2024-2025学年北京市顺义区某中学七年级（下）期中数学试卷及答案解析

2024-2025学年北京市顺义区仁和中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）下列不等式一定成立的是（）

42

A.x+2<x+3B.5a>4aC.-a>-2aD.-—

aa

2.（2分）叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体ON4最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米.其

中，0.00005用科学记数法表示为（）

A.5X107B.5X104C.0.5X104D.50X103

3.（2分）下列算式计算结果为小的是（）

A.a3+a3B.a2*a3C.a]2-i-a2D.（t?）2

4.（2分）不等式组的解集是£>a+l,则a的取值范围是（）

.x>a+1

A.aW2B.C.D.“21

5.（2分）将多项式4a2-4分解因式后，结果完全正确的是（）

A.4（。-1）（a+1）B.4（a2-1）

C.（2a-2）（2a+2）D.4（«-1）2

6.（2分）方程组E”??的解满足的关系是（）

{x-y=b

A.x-2y=2B.x+2y=2C.x+y=-3D.x-y=3

7.（2分）如图，线段48上有C、。两点，且力。=N8,。是“。的中点，若。8=10,则线段4c的长

为（）

I_______I______I__________________________I

ACDB

A.15B.1（）C.5D.2.5

8.（2分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：“今有醇酒一斗,

直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒

1斗的价格是50钱，普通泗1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱.问优质酒、普通

酒各买多少斗？如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（）

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x+y=2#160;x+y=2#160;

B.

,50x+lOy=3010x+50y=30

x+y=20#160;+y=2#160;

D

5Ox+lOy=2J；5Ox—10>=30

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

9.（2分）x的2倍与5的差大于13,用不等式表示为

10.（2分）如果把方程2x+y=I改写成用含x的代数式表示y的形式，那么y=.

11.（2分）如果匕二是关于x,y的方程。什3y=8的解，那么户_______.

u一乙

12.（2分）分解因式：〃尸〃・2〃?〃+〃=.

13.（2分）下列多项式：①16/7；②（。+1）2-4a（。+1）+4〃：③--i+船.分解因式后结果

含有相同因式的是.

14.（2分）若关于x的不等式组户一2%>0有旦只有2个整数解，则机的取值范围是.

15.（2分）综合探究某数学兴趣小组川“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：

以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有〔填序号）.

16.（2分）某工厂用甲、乙两种京料制作4B,C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、

乙两种原料的重量如下：

工艺品型号含甲种原料的重量/和含乙种原料的重量伙g工艺品的重量/他

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A347

B325

C235

现要用甲、乙两种原料共31kg,制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个.

(1)若31奴原料恰好全部用完，则制作/型工艺品的个数为；

(2)若使用甲种原料不超过13依，同时使用乙种原料最多，则制作方案中4B,C1三种型号工艺品的

个数依次为.

三、解答题(本题共68分，第17、18、20、21、23题，每小题5分，第19题16分，第22题6分，第

24.26题，每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

(5%—1<3(x4-1),

17.(5分)解不等式组%+1并写出这个不等式组的所有整数解.

(-5——2x<l,

18.(5分)解方程组：2,

19.(16分)计算：

(1)(2d)3_/・巴

(2)(3a-2)(4«-1)；

(3)Ca+b)2-b(2a+6)；

(4)(16X4+24?-8?)4-(-8?).

20.(5分)已知"・尤・1=0,求代数式(3x+2)(3x・2)・3x(x+l)的值.

21.(5分)每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入48两种规格的书柜用于放置图书.经市场

调查发现，若购买/种书柜3个，8种书柜2个，共需资金1020元；若购买4种书柜1个，8种书柜

3个，共需资金900元.

(1)A.8两种规格的书柜的单价分别是多少？

(2)若该校计划购买这两种规格的书柜共20个.学校至多投入4350元的资金购买书柜，则8种书柜

最多可以购买多少个？

22.(5分)已知关于x、y的方程组+

(1)请写出x+2y=5的所有正整数解；

(2)若方程组的解满足.上=0,求〃?的值；

(3)如果方程组有正整数解，求整数〃［的值.

23.(6分)如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如4=

第3页(共24页)

22-0,12=42-2,20=62-42,则说明4,12,20都是“聪明数".

（1）24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？

（2）试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数.

