2026年中考数学总复习专项演练：正方形（优练）

专题32正方形

一、选择题（共8小题）

1.（2025•湖北模拟）如图，点A（0,2）、B（1,0）,将线段/W沿某个方向平

移得到对应线段A0,若四边形A337r为正方形，则点方的坐标是（）

2.（2025•安庆一模）如图，已知正方形ABC。边长为4,点E为A。中点，连

接C£,取CE中点F,过点尸作CE垂线，交AB于点G,则AG的长为（）

7

A.3B.2V3C.-D.2V5

2

3.（2025•浙江一模）如图，在边长为6的正方形A8CO中，E是边CO的中点,

产在8C边上，且NEAb=45。，连接EF,则的长为（）

A.2B.-V2C.3D.2V2

2

4.（2025•东港区校级三模）如图，在边长为3的正方形ABC。的外侧，作等腰

三角形ADE,EA=ED=若"为BE的中点，连接"并延长，与。。相交

于点G,则AG的长为（）

A.3V2B.4C.V13D.2百

5.（2025•开州区二模）如图，在正方形ABC。中，点E是BC上一点，点厂是

CQ延长线上一点，连接AE,AF,石凡点尸是E尸的中点，连接CP,DP,

若AE=AF,ZCPD=u,则/CE/的度数为（）

6.（2025•石家庄模拟）如图，在边长为2的正方形48co中，E在对角线8。

上，§.DE=2BEt连接CE并延长，交边于“点，过。作。/<LCE1于R

op

连接3F.G为DF上一点、,且OG=C/，则广的值为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

7.（2025•丽水一模）如图，正方形A3CO由四个全等的直角三角形（△48七、

△BCF、△COG、ADAH）和中间一个小正方形EbG”组成，连接DE、CE.若

AE=4,BE=3,则aCOE的面积为（）

DC

A.6B,6.5C.13D.12

8.（2025•襄城区模拟）在平面直角坐标系中，边长为鱼的正方形048c如图这

二、填空题（共8小题）

9.（2025•包头二模）如图，在边长为6的正方形48co的外侧，作等腰三角形

ADE,AE=DE=5.若尸为BE的中点，连接45并延长，与CD相交于点G,

则AG的长为.

10.（2025•十堰校级三模）如图，在正方形ABCD的对角线4c上取一点E,使

得NEDC=15。,连接BE并延长交DC于点F,则NAEO=,

DF

CF~-------------------,

AD

11.（2025•南山区三模）如图，在正方形A8CO中，点E,产分别在边OA,AB

上，且。E=AR作4GJ_E/于点”，交8c于点G.若AB=6,EF：AG=2：

3,则3G的长为.

12.（2025•东莞市校级模拟）如图，在正方形A88中，点E为边4C上任意一

点，连接DE,点A关于直线。石的对称点为A,当NEDC=15。时，则NA43

的度数为.

13.（2025•市南区二模）如图，四边形A8CD是边长为6c7〃的正方形，点E在

边4。上，AE=2DE,作EF〃CD,分别交8D,BC于点、G,F.若点P,K

分别是OG,4尸的中点，贝lJPK=cm.

14.（2025•乐山）如图，在%BCQ中，对角线AC与相交于点O.小乐同学

欲添加两个条件使得四边形ABC。是正方形，现有三个条件可供选择：①4c

②AC=BD；③乙4。。=90。.则正确的组合是（只需

填一种组合即可）.

D

15.（2025•大东区二模）如图，正方形A8C。中，点E、尸分别在边CQ,A力上,

BE与交于点G,若BC=4,DE=AF=1,则GQ的长为.

16.（2025•临平区校级二模）如图，已知正方形A8CZ）与正方形AE/G,M,N

分别是CO的中点，当点尸落在MN上时，点G恰好在EO上.记正方

形AEFG的面积为m,正方形ABCD的面积为n,则

m

♦=.

n

三、解答题（共5小题）

17.（2025•浦桥区校级模拟）如图，正方形A5CD,点G在8c上，。七_L4G于

点、E,BF//DE,交4G于点F,求证：AE=BF.

