2021-2025年中考数学试题分类汇编（山西专用）一次方程（组）与一元二次方程（学生版）

专题04一次方程（组）与一元二次方程（原卷版）

@©©©

考点1解二元一次方程组

3x-2.v=ll©

1.（2025•山西•中考真题）解方程组:

x+2y=1②

2x-y=3①

2.（2022•山西•中考真题）解方程组:

y=6®

考点2利用一次方程（组）/一元二次方程解决实际问题

1.（2024•山西•中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数后不断增加.科学处理废旧智

能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白

银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银

克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.

2.（2023•山西・中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志

牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每

套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个8部件的总质量

为2.8吨，2个A部件和3个8部件的质量相等.

⑴求1个A部件和1个3部件的质量各是多少;

（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？

3.（202（）.山西・中考真题）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原・乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中

的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若

按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用•张家电消费券后，又付现金568元.求该电饭煲的进价.

4.（2021•山西•中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个

数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65,求这个最小数（请用方程知识解答）.

|2021£v|<[21Vl>

日一二三四五六

123

45678910

14I1516117

111213

18192021222324

25262728293031

、0000J

一、单选题

1.（2025・山西太原•二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，

不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根

长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程

x-4.5-，=l来解决，则方程中的x表示（）

A.长木的长B.长木一半的长C.绳子的长D.绳子对折后的长

2.（2025•山西吕梁•一模）约公元820年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样

解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项"，“还原”指的是“移

项”.我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是

()

MyxdMMeD

A.分类思想B.数形结合思想C.转化思想D.公理化思想

3.（2025•山西大同•二模）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）

确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为20D元，为庆祝

这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售.若打8折后仍能获利20%,

则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（）

B.260元C.300元D.320元

4.（2025•山西•模拟预测）“朝三暮四”是一个源自于《庄子•齐物沦》的寓言故事，某数学老师将其情景内容

改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的彳，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从

4

4

晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的方，猴子们非常满意.问老翁每天给猴子

的食物总量共多少千克？设原计划早上投食3x千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等

式正确的是（）

4r-3

A.3x+3=----B.4x-3x=3

3

34

C.3x+—=4xD.3x+3=-（4x-3）

4

5.（2025・山西吕梁•二模）晋祠，这座承载着厚重历史文化的园林胜境，已成为海内外游客心驰神往的旅游

地标.晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的

总费用相同，求晋祠旺季每张门票的价格和淡季每张门票的价格分别是多少元.若设晋祠旺季每张门票的

价格是x元，淡季每张门票的价格是）'元，则下列方程组正确的是（）

[x-y=30[x-y=30[y-x=30[y-x=30

A.〈B.<C.'D.\

4.r=3y[3x=4y[4x=3y[3x=4y

6.（2025•山西晋中•二模）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟算羊''的问题：“甲乙

隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当.”其大意如下：

甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”

乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多.”设甲有x只羊，乙有V只羊，则下列所列方程组

正确的是（）

2（x+9）=>'-9fx+9=2yjx+9=2（y-9）x-9=2（y+9）

A.D.

x-9=y+9'[x-9=y'[x-9=y+9x+9=），-9

7.（2025•辽宁铁岭•二模）《九章算术》"盈不足''中记载：”今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.

问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱.问人

数、物品价格各是多少?”设有1人,物品价格为），钱.以下列出的方程组TF确的是（）

8x-y=38x+3=y8.V-y=38.r+3=y

A・Q-*・J1c.（；ID.t4'

7x->'=4lx-y=4y-7x=47x+4=y

8.（2025•山西忻州•二模）《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一

起观看该电影，其中8人购买了2。电影票，4人购买了3。电影票，共花费560元.已知每张3。电影票的

售价比20电影票的售价多5元，求每张2。电影票、3。电影票的售价分别为多少元.设每张2。电影票的

售价为x元，每张3。电影票的售价为丁元，根据题意，可列方程组为（）

x-5=Jyx+5=yx+5=yx-5=y

A.BCD.