（3）是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？

24.（7分）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某

些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除

以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1：

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。2+3什3

23X—1万3+2/2+0・6—3

12^278xi—x2

243x2+0*x

一

382-3工

36

23%—3

3。一3

0

图1图2

说明：

A(x)=x2+2x—3

B(x)=x—\

2

当n=l时，qi(x)=x

A2784-12=232,

JCX3+2X2-3)+(x-1)=X2+3X+3,

小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图(图3),如下:

(1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填；

(2)多项式3./-1lx+10除以多项式x-2,所得的商式为；

(3)已知/十2f-ax-10能被x-2整除，贝Ua=；

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（4）如图2,有1张4卡片，9张8卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且

一边长为（〃+8b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由.

25.（7分）如图，点。是直线//上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点O作射线平分N3OC.

（1）如图1,如果N/OC=50°,依题意补全图形，并出求N/X见度数;

（2）当直角三角板绕点。顺时针旋转一定的角度得到图2,使得直角边0c在直线的上方，若/

A0C=a,其他条件不变，请你用含a的代数式表示NOOE的度数；

（3）当直角三角板绕点。继续顺时针旋转一周，回到图1的位置，在旋转过程中你发现N/1OC与N

DOE（0°W/4OCW180°,0°WNQO£W180°）之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现.

26.（7分）不妨约定：关于x,j的一元一次方程ax+"=c（a.b,。为常数，且#0）,

若系数满足a+8=2c,则称这个方程为“开心”方程.例如：方程4x+2y=3,其中a=4,b=2,c=3,

满足a+8=2c,且"c#0,则方程4x+2y=3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作

“开心”方程组.根据上述规定，回答下列问题：

（1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）：

①4x+y=10;0|x-|y=•③x-y=0:

（2）若关于x,y的“开心”方程组，算:二二??的解为C二:求p-q的值.

（X十oy—ci।乙T

,_k

（3）关于x,y的“开心”方程组mx+ny-满足〃〈仁〃?，其中〃，M，％为整数,

（t-n）x+（m—£—2k）y=1

/为常数且什6W0,求用的值，并求此“开心方程组”的解.

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2024-2025学年北京市顺义区仁和中学七年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案AADDABDA

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）下列不等式一定成立的是（）

42

A.x+2<x+3B.5a>4ciC.-a>-2aD.—>—

aa

【分析】根据不等式的性质分析判断.

【解答】解：A,因为2V3,不等式两边同时加上x,不等号方向不变，即x+2Vx+3正确；

B、因为5>4,不等式两边同乘以m而。W0时，不等号方向改变，即5“W4a,故错误；

。、因为不等式两边同乘以。，而aWO时，不等号方向改变，即・aW・2m故错误：

D、因为4>2,不等式两边同除以〃，而“V0时，不等号方向改变，BP-<-,故错误.

aa

故选：A.

【点评】主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切

关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.小等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.（2）不等式两边乘〔或除以）同

一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

2.（2分）叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体OW4最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米.其

中，0.00005用科学记数法表示为（）

A.5X10'5B.5XI0'4C.0.5X10'4D.50X103

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为与较大数的科学记数

法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：0.00005=5X1（）5,

故选：A.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为口义10一〃，其中lW|a|V10,〃为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

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3.(2分)下列算式计算结果为的是(

A.tP+QB.a2*a3C.a12-ra2D.(a3)2

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数呆的乘除运算法则和呆的乘方运算法则分别计算得出答案.

【解答】解：4、。3+/=2a3,故此选项错误；

B、a2*a3=a5,故此选项错误；

C、/2彳〃2=〃0,故此选项错误：

D、(a3)2=小，故此选项正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数累的乘除运算和暴的乘方运算，正确掌握相关运算法则

是解题关键.

x+9x4-1

4.(2分)不等式组的解集是则”的取值范围是()

U>a+1

A.aW2B.心2C.aWlD.

【分析】利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可.

1解答】解」…十中①，

U>a+1@

由①得：Q2,

根据不等式组的解集为x>a+l,得到"122,

解得：”21.

故选：D.

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，热练掌握不等式组的解法是解本题的关键.

5.(2分)将多项式4a2-4分解因式后，结果完全正确的是()

A.4(a-1)(a+1)B.4(a2-1)

C.<2a-2)(2a»2)D.4(a-1)2

【分析】首先提取公因式4,再利用公式法分解因式即可.

