函数与一元二次方程

3函数与一元二次方程

一、求一元二次方程的解：

方程+云+，=0（。工0）称为一元二次方程，一元二次方程是中学代数的重要内容之一，它与函数、

不等式有密切的联系.

求一元二次方程解的主要方法有：配方法、公式法和因式分解法.

其中配方法世界一元二次方程的基本方法.而公式法是由配方法演绎的，可以得到一元二次方程的求根公

(b~-4ac>0).

有时也用因式分解解一元二次方程，也就是如果一元二次方程的两根为修、Q，那么就有基本等式

ax2+bx+c=a（x-x।）（x-X2）（a/0）.

这是一个非常有用的等式.

二、根的判别式

我们把△=b2・4ac叫做一元二次方程ad+队+。=0（。=0）根的判别式，根的判别式有以下性质：

（1）方程由两个不相等的实数根=△>（）;

（2）方程由两个相等的实数根。△-0；

（3）方程没有实数根=△<.

由比可知，△的正负性关联着一元二次方程有无实数根.

三、韦达定理

若一元二次方程a/+6x+c=0（a工0）由两个根为、M，则工1、12，与方程的系数。、。之间有以下关系

%1+x2=--

X\9X2=

这是法国数学家韦达（1540〜1603）发现的定理.

如果给定一元二次方程ax?+及+C=0（4f0）,那么①与②式成立：反过来，如果两个数的和为“，积

为〃，那么这两个数十方程（如.什〃=0的两个跟.利用这一基本常识可以简捷的处理问题.

更一般地，如果一元〃次方程

+…+叩+。0=0（金/0）的根为朴如…，/，那么有

X|+x2+…+=-

占叼4+/壮/+…+

XlX2…X”=(T)"—•

例1解方程--|2x-l|-4=0

分析这是含绝对值符号的方程，需要找出241的零点，再加以讨论.

解当xN，时，原方程化为

2

x2-（2x-1）-4=0,

整理得x2-2x-3=0,

解得Xi=3,%2=-1（舍去）

当XV!时，原方程化为

2

x2+（2x-l）-4=0,

整理得x2+2x-5=0»

解得x\=-1-76,x2=-I+V6（舍去）

所以原方程的解为修=3,M=T-石.

例2若。2_3。+1=0,求3〃3_8/+。+/—的值.（重庆初三数学竞赛）

a2+\

解因为a2-3a+\=0

即a2=3tz-1

a

3/-8。2+a——

a2+1

=3a（3Q—1）—8（3Q—1）+QH—

a

于是=9a2-26t/+8+-

=9（3a-l）-26fl+8+-

又a2+\=3a

则“+十=3

故原式等于2.

评注此题若用求根公式把。算出，在带入所求得式子，则比较繁琐.处理这类型的题FI,可以通过对

所求式子的“将次”，从而起到简化运算的作用.

例3解关于x的方程（〃?-I]+（2m-l）x+/w-3=0

解对讨论

（1）当”=・1,原方程为

x-2=0,

x=2

（2）当“¥1,原方程为一元二次方程，可得

△=（2w-1）2-4（m--3）=12/w-l1.

当〃时，△＜（）,方程无实根：

12

当/〃=U时，△=（）,方程有两个相等的实数根；

12

I-2m

%=砺刁"

当机■时，△＞（）,方程由两个不相等的实数根;

12

_（1-2?n）±V12m-11

2赤二丁

例4若方程（？-|卜2—4）=4有4个非零实数根，且它们在数轴上对应的4个点等距排列，求人的值.

（全国初中数学竞赛题）

解法一令i=/,则原方程为

(/-I)(/-4)=£,

整理得A5/+430,

则有求根公式和题意得

5±J9+4Z八

%二——T——＞0

乙

所以4个非零实数根分别为

由题意它们在数轴上对应的点等距排列，所以得到

j9+4k」+J9+44

V-2-寸-2-

化简得k=-

4

解法二由题意，4个非零实数根在数轴上对应的4个等距点中有两对■关于原点对称，则可令

（x2_]p.4）,^

=（x+3Q）（X+a\x一以丫—34）

即x4-5x2+4-k=x4-\0a2x2+9a4

1()4=5

于是有

-4-k

7

解得k」

4

例5在直角坐标系中，抛物线y=，+〉0）与x轴交予力、8两点,若力、B两点到原

点的距离分别为。力、OB,且满足」——-=求〃?的值.