8x+4y=560'8x+4y=560*[4x+8），=5604x+8y=560

9.（2025•山东临沂•一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动.某班两位同学

关F租车方案讨论如下：

现有甲、乙两种类型的客车，若租用2辆甲种客对，若租用1辆甲种客车与2

车与3辆乙种客车，那总数客量为180人：辆乙种客车的总载客敢为

105人；

若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活

动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种不过甲车的租用费用比乙车

类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定的贵120元，每辆甲种客车的

地点.租金为400元.

根据他们的对话得到以下四个结论：

①每辆甲车的载客量要比乙车多15人：②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的

租车费用一样多.其中正确的结论是（）

A.①②B.①@③C.②③D.①②④

1（）.（2025・湖北襄阳•一模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容

三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？’‘意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上I个

小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hU,是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛：问：1

个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒），斛，则列方程组

是（）

5x+y=2j5x+j=3f5.r+y=3J5x=y+3

，[x+5y=3，[x+5j=2*[x=5y+2'[x+5y=2

H.（2025•山西太原•模拟预测）化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子.化学方程式不仅表明

了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系.例如

占燃

2H2+0?”之2HQ就表示两份H?（氢气）与一份3（氧气）点燃生成两份的H?O（水）.依据化学反应

过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同.已知

点燃

=

AC6H6+）。2^^6A€O2+3AH2O.由此可列出关于x,y的二元一次方程为（）

A.x+y=6x+3xB.x+y=6x+3x2

C.2y=6x+3xD.2y=6x-2+3x

12.（2025.山西吕梁•二模）如图是一块长40m、宽30m的矩形区域，中间有四块等面枳的绿化区域，其余

部分为等宽的道路，绿化区域的面积为616nf.设道路的宽度为.rm,则可列方程为（）

A.4()x30-3x30x-2x40x=616

B.40X30-3X30X-2X(40-2X)A=616

C.(40-2x)(30-3x)=616

D.(40-3.r)(30-2.r)=616

13.（2025・山西吕梁•二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效.一位经销商在直播平

台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒.后来经过市场调查

发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒.若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老

陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价“元，根据题意，所列方程正确的是（）

A.（70+x-50）fl00+jx2ol=224OB.（70-X-50）100+jx2ol=2240

c.（70-X-50）100-1x20j=2240D.（70+X-50）100-1x20=2240

14.（2025.山西阳泉.模拟预测）一元二次方程2/一3戈+2=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

15.（2025•山西朔州•一-模）若关于上的一元二次方程寸—2.丫+0=0有两个相等的实数根，则实数。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

16.（2025•山西•模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

22

A.x+5x4-6=0B.x+x-l=0

C.x2-2x+5=0D.x2=6x-9

17.（2025•山西长治・模拟预测）关于x的一元二次方程f+2侬+加2+i=o的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数机的取值有关

18.（2025•山西忻州•三模）如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形。48区域内做绿化，先在外围种植一

圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形COO区域内种植月季花，已知403=90。,若种植大叶黄杨和月季

花的区域面积相等，则扇形OCO的半径为（）

19.（2025•山西阳泉•二模）已知关于x的一元二次方程/・人-—6=0,其中一次项系数被墨迹污染了.若这

个方程的一个根为-2,则一次项系数为（）

A.—2B.—3C.—1D.—6

二、填空题

20.（2025・山西长治•模拟预测）2024年11月1日，山西省商务厅等部门发布了关于增加家电以旧换新补贴

品类的通知.某品牌打印机按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该打印机时，将家

里的旧打印机用于以旧换新，抵扣了258元后，又支付了942元，则该打印机的进价为元.

21.（2025.山西太原.二模）运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于

运动效果和运动安全都很重要.对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：（220-年龄）X0.8=最

大运动心率，（220—年龄）x0.6=最小运动心率.健身教练给一位王常成年男性制定的运动方案中，最大运动

心率与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是岁.

