2026年7下数学竞赛试卷及答案

2026年7下数学竞赛试卷及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.若实数x满足|x－3|＋|x＋1|＝6，则x的取值集合为A.{－2，4}B.{－2，5}C.{－1，4}D.{－1，5}2.已知a＋b＝5，ab＝3，则a³＋b³的值为A.80B.90C.100D.1103.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝5，AC＝7，则BC边的长度为A.√39B.√41C.√43D.√454.若正整数n使得n²＋n＋1为完全平方数，则n的最小值为A.1B.2C.3D.45.设函数f(x)＝ax²＋bx＋c的图像开口向上且与x轴交于两点，其顶点横坐标为1，若f(0)＝3，f(2)＝3，则a＋b＋c＝A.3B.4C.5D.66.从1到100中任取一数，该数能被3或5整除的概率为A.0.4B.0.47C.0.5D.0.537.若x＞0，y＞0且x＋y＝1，则表达式(x＋1/x)(y＋1/y)的最小值为A.4B.4.25C.4.5D.58.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋3n＋1，则a10＝A.155B.165C.175D.1859.若复数z满足|z－3＋4i|＝5，则|z|的最大值为A.5B.7C.9D.1010.设集合A＝{x|x²－5x＋6≤0}，B＝{x|x²－3x＞0}，则A∩B为A.(0，2]B.(0，3)C.(2，3)D.[2，3)二、填空题，(总共10题，每题2分)。11.若x²－6x＋k＝0的两根之差为4，则k＝＿＿＿。12.已知log₂3＝a，log₃5＝b，则log₁₅12＝＿＿＿（用a，b表示）。13.若正整数m，n满足1/m＋1/n＝1/4且m≤n，则有序对(m，n)的个数为＿＿＿。14.在等差数列{an}中，a5＝11，a11＝23，则a20＝＿＿＿。15.若(x＋1)⁵展开式中x³项的系数为＿＿＿。16.已知点P在直线y＝2x＋3上，且P到点(1，0)的距离为√10，则P的横坐标为＿＿＿。17.若tanθ＝3，则sin2θ＝＿＿＿。18.设函数f(x)＝x³－3x²＋2在区间[0，3]上的最大值为＿＿＿。19.若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则其体积为＿＿＿。20.从集合{1，2，3，4，5}中任取两个不同数，其和为偶数的概率为＿＿＿。三、判断题，(总共10题，每题2分)。21.若a，b为实数且a²＋b²＝0，则a＝b＝0。22.任意两个无理数之和仍为无理数。23.若函数f(x)在区间I上可导且f′(x)＞0，则f(x)在I上严格递增。24.对于任意正整数n，n²＋n＋41都是质数。25.若复数z满足z²＋1＝0，则z的模为1。26.若△ABC的三边长为连续整数，则其面积必为整数。27.若x＞1，则lnx＜x－1。28.若向量a与b满足|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b。29.对于任意实数x，sinx＋cosx的最大值为√2。30.若数列{an}满足an＋1＝2an＋3且a1＝1，则通项公式为an＝2ⁿ⁺¹－3。四、简答题，(总共4题，每题5分)。31.已知二次函数f(x)＝x²＋bx＋c的图像与x轴交于A，B两点，且AB＝4，顶点纵坐标为－1，求b，c的值。32.设正整数n满足n²＋(n＋1)²＋(n＋2)²为完全平方数，求最小的n。33.在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝2，求AB边的长度。34.某校数学竞赛按成绩从高到低取10%为一等奖，若参赛人数为250人，最低一等奖分数线为84分，且84分者恰有5人，问一等奖实际人数为多少？五、讨论题，(总共4题，每题5分)。35.讨论方程x³－3x＋k＝0的实根个数随k的变化情况，并给出k的临界值。36.设a，b，c为正实数且a＋b＋c＝1，试讨论表达式(a＋1/a)(b＋1/b)(c＋1/c)的最小值是否存在，并给出理由。37.对于数列an＝n²＋n＋1，讨论其相邻项的最大公约数规律，并证明你的结论。38.在平面直角坐标系中，给定圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝9与直线l：y＝kx，讨论k取何值时l与C相交、相切、相离，并求出相切时的k值。答案与解析一、1.B2.B3.C4.A5.C6.B7.B8.C9.D10.C二、11.512.(2a＋1)/(ab＋1)13.314.3515.1016.0或217.3/518.219.2√6/320.2/5三、21.√22.×23.√24.×25.√26.×27.√28.√29.√30.×四、31.由顶点纵坐标－1得(4ac－b²)/4a＝－1，a＝1，故c＝(b²－4)/4；又AB＝4，即|x1－x2|＝4，√(b²－4c)＝4，联立得b＝±2√2，c＝1。32.设n²＋(n＋1)²＋(n＋2)²＝3n²＋6n＋5＝m²，整理得3(n＋1)²＋2＝m²，令n＋1＝t，则m²－3t²＝2，最小正整数解t＝3，故n＝2。33.由正弦定理AB/sin60°＝BC/sin75°，得AB＝2·sin60°/sin75°＝2·(√3/2)/((√6＋√2)/4)＝2√3·4/(√6＋√2)＝2√3(√6－√2)/((√6)²－(√2)²)＝2√3(√6－√2)/4＝(3√2－√6)/2。34.10%×250＝25人，84分者5人全取，则实际一等奖人数为25人。五、35.令f(x)＝x³－3x＋k，f′(x)＝3x²－3，极值点x＝±1，f(1)＝k－2，f(－1)＝k＋2。当k－2＞0且k＋2＜0即|k|＞2时一实根；k＝±2时二实根（重根）；|k|＜2时三不同实根。临界值k＝±2。36.表达式在a，b，c→0时趋于无穷大，在a＝b＝c＝1/3时取有限值，但边界无下界，故最小值不存在。37.计算gcd(an，an＋1)＝gcd(n²＋n＋1，n²＋3n＋3)＝gcd(n²＋n＋1，2n＋2)＝gcd(n²＋n＋1，n＋1)＝gcd(1，n＋1)＝1，故相邻