中考数学一轮专项复习（章节测试）-圆（原卷版+解析版）

因

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.如图所示，A（2&,0）,AB=3五,以点4为圆心，力8长为半径画弧交x轴负半轴于点C,则点。的坐

标为（）

A.（3或,0）B.（V2,0）C.（-V2,0）D.（-3企,0）

2.【原创题】在同一平面内，已知。。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,点P为圆上的一个动点,

则点尸到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

&3.如图，四边形/BCD内接于00,E为8c延长线上一点.若乙DCE=65。,则NBOD的度数是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【新考法】数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题

4.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗"（图①）

的形状示意图.丽是。。的一部分，。是检的中点，连接。。，与弦48交于点C,连接。4,0B.已知48=24cm,

碗深CD=8cm,则O0的半径。/为（）

C.17cmD.26cm

5.【创新题】如图，是0。的直径，弦CO_L。/!丁点号连络0&0D.若。。的半径为m,乙400=4用

则下列结论一定成立的是（）

2

A.0E=m-tanaB.CD=2m-sinaC.AE=m-cosaD.S^C0D=m-sina

6.已知△4BC的周长为人其内切圆的面积为兀户，则△ABC的面积为（）

A.-rlB.-nrlC.rlD.nrl

22

7.【仓|J新题】如图，。的内切圆。/与BC,C4,4B分别相切于点。，E,F,若。/的半径为小〃=a,

则（8/+CE-8C）的值和乙产的大小分另ij为（）

C.2「9。。臂D.0,90-f

8.如图，四边形48C0内接于。0,。。的半径为3,40二120。，则配的长是（）

2

A.nB・C.27rD.47r

9.已知一个正多边形的边心距与边长之比为年，则这个正多边形的边数是（）

A.4B.6C.7D.8

10.【原创题】如图，正六边形的外接圆。。的半径为2,过圆心。的两条直线匕、%的夹角为60。,

则图中的阴影部分的面积为（）

/）

44方C4代「2仄^2V3

A.-7i-V3B.-7T--C.-n-V3D.-n--

332332

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.如图，在△4BC中，4c=90。，AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=

12.如图，在RtAABC中，Z,ACB=90°,48=60。，BC=3,将△48。绕点C逆时针旋转到△EDC的位置,

点6的对应点。首次落在斜边88上，则点A的运动路径的长为.

13.圆锥的高为2注,母线长为3,沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是度，该

圆锥的侧面积是（结果用含兀的式子表示）.

14.如图，40是。。的直径，△ABC是。。的内接三角形.若皿C=LABC,=4,则。。的直径

AD=.

【新考法】数学与实际生活利用数学知识解决实际问题

15.小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，座圆形城堡有正东、正南、正西和正北

四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一-颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6

16.【创新题】如图，在矩形/BCD中，AB=8,AD=10,点〃为BC的中点，E是上的一点，连接4E,

作点4关于直线4E的对称点8',连接OB'并延长交BC于点?当BF最大时，点g到BC的距离是.

三.解答题(共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分,

23题9分，24题10分，25题13分)

17.如图，A8是。。的弦，半径0C1A8,垂足为。，弦CE与48交于点巴连接AE,AC,BC.

(1)求证：^BAC=ZE；

(2)若｛8=8,DC=2,CE=3A/10,求CF的长.

18.如图，半径为6的。。与的边力8相切于点力，交边8c于点C,D,N4=9()。，连接O。，AD.

⑴若N4c8=20。，求助的长(结果保留W).

(2)求证：力。平分N8OO.

19.已知：△力BC.

(1)天规作图：用百尺和圆规作出内切圆的圆心O：(只保留作图痕迹,不写作法和讦明)

(2)如果△48。的周长为14cm,内切圆的半径为1.3cm,求的面积.

【新考法】数学与实际生活一利用数学知识解决实际问题

20.祥舸江“余月郎山，西陵晚渡，.的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的

传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图.

O

(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CO约是28〃?，洞高约是12/〃，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞

像半个月亮，求半径0C的长(结果精确到0』小)：

⑵若NC0D=162。，点M在加上，求NCM0的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶加上

巡视时总能看清洞口CD的情况.

