探源点3 三角形中的“特征”线

探源点3三角形中的“特征”线

高考定位与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形

式灵活新颖,实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形,难度中档或偏下.

【母题突破】

类型一三角形的角平分线

母题1（人教B版必修四P20T7）己知AD是△48C的角平分线，且AC=2,AB=3,A=60°,求AD的

长.

解法一由S△人8C=S△八+得

ix2X3Xsin600=-X2X/lDXsin30。+工X3XAOXsin30°,

222

解得

法二在△A8C中，由余弦定理得

BC2=AB2-\-AC2~2ABACCOSA

=4+9-12x1=7.

ABC=V7,

八82+8^2-心9+7-4_2y/7

・•cosB

2ABBC2X3X夕7

由角平分线的性质得黑=*=：

BDAB3

・・・8。=打。=手,

AAD2=AB24-BD2-lABBDcosB

=9+竺_2X3X2x2=理

255725

..AD=——.

5

真题1（2023•全国甲卷）在aABC中，ZBAC=60°fAB=2fBC=V6,NBAC的角平分线交8。于。,

则AD=.

答案2

解析由余弦定理得cos60。=胃*,

2X2AC

整理得AC2-2AC-2=0,得AC=1+V3.

2ABArcos^BAC

由角平分线长公式得AQ=2

_2x2x(l+V3)xcos300=2.

3+

规律方法如图，在△ABC中，AD是△ABC中NA的角平分线，且交8C于点D,则线段AD是4

A8C的一条角平分线，在解三角形有关角平分线问题常用到以下方法:

(1)角度的倍数关系:N84C=2N84O=2NCAO;

⑵角平分线定理与=翳

ACDC

2bccos3

（3）角平分线长公式:AO=——，•:

（4）三角形边与面积的比值关系:区段=竺=吧；

S^ACD4cCD

（5）三角形的面积关系:5“双）+5“（7）=5348。.

样题1（2025•张家口模拟）在△/WC中，内角A,dC的对边分别为a,b,c,点。为边3c上一点,且

满足（而+元）•尻=0.

（1）证明:

⑵若A力为NB4C的平分线,且而=1荏+1前,求sin4.

⑴证明记CO的中点为E,

则而十尼=2福

因*（AD-\-AC）^BC=2AE^BC=0,

所以AEA.BC,所以AD=AC=b.

⑵解因为而=1四+|前，

所以同一荏=2（前一通）.

所以而=2尻,即BD=-a,DC=-.

33

又因为AO为N84C的平分线，

所以4即c=2。.

ACDC

由（1）知AD=AC=ht

荷=三厢+白前两边平方且把c=2"AD=AC=〃代入，

33

整理得序=8及cosNBAC，解得cosZBAC=k

8

所以sinA=Jl-Q)=苧・

样题2(2025•厦门调研)记锐角△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.己知si/C+siir^-sin2A

=sinBsinC.

(1)求A的值；

⑵已知A的角平分线交BC于点、Q,求黑的取值范围.

解(1)因为siMC+sin%—sin2>4=sinBsinC,

由正弦定理可得»+序一々2=儿，

2+匕2一。2

所以cosA=

2bc2'

又因为△ABC为锐角三角形,

所以A£(0(),所以4=今

⑵因为翳—1

CDS^ACD

^ABADsinz.BAD/[g

^ACADsin£CADAC

=£=sin£=sing-B)

bsinBsinB

_sm—cosB-cos—sinB_731

---・•----1-

sinB2tanB-----2'

因为〃。为锐角三角形,

所以如元

32

解得所以tan及

623

所以二vX-+i<2,

22tanB2

即啜的取值范围为C，2).

类型二三角形的中线

母题2(苏教版必修二P94例6)如图,AM是△ABC的边8c上的中线,求证:

^2(AB*2-\-AC2)-BC2.

A

证明设NAMB=a,则NAMC=180。一a

在△ABM中，由余弦定理，得

AB1=AM2+BM--2AMBMcosa.

在△ACM中，由余弦定理，得A^uAV+MC2-2AM皿或05（180。一a）.