OBOA3

分析根据，〃为正数的条件，先判断4、8两点的位置，从而把距离04、08用其坐标表示.

2

解设方程l+mx—m?=o的两根分别为％]、小且了1〈彳2,则有苣+必=-小V0，X/M=——m<

44

0.

1Io

所以XiV0,》2>。，由--------=—，可知。力>。8,又〃?>0,所以抛物线的对称轴在y轴的

OBOA3'

左测,于是04=卜J=T],OB=X2，

则有

I12

--+---=一,

X]x23

即X|+X2=一，〃=2

*一，723

4

解得m=2.

例6已知方程—+（2%-1卜-4+1=0

（1）当〃为何值时，力程有一根为正、一根为负？

（2）当〃为何值时，方程两根都为正数？

（3）当《为何值时，方程有一根大于1、一根小于1?

解设方程的两根为修、不，

（1）由题意得

A=(2^-l)2-4x(-jt+l)>0

X]•x2=-/r+1<0

解得k)1

(2)由题意得

△=41-3>0

«Xi+.b=1-2〃>0

Xi•x2=-/:+1>0

解得k<-^-

2

(3)由题意得(阳一垣2-1)<0

即X1X2-(X)+x2)+1<0

由韦达定理得(-k+1)-(I-2k)+l<0

所以kV-1

评注实际上，在处理“方程的两个根为一正一负”这样的题目时，可以直接由<0来解,

a

不需要△>().在处理“两根中一根比某数。大，一根比某数a小”的情况时，可用储来解决

若要求“方程的两根都大于某数a”,则可用90,-a)>0(/-或叼-a)>。这3个不等式来

解决.注意千万不要用△?()，Xi**/?,X1+X2N2。，这样是错误的.

例7求方程x+y=x2-.9+/+1的实数解.

解将原方程看作关于x的一元二次方程

x2-(y+l)x+y2-y+]=0

要使此方程有实数解，则

A=(.v+1)2-4(y2-y+\)

=-3y2+6y-3

=-3(y-I)?

-3(^-l)2<0

评注在求解二元二次(或含字母)方程时，其基本思路之一，就是根据方程有实数解，运用判

别式分离变元然后逐一讨论，求得结果.

例8设。、力是方程X?+68x+1=0的两个跟，c、d是方程x?-86x+1=0的两个根，求(a+b)

(M-c)(a-d)(b-d)的值.

分析题目中有4个字母如b、c、d,则根据韦达定理，先转化为2个字母的式子，在利用条件来

解决.

解：根据韦士定理有ab=cd=l,a+b=-68,则(a+c)

(b-c)(a-d)(b-d)=[ab+(a+b)c+c2][ab-(a+b)d+d2],代入得(a+c)(b+c)(a-d)(b-d)=(l-68c+c2)//+68d+d2),

又因为c、d是方程3-86x+/=0的两个根，则

c2-86x+1=0=>c2-68c+1=18c.

同理/+68d+l=154",所以(a+c)(b+c)(a-d)(6d)=18c1541=2772.

例9在满足(x-3)2+(y-3)2=6的所有实数对G,中，求上的最大值.

分析粗看此题似乎无法解，符合条件的实数对y)有无数对，相应的上值无法一一求出比较为

X

了解决这个题目，我们这里可以引进比值看上，将之转化为关于X的二次方程.

解设片上，则产戊，代入已知等式，整理为关于X的二次方程

(1+r2)x2-6(1+r)x+12=0.

因为此方程有实数解，则

△=36（rM）2-4X12X（/2+1）>0.