【解答】解:4a2-4

=4(^2-1)

=4(a+1)(a-1).

故选：A.

【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键.

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6.（2分）方程组《；：短7的解满足的关系是（）

A.x-2y=2B.x+2y=2C.x+y=-3D.x-y=3

【分析】先求出方程组的解，再把求出的x、y的值代入每个方程，看看方程两边是否相等即可.

【解答】解：产+y=7®

{x-y=5②

①+②，得3x=12,

解得：x=4,

把x=4代入②，得4-y=5,

解得：y=-1，

所以方程组的解是「二，1，

A.把I21代入x-2y=2得：左边=4・2X（-1）=4+2=6,右边=2,左边W右边，

所以仁二不满足方程X-2J=2,故本选项不符合题意；

B.把二代入x+2y=2得：左边=4+2X（-I）=4-2=2,右边=2,左边=右边，

所以满足方程田2），=2,故本选项符合题意；

C,把1代入x+y=-3得：左边=4+（-1）=3,右边=-3,左边N右边，

所以:21不满足方程x+）'=-3,故本选项不符合题意：

D.把{；［［］代入x・y=3得：左边=4-（-1）=4+1=5,右边=3,左边工右边，

所以后二不满足方程x-y=3,故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解和二元一次方程的解等知识点，能求出方

程组的解是解此题的关键.

7.（2分）如图，线段力4上有C、。两点，且/。=^48,。是X。的中点，若DB=10,则线段力。的长

为（）

I_______I_________I______________________________________I

ACDB

A.15B.10C.5D.2.5

【分析】先由线段之间的关系得到力。=480=5,再由线段中点的定义可得4c2.5.

第9页（共24页）

【解答】解：・・・AD=筵/1B,

2

・・・8。="8,

•:DB=10,

：.AD=^BD=1x10=5,

VC是力。的中点，

：.AC=^AD=2.5,

故选：D.

【点评】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，掌握与线段中点有关的线段和差计算是解题

的关键.

8.（2分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：“今有醉酒一斗，

直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒一斗.问醇、行酒各得几何？”译义：今有优质酒

1斗的价格是5（）钱，普通酒1斗的价格是1（）钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱.问优质酒、普通

酒各买多少斗？如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（）

A俨+y=2#160;1x+y=2#160;

(50x+10y=30\lOx+50y=30

fx+y=30#160;+y=2#160;

D，

C(50x+lOy=2：50x-10>=30

【分析】设买美酒x斗，普通酒y斗，根据现在买两种酒2斗共付30钱，即可得出关于x,y的二元一

次方程组.

【解答】解；设买美酒x斗，普通酒y斗，

依题意’得：（50x+10y=30'

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问例抽象出二元一次方程组的知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程

组是解题的关键.

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

第10页（共24页）

9.（2分）x的2倍与5的差大于13,用不等式表示为2x-5>13.

【分析】根据“工的2倍与5的差大于13”进行列式，即可作答.

【解答】解：的2倍与5的差大于13,

，用不等式表示为2x-5>13,

故答案为：2v-5>13.

【点评】本题考资了列不等式，正确理解题意是解题的关键.

10.（2分）如果把方程2x+y=l改写成用含x的代数式表示），的形式，那么尸1-2》.

【分析】把x当成已知数，解关于y的方程即可.

【解答】解：W=1,

移项，得：y=1-2.r»

故答案为：1-1Y.

【点评】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键.

11.（2分）如果匕二是关于x,y的方程改+3尸8的解，那么户2.

u一乙

【分析】将方程的解代入原方程，然后计算求解.

【解答】解：・・・后：；是方程公+3y=8的解.，

・"3X2=8,

解得：a=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解的概念是解题基础.

12.（2分）分解因式：nrn-2mn+n=n（z/z-1）2.

【分析】原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可.

【解答】解:原式=〃（w2-2m+\）=n（m-1）2.

故答案为：〃（ni-1）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

13.（2分）下列多项式：①16a4-1；②（a+1）2-4“（a+1）+4a2；③-4a2-1+4”.分解因式后结果

含有相同因式的是①③.

【分析】①利用平方差公式进行分解即可：

②直接利用完全平方公式分解因式即可；

③首先提取“-再利用完全平方公式分解因式即可.