21.如图，已知是。。的直径，BD是。。的弦，点P是0。外的一点，PCLAB,垂足为点C,PC与BD

相交于点E，连接尸D,且PO=PE,延长PD交8A的延长线于点立

(2)若。F=4,PE=!,cosZ.PFC=求8E的长.

【新考法】圆与反比例函数综合

22.小军借助反比例函数图象设计“鱼形叫绍案,如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=:图象上的

点4(遮,1)和点8为顶点，分别作菱形力。。。和菱形OBE凡点Z),E在x轴上，以点。为圆心，。4长为半

径作衣，连接8工

(1)求〃的值：

(2)求扇形力0C的半径及圆心角的度数；

(3)请更接写出图中阴影部分面积之和.

23.【创新题】如图，四边形48co内接于。。，对角线AC,3。相交于点E,点”在边力。上，连接

(1)求证：AABE〜4DCE；

(2)当应：=丽，zDFE=2ZCDFHI，则笠一丝=

小A》-----------.(直接将结果填写在相应的横线上)

(3)①记四边形48CD,△/18E,△(?/)£■的面积依次为S,Si，52,若满足逐=风+医，试判断，AABE,△

C0E的形状，并说明理由.

②当。C=CB,AB=m,AD=n,CD=p时，试用含加，〃，p的式子表示4E•CE.

【几何模型】定弦定角模型

24.已知4M0N=a，点48分别在射线0M,0N上运动，AB=6.

图①图②图③

(I)如图①，若a=90。，取AB中点D,点4,B运动时，点。也随之运动，点力，B,D的对应点分别为A,8',D',

连接。0,00.判断。。与。0'有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60。，以/也为斜边在其右侧作等腰直角三角形/出C,求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点A,8运动到什么位置时，△4。8的面积最大?请说明理由，并求出△NOB面积

的最大值.

【新考法】圆与二次函数综合

25.如图，直线/：y=2x+l与抛物线C：y=2x2+6+c相交于点力(0,w),B(〃，7).

(1)填空：/〃=_,〃=_,抛物线的解析式为

(2)洛直线/向下移“(a>0)个单位长度后，直线/与抛物线C仍有公共点，求〃的取值范围.

(3)2是抛物线上的一个动点，是否存在以力。为直径的圆与x轴相切于点夕？若存在，请求出点户的坐标;

若不存在，请说明埋由.

圆

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.如图所示，A（2&,0）,AB=3五,以点4为圆心，力8长为半径画弧交x轴负半轴于点C,则点。的坐

标为（）

A.（3V2,0）B.（V2,0）C.（-V2,0）D.（-3V2,0）

【答案】C

【分析】先求得04的长，从而求出OC的长即可.

【详解】解：・・・4（2企,0）,

・・・0力=2衣，

-：AB=3V2,以点片为圆心，46长为半径画弧交x轴负半轴于点C,

：.AC=AB=3y[2,

:.0C=AC-OA=3^2-2y/2=VL

•・•点C为x轴负半轴上的点，

AC（-V2,0）,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确力4=4。是解题的关键.

2.【原创题】在同一平面内，已知0。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,点P为圆上的一个动点,

则点P到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】过点。作。4于点4连接。P，判断出当点P为“。的延长线与。。的交点时，点P到直线侑勺距离

最大，由此即可得.

【详解】解：如图，过点。作041，于点4连接0P,

=0P=2,

・•・当点P为A0的延长线与O0的交点时，点P到直线1的距离最大，最大距离为24=3+2=5,

故选:B.

【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点P到直线，的距离最大时，点P的位置是解题关键.

3.如图，四边形内接于。0,E为5c延长线上一点.若乙DCE=65。,则乙8。0的度数是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【答案】C

【分析】根据邻补角互补求出NDCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出NB4D的度数，最后根据圆

周角定理即可求出Z80D的度数.

