第二十七章 相似 全章同步练习-2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章相似

27.1图形的相似

易错点睛

在比例尺是I：8000000的''中国政区'地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5cm,那么福州与上海之间

的实际距离是_________km.

【点睛】比例尺=鬻瞿,注意长度单位的转化.

A基础题夯实

知识点1相似图形的定义

1.下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、T,其中是相似形的为（)

甲乙

A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁

2.（2025福州）在如图所示的三个矩形中，相似的是（）

A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙

第2题图

知识点2相似多边形的性质

3.已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=3,b=0.6,c=2,则线段d的长为（）

A.0.4B.0.6C.0.8D.4

4.（2025广东中考）如图把AAOB放大后得到ACOD,则AAOB与ACOD的相似比是

5.（2025贵州中考）已知△ABCsADEF,AB:DE=2：L若DF=2,则AC的长为.

6.一个五边形各边的长分别为2,3,4,5,6,另一个五边形和它相似，目最短边长为6,则最长边的长为

B中档题运用

7.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似.求NG的度数和边BC的长.

8.如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画一个最大且与该四边形相似的图形.

9.（2025广东中考）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被

分为中外比，这个点称为中外比点.如图，点P是线段MN的中外匕点，MP>PN,MN=2,求PN的长.

MPN

10一般书本的纸张是从一张全开的原纸多次对开（将全张纸对折裁切后的幅面称为对开）得到的.如图，矩形AB

CD表示一张全开的原纸，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推…若各种开本的

矩形都相似，求蒋的值.

C综合题探究

11.（2025武昌区）如图.已知矩形ABCD,AB=6cm,BC=8cm,E,F分别是AB,CD上的点、且AE=DF=4cm,两动点M,

N分别从C,F两点同时出发沿CB,FE均以2cm/s的速度向B,E两点运动ts.当矩形CFNM与矩形AEFD相

似时.求t的值.

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

第1课时相似三角形的判定（一）

易错点睛

如图、AB〃CD〃EF厕下列结论正确的是（）

心

A.—AD=—BCHBC=DF（CD=BC

•DFCE•CEAD'EFBE

【点睛】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段才能成比例，弄错对应线段就容易出错.

A基础题夯实

知识点1相似三角形

1.如图,△ABCs/\AED,NAED=4）o,NA=60。,则NC的度数为

知识点2平行线分线段成比例

3.（2025乐山中考）如图"3,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为.

4.如图,AB〃CD〃EF,若今=：,则？的值为__________________.

Cr3Dr.

知识点3平行于三角形一边的直线截三角形，对应线段成比例

5.（2025青海中考）如图，在AABC中,DE〃BC、且AD=3,DB=2,贝！J与的值是

6.如图,AB〃CD,BO=6,DO=3,CO=2miJAC的长是

知识点4用平行线判定三角形相似

7.如图，在口ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为OC的中点,EF〃AB交BC于点F.若AB=4,则EF的

长为.

8.如图，在△ABC中,DE〃BC,AE=5,AD=3,CE=AB.求韵值.

B中档题运用

9.（2025长春中考改编）将直角三角形纸片ABC（NC=90。）按如图方式折叠两次再展开，则矍的值是

10如图,AB〃CD〃EF,AF与BE相交于点G,且OG=2,Q尸=8,1="则AG的长为_______

Dt6

11在口ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA,BC于点M,N；

②分别以点M,N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在/ABC内交于点0;③作射线B0,交AD于点E,

交CD延长线于点F.若CD=3,DE=2,则当二.

nr

12.（2025湖北模拟）如图,E是口ABCD的边AD上一点，连接BE,AC相交于点F,过点F作AD的平行线，交

AB于点G.若BF=2FE,FG=2,求BC的长.

C综合题探究

13如图，在4ABC中,AB=AC、AD平分NBAC,点E在AD上，射线BE交AC于点F.若兰=[4=1（）,求AF

LU2

的长.

第2课时相似三角形的判定（二）

易错点睛

在AABC与4DEF中,AB=4,BC=5,CA=6,DE=10厕当EF=FD=

时,

【点睛】解决此题的关键是弄清楚对应边，否则容易出错.