整理为/2-6/+1<0,

解得3-V2<r<3+2>/2,

所以上的最大值为3+2正

X

评注例9通过构造一个二次方程，创造出利用根的判别式AK）的条件，从而求得最值，这在求一

些最值的题目中经常用到.

例10设方程卜？+同=4只有三个不想等的实数根，求。的值和相应的3个根.（重庆初中竞赛题）

解法一方程卜2+同=4等价于如下两个方程：

x2jt-ax-4=0,①

/+ax+4=0,②

设沏是方程①的根，则

XQ+ax^-4=0.

XQ+axQ+4

又=XQ+CIXQ—4+8

二8/0

故Xo一定不是方程②的根，印方程①和②无相同的根.

由于原方程只有3个不相等的实数跟，故必有且只有一个方程（①或②）有重根.因为

A1=a2+16>0

2

A2=a-16>0

故知可能是△2=0，则

a=±4.

当a=4时，方程②的根为-2,方程①的根为-2±2五；

当。=-4时，方程②的根为2,方程①的根为2±2心.

综上可得，当a=4时，3个根为-2、-2±272；当a=-4时，3个根为2、2±272.

解法二设必/,刃=4,则原方程有3个不相等的实数根,等价于函数必=—+时和及=4

的国像有3个不同的交点，而乃=—+回的图像是把函数为=/+G的图像x轴下方的部分关于x轴对

称地翻上去，如图3-1,根据图像，要有3个不同交点，则当且仅当

­=4,

4

解得a=±4.

以下和解法一相同可求出相应的三个根.

□3-1

例11若。、b、c、J>0,证明：在方程

—x2+72a+bx+4cd=0,①

2

—x2+d2b+ex+y/ad=0②

2

—x2+^2c+dx+4ab=()③

2

—x2+yjld+ax+"c=0④

2

中，至少有两个方程有两个不相等的实数根.（黄冈初中数学竞赛）

解设这四个方程的判别式分别为小、』2、』3、△〃则

△i=（j2〃+61-4x—x4cd=2a+b-2y[cd①

=(J2Z>+c)~一4xgx4ad=2b+c-lyfad②

△3=(x/2c+d-4xx4ab=2c+d-2yfab③

2

A4=(yjld+«)-4x—xy[bc=Id+a-2\[bc④

而%+43=2。+3-2y[cd+2c+d-2y[ah=^/a-4b^+[y[c-4d]+a+c>0⑤

△2+△4=2b+c—2&id+Id+a-2Jbe—（y/ci—y[d+^<Jc—+b+d>0⑥

若AWO，4WO，则4+4WO，这与⑤式矛盾，故4和4中必有一个大于零.

同理4和』/中也必有一个大于零，故，八』2、』3、4中至少有两个大于零，即所得的四个方程

中至少有两个方程有两个不相等的实数根.

评注因本题中的。、力、。、d是轮换对称的，故单独去判断四个方程的判别式是否大于零，则

较困难.所以本题的关键是判断4+4和12、4是大于零的，从而起到柳暗花明又一村的效果.

例12已知方程+%i+a2a3=0与方程/+。2%+。1。3=0有且只有一个非零公共根，求证：

这两个方程的另两个根（除去公共根外）是方程式2+%》+%%=0的两个根.（山东省初中数学竞赛）

证明设a、。是方程+十与%-0的两个根，a、丫是方程入,十与a-十勺。3-。的两个根，则

得到

a2++外电=0

2

a+a2ci+=0

两式相减得4(Q]-a2)+a3(a2一0])=0

因为

所以a=Ciy，

又因为a-P=672«3»

则B=e尸色.

把〃=。3带入方程

2

x+a]x+a2a3=0

/+/=。2+Q]=一。3

所以得到

由韦达定理可知，。、丫是方程—+。31+%。2=0的两个根.

例13已知方程/+*+夕=0的两个根为1997和1998,当x依次取整数0,1,2,…,/999时,

二次三项式y=/+px+q的对应值依次为阳，力，/，…，打99”求这些值中能被6整除的个数.