因为cos（180。-a）=—cosa,

BM=MC三BC,

所以AB2-\-AC2=2AM2-\~^BC\

从而AM=lj2（AB2-hAC2）-BC2.

真题2（2023•新高考II卷）记△ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知△A8C面积为V5,D为

3c的中点，且AD=1.

（1）若NA/）C=2,求lanB;

3

（2）若户+,2=8,求byc.

解（1）因为。为8c的中点，

所以S"3C=2S”DC

=2-2ADDCsinZADC

=2X—X1=V3,

22-DC'—

解得。C=2,

所以BO=OC=2,a=4.

因为ZADC=-所以ZADB=-.

3f3

在△A3。中，由余弦定理，

得c-^AD2+BD2-2ADBDcosZADB

=14-4+2=7,

所以c=夕.

在△A8。中，由正弦定理,

得』4。

sinH'

所以sinB=ADsxn^ADBV21

14

又昨(呜),

所以cosB=V1-sin25=当，

所以lan8=岑=,

(2)法一因为。为的中点，所以BD=DC.

因为/AQB+NA7)C=m

所以cosZADB=-cos/AOC,

则在AAB。与△A/)C中，由余弦定埋，

^AD2+BD2-C2AD2+DC2-b2

2ADBD2ADDC'

得1+3。2—才=一(1+8£)2一/匕

所以28。2=序+/—2=6,所以3。=g,

所以。=2遍.

又SAADC=|xVJxiXsinZADC=^-,

得sinZADC=1,所以ZADC=-

2t

所以b=c=\AD2-\-CD2=l.

法二因为。为8C的中点，所以BC=2BD.

在与△ABC中，由余弦定理,

zpAC2+BD2-AD2a2+c2_&2

得cosB=---------------------

2C-BD2ac

整理,得2B£>2=Z?2+C2-2=6,

得BD=y/3,所以ci—2V3.

以下司法一.

规律方法如图，在△ABC中，AQ是边8c上的中线，在解三角形有关中线问题常用到以下方法:

⑴三角形的面积关系：

SdABD=S^ACD=-S^ABC\

(2)角的互补关系:NADB+N4QC=兀；

⑶中线长定理:AB2+AC2=2(BQ2+AO2)；

⑷中线的向量表示:而2=1(^2+彳§2+2|^C||^|CosZBAC).

样题3(2025・青岛质检)在△AB。中，内用ARC所对的边分别为〃花,c,且满足cos。=?一意

b2b

⑴求角8;

(2)若△ABC外接圆的半径为火,且AC边上的中线长为右求△A8C的面积和周长.

解(1)由cos0=^—2；,

b2b

得2力cosC=2a—ct

利用正弦定理得2sinBcosC=2sinA—sinC,

即2sinBcosC=2sin(B+C)—sinC,

化简得sinC=2sinCeosB.

因为CW(0,7r),sinCr0,所以3s

又因为B£(0,7i),所以B=g.

(2)由正弦定理得一^=2次,得b=3,

sin乙48c

设。为AC边上的中点，

贝3。。胃8。胃

至+?-。2

法一在△BCQ中，cosNC。"彳&3

2X涧

空+2_。2

在△ABQ中，cosNA/)8=J洋,

2X茨

因为/ADB+/CDB=n,

所以cosNAO8+cos/CQ8=0,

所以足+/=17,

由余弦定理b2=c2+“2—2〃ccosB,

可得9=/+/—〃c,即&?=8,

由三角形的面积公式得S^ABC=^acsinB=2次,

又(。+。)2=层+/+2公=17+2X8=33,

所以。+。=局，

所以△ABC的周长为3+宿.

法二利用向量的加法法则得2而=瓦?+近,

两边平方得4而』瓦｛2+近2+2瓦?.近，

即25=c2+«2+t7G

由余弦定理炉=c2+42—2〃ccosB,

得9=c24-«2—tzc,

两式相减得16=26/c,即ac=8,

由三角形的面积公式得S,MBc=》csinB=2曲,

由25=(r~\~a1-\~ac,

得(a+c)2—ac、=25,6/+C=A/33,

所以△ABC的周长为3+V33.