A基础题夯实

知识点1利用三边对应成比例判定两个三角形相似

1.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和1（）cm,另一个三角形

的最短边长为2.5cm,则它的最长边为（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

2.已知aABC的三边长分别为2,56若要使△DEFs△ABC,则△DEF的三边长可以是（）

A.3,6,7B.6J5J8C.3,8,9D.8,10,12

3.有甲，乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为V2,l,V5,乙三角形木框的三边长分别为应,2,

痂,则甲，乙两个三角形（）

A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断

4.如图,0是AABC内部一点,D,E,F分别是0A,0B,0C的中点.求证:△DEFs^ABC.

5.如图，已知啜=条=多试判断NBAD和NCAE的大小关系，并说明理由.

ADDEAE

知识点2网格中相似三角形的判定

6.（2025莆田）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,和△。"'的顶点都在网格线的交

点上.求证:△ABCs/\DEF.

D

B中档题运用

7.（2025大连）如图，在正方形ABCD中,E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD.下列结论:①aABEs^E

BF;②△ABEs^DEF;③△EBFs^DEF;④△EBFs^CBF.其中结论正确的是..（填序号）

8.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△4C8和△QCE的顶点都在格

点上，ED的延长线交AB于点F.

（1球证：AACBADCE;

（2球证：EFA.AB.

9.如图，在四边形ABCD中,AB=2,AD=4,BD=3,BC=6,DC=4.5.求证：AB\DC.

C综合题探究

10.（2025襄阳）如图是由25个边长为1的小正方形组成的5x5的正方形网格，顶点在这些小正方形顶点的三角

形称为格点三角形.如图中的△44。为格点三角形.

⑴D为小正方形的顶点，在所给的网格中画出格点.ADE匕使且相似比为式（画出T即可）；

（2）直接写出所给的网格中与4ABC相似且相似比最大的格点三角形的个数，并画出其中一个.

第3课时相似三角形的判定（三）

易借点睛

如图.D为aABC的边ABI—^,AB=12.AC=15.AD=8.aACE,使A,D,E三点组成的三角形

与aABC相似，则AE的长是___________

【点睛】易漏解，注意分类:⑴AD与AB对应;（2）AD与AC对应.

A基础题夯实

知识点利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似

1.（2025福建模拟）如图在△EOF中QE=4,OF=6,下列阻影部分的三角形与aEOF是否相似，说法正确的是（

A.只有甲相似B.只有乙相似

C甲，乙都不相似D.甲，乙都相似

2.如图点D,E分别在AB,AC上若AB=2AE,AC=2AD,DE=5,则BC的长为

第5题图

3.（2025杭州）如图.已知OAOC=12QD=3,当OB=H^,AAOB^ADOC.

4.如图,D是AABC的边AB上一点,AD=3,BD=2,当AC=0^,AACD^AABC.

5.如图,AD_LBC于点D,BD=2CD,AE=ED,AB=2,贝!JEC的长为.

6.（2025湖北中考）如图，在AABC中,NACB=90。,将aABC绕点C旋转得到△口£（：,点A的对应点D落在边A

B上.连接BE.求证:△BCEs/XACD.

B

E

A

7.（2025广州模拟）如图，在AABC中点D在AB边上、连接©口4©=44口=2,1^=6,求证公人©口5/^13（3.

B中档题运用

8.如图，在4ABC中,CD=CE,2AD=3AE,2BD=3CD,求证:Z\ABD/aACE.

9.如图，在四边形ABCD中,NACB=NADB=90o,AC,BD交于点E,且NAEB=120。.

⑴求证:△DCEs^ABE;

⑵求粥值•

10.（2025黄冈）如图,AB_LBD,CD_LBD、AB=6,CD=4,BD=14.点P在BD上移动，当以P,C,D为顶点的三角形与

△ABP相似时，求PB的长.

C综合题探究

11.(2025武昌区)如图，点E在AABCft.ZABC=ZEFC=90°,BC=2BA,FC=2FE.

(1)求证:NACE=NBCF;

(2)若NCAE+NCBE=90。,且BE=6,AE=36，求EF的长.

A

第4课时相似三角形的判定（四）

易错点睛

如图.在AABC中,NA=9（）o,NC=30o,D为AB边上一点，过点D的直线与边AC交于点E.若AADE^AABC

相似则NADE的度数为__________

【点睛】根据4ADE与AABC相似的对应情况.分类讨论:NADE与NB对应，或NADE与NC对应.