解因为方程/+川+1=0的两个根为1997和1998,则

产(x-1997)(x-1998)

由此式可知，当x取整数时，所有)，值都能被2整除.

要使二次三项式对应的值能被6整除，只需考察两因式能被3整除的情况即可.

(1)当片/997=弘时，则

x-1998=3k-h

因为0S彩1999,

所以-1997<3k<2.

此时，k可取从-665到0共666个值.

(2)当x-/998=3A时，则

x-1997=3k+h

因为0斗£1999,

所以-1998W3kq.

此时，上可取从-666到0共667个值.

综上可得，所有取值中能被6整除的值的个数共为

667+666=1333.

例14已知二次函数/(x)=/+px+”并且方程fG)=0与/⑵J=0有相同的非零实根.

(1)求多的值；

P

(2)若/(1)=28,解方程/4)=0.(四川省初中数学竞赛)

解(I)设/行)=0的两个根为X/、X2，且X/q2，则

/(x)=(x-x1Xx-x2),

./(2X)=(2X-X1X2X-X2)

x上,x-生

2A2J

由此可知/d=0的两根为土、区且aw区.

2222

由题意/(X)=0和/(2x)=0有相同的非零实数根，所以得

Q区

2

q_M_X[•2._2

故

P2储+》2)2(修+2修)2'

(2)因为/(1)=28,则

(l-xt)(l-x2)=28,

又由第(1)小题得

(1-Xi)(l-2Xl)=28,

9

解得勺=-3或(

进而》2=6或9,

故/(x)=0的两组解为

例15已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大

1,求a+b+c的值.

解设方程/+at+b=0的两个根为必小其中°、仅为整数，且管，则方程，+cx+〃=0的两根为

a+l、p+1,则易知a、b、。都为整数，由题怠得

a+0=-a,(a^l)(p+l)=a,

两式相加得ap+2a+2p+l=0,

即(a+2)(p+2)=3

a+2=1-/a+2=-3

所以

[6+2=3[p+2=-\

a=-1_(a=-5

解得或《

[3=\/?=-3

乂因为a=-(a+0)，b=agc=-[(a+I)+(供1)J,

所以a=0,b=-l,c=-2或者Q=8,b=15,c=6,

故a+b+c=-3或29.

习题3

1.若实数。、力满足,。一。》+力2+2=0,则Q的取值范围是()

2

A.a<—2B.c?>4Cag—2或a%D.—2<a<A

2.已知实数a,b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-饵/L厕出+噂的值

为()

423B.-23C.-2D.-13

3.形如N+bx-c=0或形如/-队-c=0的方程，其中的6、c为1,2,3,…，9中的一个正整数，且方程至少

有一根也为1,2,9中的一个正整数，就称该方程为“漂亮方程”，则“漂亮方程”的个数为()

A.208.22C.240.26

4.已知方程r-5x-2=0的一个根为小那么〃+—的值是多少？

a

5.若“、〃为实数，求证关于人的•元二次方程/的两根中的•根大于m另•根小于

a.

6.已知关于x的二次方程小m+片-4=0.

(1)。为何值时，方程有两个不同正根？

(2)〃为何值时，方程只有一个正根？

(3)。为何值时，方程有一正根、一负根？

7.求方程/+3x--^—=9的全体实数根的乘积.

x2+3x-7

2

8.若自然数a、b满足a24-b-2a-4b+4<0,设方程a”+bx-3=0的正本艮为p,方程ax?-bx-339=0

的负根为q，求pq的值.

9.已知关于x的三个方程：3勺+〃?=0,②。卜/八2+2x+/=0,③加-2)/+2%-/=0.若其中至少有两个

方程有实数根，求实数〃?的取值范围.

10.如果方程(x-l)02.2/〃-=0的三根可作为一个三角形的三边之长，求实数〃的取值范围.

I1.已知一元二次方程/-工+/-〃1=。的两根为X/、M，满足"|+卜2归5,求实数"7的取值范围.