18.（2025•长沙）如图，正方形ABC。中，点E,尸分别在AB,CQ上，且BE

=DF.

(1)求证：四边形AEC尸是平行四边形；

(2)连接£/，若BC=12,BE=5,求E/的长.

19.(2025•昭阳区一模)如图，已知E,尸是正方形ABCQ的对角线3。上的两

点，且BE=O立

(1)求证：四边形AEC歹为菱形.

(2)若48=3近，BE=2,求四边形AEC尸的面积.

AB

20.(2025•朝阳区校级模拟)已知正方形ABCQ的边长为4,点P是线段8C上

一点，取A8中点0,点P关于点。的对称点为。，连结A0,以P。为斜边

构造等腰直角三角形PQR,点尺与点。在。。的同侧，连结RD

(1)当点P不与点8重合时，求证：△AO。gZXBOP.

(2)连结OO,当也。。。是直角三角形时，求CP的长.

(3)线段。R的最小值为.

(4)四边形PRDC的最大面积为,此时线段BP的

长度为.

QAD

君BP：C

21.(2025•任城区一模)已知M、N为双曲线y=g(x>0)上两点，且其横坐标

分别为〃，〃+2,分别过M、N作)，轴、x轴的垂线，垂足分别为C、4,交点

为B.

（1）若矩形。48。的面积为12,求。的值；

（2）随着。的取值的不同，M、N两点不断运动，判断M能否为3C边的中

点，同时N为A8中点？请说明理由；

（3）矩形QA8C能否成为正方形？若能，求出此时a的值及正方形的边长,

若不能，说明理由.

参考答案

一、选择题（共8小题）

题号12345678

答案CCACAABC

一、选择题（共8小题）

1.【答案】C

【分析】分两种情况:利用正方形的性质得到9，N4B9=NAOB=90。,

利用全等三角形的判定与性质即可得解.

【解答】解：①将线段A8向右平移得到对应线段ATT,

过点夕作夕C_Lx轴于点C,如图，

・♦0A=2,OB=11

•・•四边形ABBA为正方形，

ZABB=ZAOB=NBC9=90。,

ZOAB=ZCBB,=90°-NA8O,

在△ABO与489。中，

Z.OAB=Z-CBB'

/-AOB=乙BCB'，

(4B=BB'

：.(A4S),

：.BC=AO=2,B'C=OB=1,

・・・。。=3,

，夕（3,1）；

②将线段AB向左平移得到对应线段AE,

过点用作夕轴于点。，如图，

・・・四边形A894为正方形，

；・AB=BS,ZABB=ZAOB=N8。夕=90。，

；・/OAB=NDBB'=90。-NA8O,

:・/\ABO且4BB，D(AAS),

f

:,BD=AO=2,BD=OB=\f

：.。。=1,

：.B'(-1,-1)；

故选：C.

2.【答案】C

【分析】连接GE,GC,设AG=m依题意得8G=4-〃，AE=2证明G尸是

线段CE的垂直平分线得GE=GC,然后在Rt/XAEG和RtA^GC中，由勾股

定理得。2+22=(4")2+42,由此解出。即可得出AG的长.

【解答】解：连接GE,GC,如图所示：

・・•四边形A3CO是正方形，且边长为2,

：.AB=BC=AD=4fZA=ZB=90°,

设AG=〃，贝I」BG=AB-AG=4-a,

・・•点E为A。中点，

：.AE=^AD=2,

・・•点尸是CE的中点，GFICE,

・・・G/是线段CE的垂直平分线，

:・GE=GC,

在R[/2\A石G中，由勾股定理得：GE2^AG2+AE2«2+22,

在RtZXBGC中，由勾股定理得：GC2=BG2+BC2=(4-«)2+42,

Aa2+22=(4-0)2+42,

7

C“

:

2

=

6/=

故选：c.

3.【答案】4

【分析】把AAB尸绕点A逆时针旋转90。至△AOG,可使AB与A。重合，首

先证明△人在会△AGE,进而得到£尸=/G,问题即可解决.