A基础题夯实

知识点1利用两角相等判定两个三角形相似

1.（2025黄冈）在4ABC与△ABG中,/A=5（）o,NB=6（）o,NAi=50。,当NQ=_时,△ABCS/\ABC.

2如图点D,E分别在aABC的边AB,AC上，且NAED=NABC,若DE=3,BC=6,AB=8厕AE的长为.

3.（2025宜昌）如图,F是4ABC的BC]5±—AC=2CF=2,ZCAB=ZCFAJIJBF=

4.（2025河北中考）如图，在九边形ABCDE中,AE〃BC,延长BA,BC,分别交直线DE十点M,N.若添加卜列一

个条件后，仍无法判定^MAE-ADCN,则这个条件是（）

A.ZB+Z4=180°B.CD〃ABC.Z1=Z4D.Z2=Z3

5.（2025盐城）如图，在APAB中，点C,D在AB上,PC=PD,NA=NBPD.求证:△APCsaPBD.

知识点2两直角三角形相似的判定

6.如图在RtAABC中.NBAC=90o,AD是斜边BC上的高

⑴求证:△ABDs/XCBA;

（2）若人13=6,1^=10,求BD的长.

B中档题运用

7.iDH,AABC内接于。O,AHJ_BC于点H.若AC=l(),AH=8,O0的半径为7,则AB的长为

8.已知NACB=90。,将△ABC按如图的位置放在直角坐标系中，若点80,2),点€：(1,0),点B的横坐标为4,求点

B的纵坐标.

9.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上且NACD=/ABE.

(1)求证:ZXABCs^AEB;

⑵当AB=6,AC=4时，求AE的长.

C综合题探究

10(2025连云港中考改编)如图、在aABC中,NACB=9()o,AD平分NCAB,BE_LAD,E为垂足

⑴若/CAB=45。厕，的值为

(2)若NCAB=30。,求蔡的值

AB

27.2.2相似三角形的性质

易错点睛

若两个相似三角形的面积之比是25：16,则它们的对应高之比是_________.

【点睛】相似三角形的面积之比等于相似比的平方，不等于相似比.

A基础题夯实

知识点1相似三角形对应线段的比等于相似比

1.已知△ABCS^ABCBD和BD分别是两个三角形对应角的平分线,AC:A，C=2:3,若BD=4cm,则BD的长

是（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.9cm

2.如图，已知△ADEs^ABC相似比为2:5,AG_LBC于点G,交DE于点F,则AF:AG=

第2题图

0A+0C+AC

3.如图,AB与CD交于点0,且AC〃BD.若

QB'OD+BD

4.如图,△ABCs/\ABC,AD,BE分别是4ABC的高和中线,AD,BE分别是△ABC的高和中线，且.AD=4,A，

D=3,BE=6,则AB:A'B'=_,B'E=_.

知识点2相似三角形面积的比等于相似比的平方

5.Q025广州中考）如图在ZXABC中点D,E分别在AB,AC上QE//BC.若翁网穿、

6将一副三角板如图叠放，AABC是等腰直角三角形，4BCD是有一个角为30。的直角三角形，贝/AOB

与aDCO的面积之比等于.

7如图在4ABC中Q是AB边上的一点若N1CO=N6,*=：,A4QC的面积为4,则4BCD的面积为

8.（2025威海中考）如图,Z\ABC的中线BE,CD交于点F,连接DE.下列结论错误的是（）

A.S&DE产三S&BCFB.§△人0£=四麻BCEDC.S^DBF=^S^BCFD.S^ADC=S^AEB

B中档题运用

9.（2025江西中考）如图,AABC是面积为1的等边三角形，分别取AC,BC,AB的中点得到△ABG;再分别取

小C,81c4当的中点得到△彳2%。2；•依此类推，则△48“C〃的面积为（）卜

A.（旷B.（iyc.G）"D.（旷

10如图，在门ABCD中,E是AD的中点，连接BE,延长BE交CD的延长线于点F."G'

（1）求证:FD=AB;

（2）当。ABCD的面积为8时，求ZxFED的面积.

11（2025东营）如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知△/8C的边长BC=6

0cm,高AD=40cm.若矩形铁片的一边在BC边上，点P,Q分别在AB,AC边上,且满足PQ:PN=7:2，求矩形铁片PQ

MN的面积.

