湖南省长沙市2026中考第一次模拟考试数学试卷（附答案）

中考第一次模拟考试数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列数中是无理数的是（）

A.-B.0C.今D.0.1223

27

2.对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对

称之美惊艳了千年的时光.下歹J常见的运动图标是轴对称图形的是（）

Ay

天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播

种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（）

A.7IOXIO3B.1・|0'C.7.1x10,D.7.1x101

4.下列运算结果正确的是（）

A.4n*-3xv=1B.

C.V（^5）2=-5D.回旧;而

5.为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示

的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（）

W1

40

9

28

7

4.46

45

24

43

B.甲、乙两班视力值的平均数相等

C.甲、乙两班视力值的中位数相等

D.视力值的波动程度甲班大于乙班

6.如图，将一块有30°角的直角三角板的直角顶点（'放在一张宽为表州的长方形纸带边上.另一个顶点

.|在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边.4(.与纸带边所在的直线成4S角，则该三角板斜边18

的长为()

A.4cmB.40cmC.〈GemD.6cm

7.在平面直角坐标系中，已知点V(桁若点M在两坐标轴的角平分线上，则用的值为

()

A.±2B.14C.-2或-4D.2或4

8.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销

售量持续增长，如果第三个月钳售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3

倍，设第一月月销售量为。辆，第二个月销售量的增长率为X，则可列出方程是()

A.of1+x)2=3aB.*2x)2-3a

C.〃(I+2x)(I+3x)=3。D.a[\+x)(l+2x)=

9.对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质.上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断

都是正确的，设这个一次函数的解析式为『二代工0),则下列结论中错误的是()

A.A>0B.Ah<0C.k^b>QD.k=

io.如图,菱形1BCD菱形,IE-G,菱形的顶点G在菱形48CD的BC边上运动,GF与46

相交于点“，/£二60°,若CG二6,/〃二14，则菱形48(7)的边长为()

E

BD

G

C

A.1x75B.|6力c.18D.16

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.因式分解4/-4=.

12.已知一元二次方程一.5工.°-0的一个根是3,贝

13.在平面直角坐标系中，双曲线，，二4同时经过点2）,例4“+1）,则。的值为.

x

14.如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径0（?二25cni,用

长为12女m的连杆将点0与动力装置〃相连大小可变），点〃在轨道4"上滑动，并带动磨盘

绕点O转动，14R,0AS（km.若磨盘转动过程中，则点“到/的最小距离为.

15.如图，在ADHC中，/。・90,，按以下步骤作图：①以点/为圆心，小于4C的长为半径画弧，

分别交WH，于点E，/•；②分别以点/•.为圆心，大于;E尸的长为半径画弧，两弧相交于点

G；③作射线AG交8C边于点若（7）=5，45=12,则⑥彳8。的面积是

16.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3:丁「，

77=3：16=5,-3：3,7,16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数

是.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第22、

23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演

算步骤）

17.计算：（一；）4.（x-3f-4cos30o4-|3-Vi2.

I）,请从-2、-1、0、I、2中选择一个合适的值代入

18.先化简，再求值：-------I——-v

X+1\X^\

求值.

19.我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条

河的宽度yV,工作人员使用无人飞机通过设备在尸处测得M，N两处的俯角分别为〃6a和

二37。，测得无人机离水平地面的高度/0为240米，若。M,N三点在同一条水平直线上，则这条

河的宽度”V为多少米？（参考数据：山〃37yo.75,、晨173,结果保留整数）

QMN

20.如图，“8C中，的垂直平分线“.交8C于点£,交18于点片〃为EC中点,

/H.-AC.

（1）求证：4〃1BC；

（2）若//?36：求//NC的度数.

21.初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类''的知晓情况分为

A、B、C、。四类.其中，A类表示“非常了解”，8类表示“比较了解”，。类表示“基本了解”，。类表示

“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不

完整的条形统计图和扇形统计图.

“垃圾分类”知晓情况各类别人数条形统计图“垃圾分类”知晓情况各类别人数扇形统计图

根据以上信息解决下列问题:

（1）初三（1）班参加这次调查的学生有人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度

数为°;

（2）求出类别8的学生数，并补全条形统计图；

（3）类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃

圾分类''知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的

概率.

22.2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成

功.某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型.己知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5

元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个.

（1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？

（2）该飞箭航模店计划购进两种模型共10（）个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型

的售价为28元.设购进“神舟”模型。个，销件这批模型的利润为卬元.若购进“神舟''模型的数量不超过

"天宫''模型数量的、则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多

4

少？

23.己知：如图，在矩形48（7）中，E、F分别是边CD、/I。上的点，且4ELBF，AE=BF.