第11页（共24页）

【解答】解:①原式=(4/+|)(4a2-1)

=(4『+1)(2a+l)(2a-1)：

②原式=（。+1-2a）2

=（a・1）2；

③原式=-（4/-4a+l）

=-（2a-1）2.

・••结果含有相同因式的是①③，

故答案为：①③.

【点评】此题考查了公式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键.

14.（2分）若关于x的不等式组代一2%>°有且只有2个整数解，则〃1的取值范围是-

<x>m

【分析】解出不等式组的解集，再根据不等式组，只有2个整数解.，即可得到关于〃，的取值范围.

【解答】解：解不等式3-2x>U,

得x<|，

由题意可知：mWxV*

•・•关于x的不等式组俨-2%>°有且只有2个整数解，

<x>m

-K/H^O.

故答案为：-1V〃?WO.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关健是正确解不等式组.

15.（2分）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”:

以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有①②③（填序号）.

第12页（共24页）

【分析】用不同的方法分别用代数式表示各个图形中阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可.

【解答】解：①阴影部分是两个正方形的面积差，即(。2-82),拼成的是底为高为Ca-b)

的平行四边形,面积为(a+b)(a・b),

/.Ca+b)(〃-b)=a2-b2,故阴影部分的面积等于平行四边形的面积，可以验证平方差公式；

②阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即(『・庐)，拼成的是长为(〃+b),宽为(a・b)的长方

形，面积为(a+b)(a-b)f

・•・(a+b)(a-b)=a2-b2,故阴影部分的面积等于长方形的面积，可以验证平方差公式：

③阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即(/-庐)，拼成的是底为(a+b),高为(a-b)的平行

四边形，面积为(Q+b)(…),

/.Ca+b)(a・b)=a2-b2,故图③可以验证平方差公式；

④阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即("b)2・(a-b)2,拼成的是长为2m宽为2b的

长方形，面积为4〃力，

・•・(。+6)2-2=4时,故图④不能验证平方差公式；

综上所述，能验证平方差公式的有①②③.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是关键.

16.(2分)某工厂用甲、乙两种原料制作儿B,。三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、

乙两种原料的重品如下：

工艺品型号含甲种原料的重量/检含乙种原料的重量伙g工艺品的重量/超

A347

B325

C235

现要用甲、乙两种原料共31Ag制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个.

(1)若3Mg原料恰好全部用完，则制作4型工艺品的个数为3个；

(2)若使用甲种原料不超过13相，同时使用乙种原料最多，则制作方案中48,。三种型号工艺品的

个数依次为2,1,2.

【分析】(1)设制作/型工艺品x个，4型工艺品和。型工艺品共y个，根据“用甲、乙两种原料共

31检，制作5个工艺品”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设制作。型工艺品c个，则制作彳型工艺品和8型工艺品共(5-c)个，根据使用甲种原料不超

第13页(共24页)

过13A-g,可得出关于。的一元一次不等式，解之可得出c的取值范围，结合每种型号至少制作1个，可

得出。可以为2,3,分。为2和。为3两种情况，找出各制作方案使用乙种原料的重量，比较后即可得

出结论.

【解答】解：（1）设制作力型工艺品x个，4型工艺品和C型工艺品共y个，

根据题意得：

解得:

••・制作力型工艺品的个数为3个.

故答案为：3个；

（2）设制作C型工艺品c个，则制作力型工艺品和B型工艺品共（5-c）个，

根据题意得：3（5-c）+2cW13,

解得：c22,

•・•每种型号至少制作1个，

・・・。可以为2,3.

若。=2,当制作力型工艺品2个，4型工艺品1个时，使用乙种原料4X2+2X1+3X2=16（馆）；

当制作力型工艺品I个，〃型工艺品2个时，使用乙种原料4X1+2X2+3X2=14（kg）；

若c=3,当制作/型工艺品I个，A型工艺品1个时，使用乙种原料4X1+2X1+3X3=15（检）.

V16>15>14,

工制作方案中4B,C三种型号工艺品的个数依次为2,1,2.

故答案为：2,1,2.

【点评】本题考查了二元•次方程组的应用以及•元•次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

三、解答题（本题共68分，第17、18、20、21、23题，每小题5分，第19题16分，第22题6分，第

24.26题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

（5x-1<3（x+1）,

17.（5分）解不等式组x+i并写出这个不等式组的所有整数解.

——2xVI,

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可.