C综合题探究

12如图，在。中,BC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E,BE交AD于点F,且AB=AD.

(1)求证：4FDBsAABC;

⑵求受”的值;

⑶若BC=6,DE=2.求△8"。的面积.

27.2.3相似三角形应用举例

第1课时相似三角形应用举例（一）

易错点睛

如图，三角尺在灯泡0的照射下在墙上形成影子，若OA=2（）cm,OA・50cm〃则这个三角尺的面积与它在墙上

所形成影子图形的面积之比是

匕点睛】先求相似比，进而可以得出面积比.

三角尺

A基础题夯实投影

知识点1利用影长、成像测量长度

1.如图，小张在测量旗杆的高度时发现，自己在操场上的影长EF怡好等于自己的身高DE.此时，小组同学测

得旗杆AB的影长BC为11.3m,据此可得旗杆高度为m.

口

D

FEB

第1题图第3题图

2.如图是幻灯机的工作原理图，其中幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是20cm,幻灯片与屏幕间的距离

是1.8m,幻灯片上的图案的IWI度是8cm,屏幕上图案的图度是（）

A.80cmB.8niC.72cmD.7.2m

3如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户下檐距地面的距离BC=lm,

EC=1.2m,则窗户的高AB为m.

知识点2利用相似测量长度

4.如图,A,B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C,连接AC,BC,分别在AC,BC上取点M,N,使AM=2MC,BN=2N

乙

第6题图

5.如图，某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果O

A:OC=OB:OD=3,且量得CD=3cm,则x的值为cm.

6.（2025内江中考改编）如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所

示,动力臂0A=150cm,阻力臂OB=50cm,BD-20cm，则AC的长度是,cm.

B中档题运用

7物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法如图，燃烧的蜡烛（竖

直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB,设AB=36cm,AB=24cm,小孔O到AB的距离为30cm厕小孔O

到AE的距离为cm.

8.如图，阳光通过窗口照射到室内（太阳光线是平行光线），在地面上留下2.7m宽的亮区，若亮区到窗口下墙脚

的距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m.求窗口底边离地面的高BC的长.

9如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根

标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10m的正方形ABCD,且A,D,E三点在一条直线上，在标杆B处观

察塔E,视线BE与边DC相交于点F,测得FC=4m.求塔与树的距离.

C综合题探究

10（2025河南中考改编）如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D

处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N,点

N,E,A在一条直线上，点F,M,D,C在同一水平线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上，测得DE=2.

lm,DF=2.1m,DM=lm,MN=1.2m.求纪念碑AB的高度

第2课时相似三角形应用举例（二）

易错点睛

如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持

水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm测得边DF离地面的高度A

B

C=1.5m,CD=8m厕树高AB为m.

【点睛】注意对应边不要搞错，不要忘了加AC.二.簟

A基础题夯实‘

知识点借助标杆或镜面反射测量物体高度

1.（2025广西模拟）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得

AB=lm,BC=9m,则建筑物CD的高是_________m.

第1题图第2题图第3题图第4题图

2如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测

量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上.已知DE=0.5m,EF=0.25m,目测点

D到地面的距离DG=1.5m.到旗杆的水平距离DC=20m,则旗杆的高度为m.

3.如图，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一根高2m的标杆CD,现测量者从E处可以看到杆

顶C与树顶A在同一直线上.如果测得BD=20m,FD=4m,EF=1.8m,8!Jt^AB的高度为m.

4.（2025福州模拟）在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度.如图，小南把

手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E,F,不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗

杆的底部A和顶部B,如果小南的手臂长l=50cm,小尺的长a=15cm,点D到旗杆底部的距离AD=40m,则旗杆的

高度为m.

5.（2024湖北中考改编）如图，已知小明身高1.6米，他测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后

退2米到达点E,眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A.求树AB的高度.（结果保留整数）

B中档题运用

6.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得

该建筑物0B的影长0C为16m,OA的影长0D为20m,小明的影长FG为2.4m，其中O,C,D,F.G五点在同一直

线上.A.B,0三点在同一直线上，且.力O_LOQ,E/」EG.已知小明的身高EF为1.8m,求旗杆的高AB.