12.已知实数x,y满足求Ld+4/+3孙的最大值.

4

2

13.已知方程x+bx+c=0及N+CX+QO分别有两个整数根x/、必和X/'、M'，且x,x2>0,x/x2'>0.求证:

b-i<c<b+l.

14.若〃、机。均为实数，且〃+力+°=0,ahc=2,那么向+|b|+M的最小值可达到多少？

15.已知关于x的方程("+M)+("叱：=浊无解，实数。、6满足(a-b)ahtO,求巴+2的值.

x+2x-2ba

答案

习题3

2

1.因为8是实数，所以关于b的一元二次方程b-ab+-a+2=0的判别式

2

△=(一a)之一4x10,解得好-2或024.故选C.

2.根据题意知：6是关于x的方程(x+1)2+36+/)-3=0的两个根，整理此方程，得/+5x+/=。，

因为A=25-4>0,则a+b=-5,ab=l,故a、。均为负数.因此

卜2+,/=力麓_巴篇=_止此友=_叵堆处=.23.故选二

V«VababJab

3.用分类讨论殳以常数项一c为准，分类计数.由题意可知，方程的两根均为整数，两根一正一负.两

根和的绝对值小于10；两根积的绝对值小0大于・10.当常数项•。为・1时，无满足条件的“漂亮方程”；当

常数项-c•为-2时，两根为1,-2或-1,2,有2个满足条件的“漂亮方程”;当常数项-c为-3时，两根为I,

-3或-1,3,有2个满足条件的“漂亮方程”；当常数项-c为・4时，两根为1,-4或・1,4,有2个满足条件

的“漂亮方程”；当常数项-c为-5时，两根为1,-5或-1,5,有2个满足条件的“漂亮方程”；当常数项-c为

-6时・，两根为1,-6或-1,6或2,-3或-2,3,有4个满足条件的“漂亮方程”；当常数项-c为-7时，两根

为1,・7或"，7,有2个满足条件的“漂亮方程”；当常数项为-8时，两根为1,-8或・1,6或2,・4或

-2,4,有4个满足条件的“漂亮方程”；当常数项-c为-9时-，两根为1,-9或-1,9,有2个满足条件的“漂

亮方程”；故共有20个“漂亮方程”.故选4

4.由题意得〃2_5a.2=0,则a--=5(。加)，得(a+2=(a_—+4x«x—=25+8=33,所以a+—=

±733.

5.将原方程整理得x2~(2a+b)x+a2+ab-\=0.由卜+与=2：+6,所以

IX]•工2=a+"-1

2222

(X)-a\x2-a)=x1x2-a(x(+x2)+a=a+ab-\-2a-+a=-l<0.所以x1、q这两根中的一根大

于a，另一根小于

6.(1)由△>()及加.4>0,。>0得2V〃V-^-.

3

(2)由得4V0,或卜2-4=。或卜=0得.2<qV2,或a=2,或方述(此时为两个等根).

a>0a>03

(3)由a2_4V0,得-2VaV2,

7.设旷=/+3》-7,则y+7--=9.整理得/-2?-3=0,解得y=-l或尸3.当尸-1时，x2+3x-6=0,A=32+4^10

y

>0.所以全体实数根的乘积为(-6)x(-10)=60.

8.由题意。、方为自然数，贝ij屋+62-2。-〃+4为整数.又由屋+〃-2°-46+4V0得展+b?-2a-4b+5S),即

(a-1)2+(6-2)2W0,贝！J,b-2.所以।2x-3・0的正根p-l,方程x^-2x-399=0的负根丁-19：则p-q^-19.

9.若①有实数根，则△]=1-4川20,UPni<-.若②有实数根，则=4-4(1)20,BPw<2.若③

4

有实数根，则△3=4+4。〃-2)20,即让1.要使至少两个方程有实数根，则需臼区2或怔2

A=（-2）2—4m>0

10.由原方程即得用=1.设另两限为必、与，则根据题意可得xx=m>0，解得士

234

x