小学五年级数学下册《正方体的展开图》深度探究导学案

小学五年级数学下册《正方体的展开图》深度探究导学案

一、教学背景分析

（一）教材分析

本课隶属于小学数学五年级下册第四单元“长方体和正方体”第10课时，是“图形与几何”领域空间观念培养的核心课例。教材从正方体特征的认识切入，通过“展开与折叠”的操作活动，引导学生将三维立体图形转化为二维平面图形，再借助想象与推理实现二维至三维的逆向重构。【非常重要】本课不仅为后续学习长方体、正方体表面积计算提供直观支撑，更承担着发展学生空间想象、几何直观、推理意识等核心素养的关键任务。教材编排遵循“具体感知—抽象概括—应用迁移”的认知路径，将11种正方体展开图以不完全归纳的方式呈现，突出“有序思考”与“分类思想”。【基础】

（二）学情分析

五年级学生已具备初步的立体图形认知经验，能识别正方体的面、棱、顶点，并理解“相对面”的含义。然而，从三维立体图形到二维展开图的空间转换是认知难点，学生常出现“面重叠”“缺口错位”“相对面相邻”等典型错误。【难点】学生的空间想象能力存在显著个体差异，部分学生需借助实物操作完成心理折叠，而抽象思维能力较强的学生已能尝试推理验证。因此，本课设计需兼顾直观操作与抽象思辨，为不同思维层级的学生搭建适切支架。【重要】

（三）设计理念

秉持“做中学、思中悟”的建构主义学习观，以“问题链”驱动深度探究。将静态的教材知识转化为动态的“探究图谱”任务群，引导学生经历“猜测—操作—验证—归纳—应用”的完整思维闭环。融合跨学科视野，引入美术学科的对称构图、印刷学科的版面设计原理，从美学与经济性角度审视展开图的多样性，赋予数学学习更宏大的现实意义。【热点】

二、教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.知识与技能目标

通过观察、操作、想象等活动，认识正方体的11种展开图，能准确识别展开图中相对的面，能根据展开图想象并还原正方体。【基础】

能运用“141型”“231型”“222型”“33型”四种模型对展开图进行有序分类，并借助口诀实现快速辨识。【重要】

2.过程与方法目标

经历动手剪开正方体纸盒并展开的过程，初步感知立体图形展开图的多样性；在分类、比较、归纳中发展抽象概括能力与模型意识。【核心素养关键点】

通过“无盖寻面”“跳格相对”等推理活动，掌握寻找相对面的两种核心策略（同行/列隔一相对、Z型两端相对），提升空间推理的严谨性。【非常重要】

3.情感态度价值观目标

在“一剪开千面”的操作挑战中体验探索的乐趣，在“立方体还原”的思维游戏中增强自信心。感悟数学与生活、艺术的紧密联系，形成积极的学习情感。【基础】

（二）核心素养渗透

本课重点培育空间观念、几何直观、推理意识与模型意识。通过“展开与折叠”的互逆活动，使空间观念从“感知阶段”走向“推理阶段”；借助网格定位法强化几何直观；利用“相对面唯一确定”的规律发展演绎推理；将11种展开图提炼为四大模型，实现数学建模的初步体验。【非常重要】

三、教学重难点与考评导向

（一）教学重点

掌握正方体展开图的11种基本形态，能正确识别展开图折叠后的相对面。【基础】【高频考点】

（二）教学难点

建立二维平面与三维立体之间的空间对应关系，特别是“Z”字型两端确定相对面的推理方法，以及排除“田字格”“L型”等非规范展开图的判断能力。【难点】【易错警示】

（三）考评方向

近年来质量监测与升学测评显示，本课考点高度集中于三类题型：一是从11种展开图中甄别合格展开图；二是标注展开图中指定面的相对面或相邻面；三是根据残缺展开图补全图形或判断折叠结果。【高频考点】命题趋势逐渐从“记忆辨识”转向“空间推理”，常以“不提供网格”的纯图形推理形式出现，对学生的心理旋转能力提出更高要求。【热点】

四、教学准备与时空规划

（一）教师准备

1.教具：磁性正方体展开图演示板、可拆解的大号纸质正方体模型、11种展开图磁性贴片、希沃白板动态课件（含3D旋转与折叠动画）。

2.学具：每位学生配备一个可剪开的正方体纸盒（棱长5cm以上，各面涂色或标注数字）、安全剪刀、彩色笔、方格纸。

3.空间规划：课桌拼成“U”型研讨区，便于小组观察与交流；教室前方设置“展开图博物馆”展示墙，用于张贴各小组代表性作品。【重要】

（二）学生准备

前置复习正方体面、棱、顶点的特征；剪开纸盒时务必沿棱剪，保留完整的一个面作为“母面”以记录展开路径；每小组自备三种不同颜色的荧光笔。

（三）课时安排

本课为1课时（40分钟），采用“大环节、小台阶”结构，其中操作探究约占25分钟，思辨提炼约占10分钟，巩固拓展约占5分钟。

五、教学实施过程【核心环节】

（一）唤醒经验，问题驱动——从“拆快递”到“学数学”