【详解】解：・・・ZDCE=65。,

：,£DCB=180°-Z.DCE=180°-65°=115°,

•・•四边形4BC0内接于O。，

：./.BAD4-Z.DCB=180°,

：.£BAD=65°,

•LBOD=2/-BAD=2x65°=130°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键.

【新考法】数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题

4.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之图②是从正面看到的一个“老碗"(图①)

的形状示意图.而是0。的一部分，。是阿的中点，连接0。，与弦48交F点C,连接。/1,0B.已知48=24cm,

碗深CD=8cm,则。。的半径04为()

D.26cm

【答案】A

【分析】首先利用垂径定理的推论得出。。148,AC=BC=^AB=12cm,再设。。的半径04为Rem,则

0C=(R-8)cm.在Rt^O/lC中根据勾股定理列出方程R2=i22+(R-8)2,求出R即可.

【详解】解：•••丽是。。的一部分，D是防的中点，48=24cm,

GD1AB,AC=BC=-2AB=12cm.

设0。的半径OA为Rem,则。C=OD-CD=(R-8)cm.

在Rt△OAC中，vLOCA=90°,

^GA2=AC2+OC2,

•••&2=122+(/?-8)2,

:.R=13,

即0。的半径。力为13cm.

故选:A.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设O0的半径04为Rem,列出关于R的方程是解题的关键.

5.【创新题】如图，48是。。的直径，弦CQ10/1于点E,连垢。若。。的半径为？n,乙4。。=Na,

则下列结论一定成立的是()

A

cD

B

2

A.OE=m-tanaB.CD=2m-sinaC.AE=m•cosaD.S^C0D=m-sina

【答案】B

【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答.

【详解】解：是。。的直径，弦。1。/1于点区

：.DE=^CD

2

在RC4E0。中，0D=m,Z.AOD=za

,4DE

.・tana=^

・・・OE=W=#L,故选项4错误，不符合题意；

tana2tana

乂T7s・ina=—DE

OD

:.DE=OD-sina

'»CD=2DE=2m-sina,故选项8正确，符合题意：

-T7OE

又cos。=而

：.0E=ODcosa=mcosa

AO=DO=m

.\AE=AO-OE=m-?n-cosa,故选项C错误，不符合题意；

VCD=2m-sina,OE=m-cosa

2

••SAC0D=|CDxOE=1x2m'S\naxm-cosa=msina-cosa,故选项D错误，不符合题意；

故选民

【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂

径定理和锐角三角函数的定义.

6.已知△A8C的周长为1,其内切圆的面积为几/,则△4BC的面积为（）

A.-rlB.-TtrlC.rlD.nrl

22

【答案】A

【分析】由题意可得S&408=xOE=xr,S^B0C=^BCxr,S^A0C=^ACxr,由面枳关系可求

解.

【详解】解：如图，设内切圆。与△48。相切于点D,点E,点F,连接。4OB,OC,OE,OF,OD,

v力B切Q。于E,

•••0E1ABt0E=r,

•••S&AOB=xOE=^ABxr,

同理：S^BOC=&BCxr,

SA/OC=54cxr，

111

S=S&AOB+S^BOC+S&AOC2-2-2-=-(AB+BC+AC)xr,

-l=AB+BC+AC,

：.S=-lr,

故选A

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键.

7.【创新题】如图，△ABC的内切圆。/与BC,CA,AB分别相切于点Z),E,F,若O/的半径为r,Z.A=a,

则(8/+CE-BC)的值和的大小分别为()

BDC

A.2r,90°-aB.0,900-aC.2r,90°-^D.0,90°--

【答案】D

【分析】如图，连接厅,IE.利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可.

【详解】解：如图，连接/凡IE.

•••△48。的内切圆。/与8配&4,A8分别相切于点。，E,F,

：.BF=BD,CD=CE,IFA.AB,IE1AC,

：.BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0,Z-AFI=Z.AEI=90°,

：.LEIF=180°-a,

，乙

EDF=-2Z-EI2F=90°--a.

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性

质，属于中考常考题型.

8.如图，四边形/BCO内接于0。，O。的半径为3,，/）=120。，则后的长是（）

【答案】C

【分析】根据园内接四边形的性质得到28=60。，由圆周角定理得到乙4OC=120。，根据弧长的公式即可

得到结论.