7如图所示，小明欲测量一座古塔的高度，他拿来一根竹竿竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹竿

的顶端刚好看到塔顶.若小明眼睛离地面1.6m,竹竿顶端离地面2.4m,小明到竹竿的距离DF=2m,竹竿到塔底的距

离.DB=33m,,求这座古塔的高度.

/

\

C综口题探究

8.（2025广东模拟）如图，AB和CD为两个同高的晾衣柱，AB高2.2m,一无弹性的绳子一端系在A点，另

一端P系在柱子CD上（不计绳结的长度），现有一裤子晾在上面，已知挂钩挂在绳子的O点处，竖直方向上。点

到裤子最下方的距离为1m,绳子长度为2.5m,两个柱子间距BD=2m,,某位同学通过课外物理知识对图中衣服进

行受力分析，并且得到一个结论：NBA。=NOP/Z为了保证裤子不沾地，求点P离地面的距离至少为多少米?

27.3位似

第1课时位似（一）

易错点睛

下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中

心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确命题的序号是（）

A.②③B.①②C.③④D.②®®

【点睛】正确理解位似的定义.

A基础题夯实

知识点1位似图形的定义

1如图所示的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是点________.

第1题图第3题图

2.（2025南充模拟）如图,Z\ABC与ADEF是以点O为位似中心的位似图形.且OD:OA=2:3.若EF=8,则BC的

长为.

3.如图，一块面积为60cm?的二角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影

是△ABG.若04:40=2:3,,则△ABG的面积是_______cm2.

4.如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3,点A,B的对应点分别为点A;BI若

AB=4,则AE的长为.

5如图,ZkABC与4DEF位似，点。是它们的位似中心，且相似比为1：2,Z\DEF的周长为24,则Z\ABC的周长是

6.一个多边形的边长依次为1,2,3,4,5,6,与它位似的另一个多边形的最大边长为12,那么另一个多边形

的周长为

7.（2025浙江中考）如图,五边形ABCDE,ABCDE是以坐标原点0为位似中心的位似图形,已知点A,A，的坐标分

别为（2,0）,（3,0）.若DE的长为3,则.DE的长为

知识点2位似图形的画法

义如图是与△ARC位似的几种画法，其中正确的有（)

B中档题运用

9.在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是（

A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边开乡NHMQD.四边形NHMR

10如图，边长为1的正方形网格纸中，^ABC为格点三角形（顶点都在网格线的交点上）.

（1底网格纸中以点O为位似中心，画出4ABC的一个位似图形△ABC,使4ABC与△ABC的相似比为1:2

（不要求写画法）;

（2）Z\ABC的面积为.平方单位.

11如图，图中的小方格都是边长为1的止方形，AABC与△ABC”是美十点0为位似中心的位似图形，它们

的顶点都在小正方形的顶点上.

(1)画出位似中心点0；

(2)直接写出AABC与△ABC的相似比为.

C综合题探究

12(2025江西模拟)如图是小6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,AABC的顶点均在格点上，只用

无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹.

⑴以点O为位似中心相似比为2:1画出aABC的位似图形aDEF;

(2疮线段DF上找点M,将线段DF分为2:3两部分.

O.

第2课时位似(二)

易错点睛

如图，在平面直角坐标系中，正方形EFOH是正方形ABCD经过位似变换得到的，对角线。后=40,则位似

中心的坐标是_______.

【点睛】根据位似的定义确定位似中心.

A基础题夯实

知识点1坐标规律

1.(2025内蒙古中考)如图.在平面直角坐标系中,AOAB的顶点坐标分别是O(0.0),A(2,1),B(1,2)以原点O为位似

中心,在第三象限画aOAE与△OAB位似.若AOAE与AOAB的相似比为2：1,则点A的对应点A，的坐标为(

)

B.(-4,-2)C.(-L-2)D.(-2,-4)

第3题图第5题图

2.如图，在平面直角坐标系中,△ABC与△ABC是位似图形,位似中心为点O.若点A(・3,l)的对应点为A(6,2),则

点B(-2,4)的对应点B，的坐标为(।

A.(-4,8)B.(8,-4)C.(-8,4)D.(4,-8)

3.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC,ADEF

成位似关系，则位似中心的坐标为()

A.(-1,O)B.(0,0)C.(O,1)D.(1,O)

4.两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(2,-4),(-3,b),则b的值为

5.如图，在平面直角坐标系中，AABC与△ABG位似，原点0是位似中心，且霁＞=3若A(9,3),则点Ai

的坐标是________.