1.情境创设

教师呈现生活情境：快递员需将一个正方体礼品盒用一张包装纸完全包裹，不拼接、不裁剪，他应该选择哪种形状的包装纸？学生依据生活经验提出“十字形”“一排四个正方形”等猜测。教师顺势揭示课题，并指出：将正方体的表面沿某些棱剪开，铺平后得到的平面图形就是它的展开图。【基础】

2.揭示课题

板书“正方体的展开图”，引导学生明确本节课核心任务——像拆快递一样拆开正方体，探究所有可能的展开方式，并建立“展开”与“折叠”的双向联系。【重要】

（二）操作验证，初探模型——剪出“我的第一幅展开图”

1.独立剪开，感受多样性

学生用自备正方体纸盒，沿棱剪开一条“回路”，确保所有面连成一片且不脱落。教师巡回指导，特别提醒：不能剪断所有棱导致面完全散开，必须至少保留一组棱使面相连。【操作易错点】约三分钟后，教室“展开图博物馆”已张贴出二十余幅各不相同的学生作品。教师选择其中6幅典型作品（含正确与错误类型）投影展示。

2.初步分类，暴露前概念

组织学生观察投影中的展开图，尝试按“是否能够还原成正方体”为标准分类。学生凭借直觉判断，极易将“田字格”型（四正方形呈田字排列）误认为合格展开图，同时可能遗漏“33型”等非常规图形。教师不急于纠正，而是将争议图形保留在黑板侧栏，作为后续深度探究的靶子。【难点】【非常重要】

（三）有序探究，构建图谱——从“散乱”走向“模型化”

1.四大类型归纳【核心知识图谱】

教师利用希沃白板动态演示：一个标注了前、后、左、右、上、下的彩色正方体，沿特定棱组逐步展开，最终平铺成展开图。每演示一种类型，师生共同总结其特征。

（1）141型：中间一行4个正方形，上下各1个且位置可任意移动（共6种）。教师引导学生发现：上下两个面永远不会相邻，且中间4个面呈“链式”排列。【基础】【高频考点】

（2）231型（或132型）：中间一行3个正方形，上方2个、下方1个，或上方1个、下方2个，且“2”与“1”必须错开（共3种）。【重要】教师通过动画重点演示：若上方2个正方形并排，则它们不可能同时与中间3个中的两端同时相连，否则折叠时会重叠。

（3）222型：三行每行2个正方形，呈阶梯状排列，且相邻两行只错开一格（仅1种）。【重要】教师引导学生对比222型与231型的异同，发现222型实质是231型的对称延伸。

（4）33型：两行每行3个正方形，且两行错开一格（仅1种）。【重要】此型最为隐蔽，学生很难凭空想象。教师展示33型展开图的动态折叠过程，凸显“错开一格”的必然性。

2.口诀记忆，朗朗上口【重要】

师生共创记忆口诀：“中间四个一连串，两边各一随便放，141要记全；二三紧连错一个，三一相连一随便，231在中间；二二二像阶梯，三个两排一一连；三三错一对，两个三排肩并肩。”学生拍手诵读，并在方格纸上徒手画出四种类型的轮廓。

3.排除模型，建立边界

针对课前争议的“田字格”型，教师引导学生思考：为何田字格不行？学生通过折叠模拟发现，田字格中央四个正方形折叠后会导致两个面完全重合，无法构成封闭立体。同理，“L型”（五个正方形呈L状）因缺口无法闭合也被排除。师生共同总结：任何一列不能出现超过4个正方形，且不能出现“田”字凹槽。【难点】【高频考点】

（四）深度思辨，破解难点——探寻“相对面”的密码

1.从“相邻”走向“相对”【非常重要】

教师抛出核心问题：给定了展开图，如何快速找出折叠后正方体上哪两个面相对？学生先独立尝试，再小组交流。各小组汇报的方法五花八门，如“折纸还原法”“标记位置法”等。教师提炼两种通用策略：

（1）同行或同列隔一相对。在同一行或同一列中，如果三个或四个正方形连续排列，则两端的面折叠后相对（中间隔一个面）。例如141型中，中间4个正方形的第1个与第3个相对，第2个与第4个相对。【基础】