【详解】解：•.•四边形ABCD内接于O。，ZD=120°,

：•乙B—6009

乙AOC=2乙B=120°,

...前的长=警=27r.

loU

故选：c.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是

解胭的关键.

9.已知一个正多边形的边心距与边长之比为半，则这个正多边形的边数是（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】如图，4为正多边形的中心，为正多边形的边，AB,AC为正多边形的半径，力。为正多边形的

边心距，由翌可得可得NB=60。，而=可得△4BC为等边三角形，从而可得答案.

【详解】解：如图，力为正多边形的中心，8c为正多边形的边，AB,AC为正多边形的半径，4。为正多边

形的边心距，

：

,AB=AC,AD1BC,—BC=2

・・・BD=CD二BC,

:.比=叵,即丝=百，

2BD2BD

tariziS=—BD=V3»

：.£B=60°,而48=AC,

•••△ABC为等边三角形，

・・・/BAC=60。，

・•・多边形的边数为：嘤=6,

6U

故选B

【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

10.【原创题】如图，正六边形48CDEF的外接圆。。的半径为2,过圆心。的两条直线小/2的夹角为60。，

则图中的阴影部分的面积为（）

.46厂2gn2V5

A.-7T—V3B.-7T——C.-7T—V3D.-71—--

OJ4JJ4

【答案】c

【分析】如图，连接4。，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A,0,。三点共线，△C00为等

边三角形，证明扇形40Q与扇形COG重合，可得S阴影=S扇形COD—SMOD，从而可得答案.

【详解】解：如图，连接40,标注直线与圆的交点，

由正六边形的性质可得：40,D三点共线，△C。。为等边三角形，

：.LAOQ=/.DOH,/.COD=Z-GOH=60°,

：.LCOG=乙DOH=Z.AOQ,

・•.扇形40Q与扇形COG重合，

'S阴影=S扇形co。-S&COD'

•••△C。。为等边三角形，0c=00=2,过。作OKICD于K,

：.£COD=60°,CK=DK=1,OK=V22-l2=V3,

；・S阴影=S扇形C00-S^C0D=9翳==|x2xV3=y-V3；

故选C

【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，热记正六边形的性质是解本题

的关键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.如图，在△力8c中，LC=90°,AC=3,8c=4,则△4BC的内切圆半径r=.

【答案】1

【分析】本题考.杳了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本

题的关键，首先利用切线的性质证明四边形OECF是正方形，得到CE=CF=r,再利用切线长定理得到4E=

3-r,BF=4-r,最后由40+80=48列方程即可求解.

【详解】设△4BC的内切圆与48、AC,8C分别相切于点。、E、F,

GE1AC,OF1BC,

vzC=90°,

四边形OEC尸是矩形，

•••CE=CF,

四边形OEd•是正方形，

:•CE=CF=OE=r,

AAE=3—r,BF=4—r,

vAD=AE,BD=BF,

AD=3—r,BD=4—r,

在RtZkABC中，AB=>JAC2+BC2=V32+42=5,

vAD+BD=AB,

3-r+4-r=5,

解得r=1.

故答案为：I.

12.如图，在Rta/IBC中，2LACB=90°,48=60。，BC=3,将△/18C绕点。逆时针旋转到△EOC的位置.

点B的对应点。首次落在斜边上，则点4的运动路径的长为.

【答案】V3/r

【分析】首先证明△BC。是等边三角形，再根据弧长公式计算即可.

【详解】解：在中，9：LACB=90°,匕8=60。，BC=3,

.\AB=2BC=6,

由旋转的性质得CE=CA=yJAB2-BC2=3百，LACE=乙BCD=90°-Z.ACD,

CB-CD,

•••△BCD是等边三角形，

工人BCD=600=4ACE,

J点4的运动路径的长为竺吟=V37T.

lol）

故答案为：V37T.

【点睛】本题考查了旋转变换，含30。直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解

题的关键是证明^8C0是等边三角形.