6.(2025绥化中考)在平面直角坐标系中，把AABC以原点。为位似中心放大，得到△ABC.若点A和它的对

应点A的坐标分别为(3,7),(-9,-21),则△ABC与△ABC的相似比为

知识点2位似作图

7.在如图所示的方格纸中，/XOAB的顶点坐标分别为0(0,0)4(-2川)用(-1,-3)40科3与4048是以点P为

位似中心的位似图形.

(1底图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B的坐标;

⑵以原点0为位似中心，在位似中心的同侧画出aOAB的一个位似图形△OA2B2,使它与40AB的相似比

为2.并写出点B的对应点B?的坐标;

⑶若AOAB内部一点M的坐标为(a,b),写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标.

B中档题运用

8.如图，P是x轴的正半轴上的一点，4ADC是由等腰直角AGOE以点P为位似中心变换得到的，已知EO

=1,OD=DC=2,则位似中心P的坐标是.EI、一

DCx

、G

9.如图,AAOB三个顶点的坐标分别为A(8,0),0(0,0),B(8,-6),M为0B的中点.以点0为位似中心，把AAOB

缩小为原来的福到△AQB1若M为0B的中点.则MM，的长为.

10在平面直角坐标系xOy中点A,B的坐标分别为A(-6,8),B(-4,0).以原点O为位似中心，将△ABO缩小为原来

的一半得至!JZ\CDO,则点A的对应点C的坐标是.

11如图,Z\ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(3,1)0(2,3),以原点O为位似中心，将4ABC放大为原来的2倍

得到△ABC.

(1疮图中第一象限内画出符合要求的△ABC(不要求写画去);

(2)直接写出△ABC的面积为.

综合题探究

12在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).

(1)画出4人1^关于x轴成轴对称的△AIBCI；

⑵以点O为位似中心，画出一个2c2,使它与4ABC的相似比为2:1.

方法技巧1成比例线段的证明(一)三点定形法

方法技巧：要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定形法”左右定形或上下

定形找相似三角形.

1如图，在°ABCD4>,E是AB延长线上的一点,DE交BC于点F,求证：左=三.

2.如图，在。中，点D,E分别在AB,AC上,./AED=/B,AG平分ABAC,.分别交线段DE,BC于点F,

G求证:端课

ACCO

3.如图,Z\ABCfDAADE都是等为三角形，点D在BC上,DE交AC于点F.求证：AZ^AFAC.

4.如图，在△ABC中、ZBAC=90„M为BC的中点，DW_L4。交CA的延长线于点D,交AB于点E.求证:

AM2=MD-ME.

方法技巧2成比例线段的证明（二）等线段代换法

方法技巧：从要证的结论中难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三

点定形法”找相似三角形.

类型一替换一条线段

1.如图，在四边形ABCD中,E是BC的中点，且.N/1EO=N8=/C.求证：AB-Z）E=BEAE.

A

D

2.如图，在菱形ABCD中.乙48c=60',,E是射线CB上一点,F是边CD上一点，且/EAF=120.求证:

类型二替换两条线段

3.如图，在△44C中点D,E在BC上.且△/。£是等边三角形，NZMC=120'.求证：D£2=BDCE.

方法技巧3成比例线段的证明（三）等比代换法（找中间比）

方法技巧：要证明的比例式无法直接通过平行或相似得到时，往往要找中间比进行代换.

类型一两次运用平行线找中间比

L如图.AC是"BCD的对角线,G是AD延长线上的一点BG交AC于点F,交CD于点E.求证：，专

2.如图,AD〃BC,AB交CD于点E,F是AD上的一点.连接FE并延长交BC于点G,求证：会=能.

AD

E

类型二两次运用相似找中间比

3如图，在四边形ABCD中，4D1BC,NABC=9O；AD=CD,,0是对角线AC的中点，连接B0并延长交边CD

于点E.

⑴求证:Z\DACs△OBC;

⑵/c、求+'证T：/=正0E

4如图，在RtAABC中，23月。=90/ZUACC丁点D,E为AC的中点，过D,E两点作直线交AB的延K线丁

点F.