【解答】证明：・・•四边形A8O)是正方形，

：.AB=ADf

・••把△人〃/绕点八逆时针旋转9()。至△八。G,可使人〃与人。重合，如图：

，ZBAF=ND4G,

•・・N8AO=90。，ZEAF=45°,

.•.ZBAF+ZDAE=45°,

・・・NEAF=/EAG,

ZADG=ZADC=ZB=90°,

・・・NEOG=180。，点E、D、G共线,

在在和aAGE中，

AG=AF

/-FAE=4E4G,

UF=AE

：./XAFE^/XAGE(SAS),

：・EF=EG,

即：EF=EG=ED+DG,

•・・E为C力的中点，边长为6的正方形ABCD,

；・CD=BC=6,DE=CE=3,ZC=90°,

・,•设8尸=x,贝IJC尸=6-x,EF=3+xf

在中，由勾股定理得：

EF2=CE2+CF2,

：.(3+x)2=32+(6-r)2,

解得：x=2,

即BF=2,

故选：A.

4.【答案】C

【分析】作EH1AD,由边长为3的正方形ABCD,等腰三角形ADE,EA=ED=

尸为6石的中点，得A/=/D=1.5.IE=y/AE2-Alz=2,HE//GD,得ZXA8产

^/\HEF(ASA),“是AG的中点，得HE=AB=3,HI=3-2=1,GD=2HI

=2,即可得AG=/AD?+GD2=g.

【解答】解：作交A。于/,

•・•边长为3的正方形ABCD,等腰三角形ADE,瓦4=E。=宜/为BE的中点，

：.Ai=ID=\.5.IE=y/AE2-AI2=2,HE//GD,

：.ZABF=ZHEF,

•・・A/=/O,HE//GD,

，“是AG的中点，

NABF=CHEF

9•BF=EF,

Z.AFB=乙HFE

：./XABF^/XHEF(ASA),

:.HE=AB=3,m=3-2=1,GD=2HI=2,

••AG=7AD?+GD2=A/13.

故选：C.

5.【答案】A

【分析】连接4P，通过”L证明△A8E也△ADF,进而得到/E4尸=90。，根

据点P是£尸的中点,得至ijAP=CP,通过SSS证明得到/PQC

=45°,进而求出ND4P的度数，进而得到NZME的度数，再用平角定义即可

解决问题.

【解答】解：如图，连接AP,

・・•四边形ABCO为E方形，

AZB=ZADC=ZADF=90°,AB=AD,

在RtAABE和RtAADF中，

(AB=AD

lAE=AF"

：.Rt^ABE^Rt/\ADF(HL),

:・/BAE=/DAF,

•・・NR4E+NE4O=9()。，

・・・NOA/+NE4O=90。，

即NE4b=90°,

TP为E/中点，

：.AP=乙

VZFCF=90°,P为EF中点,

：.CP=PF=^EF,

：.AP=CP,

在△APO和△CPQ中，

AP=CP

AD=CD

PD=PD

：./\APD^/\CPD1SSS),

：.ZDAP=ZDCP,/ADP=/CDP,

•・•NAOC=9()。，

Q

：.ZCDP=45f

：.ZDAP=ZPCD=]SOQ-ZCPD-ZCDP=135°-a,

VZFAF=90°,AE=AF.P为EF中点、,

：.ZPAE=45°f

：.ZDAE=ZPAE+ZPAD=\SO0-a,

・•・/AEB=ND4E=18()。-a,

/./C/?F=180°-/AF.B-/AEF=\^0-(180。-。)-45°=a-45°,

故选：A.

【分析】根据正方形的性质证明△GQC-△尸CB(SAS),得CG=BF,然后

证明△CD£SZ\〃8E,得空■=出,得〃B=4C。，设4B=8C=CO=AO=G

BEHB2

然后利用勾股定理求出C”，证明△尸QCS^BC”，对应边成比例，进而可以

解决问题.