13.圆锥的高为2VL母线长为3,沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是度，该

圆锥的侧面积是（结果用含7T的式子表示）.

【答案】120371

【分析】根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线

为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解.

【详解】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径=132-（2e）2=1,

・••该圆锥底面周长=2兀，

•・•圆锥母线长为3,

・••该圆锥的侧面展开图的半径为3,

^=2兀，解得：n=120,

180

即展开图（扇形）的圆心角是120度，

圆锥的侧面积=1/r=1x27rx3=3zr,

故答案为：120,37r.

【点睛】本题主要考查了求圆锥地面半径，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长［=黑，扇形

loU

面积=沙=需

14.如图，40是。。的直径，是0。的内接三角形.若AC=4,则0。的直径

AD=______

【答案】4V2

【分析】连接CD,0C,根据在同圆中直径所对的圆周角是90。可得N47D=90。，根据圆周角定理可得

"0。="04,根据圆心角，弦，弧之间的关系可得RC=CD,根据勾股定理即可求解.

【详解】解：连接CD,03如图:

••YD是。。的直径,

：.^ACD=90°,

*：LDAC=LABC,

:.乙COD=乙COA,

'•AC=CD,

又1・4C=4,

：.CD=4,

在RtZX/CC中，AD=\lAC.2+CD2=V42+42=472,

故答案为：4VL

【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90。，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定

理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【新考法】数学与实际生活一利用数学知识解决实际问题

15.小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北

四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6

里到达树下.则该城堡的外围直径为里.

西门［东q

XjWiflZ

【答案】9

【分析】由力8切圆于。，BC切圆于C,连接OD,得到。。148,OC1.BC,BD=BC=9里,由勾股定理

求出力C=A/4B2—BC2=12,由3必4=与=生，求出0。=4.5（里），即可得到答案.

ADAC

【详解】解：如图，oo表示圆形城堡，

由题意知：力B切圆于。，8。切圆于C,连接OD,

：.OD1AB,OC1BC,6O=BC=9里,

-：AD=6里，

・・・SB=4D+BZ）=15里，

：.AC=>JAB2-BC2=12,

..垢.ODBC

.tanA=—=

ADAC

.OD9

..—=一，

612

：.0D=4.5（里）.

・•・城堡的外围直径为20。=9（里）.

故答案为：9.

【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到tan/1=*=某，

ADAC

求出。。长即可.

16.【创新题】如图，在矩形A8CD中，AB=8,=10,点M为8c的中点，£是8M上的一点，连接AE,

作点8关于直线4E的对称点B',连接DB.并延长交BC于点尸.些8尸最大时，点B'到BC的距离是.

【答案】当

【分析】如图，由题意可得：夕在OA上，过"作8月1BC于H,由点B关于直线AE的对称点B',可得力B=AB',

BE=BE,AAEB=Z.AEB,Z.ABE=/-ABE,当DE与。4切于点时，BF最大,此时DF1AB',证明E,F

重合，可得NZX4E=Z.AEB=Z.AEB,,AD=DE=10,求解BE=BE=4,证明△EBHEDC,可得%=—,

cL/UL/

从而可得答案.

【详解】解：如图，由题意可得：8’在。?1上，过8'作B'H_L8C于H,

•・•点B关于直线AE的对称点"，

••AB=AB,BE=BE,£.AEB=Z.AEB,乙ABE=Z.ABE,

当DE与OA切于点B'时，BF最大,此时DF1/W',

：.£ABE=AABF=90°f

:,E,F重合,

：,LAEB=^AEB\

•・•矩形ABC。，

：.AD\\BC,ZC=90°,AD=BC=10,AB=CD=8,

,,LDAE=Z-AEB=Z.AEB,

»*,AD=DE=10,

：.CE=V102-82=6,

：・BE=B'E=4,

上BC,4c=90°,

：.AEB'HEDC,

.EBBH

•9=~~~,

EDCD

.4BH

**10一

・••点B'到8C的距离是冷.

故答案为：昔.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基

本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

三.解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分,

23题9分，24题10分，25题13分）

17.如图，是。。的弦，半径0C14B,垂足为。，弦CE与交于点凡连接力E,AC,BC.