22.（2025•山西・模拟预测）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地彼的长为

x刖，宽为ycm，可列方程组：.

23.（2025•山西晋城•三模）已知根，〃是一元二次方程d+5x-3=0的两个实数根，则'+'=—.

mn

三、解答题

24.（2025•山西大同三模）为贯彻落实省纪委监委开展群众身边不正之风和腐败问题集中整治的部署安排,

结合近年来部分群众对出租汽车运营乱象反映强烈的实际情况，吕梁市交通运输局加强整治出租汽车拒载、

宰客等运营不规范及驾驶员仪容仪表不整洁、服务不文明等行为，并通过“红、黑榜”形式，激励优秀者，教

育落后者，以此推动全市出租汽车行业专项整治取得实效.已知3月份进入红、黑榜的司机共有15人，进

入红榜的司机比进入黑榜的司机的2倍还多3人，求进入红、黑榜的司机各有多少人.

25.（2025.山西晋中.二模）山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、

杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局.2024年吕梁和晋中为谷子

主要种植区，晋谷21号和长农35号是两个广泛推广的优质谷子品种.吕梁某农业基地有两块试验田A,B各

30亩，A试验田种植晋谷21号，8试验田种植长农35号，收获后统计发现，长农35号亩产量是晋谷21号

的1.2倍，两块试验田单次共收获谷子23100千克，求晋谷21号的亩产量是多少千克？

26.（2025•山西阳泉•一模）炎炎夏口，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家

计划购进48两款迷你小电扇进行销售，已知A款迷你小电扇的进价为3（）元，3款迷你小电扇的进价为

40元.该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元.

力款迷你小电扇8款迷你小电扇

（1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？

（2）为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进•批这两款迷你小电扇共15。台，问该商

家这次至少购进A款迷你小电扇多少台？

27.（2025・山西吕梁•一模）每年的5月15日是“全国低碳日”，2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国”，鼓

励市民骑自行车出行，减少碳排放.某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统

计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了20%,而开车出行的人数比平时减少了10%,已知活动当

天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人.求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数.

28.（2025.山西.模拟预测）2024年3月22日,“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本1次

活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活

动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水.已知，甲工程队活单独修需20天完成，乙二程队单独完

成需要的天数比甲工程队单独完成天数的，少2天.

⑴乙工程队单独完成需要多少天？

（2）若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？

29.（2025•山西晋中•三模）（1）计算：（-?-|-9+5|；

（2）下面是小明同学解方程手-1二千的过程，请认真阅读并完成相应任务:

62

解；去分母，得x+2—6=3（%一5）................第一步

去括号，得x+2—6=3x—15.......................................第二步

移项,得x-3x=-2-6+15.......................................第三步

合并同类项，得一24二7....................................................第四步

两边都除以一2,得x=-^...........................................第五步

任务：

①以上解答过程中，笫一步的依据是—；

②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现一处错误，其中最后一次错误在第一步，原

因是;

③直接写出该方程的正确解是—.

30.(2()25•山西临汾•二模)山西省科学技术馆(后称“科技馆'')是一座集科普展览、科教影视、科技培训I、

学术交流和天文观测等多功能为一体的重要科普场所.科技馆内部设有五个展厅，包括。.“数学展厅”、

W.“宇宙与生命”、R.“机器与动力”、X.“儿童科学乐园”和T.“走向未来为了让学生近距离接触各

种先进的科技设备和展品.直观感受科技给人们带来的便捷，我校组织九年级全体师生参观科技馆.