【解答】解：,・,四边形A8CZ)是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,NA8C=N3CO=9()。，AB//CD,

VDF±CE,

：.ZDFC=90%

：.ZGDC=900-ZDCF=/FCB,

在△GQC和△/CB中,

DG=CF

乙GDC=乙FCB,

DC=CB

:AGDSAFCB〔SAS),

:・CG=BF,

■:ABHCD,

:.ACDEsAHBE,

.DECD

•■=9

BEHB

•；DE=2BE,

：.HB=%D,

设AB=BC=CD=AD=a,

则HB=^CD='

:・CH=7HB?+BC?=](前)2+标=紧

•:/GDC=/FCB,NDFC=NCBH=90。,

:•△FDCS^BCH,

.CFCD

jHB-CH'

.CFa

:.CF=^a,

：.DG=CF=^a,

：.DF=y/CD2-CF2=Ja2-(^a)2=等。,

・・・GF=DF-DG=哈-塔。=枭

:.GF=CF,

：.CG=或b=*，

：.BF=CG=^-a,

故选:A.

7.【答案】B

【分析】过点E作MNLCQ,根据正方形的性质及矩形的判定得出四边形

BCMN为矩形，再由勾股定理得出4B=CO=8C=MN=5,利用三角形等面

积法确定EN=S得出EM=MN-EN=S即可求解.

【解答】解：过点E作MNLCD,延长ME交43于点M

・・♦四边形A8C。是正方形，

：.AB//CD,

・・・MN„

・・・四边形BCMN为矩形,

•・・AE=4,BE=3,

•\AB=5/42+32=5»

:・AB=BC=CD=DA=MN=5,

.11l1

：.-AE•BE=-AB•EN,nn即一x4x3=一x5xEN,

2222

♦.♦「EaN=12

IQ

:・EM=MN-EN=*

.c1f=1XLX13=13=/L

••OACD£=2~5~~T65，

故选：B.

8.【答案】C

【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理可得4c=0B=，尼+必=2,根

据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质可得小C关于x轴对称，AC

在8。的垂直平分线上，即A、C的横坐标和。8中点横坐标相等，据此即可

解答.

【解答】解：,・•边长为声的正方形048。如图这样放置，

：.AC=0B=y/AB2+AO2=2,

如图：连接4C,

•・•四边形。WC是正方形，

，点A、。关于X轴对称，

・・・4。所在直线为0B的垂直平分线，即A、C的横坐标均为-1,

又：斗、C关于x轴对称，

・・・A点纵坐标为1,。点纵坐标为-1,

故C点坐标（-1,-1）.

故选：C.

二、填空题（共8小题）

9.【答案】2>/13.

【分析】过七作的垂线交于M,AG于N,BC于P,根据等腰三角形

的性质和勾股定理可得EM=4,根据正方形的性质得到EP_LBC,推出四边形

ABPM是矩形，得到根据全等三角形的性质得到EN=AB=6,根据

勾股定理即可得到结论.

【解答】解：过E作AO的垂线交AO于M,AG于N,8c于P,

9：AD=DE=5,AQ=6,

：.AM=DM=3,

：.ME=y/AE2-AM2=V52-32=4,

•・♦四边形ABC。是正方形，

：.BC//ADf

：.EPLBC,

・•・四边形ABP历是矩形，

:・AB〃EP,

：./ABF=/NEF,

为BE的中点,

:・BF=EF,

在△AK"与△NE"中，

(LABF=乙NEF

BF=EF，

^AFB=乙NFE

A/\ABF^/\NEF(ASA),

:.EN=AB=6,

:・MN=EN-ME=6-4=2,

•:PM〃CD,WM,

:・AN=NG,

・・・GO=2AW=4,

：.AG=>/AD2+GD2=2V13,

故答案为：2V13.

10.【答案】60°,V3+1.