（5x-1<3（%+1）①

【解答】解：X+1玲»

•・•由①，得kW2,

第14页（共24页）

由&),得x>—看,

・•・原不等式组的解集为-1OW2,

・•・原不等式组的所有整数解为0,1,2.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键.

18.(5分)解方程组:[3^4^=2-

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

【解答】解：，"+:=s幺

(3x-4y=2②

①X4+②得：15=22,

解得：x=2,

把x=2代入①得：y=\,

则方程组的解为「二;

【点评】此题考查了解二元•次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

19.(16分)计算：

(1)⑵2)3・、2・丫4：

(2)(3a-2)(4a-1)；

(3)(a+b)2-b(2a+Z>)；

(4)(16X4+24X3-8X2)+(-Sx2).

【分析】(1)先算积的乘方和同底数塞的乘法，然后合并同类项即可；

(2)根据多项式乘多项式进行计算即可；

(3)根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算即可；

(4)根据多项式除以单项式进行计算即可.

【解答】(1)(2x2)3-f・x4

=8x6-x6

=7x6；

(2)(3。・2)(467-1)

=12a2-3a-8a+2

=12々2・11。+2；

(3)(a+b)2-b(2〃+万)

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=a2+2ab+b2-lab-b2

=a2i

（4）（16X44-24X3-8?）4-（-8?）

=16/4-（-8x2）+24X34-（-8.?）-8?4-（-8『）

=-2x2-3x+l.

【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

20.（5分）已知Zr2-、-1=0,求代数式（3x+2）（3x-2）-3x（x+1）的值.

【分析】利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把2?-x=l代入化简后的式子进行

计算，即可解答.

【解答】解：（3x+2）（3x-2）-3x（x+1）

=9JT-4-3x2-3x

=6x2-3x-4,

1=0,

・・・2?-工=1,

当2x2-x=］时，原式=3⑵2-x）-4=3X1-4=3-4=-1.

【点评】本题考查了整式的混合运算■化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

21.（5分）每年的4月23口是世界读书口.某校计划购入儿B两种规格的书柜用于放置图书.经市场

调查发现，若购买4种书柜3个，A种书柜2个，共需资金1020元：若购买4种书柜1个，A种书柜

3个，共需资金900元.

（1）A,8两种规格的书柜的单价分别是多少？

（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个.学校至多投入4350元的资金购买书柜，则8种书柜

最多可以购买多少个？

【分析】（1）设力种书柜的单价是x元，8种书柜的单价是p元，根据“购买力种书相：3个，4种书柜

2个，共需资金1020元；购买4种书柜1个，〃种书柜3个，共需资金900元”，即可得出关于-y

的二元一次方程组，解之即可得出结论：

（2）设购买8种书柜用个，则购买4种书柜（20-加）个，利用总价=单价X数量，结合总价不超过

4350元，即可得出关于小的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

【解答】解：（1）设彳种书柜的单价是x元，8种书柜的单价是y元，

依题意得:焊篇步，

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解得:（；：Z

答：4种书柜的单价是180元，8种书柜的单价是240元.

（2）设购买B种书柜用个，则购买4种书柜（20-,«）个，

依题意得:180（20-w）+240w<4350,

解得：小吟,

又・・・明为整数,

：.m的最大值为12.

答：4种书柜最多可以购买12个.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

22.（5分）已知关于x、y的方程组｛：1二%+9=0・

（1）请写出x+2y=5的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足x+y=0,求〃?的值：

（3）如果方程组有正整数解，求整数小的值.

【分析】（1）把y看作已知数表示出x,进而确定出方程的正整数解即可；

（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出〃?的值；

（3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程x-2j4mx+9=O,确定出整数切的值

即可.

【解答】解：（1）方程x+2y=5,

解得：x=-2y+5,

当y=l时，x=3；

当尸2,x=\；

即解球:；｛;:%

⑵联立得耕"o',

解得｛译5,

代入x-2y+〃?x+9=0得：-5-10-56+9=0,

解得m=-1；

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⑶,隹"y

代入x-2y+〃rr+9=0得，

3-2+3〃?+9=0或1-4+〃?+9=0

解得：m=-学（舍去）或机=-6

:.整数m的值为-6.

【点评】此题考查了二元•次方程组的解，以及解二元•次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23,（6分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如4=

22-0,12=42-2,20=62-42,则说明4,12,20都是“聪明数”.