(1)求证：△CBAS^ABD;

/r、+、-rAB

（2或证：DF

方法技巧4成比例线段的证明（四）等积代换法（找中间积）

方法技巧：常借助于射影定理的基本图形和结论及两次相似找中间积.

1.如图，在^ABC中.力。_LAC于点D,QEJ./1A于点E,_L/C于点F.求证：AE-48=AFAC.

2.如图,CE是RdABC的斜边AB上的高、在EC的延长线上任取一点P,连接AP,8GJ.力尸于点G,交CE于

点D.

⑴求证:△AEPs/XDEB;

(2)求证：CE?=PE・DE.

3如图在AABC中点D,E分别在BC和AC上,G是BE上一点且/44>N8GZ>=NC,连斐AG.

⑴求证:△BDGs/^BEC;

⑵/r,求一P•证、丁：石BG=瓦AB-

4如图,在矩形ABCD中,AE_LBD于点E,P是边AD上一点，PELEC.

⑴求证:△AEPsaDEC;

(2)求证:DEAP=ADBE.

1.如图，AD\EF\BCAC交EF于点G.若m=|,EG=2R7,求盛的值

命----.D

B

类型二重叠双A

2.如图，在AABC中，NXC8=90°,8C=24C=4,若正方形DEFG的顶点D在AB上，顶点F,G都在AC上，射线

AE交BC边于点H,求CH的长.

类型三线束双A

3.如图，在ZUBC中，、正方形DEFG的四个顶点都在△"C的边上，连接AG,AF分别交D

E于M,N两点.

(1球证:票啜啥；

(2球证：XBGDs△EFC、

(3球证：/储=。必・EN.

1.如图，正方形ABCD的边长为2T是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F,AP=FD.求梆值

类型二线束双X

2如图,AB〃CD,BC与AD交于点0,过点0的直线分别与AB,CD交于E,F两点已知BE=3,CF=5,求热勺值.

类型三错位双X

3.如图,P是48C。的对角线AC上的一点，连接BP并延长交AD于点F,交CD的延长线于点G.且AF=2F

D.

(1)求加值;

(2)若四边形ABCD是菱形,DP=6,求GF的长.

模型探究3平行相似(三)构A、X型相似(一题多法)

如图，在△力CO中,E是AC的中点，直线EH交AD于点H.交CD的延长线于点B,且BC=3BD.3c=3BD.

求益的值

方法一：过点A作CD的平行线

方法二：过点C作AD的平行线

方法三：过点D作AC的平行线

A

E

方法四：过点E作AD的平行线

方法五：过点A作BE的平行线

模型探究4平行相似(四)构A、X型相似(一题多问)

在AABC中，ZACB=WJC=5GD为BC边上一点，且.8C="CO,CE_L于点E.

(1)如图1,若n=2.求隼的值;

(2)如图2,n=2,延长BE交AC于点G.求音的值;

(3)如图3,n=2,延长CE交AB于点F.求糊值;

(4)如图4,在⑶的条件下，求£的值;

⑸如图5,延长BE交AC于点G,当G为AC的中点时，求n的值

模型探究5母子型相似(一)射影型

图形：

结论：

如图,NACB=90o,CH_LAB于点H.

h®AABC^AACH<^ACBH;

②AO=AHAB,BO=BH-BA,HC=HA-HB.

类型一直接利用射影型相似

1.如图，在△ABC中、NACB=9()o,CD_LAB于点D.

(I)若AD=2,BD=1厕AC的长为；

(2)若AC=20,BD=9,求CD的长.

类型二构造射影型相似

2.如图，在AABC中,/ACB=9()o,CD_LAB于点D/CAB的平分线分别交BC,CD于E,F两点.

⑴求证:CE=CF;

(2)求证：EFEA=2CE~.

DB

3.如图，在四边形ABCD^,AB^CD,ZADC=90°,EBC±—<CE=3BE,SAE±DE,gAD=6,^<AE的长.

模型探究6母子型相似(二)仿射影型

图形：结论：

如图,NABD=NC.①AABDsAACB;

@AB2=AD-AC.

A

CAB

类型一直接利用仿射影型相似

1.(1)如图1,在△/出C中,D为AB上一点乙1CO=N4.求证：AC2=AD-AB;

(2)如图2,在ABCD^p,E为BC上一点，F为CD延长线上一点，且ZBFE