⑴在科技馆内部的五个展厅中，君君和娜娜两位同学计划各选一个展厅进行深入了解参观，请用树状图或

列表来分析她们两人选到同一个展厅的概率；

(2)参观科技馆当天，为考虑路途及安全问题，我校租用了两种型号的大巴车共6辆.已知中型大巴车载客

45人，大型大巴车载客60人，师生共有330人.求租用中型大巴车和大型大巴车各多少辆？

31.(2025・山西吕梁•模拟预测)某校计划租用48两种型号的客车送300名师生去劳动实践基地开展综合

实践活动.已知租用1辆4型客左和1辆8型客车共需550元，租用2辆A型客车所需的费用比租用3辆

8型客车所需的费用多100元.匚知每辆A型客车允许载客35人，每辆8型客车允许载客18人.

(1)分别求租用一辆A型客车和一辆4型客车需要多少元.

(2)若学校计划租用12辆客车，至少需要租用A型客车多少辆？

32.(2025・山西大同・三模)纪念青春时光、传承校园文化.初三学生毕业之际，某学校计划给同学们定制

校徽摆件和校徽钥匙扣作为纪念品.已知定制2个摆件和3个钥匙扣共125元，定制I个摆件比2个钥匙

扣贵10元.

(I)分别求定制校微摆件和校徽钥匙扣的单价：

(2)若学校计划定制校徽摆件和校徽钥匙扣共500个，且定制这两种纪念品的总费用不超过16()00元，则最

多能定制校徽摆件多少个？

33.(2025・山西长治•三模)人工智能的发展改变了人们的工作与生活，某市农业局准备购买甲、乙两种型

号的无人机在农田.上空精准喷洒农药和肥料•.已知购买I台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费

用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万元.

(1)求甲、乙两种型号无人机的单价.

(2)若计划购买甲、乙两种型号的无人机共12台，总费用不超过100万元，则最多能购买甲型无人机多少台？

34.(2025•山西朔州•三模)超市购物车使我们的购物方式更方便、快捷，如图为购物车叠放在一起的示意

图.3辆超市购物车叠放在一起的长度为1.4m,6辆超市购物车叠放在一起的长度为2m.

(1)求每一-辆超市购物车的长度；

(2)若该超市只有扶手电梯，且倾斜长度为12米，工作人员可以通过电梯转运超市购物车.为安全起见，规

定电梯一次只能转运I列超市购物车，并且不能超过电梯总长度的g，则工作人员一次最多可以转运多少

辆超市购物车？

35.(2025・山西太原・二模)“太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培

育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术.经太空育种后的鲜花花期更长、花

朵更鲜艳、价格也较高.我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为

99元/盆.

⑴为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算

购买“延丹1号''山丹丹和"太空玫瑰'’的盆数；

(2)膂公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有8000元，所需购买两种鲜花的总数仍为200盆，则最多

可购买“太空玫瑰''多少盆？

36.（2025•山西太原•一模）从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分,增加了专项运动技能测试，

分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试.某校为加强专项运动技能的

训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个.己知篮球的单价比足球的单价贵40元.求

篮球和足球的单价分别为多少元？

37.（2025•山西晋中•一模）春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了2D、3D和IMAX三种放映

版式.小颖调查了解到多数人选择3D版或IMAX版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票,

5张3D电影票的费用和4张IMAX电影票的费用一样；2张3D电影票和1张IMAX电影票共需130元.请

你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的3D版和IMAX版的电影票单价.

38.（2025•山西模拟预测）【热点素材】从2025年起山西中考体育总分值为60分，新增球类项目（足球、

篮球、排球三选一），为适应中考改革，某校开学前用10500元从体育用品专卖店一次性购买三类球共160

个，已知每个篮球120元，每个足球55元，每个排球40元，购买足球和排球的数量相同.

（1）求购买三类球各多少个.

⑵学校计划再次从该体育用品专卖店购买篮球和排球共40个，费用不超过3000元，求该校最多可以购买

多少个篮球.

39.（2025・山西运城•模拟预测）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载

火筛在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人

飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，己知销化:店

老板从玩具生产商购进1个“天存'模型的费用比购进1个“神舟"模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型

的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“呻舟”模型的进货单价.