（1）24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？

（2）试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数.

（3）是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？

【分析】（1）根据定义，进行判断，即可求解；

（2）设两个连续偶数为2匕2%+2,根据平方差公式进行计算即可求解；

（3）设两个连续奇数为2m-1和2〃什1计算它们的平方差得出结果为8机，根据（2）即可说

明不存在的理由.

【解答】解：（1）V20=62-42,82-62=28,

・・・24不是“聪明数”,

V36=102-82,

・・・36是“聪明数”;

（2）设两个连续偶数为2h2好2,

则（2人2）2-（2AO2=4F+4+8k-4A2=弘+4=4（2奸1）,

V2HI是奇数,

••・4（2H1）不是8的倍数.即所有的“聪明数”都不是8的倍数；

（3）设两个连续奇数为2m-1和2〃1+1（帆20）,

其平方差为:（2〃rH）2-（2m-1）2=（2m+\+2m-I）（2w+l-2m+l）=8m,

由（2）可得，所有的“聪明数”都不是8的倍数，

・•・不存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”.

【点评】本题考查了平方差公式的运算，有理数的混合运算，掌握其性质是解题的关键.

24.（7分）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某

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些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除

以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1:

一+3计3

23X—1万3+2力2+0・8—3

\2)278x3—x2

243x2+0*x

38

3x2—3>x

36

3x-3

238—3

图1图2

说明：

A(x)=x24-2x—3

B(x)=x—1

2

当n=l时，qx[x}=x

.*.2784-12=232,

J（.?+Zr2-3）+（x-1）=f+3x+3,

小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图（图3）,如下：

（1）根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填当余式的次数低于除式的次数；

第19页（共24页）

（2）多项式3»-Ilx+10除以多项式x-2,所得的商式为3x-5；

（3）已知4+2/-ax-10能被x-2整除，则＞=3:

（4）如图2,有1张力卡片，9张8卡片，8张。卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且

一边长为（〃+8力）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由.

【分析】（1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论；

（2）列竖式进行计算即可得到答案：

（3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；

（4）根据题意，得到18张卡片的总面积为/+9M+8b2列竖式计算，根据“2+9〃什8户能被整除,

即可得到答案.

【解答】解：（1）余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数，

故答案为：当余式的次数低于除式的次数：

（2）列竖式如下：

3x—5

X-x）3x2-llx+10

3x2—6x

-5x+10

-5x+10

0

・•・多项式3x2-1lx+10除以多项式x-2,所得的商式为3x・5,

故答案为：3x・5；

（3）列竖式如下：

x2+4x+（8-a）

x—2,x34-2x2—ax—10

x3-2x2

4x2—ax—10

4x2—8x

(8-a)x-IO

(8-a)x-2(8-a)

2(8-a)-10

7?+2?-ax-10能被x-2整除，

A2(8-a)-10=0,

解得：。=3,

故答案为：3；

第20页(共24页)

（4）能，理由如下：

根据题意，力卡片的面积是8卡片的面积是C卡片的面积是房，

・・・1张4卡片,9张8卡片，8张C卡片的总面积为/+9片+8丛,

列竖式如下：

a+b

a+8b/a?+9ab+8b2

a2H-8ab

ab+8b2

ab+8b2

万

•••余式为0,

/.a2+9o6+862自3被a+Sb整I除，商式为a+b,

・•・可以拼成与原来总面积相等且一边长为（。+8〃）的长方形，另一边长为（a+b）.

【点评】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式=除式X商

式十余式.

25.（7分）如图，点O是直线上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点。作射线OE平分N8OC.

（2）当直角三角板绕点。顺时针旋转一定的角度得到图2,使得直角边OC在直线的上方，若N

A（）C=a,其他条件不变，请你用含a的代数式表示NDOE的度数；

（3）当直角三角板绕点。继续顺时针旋转一周，回到图I的位置，在旋转过程中你发现N/OC与/

DOE（0°WN4OCW180。，0°WNDOEW180。）之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现.

【分析】（1）根据角平分线的作法作出OE平分N8OC,先根据平角的定义求出N8OC,再根据角平分

线的定义求出NCOE,再根据直角的定义即可求解：

（2）先根据平角的定义求出/8OC,再根据角平分线的定义求出NCOE,再根