类型三三角形的高线

母题3(人教A版必修二P54T20节选)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设〃=：(〃

+/?+c),求证：

(1)三角形的面积S=yjp(p-a)(p-b)(p-c);

(2)把边BC,AC,AB上的高分别记为儿,鼠,贝ij

ha=7Jp(p-Q)(p-b)(p-c),

hb=iJp(p-a)(p-b)(p-c),

Q)(p-b)(p-c).

hc=c7p(p-

证明(1)设三角形的三边a,b,c的对角分别为A,B,C,

则由余弦定理可知cosa。：”一。：

2ab

S=-abs\nC=-ab\!l-cos2C

1(a24-ij2-c2)z

l--------------------------

4a2b2

4a2b2—⑷+产_c2y

=：J(2a/)4-a2+b2—c2)(2ab-a2—b2+c2)

=iJ[(a+b)2-C2][c2_(a_fc)2-|

=：J(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(—a+匕+c)

•・•〃=y(〃+b+c),

，〃-4=5—〃+0+c),

p-/?=*—〃+(7),〃-C=:(〃+/?-c),

♦S—/(a+b+c)(a+b—c)(a-b+c)(—a+b+c)

N16

=Jp(P-a)(p-b)(p-c),

三角形的面积S=yjp(p-a)(p-b)(p-c).

(2),・,边BC,CA,AB上的高分别记为品,限儿,

三角形的面积S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),

・•・S=4p(p-a)(p-b)(p-c)

—\ciha=gbhb=|c/?c,

可解得hu=£y/p(p—a)(p—b)(p—c),

屉二：7p(p-a)(p-b)(p-c),

2，

心=[JP(P-Q)(P-b)(P-，)•

真题3(2023•新高考I卷)已知在△A3。中,A+B=3C,2sin(A-0=sinB.

⑴求sinA;

(2)设A8=5,求AB边上的高.

解(1)在△ABC中，A+8=7T—C,

因为A+8=3C,

所以3C—H-C,所以C=p

4

因为2sin(A—C)=sinB,

所以2sin(A—C)=sin[n—(A+。]=sin(A+C),

所以2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

易得cosAcosCWO,

所以tanA=3tanC=3tan-4=3,

又sin/4>0,tanA="々sin2A+cos2A=1,

cosA

所以sinA=¥引.

(2)由(1)知sinA=粤,tanA=3>0,

所以A为锐角，故cosA=1三

所以sin8=sin管—4)=号(cosA+sinA)

=立(叵+3VTo\_延

2xIioioJs

由正弦定理签=AB

sinC’

ABsinB5岑

得4C==2V10,

sinC迎

2

故A8边上的高为ACsin4=2Mx鬻=6.

规律方法1.高线两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.

2.求三角形高线长的方法:

(1)等面积法，即求某边上的高，需要先求出面积和底边的长度.

(2)在高产生的直角三角形里去求;

(3)边、角比法,人,力2,h3分别为AABC边a,b,c•上的高,则

I•J•,_1.1.1_1•1•1

・112•〃3=一•7•一=T~T.

abcsin4sirBsinC

样题4(2025・无锡质检)在△ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,8,c,且巴=sinAtan

2c2

⑴求C;

⑵若a=8,b=5,CH是边AB上的高,且由=〃函7+〃丽,求巴.

n

解⑴△A8C中，5=sinAtan

由正弦定理和同角三角函数的商数关系,

sinAsin|

sinzl

得

2sinCcos—

2

由倍角公式得"A£=吧竺觉

4sin-cos-cos-

222

又因为A,C为△ABC的内角，

所以sinA#0,cos-^0.

所以sin2j=isin|=

则有5=~y得C=g.

L65

(2)法一«=8,h=5,C=-,CA-CB=\CA\-\CB\-cosC=abcosC=5X8Xcos-=20,

33

所以褊2=〃=25,方2=Q2=64

由题意知CH_LAB,所以

即(〃《+〃CB).(CR—C4)

=(m—〃)(CB•CA)—rnCA2+nCB2

=20(，〃一n)—25"?+64〃=0.

所以5机=44〃，所以;=?