【分析】利用三角形的外角性质可求得乙4石。=6(尸；延长6尸到G,使EG=

EC,连接CG,作DH_LAC于点”，设正方形A8CQ的边长为1,推出△DC”

是等腰直角三角形，在Rt/\DHE中，解直角三角形求得HE=络，DE泻,

=洛，推出ACEG是等边三角形，求得CG=CE=*-第，证明△。即

LoZo

-△CGF,利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

【解答】解：•・•四口形A3。是正方形，

，NACQ=45。,

•；NEDC=15。,

ZAED=ZEDC+ZACD=45Q+\5°=60Q,

延长而'到G,使EG=EC,连接CG,作。H_LAC于点”,

设正方形ABC。的边长为1,

VDH1AC,

是等腰直角三角形，

由三角函数可得：DH=HC=CD-sin45°=,

.DH乃.DH历

••HuEr=t^605=­6fnc=

.V2y/6

••一,

26

•・•四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,/EAB=/EAD,AE=AE,

在△E48与△EA。中，

(AB=AD

l^,EAB=Z.EAD,

[AE=AE

:.AEAB学AEAD(SAS),

Q

・•・ZAEB=ZAED=60f

：.ZDEF=180°-60°-60°=60°,ZGEC=NAEB=60。,

•••△CEG是等边三角形，

:・CG=CE=导-乎ZG=ZDEF=60°t

•:/DFE=/GFC,

:•丛DEFs丛CGF,

V6

.DFDEV

••V3+1.

FCCG~立一匹-

26

故答案为：60°>V5+1.

11.【答案】3.

【分析】根据有两个角相等的三角形相似可得RtAEAF^RtAABG,因为EF：

AG=2：3,所以△以/与△ABG的相似比为2：3,由相似三角形对应线段成

比例，列比例式即可求解.

【解答】解：•・,四边形ABCZ)是正方形，

：.AB=AD=6,ND48=N48G=90。，

・・・NE4〃+NG48=90。，

VAG±EF,

/AHE=90。，

・・・NE4/7+NAE”=90。，

・•・/AEF=/GAB,

ARtAEAF^RtAABG(HL),

.AFAEEF_2

*9BG~AB~AG~3f

•・・A8=6,

.^4E_2

••=一,

63

解得：A£=4,

：.AF=DE=AD-AE=2,

,.AFEF2

'BG~AG~3

:・BG=3,

故答案为：3.

12.【答案】30°.

【分析】连接A。，AC,证明△AC。是等边三角形，进而可证明△4。4空4

BCAf(SAS),再利用全等三角形对应角相等及角的和差即可求解.

【解答】解：连接AQ,AC,

由题意可得：点A关于直线OE的对称点为4,

：.AD=A'D,DELAA^

：.A'D-CD,/£>/W=/O4A,

VZEDC=15°,

・•・Z/ADE=75°,

・•・ZADE=NA7)E=75。，

,NAOC=60。，

•••△ATO是等边三角形，

・•・ZAfDC=NACZ)=ND4'C=60。，

・•・ZADAf==9()o+60°=150°,A'D=A'C,

・•・△ADAN△BC4'(SAS),

・・・NO4A=NCA5

:/AOA'=150。，

ro

：.ZDAA=\5f

，NCA归=15。，

AZA4,B=60°-15°-15°=30°,

故答案为：30°.

13.【答案】VT3.

【分析】连接以，PC,过点P作PHLBC于点H,HP的延长线交A。于点

N,则四边形A8/7M四边形CQM7都是矩形，进而得OE=2c"?,AE=4cm,

证明四边形48FE,四边形COE/都是矩形得BF=AE=4cm,DE=CF=2cm,

由勾股定理得AF=2V13CW,证明△EOG是等腰直角三角形得GE=DE=2cm,

DG=2依m,则PO=,OG=&c〃z,证明△PM)是等腰直角三角形，由勾股定

理得。N=PN=¥PD=1C〃Z,进而得C”=QN=1,PH=5cm,AN=5cm,CH

=FH=\cnb再由勾股定理分别求出尸/三的c"PA=V26C/;7,然后利用勾股

定理逆定理证明△用尸是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质即可

得出PK的长.