（1）求证：矩形.•2（7）是正方形；

（2）连接8£、EF,若DF2=AF"D，求证：ZDEF=ZABE.

24.在。8C中，8C为CX）的直径，，4（.为过C点的切线.

AAA

（1）如图①，以点"为圆心，8C为半径作圆弧交于点M，连结C”，若"f8C=66°，求

/4C"的大小；

（2）如图②,过点〃作CX）的切线/”：交.4（.于点〃，求证：EC；

（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若=求：>.“的值.

25.若次函数》-加丫+〃与反比例函数同时经过点/<1,3则称二次函数卜一小：・〃,人为•次

X

函数与反比例函数的“共享函数”，称点〃为共享点.

（1）判断F=2.rT与，=3是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”.如果不存在，请说

x

明理由；

（2）已知：整数阳，//,，满足条件/<〃<归,并且一次函数卜二（I♦加加+2与反比例函数

一二.存在,.共享函数“i•-m♦〃丁+10m"T2024,求m的值.

X

（3）若一次函数P二丫♦用和反比例函数、=",二L"在自变量X的值满足的“4"~6的情况

下.其“共享函数”的最小值为3,求其“共享函数''的解析式.

答案

1.【答案】A

jr

【解析】【解答】解：A、彳是无理数，此选项符合题意；

B、。是有理数，此选项不合题意.

C、1是有理数，此选项不合题意.

D、0.1223是有理数，此选项不合题意.

故答案为：A.

【分析】根据无理数的定义”无限不循环小数为无理数”并结合各选项即可判断求解.

2.【答案】A

【蟀析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是釉对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故答案为：A.

【分析】根据如果--个图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图

形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：710()()000用科学记数法可以表示为71-10,

故答案为：C.

【分析】科学记数法的表现形式为10,的形式，其中14时＜10,〃为整数，确定〃的愤时，要看把原

数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10

时.，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

4.【答案】B

【解析】【解答】解:

44"-因此选项A不符合题意；

»(-a：f-因此选项B符合题意；

(〈I5)：=155,因此选项c不符合题意；

D.43♦Jil=G+2J5=36因此选项D不符合题意.

答案为：B.

【分析】根据合并同类项法则，哥的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简以及二次根式的加减法的

计算方法逐项进行判断即可.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：甲班的数据为：4X.4.9.46.48,4.7,4^,46.4.7,

J平均数为：：(4*♦4夕+4.6U.8♦4.7♦4.5f4.6*4.7)=4.7；

中位数为：J(4.7<4.7)=4.7；

方差为:«4.7|：>(4,9-42x(4.6-4.7)2♦2x(4.7-4.74-(4.5-4.7)']0.015

乙班的数据为：48,4.7,47,5.0,4,9.4.4.4.7.4.4,

・•・众数为4.7,

平均数为：-(4.8+4.7+47♦、0+4.9*4.4*4.7*4.4)=4.7

中位数为：；(4.7<4.7)=4.7；

方差为：：[(4.8-4.7)+(49-4.7)：+(5。-4.7)‘一(44一4.7)：+3(4.7-4.7)[=0.04

故：乙班视力的众数为4.7,甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙

班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班;

・・・D选项描述错误；

故答案为：D.

【分析】从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中，立数，方差和乙班的众数，然后比较大小即

可判断求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：如下图所示，过点/作AQ.(T),

・・・/.〃7)=45。，

是等腰宜角三角形，

根据矩形的性质可得：.〃）：（D，

・•・4C-W42凡m，

在A.4HC中，Z.ACR90,/R30,

・・.彳月=2/。=2*2万二4661-

故答案为：B.

【分析】过点.1作,〃）.（7）,结合已知可得A.MD是等腰直角三角形，用勾股定理求出AC的值，在

RIAABC中，根据直角三角形中30。的锐角所对的直角边等于斜边的一半可求解.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：山点I在两坐标轴的角平分线上，

得m-3wX或m4-3m-X=0.

解得m4或〃，=2.

故答案为：D.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得答案.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：设第二个月销售量的增长率为x,则第三个月销售量的增长率是

根据题意得：u（l+2r）-3d,

故答案为：D.