（2）Z字型两端相对。如果两个面不在同一行或列，但能通过一条“Z”字形路径连接，且路径中只拐两个直角弯，则这两个面折叠后相对。教师借助动画将Z字路径高亮显示，学生发现：无论图形如何旋转，只要找到形如“└─┘”的折线，其两端必定相对。【非常重要】【高频考点】

2.分层训练，巩固规律

（1）基础性练习：出示一幅标准141型展开图，标注数字1至6，要求学生快速写出每个数字的相对面。【基础】

（2）变式练习：出示一幅231型展开图，其中部分面已涂色，学生根据相对面规律推断涂色面的对面颜色。【重要】

（3）挑战性练习：呈现一幅“33型”展开图，其中相对面并不直观地位于Z字两端，学生需先将图形整体旋转，或重新划分行列，再应用规律。教师在此渗透“平移视角”的策略。【难点】

3.逆向推理，还原正方体

学生闭眼听教师描述：展开图中，面A的对面是面D，面B的对面是面E，面C的对面是面F。若已知A在正方体正面，D在背面；B在右面，则E在左面；C在上面，则F在下面。通过多次口述模拟，强化空间定位能力。【重要】

（五）分层练习，巩固应用——在“用”中检验“学”

1.基础性全员闯关

题目1：下列图形中，是正方体展开图的在括号里画“√”，并圈出错误图形的致命伤（田字、L型、一字长蛇等）。【基础】【高频考点】

题目2：右图是一个正方体展开图，将相对面用同一种颜色涂出。学生使用彩色笔在学案上操作，同桌互评。

2.综合性思维进阶

题目3：一个正方体六个面分别写着A、B、C、D、E、F，展开图如右，已知A的对面是C，B的对面是E，D的对面是F。若将展开图折叠，则与B相邻的四个面分别是什么？【重要】此题要求学生既知道相对面，又能推算出相邻面，综合考查空间推理。

3.拓展性项目挑战

题目4（跨学科融合）：美术课上，同学们需要设计一个正方体盲盒，要求展开图既节省纸张又能呈现连续图案。下图是两位同学的设计稿，请判断哪种设计能成功折叠？为什么？【热点】学生需运用本课知识分析图案衔接问题，体会数学对艺术设计的支撑作用。

（六）课堂总结，梳理提升——构建“展开与折叠”认知地图

师生围绕三个核心问题展开复盘：今天认识了哪些展开图家族？如何快速找到相对面？解决展开图问题最关键的思考方法是什么？学生将收获记录在笔记本上，形成“思维节点图”。教师总结：展开图的学习不止于此，未来研究长方体、圆柱、圆锥的展开图时，今日习得的“分类思想”“相对位置分析法”将同样适用，这是具有迁移力的“大观念”。【非常重要】

六、板书结构化设计

板书主体分为三栏。

左栏标题“正方体的展开图博物馆”，以磁力贴片动态展示11种标准展开图，并分列于“141型（6种）”“231型（3种）”“222型（1种）”“33型（1种）”四大区域，每种图形旁用彩色箭头标注相对面。【非常重要】

中栏核心规律区，上方板书“相对面秘诀”：①隔一相对；②Z字两端。下方板书“致命伤图谱”：田字格、L型、一字排，配以红色禁令符号。【高频考点】

右栏思维生长区，留白用于课堂现场生成的学生典型错例分析，以及“我的发现”贴条。整个板书呈现“范例—规律—反思”的逻辑闭环。

七、作业与拓展设计

（一）基础性作业

完成教材练习六第1、2、3题，要求用红笔圈出展开图中的“Z”字路径，并写出各编号的相对面。【基础】

（二）实践性作业【重要】

利用附页中的方格纸，设计一个创意正方体展开图，在六个面上绘制简单的连续纹样或表情符号，折叠粘合后形成一个完整的正方体“情绪骰子”。下节课举行“最美展开图”及“最意外展开图”双项评选。

（三）探究性作业【热点】【难点】

思考：将一个长方体（非正方体）纸盒沿棱剪开，得到的展开图有多少种可能？它与正方体展开图的研究思路有何异同？鼓励学有余力的学生以小论文或示意图形式呈现初步思考，培养类比迁移能力。

八、教学反思与评价

（一）预设效果与生成空间

本课以“剪—分—找—用”为主线，从具体操作逐步抽象至规律提炼。预设95%以上学生能辨识11种展开图并解决常规相对面问题，80%学生能独立运用Z字法解决非常规图形。课堂中需高度关注空间想象较弱的学生群体，允许他们借助学具反复折叠验证，同时鼓励优生脱离实物进行纯心理