（1）求证：Z.BAC=Z-E,

（2）若A8=8,DC=2,CE=3V10,求CF的长.

【答案】（1）见解析

*

【分析】（1）由垂径定理，得AD=8DAC=BC,由圆周角定理，得=

⑵可证△〜△EQ4得径=去RS/OC中，勾股定理求得4c='AD?+DC2=2遍,于是CF=蜉.

【详解】（1）证明：:OCl/lB。。是00的半径

・・・/0=BD,AC=BC（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）

：.LBAC=^E（同弧或等弧所对的圆周角相等）

（2）解：,：Z-BAC=Z.E又•・•乙力=

：^ACFECA（两角分别相等的两个三角形相似）

・•・《=：（相似三角形对应边成比例）

RCCA

*：AB=8

.*,AD=BD=4

在Rt△ADC^Z-ADC=90°AD=4CD=2

：,AC=yjAD2+DC2=V424-22=2收（勾股定理）

：.CF=25/l0

【点睹】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关

系是解题的关键.

18.如图，半径为6的。。与即△力8C的边力8相切于点4交边8C于点C,D,N8=90。，连接。。，JD.

(1)若N/C8=20。，求丽的长(结果保留兀).

(2)求证：4D平分/BDO.

【答案】(呜

(2)见解析

【分析】(1)连接。4由上力C8=20。，得ZL40D=40。，由弧长公式即得通的长为葭；

(2)根据48切。。于点4乙B=90°,可得04//8C,有乙。AO=LADB,而。力=OD,即可得4力。8=4。。力,

从而力。平分NBDO.

•/乙4c8=20。,

:.400=40。,

工检=黑,

180

40X7TX6

=-180-

而

=T

(2)证明：vOA=OD,

:.Z.OAD=Z.ODA,

•••加切。0于点4

，OA1AB,

vLB=90°,

GA//BC,

AZ.OAD=乙4OB,

•••乙ADB=/.ODA,

力。平分NBO。.

【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质.

19.已知：4ABC.

(1)天规作图：用直尺和圆规作出△48C内切圆的圆心O；(只保留作图痕迹，不写作法和证明)

(2)如果△49C的周长为14cm,内切圆的半径为1.3cm,求的面积.

【答案】(1)作图见详解

(2)9.1

【分析】(1)根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平

分线即可；

(2)利用割补法，连接CM,OB,OC,作。O1.力8,OE1BC,OF1AC,这样将分成三个小三角

形，这三个小三角形分别以△/AC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而

求出三角形的面积.

【详解】(1)解：如下图所示，O为所求作点，

A

(2)解：如图所示，连接CM,OB,OC,作OE工BC,OFA.AC,

•・•内切圆的半径为1.3cm,

：.OD=OF=OE=L3,

•・•三角形4BC的周长为14,

：,AB+BC+AC=\4,

则S/u/?r?=SMCR+SACCR+SRACC.='AB-OD+BC-OE+AC-OF

11

=-x1.3x(AB+BC+力C)=5x1.3x14=9.1

乙乙

故三角形/8C的面积为9.1.

【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质

与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键.

【新考法】数学与实际生活一利用数学知识解决实际问题

20.群舸江”余月郎山，西陵晚渡，.的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞II的

传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图.

O

（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28〃?，洞高A8约是12如通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞

像半个月亮，求半径0C的长（结果精确到0.1〃力：

（2）若4C。。二162。，点M在沅）上，求NCMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶口上

巡视时总能看清洞口。。的情况.

【答案】（l）14.2m

（2）匕CMO=99°,因为CD在/CMD的内部.所以点M在洞顶所卜巡视时总能看清洞口67）的情况

【分析】（1）根据垂径定理可得BC=gCD=14,勾股定理解口△08C,即可求解；

（2）在优弧。而上任取一点N,连接CM,DM,CMON根据圆周角定理可得ZTND=gz<00=81。，根据圆

内接四边形对角互补即可求解.根据因为CQ在NCMO的内部，所以点M在洞顶加上巡视时总能看清洞口

CD的情况.