【分析】设第一月月销售量为。辆，第二个月销售量的增长率为X,根据题意列方程即可.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：・・,函数图象经过点（2,0）,

2A+/＞=0,

即出「故D选项正确，不符合题意；

•・•函数图象不经过第二象限，

.•」＞0力＜0,故A选项正确，不符合题意；

.,•林＜0.故8选项正确，不符合题意;

:.k+b=—/>,

一

•:/><0,

.•・人+/)<0.故©选项错误，符合题意;

故答案为：C.

【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可.求解.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：连接AC.

•・•菱形ABCDs菱形AEFG,

JZB=ZE=ZAGF=60°,AB=BC,

.二△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a,

则BH=a-14,BG=a-6,

AZACB=60°,

'：ZAGB=ZAGH+ZBGH=ZACG+ZCAG,

VZAGH=ZACG=60°,

AZBGH=ZCAG,

VZB=ZACG,

.*.△BGH^ACAG,

BGBH

:.——二——,

ACCG

a-6o-l4

:.........,

a6

:、a2-20af36=0,

・・・a=18或2（舍弃）,

/.AB=18,

故答案为：C.

RGD//

【分析】连接AC,首先证明△ABC是等边三角形，再证明ABGHs^CAG,推出丁二不厂.由此构

ACCG

建方程即可解决问题.

11.【答案】4(.r>l|(.vI)

【解析】【解答】解：4V-4

=4(.r+,

故答案为：1).

【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因数4,「是先提取公因数4,括号内的多项式利用平方差公

式分解因式即可求解.

12.【答案】6

【解析】【解答】解：把代入方程r-5,r+a=0^9-15+a-O，

解得a=6.

故答案为：6.

【分析】把x-3代入方程：--5工+。=0得关于a的方程9-15♦。=0,然后解关于a的方程即可.

13.【答案】-2

【辞析】【解答】解：「双曲线«同时经过点*42),8(4。・1),

x

/.k=2a=4(a+1),

解得：a=2,

故答案为：-2.

【分析】把川〃,21,8(4“・1)的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可.

14.【答案】60cm

【解析】【解答】解：如图，当点0运动到。时，点，到/的距离最小,

由题意得：0480cm,(>QOQ25cm,OQ—ORR0125cm,

/.()P100cm,

由勾股定理可得：!\Av/叶()A:6(kni，

故答案为：6(iuin.

【分析】由当点。运动到。时，点〃到人的距离最小，由线段的和差PQ=OQI+OPI求得OPi的值，在

RsOAPl中，用勾股定理计算即可求解.

15.【答案】30

【解析】【解答】解：如图，过点D作DW48于M,

由作图可知,AG平分血C.DCU

由角平分线性质可知A/D二CD二5.

--1//♦/H/-12x5=30,

心22

故答案为：30.

【分析】过点D作。于M,由作图可知平分//MC，进而由角平分线的性质可得

MD=CD=5.再根据三角形的面积公式计算即可求解.

16.【答案】2701

【解析】【解答】解：设两个数分别为Ak,其中,且k为整数.

则(A•k'(A.I+A必♦I&)然.1,

设两个数分别为《751,其中A21,且k为整数.

则（A广（kif-（A+1Ul|

二稣，

解得A=2时，#=8.

・••除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数.

22且k为整数）均为智慧数；

除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的

数，特殊值2,6,10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如

下：

•・•假设4A+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n,使得;

；・41+2=2（”+1）=（/w+叫小-"）①,

•:⑶•n和m-n这两个数的奇偶性相同，

・•・等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数.可左、右两边

不相等.所以44+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数.

・•・把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而

且每组中第二个不是智慧数，

又.（20241|3=6741,

・•・第2024个智慧数在1+674川二676（组）,并且是第1个数,即（675x44-12701.

故答案为：2701.

【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为人k,其中

421.且k为整数，即智慧数二2&41，由于k为正整数，则和A-I就是两个自然数.要判断一

个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的

和与差.

17.【答案】解:^(x-3f-4cos30°^|3-Vi2

=4+1…五*2V5-3

【解析】【分析】先运算负整数指数次事、零指数次零和绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解

答即可.

■hTix*-4x+4

18.【答案】解：

=«2)13・(一中一)

_(x-2f"I

1+I3—.V*♦I

(2r)(2r)

_2-x

2+x'

Vx>l/o,(2*.v)(2-x)#O,

xx-1,［了十2,

2-0

当i—O时，原式--——1.

24-0

或当JTI时，原式二~।二।.

24*13

【解析】【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分化为最简分

式，然后根据分式有意义的条件把iI代入计算即可.