40.（2025・山西大同•模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务.

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，

换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，

则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明.

例I：计算:20163-2015x2016x2017.

解：设2016=x,则原式=V一(4一1).%(工+1)二13一不卜2一])=(=2016.

请你利用上述方法解答下列问题：

(1)计算：123456789x123456786-123456788x123456787；

\2a-3b=\3缶=8.3|2(x+2)-3(v-1)=13

⑵已知方程组%二八。的解是LI。，则方程组'‘二二,小。的解是-•

[3〃+5/?=30.9口=1.2[3(x+2)+5(y-l)=30.9

41.(2025•山西吕梁•二模)(1)计算:(―2)；|T+(2—5)x(—9)°；

(2)解方程：X2-9=2(X-3).

42.(2025•山西忻州•二模)平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的

游客数量比去年3月份增长40%,入选文旅部“非遗旅游经典案例”.以下是某旅行社推出的平遥古城特价

一日游信息：

人数收费标准

不超过30人人均收费130元

超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元

某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数.

43.(2025•山西大同•二模)平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的

游客数量比去年3月份增K40%,入选文旅部“非遗旅游经典案例”.以下是某旅行社推出的平遥古城特价

一日游信息：

人数收费标准

不超过30人人均收费130元

超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元

某公司组织--批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数.

44.(2025•山西•一模)(1)计算：舛x4+(-■|+|、x25+(—5『；

(2)下面是小含同学解方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务.

(X-2)2=6-3X.

解：(X-2)2=3(2-X)..........第一步

(X-2)2=3(X-2)..............第二步

(X-2)(A:-2-3)=0..........第三步

所以，x—2=0或x—2—3=0.……第四步

解得玉=2,占=5.…….......第五步

任务一：①以上解题过程中，第一步变形依据的运算律是.

②第步开始出现错误，错误的原因是

任务二：请你直接写出该方程的正确解.

45.(2025•山西•模拟预测)关于x的一元二次方程/+(〃什3卜+3皿-1=0.

(1)求证：无论机取何值时「方程总有两个不相等的实数根.

(2)若方程有一个根为1,求方程的另一个根.

46.(2025•山西大同•模拟预测)阅读与思考

卜面是小文同学撰写的数学小论文(部分)，请仔细阅读并完成相应任务.

探索特殊系数一元二次方程的解

通过学习我们知道：一元二次方程or?+加+c=0(。H0,方，。为常数)的根是由它的系数决定的.我

们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的解.

第一类，当。+〃+c=0时,根据方程解的概念可知方程必有一个解为I,那么另一个解是多少呢？分析如下：

Va+b+c=0fb=-a-c.

ax1+bx+c=ax2+(-a-c)x+c

=ax2-ax-ex+c

=av(x-l)-c(x-I)

=(x-l)(ar-c).

・•・方程依2+人工+。=0可变形为(x-l)(av-c,)=O.

、c

；・工一1=0或奴-c=0./..V|=1,x,=一.

'a

，当a+Z?+c=0时，一元二次方程ov?+云+°=。的两个实数根为X=1,x,=£.

a

我还用求根公式法，证明了以上结论是正确的.

第二类，当a-/，+c=0时，同理可以求出这类方程的实数根.....

任务：

⑴阅读内容中，将方程加+云+c=0变形为（x-l）（m=c）=O,然后求出方程的解，这种解方程的方法是（）

A.配方法B.公式法C.因式分解法

⑵请直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点；

⑶请直接写出当a-〃+c=O时，一元二次方程欠2+区+。=0的两个实数根；

（4）请写出材料中划线部分小文同学的证明过程.

47.（2025•山西大可三模）山西汾酒是中国传统名酒的典型代表，属于清香型白酒，在国内外享有较高的

知名度和美誉度.某商家在销售某款山西汾酒时发现，该款汾酒每件的销售价为6