【洋解】（1）解：•••ABLCD,CD=28,

...BC=^CD=14,

设半径为r,则OB=r-48=r-12

在Rt△08c中，OC2=0B2+BC2

r2=（r-12）2+142

解得=^al4.2

ro

答：半径。。的长约为14.2m

（2）如图，在优弧。和上任取一点N,连接CM,0M,CN,0N

N

•••400=162。，CD=CD

.%Z.CND=\z-COD=81°,

：・AMD=180°-乙CND=99°

•••NCMD=99°,

因为CD在/CMD的内部，所以点M在洞顶而上巡视时总能看清洞口。。的情况.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关

键.

21.如图，已知力B是00的直径，8。是。0的弦，点P是。。外的一点，PCLAB,垂足为点C,PC与BD

相交于点E，连接PD,月.PO=PE,延长PD交B4的延长线于点立

(1)求证：是。。的切线：

(2)若。尸=4,PE=gcos乙PFC=g,求BE的长.

【答案】(1)见解析

(2>/5

【分析】(1)根据P0=PE,得出"E0=乙PDE,进而得出4尸0E=乙BEC,易得乙B=乙ODB,根据PCJL

得出，8+/8EC=90。，则匕O0B+4POE=9O。，即可求证P。是O。的切线：

(2)易得PD=PE=$MPF=PD+DF=y,根据coszPFC=%求出6=PF•cos/PFC=6,OF=

—^—=5,则OC=CF-OF=1,根据勾股定理求出00=3,PC=K进而求出BC=2,CE=1,最后根

LUS^PFC2

据勾股定理即可求解.

【详解】(1)证明：・・・PD=PE,

：.LPED=乙PDE,

■:乙PED=乙BEC,

:•乙PDE=2BEC,

•；0B=OD,

=乙ODB,

PCA.AB,

=90°,则NB+4BEC=90°,

•LODB+"DE=90。，即4OOP=90。,

・・・。。是。。的切线；

(2)解：•:PD=PE,PE=-,

2

-PD=T

V0F=4,

：.PF=PD+DF=-,

2

4

Vcosz,PFC=1,

154

：.CF=PF-coszPFC=yx^=6,

・・・PD是。。的切线，

•••0D1PD,MzODF=90°,

.DF4_

,.OnFr=------=-r=5,

coszPFCi

：.OC=CF-OF=6-5=1,

根据勾股定理可得：OD=7OF?一。尸2=7s2-42=3,PC=VPF2-CF2=p

：.OB=0。=3,

97

,BC=OB-OC=3-1=2,CE=PC-PE=：-3=3

・•・根据勾股定理可得：BE=+BR=Vl2+22=V5.

【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半

径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤.

【新考法】圆与反比例函数综合

22.小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=/图象上的

点4(75,1)和点8为顶点，分别作菱形40C0和菱形OBE凡点O,£在工轴上，以点。为圆心，。力长为半

径作个，连接8凡

⑴求片的值;

(2)求扇形40C的半径及圆心角的度数；

(3)请直接写出图中阴影部分面积之和.

【答案】(1)百

(2)半径为2,圆心角为60。

(3)3V3-|TT

【分析】(1)将4(75,1)代入y=：中即可求解：

(2)利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出乙4。。的度数，最后结合菱形的性质求解；

(3)先计算出S送形40co=2百，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出Sku0=

V3；从而问题即可解答.

【详解】(1)解：将力(b,1)代入y=：中，

得1=看

解得：k=同

(2)解：•••过点A作。。的垂线，星足为G,如下图：

•••力(6,1),

:.AG=1,0G=V3,

071=J(V3)2+12=2,

•••半径为2；

-AG=-OA,

2

Asinz710(?=—=-,

OG2

AZ.AOG=30°,

由菱形的性质知:乙4OG="OG=30。,

...Z.AOC=60°,

•••扇形AOC的圆心角的度数：60°；

(3)解：•••OD=2OG=2V3,

•••S；%形Noe。=AGxOD=1X25/3=273,

17172

S显形4"=-xnr2=-xnx22=-n,

如卜图：由菱形OBEF知，S&FHO=S&BHO,

阳_V3

S&BHO=2・2，

S&FBO=2x?=V3,

S阴影部分面积=S.FBO+S菱形4”。一S扇形710c=V3+2V3-1n-=3V3-|TT

【点睛】本题考查了反比例函数及k的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握上的

几何意义.