19.【答案】解：•・•?.』||0V,

PA

QMN

.­.ZP.V(?=^=37°,ZPA/t?=a=60°,

在RSPM0中,

=900,

嘴

PQPQ240

=8073»138.4（米）,

UnZPA/pUin60°8

在Rt八中，•・・ton/。、。=焉

240

720（米）,

lanZP.V^un37°

・•・"、=0.V-01，二320-I3X.4^1X2（米）.

答：这条河的宽度A八1X2米.

【解析】【分析】在和阳A〃QV中，利用锐角三角函数，求出QN和QM的长，然后计算出

MN的长即可.

20.【答案】（1）证明：如图，连接

VAB的垂直平分线E卜交RC于点、E，

.•・"二BE

VBEAC

・•・AE«AC>

•・・H为中点,

・•・1〃1RC：

（2）解：*・•AE=BE，/月工360

・・・/E48/B36。

AZAEC"IBaNR9

vAEAC

・・/C二.』EC72c

AB4C1800-ZC-ZS72°.

【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到d£=a匕再根据等腰三角形三线合一的性质即可完成

证明：

⑵结合（1）的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解.

2L【答案】（1）40；144

(2)解：B类学生人数为40-(4i1612)=18(人)，

补全条形图如下：

“垃圾分类”知晓情况各类别人数条形统计图

(3)解：列表得:

4I男2女1女2

男1--男2男1女1男1女2男1

男2男1男2--女1男2女2男2

女1男1女1男2女1--女2女1

女2男1女2男2女2女1女2--

由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、I名女生“有8种可

能.

所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为白=；.

【解析】【分析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得被调行的总人数，用360乘以C类别人数所占

比例即可得；

⑵根据各类别人数之和等于总人数求出B类别人数即可得出答案；

(3)应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可.

22.【答案】(1)解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个(-5)元，

解得「20.

经检验，K-2()是原分式方程的解.1+5-25.

答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟•”模型的进价为每个25元.

(2)解：.・•购进“神舟”模型a个，则购进',天宫"模型(100-。)个，

H-^(3525)a*(2K20)(100u)-2u*X00.

•・•购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的1.

4

/.as-(100-u|,

解得："420.

•/H12〃♦X00，42>0.

，当4=20时,2x20+800840(元)，

即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利涧，最大利润为840元.

【解析】【分析】⑴设“神舟”模型的进价是x元，则“天宫”模型的进价是(卜5)元，根据同样花费200

元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个，列出方程，解方程即可；

⑵根据题意列出函数解析式，根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的:，求出自变量的取

4

值范围，再根据函数的性质求最值.

23.【答案】(1)证明：•・•四边形4伙7)是矩形，

AZB.4D/ADE90,

；・/ABF+4FB90。，

VAE1BF，

；・DAEA/HB90。，

:•.加二ZDAE，

在和△/)"中，

乙4BF'2DAE

ABAF=ZADE-90,

BF=AE

，△曲，如写AAS),

，矩形.1次。是正方形；

(2)证明：如图，连接EF、BE,

AFD

・•・"二DE，

•・•正方形

•.AD»DC•BC^AB,ZD-ZC-W，AB\\（I）,

・•・DICE,

-DFZ^AFAD，

.DFDE

»・，

BCEC

VZ/W：-ZflCA90°,

:・dFDEsdBCE，

:・.DEF/CEB,

V.f/?||CD,

"ABE/CEB，

・・/ABE=4DEF・

【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得NABF=NDAE,结合已知，用角角边可证

△.tBFjD.IE,由全等三角形的对应边相等可得48=40,然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形

可求证；

（2）连接EF、BE,结合已知，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得

△FDE-ABCE,由相似三角形的对应角相等可得//）「尸CEB,再结合平行线的性质“两直线平行，

内错角相等''可求解.

24.【答案】（1）解：由题意知,BC-BM,

V£AB（=66°,

:・/BWC/RCM57r,

；.4CB90：

・•・IACM-ZACB-/BCM・90-33。

（2）证明:连接。，

A

8c为。。的直径，

AADC孙，

VK为过C点的切线，过点。作CX）的切线DE交.4C千点E,

：・DE（E,

：・ZEDCZECD，

ZEDC+&DE=时，/Ed4・90°,

・•・LA=LADl，

；・tE=DE，

•••AE-CE;

（3）解：连接解D,

由（1）（2）可得ZJ/X'二90。，［「二/）「二（工，乙4二/8（7）二90。-/8,

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taiuZKR-tanZ/<=—=----

4CD

，设BD・3x,CD«4x,则二

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…I6x…20x

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