l所)

52sin~a+sin2a

A.-史,1752525

C.D.

24242424

【答案】.c

124

【详解】由题知sina+cosa=-，有2sinacosa=-----,

525

tan(乃+a)+1tana+1sin«+cosa125

所以----------------X

2sin2a+sin2a2sina(sina+cosa)cosa2sina(sin«+cos£z)-2sinacosa~"24,

故选：C.

3.12022•广东佛山•二模)已知sina--1=^-,则sin%=___________,

I4j3

【答案】|

【详解】sinfa--=-sin--«!=—

k4)14J3

所以sin|（一akV2

厂3

所以sin2a=cos(彳-2aJ=cos2?71一

\4

故答案为：I

4(2022•广东肇庆•二模)若sine+cos0=-X5,则sin26=

5

【答案】|4

【详解】丁sin。+cos8=-^■工，

5

、,9

，(sine+cose)~=l+2sin^cos^=-

4

所以sin26=2sin6cos。=—.

J

4

故答案为：y

5.（2022•广东深圳•二模）已知tana=3,则cos2a=

4

【答案】

4

【详解】解：由题意可知：cos2cr=2cos2a-l=2x--——

tan«+15

1-tan—

6.若sina=-3,且aw(兀,3兀］则;一F(

TJ,)

5I1+tan

2

A.iB.c.2D.-2

2

【答案】D

【详解】

.aa3a

2nsin—cos2tan

a323

sina=2sin—cos—=故------———

.a，a，a.55

225sin~—+cos—tan--+1

222

,a

1-tan—

ac.r(3兀、..a.

可解得lang=-；或tan—=-3,7c,—1,故tan$=-3,故；一三-2

2

I+tan-

2

故选；D

/

，）二:，则cos（2x-9）=（）

7.已知sin--J

16

7B.-C.一巫D.巫

A.一

8844

【答案】B

【详解】

因为"}-sin%-今｝所以sin1%_*）=一；，

(71\j2m=“小」]=词』△.

cos2x—=cc

I3J[I6〃I6JI4；8

故选：B.

乃、c（乃）12,、

8.已知一耳L且cos[a-wj=]，贝Ijcos"=（）

A6B.土在C.|D.在

2222

【答案】D

【详解】

i-r-1.134Jr7t

因为音，所以----<a一一<—

444

又；

8s(T)=所以a_f=_g,所以

4312

7r\71\3

所以cos2a=cos|----=cos—=—

<6j62

故选:D

z

.7VY=（,则cos（2aj）=（）

9.己知sin—+£

\J

.23

A.王B.~C.柜D.一区

2555

【答案】B

【详解】

因为sin(?+a>（4）（吟1

16）I6）5

=cos2（a一看）=2cos2（a-^）-1=2x-1=-^1.

所以cos2a

故选:B.

1().已知sin(45o+a)=(,45°<a<135°,则cos2a=(

)

A.”B•得c-iD--i

25

【答案】B

【详解】

3

解:因为45°vavl35。，所以90。＜。+45。＜18（）。，又sin（450+a）=一,

5

所以cos(45°+a)=-^1-sin2(45°4-a)=

3/424

所以sin2(45°+a)=2sin(450+a)cos(45°+a)=2x-x——

5、525

2474

即£由（90。+2g）=-言，所以cos2a=一六

故选：B

【巩固练习】

一、单选题

1.已知角。与角夕的顶点均与原点。重合，始边均与K轴的非负半轴重合，它们的终边关于.1轴对称.若

3

cosa=-,则cos(a+4)cos(a-p)=()

7\_

A.——B.C.D,i

2555

【答案】A

【详解】

3

因为a与夕关于x轴对称,cosa=-

5

所以a+4=2k兀,ks7八

则COS(a+/)=l,sina=-sin力，cosa=cos/?=-3,sin"

55

44

当sina=一时，sin/?=—

55

33447

cos(a-/7)=coscrcos/?+sinasin/?=--------------------

555525

44

当sina=——时，sin/?=—,

55

cos(a-/7)=cosacos/?+sinasin/?=----^-^=-^

所以cos(a+/)cos(a-0)=-京,

故选：A.

2.已知sina+cos〃=l,cos«+sin/?=x/5,则8s(。一夕)=()

A.0B.gC.在D.1

22

【答案】C

【详解】

因为sina+cos/?=l,cosa+sin0=G，

两式平方相加得：2+2(sinacos/?+cosasin/?)=4,

jr

即$in(a+〃)=l,即a+/=]+2E«eZ,

IT

贝iJP=]-a+2E次cZ,

故£由。+85£=I即sina+cos(]-a+2E)=l,keZ、即sina=g.

G

cosa+sin£=6即cosa+sin(5-a+2E)=6,keZ,即cosa=——

2

故cos(a一夕)=cos[a--a+2履)]=sin2a=2xgx去=—,

2

故选:C

3.已知tan(a+：)=3,tan(a+,3)=；,则tan^=()

A.--B.-C.ID.2或6

77

【答案】A

【详解】

因为tan(""=3,所以三翳=3,解得tana=?

又".a”、)=$1所~以痴左-3「⑪/+⑶八一-司It二an(忌a+黄⑶-丽tan菽a3-2_»

.11~7

1+-X-

32

故选:A.

4.公元前6世纪，占希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618,

这一数值也可以表示为〃z=2sinl8。，若/〃2+〃=4,则一幽—=()

2sin2270-l

A.—4B.-2C.2D.4

【答案】B

【详解】

加册_2sinl8074-4sin2110=2sin180-2cos180=2sin360=_2

2sin2270-l_2sin227°-l-cos54°--sin36°-

故选:B.