23.【创新题】如图，四边形48C。内接于。。，对角线AC,BD相交于点E,点尸在边AD上,连接

⑴求证：△ABE“DCE：

(2)当余=CB,乙DFE=24co8时，则竺一丝二

ABAD

小小》------------(直接将结果填写在相应的横线上)

(3)①记四边形48CD,AABE,△CDE的面积依次为S,Si，52,若满足逐=底+医，试判断，AABE,△

CDE的形状，并说明理由.

②当OC=CB,AB=m,AD=n»CD=p时，试用含/〃，〃，〃的式子表示4E•CE.

【答案】（1）见解析

（2）0,1,0

（3）①等腰三角形，理由见解析，号煞

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；

（2）由⑴的结论，根据相似三角形的性质可得=DE,即可得出喋一%=0,杈据已知条件

ocCh

||AB,FA=FE,即可得出△OFE〜根据相似三角形的性质可得益二受，根据恒等式变形，

ABAD

进而即可求解.

⑶①记△］。。，△说的面积为眄应,则5=$1+S2+S3+S4,S&=S3s灯根据已知条件可得S3=S”

进而可得=S&1",得出C0im&结合同弧所对的圆周角相等即可证明△48E,ZkDCE是等腰三角形；

②证明ADCE〜△ACO,根据相似三角形的性质，得出比4•AC+CE•月。=AC2=rnn+p2,

^\AC=yjmn+p2,EC=^=AE=AC-CE=计算力E•CE即可求解.

ACy/mn+pz

【详解】（1）证明：^AD=AD,

Z.ACD=Z.ABD,

即=Z7）CE,

又，DEC=〃E8,

•••△ABE^△DCEx

（2）v△ABE-△DCE,

:.-A3=-B-E=-A-E.

DCCEDE

:.AE•CE=BE-OE,

ASDEAECE-BEDE八

BECEBECE

'：DC=CB,

：.LBAC=Z.DAC=乙CBD=乙CDB,

工乙CDB+乙CBD=180°-乙BCD=Z-DAB=2乙CDB,

•:乙DFE=2乙CDB

AZ.DFE=Z-DAB,

EF\\AB,

Z.FEA=£.EAB,

•••DC=CB,

Z.DAC=Z.BAC

AZ.FAE=Z-FEA,

FA=FE,

•••EFWAB,

DFE-△/MB,

.EF_DF

','A3~AD"

AF,FEEF,AFDF,AFAD.

ABADABADADADAD

V竺+竺=竺+竺=1,

ABADABAD

.AF,AF1

.•布+而=1'

...工+上―2=0,

A3ADAF

故答案为：0,1,0

（3）①记△力。及的面积为53，S4,

则S=SX+S2+S3+S4，

...1=&=些

S3S2DE

*t•S1S2=S3s4①

VVS=y[S[+

即S=Si+S2+2店司，

S3+S4=2JS

由①@可得S3+S4=23医，

即（医_图2=0,

•••S3=S4,

^^ABE+^A/IDE=^^ABE+»

即S4/IBD=S^ABC，

・••点。和点C至必B的距离相等，

CD\\AB,

Z.ACD=乙BAC,乙CDB=Z.DBA,

vZ.ACD=Z.ABD,Z.CDB=Z.CAB,

•••4EDC=乙ECD=Z.EBA=Z.EA3,

MABE,△DCE都为等腰三角形;

②•・・DC=BC,

Z.DAC=Z.EAB,

:4DCA=Z.EBA,

.*.△DAC^AEAB,

AD_A£

EA-AB

vAB=m,AD=n,CD=p,

，EA-AC=DAxAB=mn,

vZ.BDC