法二在△ABC中，由余弦定理得c2=a2-\~b2-2abcosC=824-52-2X8X5x1=49,所以c=7.

又因为S.ABC=-absinC=-c，CH,

22

所以c”=典£=2=丝金

C77

所以A”=VG42-c”2=.*=・

所以丽=石?+而=刀+-(CB-CA)

49

=宾+三而.

4949

由平面向量基本定理知,m=~~>〃=2

4949

所以”=答

n5

【精准强化练】

1.（2025・嘉兴模拟）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3a,“sin8=bsin（A+胃

⑴求角A;

（2）作角A的平分线与BC交于点D,且AD=V3,求b+c.

解（1）由正弦定理可得asinB=bsinA,

因为asinZ?=Z?sin（AI三），

所以sinA=sin（4+；）,

因为A£（0,7i）,所以A+A+T=兀,所以A=^.

（2）因为A。平分NB4C,

所以/BAO=NCAD=二

6

因为SADAB4-SADAC=SABC,

所以？川。8抽/。A8+1人4。*山/。人。

22

=~cbsinZBAC,

^P-c-\--b=-cb,即c+b=cb,

444

又由余弦定理可得

序="+/_2^ccos^=S+c)2—3bc,

把a=3y/2,b~\~c=cb代入化简得3+c)?—3(/?+c)—18=0,

解得b+c=6或b+c=-3(舍去)，

所以b+c=6.

2.(2025•北京卷)在△A8C中，cosA=~-«sinC=4&.

3f

⑴求C；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得△48C存在，求BC的高.

条件①。=6;条件②bsinC=噌;条件③△A8C面积为10>/2.

注:如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解⑴因为cosA=-；,A£(O,7C),

所以sinA=V1—cos2/l=—,

3

由正弦定理，得。=竺邙=6.

s\nA

(2)如图所示,若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD,

A8

若选①,。=6,因为c—6,所以C—A,

因为cosA=-i<0,这表明此时△ABC有两个钝角，而这是不可能的，所以此时△A5C不存在.

*3

若诜②，床inC=—,

3

由正弦定理，得sin8=处上=越，

C9

因为cosA=一/所以A£(Q),所以3一定为锐角，即cos8=尊

因为A+8+C=m所以cosC=-cos(A+8)=—cosAcosB+sinAsinB

=_('=)x且+这X公

k37939

27'

所以aABC存在且唯一，

在RlZ\A8。中，AO=csinB=6X^=—,

yJ

所以△ABC存在且唯一，且BC的高为竽.

若选③,△ABC的面积是10V2,

则SMBC=-bcsinA=%X6X/=10企，

223

解得人=5,

由余弦定理可得a=Jb2+c2-2bccosA

=125+36-2x5x6x(-§=9,

因为b=5,c=6,

所以b+c>a,a+c>b,a+b>c,

所以aABC存在且唯一.

因为S/\AHC=^CIAD=10V2,

所以AQ=?.

所以aABC存在且唯一，且BC的高为卓&

3.(2025・惠州模拟)记△A8C的内角48,C的对边分别为a,3c,已知々々Ke且tanA,tanB,tanC

均为整数.

(1)求tanA,tanB,tanC的值；

(2)设AC的中点为D,求/CDB的余弦值.

解(1)由a<h<cfA<B<C.

由A+8+C=TT,得A+3+O34

故0<A<-,所以0<tanA<V5,

3

因为tanA为整数，所以tanA=l,

所以A=1B^C=-.

44

因为BvC,所以史=3+C23,

4

贝1/<庆空

48

所以l<tanB<tan孚.

o

3n2tan等

由tan7q+23=7,

41—tan2-

得tan2——2tan——1=0,

88

解得ta片=1+&或la片=1一&(舍去),

88

故1<tanB<\+V2,

X2<l+V2<3,tan8为正整数，则tan8=2,

七-z4।tan4+tanB1+2令

所以tanC=—tan(A+B)=-.................=--------=3.

''l-tanXtanD1-1x2

综上,tanA=l,tan8=2,tanC=3.

(2)法一由(1)知，tanNA8C=2,tanC=3.

贝IsinN4BC