5.若2cos2(a-1)=l+cos2a,则lan2a的值为()

A.一巫B.BC.一6D.6

33

【答案】D

【详解】

」+sin5且in2a8s2a+3sin2a

2cos2=2—cosa+——sina

\222222

I

由1——cos2cjf+—sin2a=1+cos2a，可得，sin=3cos2a

2222

又cos2a¥0,则tan2a=6

故选:D

6.若0<a<3一]</?<0,cos仔+a=；,cos(y卜冬则cos(a+f卜(

石厂5&D

Kx•娓

A-TB3---------99

【答案】C

【详解】

因为Ova/v/7<0

所以？+ae

因为cosj/+a]=1,cosf---]=—,

(4)3142J3

臼•(江,、2&.(7Vx/6

所以sin—+a=----,sin-----=—,

U)3U2)3

(0、\g,2近a56

贝hlliljcosa+—=-x——+---x——=----.

L2j33339

故选：C

二、多选题

.tan«B.../

7.已知a£（4,24），sina=-------=tan—,贝IJ()

22

A.tana=△B.cos«=-C.(an/?=4\/3D.COS/?=y

2

【答案】BD

【详解】

eu.tana_1_

因为sina=tanacosa=-------所以cosa又。«/2不），

2

所以sina=-^^,tana——73故A错误，B正确.tan2=-Y3,

222

2tan2〃〃

cos，2与一si.n2今।1-tan1P今j

所以tanp=--------彳=-4J5,MR一7-----------

2…吗7’

1-tan^sin—+cos—

222

故C错误，D正确.

故选：BD.

8.下列各式的值为g的是（）.

71

tan

.17兀•兀兀271.o7t8

A.sin--Bn.sin—cos—C.cos"-----sin"—D.

6,，it

12121212I-tan'—

8

【答案】AD

【详解】

..1771...71./71.兀13,•人口西工

A：sin-----=sin(2冗+兀—)=sin(x——)=sin-=-,付合题意；

66662

B:sin-^cos-^=lsin(2xjl)=lsin^=l,不符合题意；

C：cos2--sin2—=cos(2x­)=cos—=—,不符合题意；

12121262

n

tan—]..

D：-------=--tan(2x^)=-.tan-^=-,符合题意，

1-tan2-2823452

8

故选:AD

9.已知cos(a+£)=-五,cos2a=-±,其中①[为锐角，则以下命题正确的是()

55

30/5

A.sin2a=-B.cos(a-£)=------

5''5

C.cosacosp=x/3

D.(anatan

【答案】AB

【详解】

4Tt

因为cos2a=-g,0<a<—,:.0<2a<n,

所以sin2a=J1-cos?2a=(,故A正确：

因为cos(a+/)=-¥，<兀，

所以sin(a+户)={"cos?(a+0)=,

所以cos(a-〃)=cos[%~(a+/?)]=cos2acos(a+〃)+sin2asin(a+J3)

4)(32y/52石

—X-------+—X----------=--------，故B正确;

I5）、555

cos(a-/7)=cosacos/?+sincrsinp=-----①，

5

cos(a+/3)=cosacos/3-sinasin^=--②，

由①+②得，2cosacos/7=1g，解得cosacos//=言；故C不正确;

由0■②得，2sinasin〃=,解得sinasin〃=；

3x/5

tanatan/=sinasin,=_^=3,故口不正确.

cosacos々V5

1()

故选：AB.

三、填空题

10.若3sina-sin夕=>/[5,。+夕=],则sina=,CDS2/7=

37104

【答案】

105

【详解】

a+/?=y,sin/7=cosa,即3sina-cosa=屈，

即阿噜sina一斛a*,令⑥皿噜,cos"噜,

则厢sin(a-O)=M,・・.a-9=1+2后乃，keZ即a=0+—+2k7r,

2

=c°se=亚

sina=sinB+—+2k兀

210

4

则cos2/7=2cos2p-\=2sin2a-1=—.

【详解】

兀7171

因为0<a<],—<—-a<—

444

7C71.兀

——asin—

444

二旦巫一叵、旦=江,所以sina=--

626266

历+1所以sina_47-1

cosa=yj\-(sina)-=--------,77lYAlunCt---------——f=—»

6cosa,17+1

717-1

贝1」三工=^^=也

1+tana717-I51

M+l

故答案为：生叵

3九2冗

12.已知6cos(二-a)+cos(/r+a)=-l,则cos(2a——-)=

23

【答案】-；

【详解】

因为6cos(-----a)+cos(4+a)=-6sina-cosa=-1

2

-71=-cos2

2

故答案为：~—

13.sin(夕+75)+cos(6+45)-\/3cos(^+15)=.

【答案】0

【详解】

sin(19+75)+cos(9+45)-V3cos(6>+15)

=sin(^+15°+60°)+cos(6>+45)->/3cos(^+15)

=sin(^+15°)cos60°+cos(6^+15°)sin60°4-cos(6^+45)-Gcos(0+15)

=-sin«9+15°)+—cos(6>+15°)+cos(<9+45)-Gcos(8+15)

=-sin«9+15°)--cos(6>+15。)+cos(6+45°)

22

=sin30°sin(。+15°)—cos300cos(0+15°)+cos(。+45°)

=一cos(6+45°)+cos(，+45°)=0.

故答案为：0.

四、解答题

14.已知0va<X,cos[a+f]=2.

2I4；3

(1)求sina的值；

(2)若g</<()，cos伶用=多求j的值.

【答案】⑴上也⑵a-尸=；

64

【解析】

(1)

2N/2

"V

⑵

(P始G

解：因为cos

(24)