【解答】解：连接见,PC,过点。作于点儿“产的延长线交AO

•・•四边形4BCO是正方形，且边长为6c〃?，30是对角线，

Q

•：AB=BC=AD=CD=6cm,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90f

NAOP=45。，AD//BC,

:,PN1AD,

・・・四边形ABHN,四边形CDNH都是矩形，

:.CH=DN,HN=CD=6cm,

•：AE=2DE,

：.AD=AE+DE=3DE=6cm,

DE=2cin,

.,.AE=2DE=4cm,

*：EF//CD,

*：EF±AD,EF±BC,

・・・四边形A3FE,四边形SEb都是矩形，

：・BF=AE=4cm,DE=CF=2c，n,

在厂中，由勾股定理得：AF=>JAB2+BF2=V62+42=2713,

VZADP=45°,EF1AD,

：.^EDG是等腰直角三角形，

：.GE=DE=2cm,

由勾股定理得：DG=y/GE2+DE2=V22+22=2>/2,

・・,点P是OG的中点，

:・PD=切。一金,

・・・/A。尸=45。，PN1.AD,

•••△PNQ是等腰直角三角形，

:・PN=DN,

由勾股定理得：PD=VPN?+DN?=41DN,

:・DN=PN=^PD=*又立=1(cm),

：・CH=DN=\,PH=HN-PN=6-1=5(。〃)，AN=A。-DN-6-l=5(cm),

：.FH=CF-CH=2-1=1(cm),

：.CH=FH=](an),

在RtZ\PFH中，由勾股定理得：PF=y/PH2+FH2=V52+I2=V26Cem),

在RlZ\APN中，由勾股定理得：PA=>JAN2+PN2=V52+I2=V26(c/??),

：.PA=PF=y/26cm,

在△外尸中，二•见?+。尸=((V26)2+(V26)Z=52,A尸=(2g)z=52,

:.R\2+PF2=AF2,

•••△办/是等腰直角三角形，且NAPF=9()。，

,/点K是等腰RtABAF斜边4b的中点，

・，.PK=^AD=4x2>/13=VT3(cm).

故答案为：<13.

14.【答案】①②或①③.

【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论.

【解答】解：正确的组合是①②或①③，

理由：・・•四边形人3c。是平行四边形，AC±BD,

・・・四边形A3c。是菱形，

9

：AC=BDf

・•・四边形ABC。是正方形，

・・•四边形A8CZ)是平行四边形，ACLBD,

，四边形A8CQ是菱形，

•・・ZADC=90°,

，四边形A3CO是正方形，

故答案为：①②或①③.

15.【答案】2.6.

【分析】先由正方形的性质及BC=4,得出/CQb=N8C£=90。，AD=DC

=BC,再结合DE=AF=1,得出CE=DF=3,从而可判定

(SAS),然后证得/8GC=90。，由面积法及勾股定理求得BE、CG的长，最

后用CF的长的长减去CG的长即可得出答案.

【解答】解：:四边形48C。为正方形，BC=4,

；・NCDF=NBCE=90。,AD=DC=BC=4,

又・.・OE=A/=1,

:.CE=DF=3,

,在△COf和△BCE中，

CD=BC

乙CDF=乙BCE,

DF=CE

••.△CDF咨ABCE(.SAS),

:./DCF=/CBE,

VZDCF+ZjBCF=90°t

；・NCBE+/BCF=90。,

・・・N4GC=90。，

•・•在中，BC=4,CE=3,

；・BE=5,

；・BE*CG=BC・CE,

.「「BCCE4x312

••CG=-BE~=-=-5f

•••△CDFgABCE(SAS),

；・CF=BE=5,

：.GF=CF-CG=5-^=2.6.

故答案为：2.6.

16.【答案】三匹.

【分析】连接AF,DF,过点G作直线PQ_L4O于点尸，交MN于点、Q,则

四边形AOVM,四边形AMQ0和四边形PQN。都是矩形，根据四边形AEFG

是正方形得AG=GRNAGF=90。，。后是A尸的垂直平分线，进而得/。=

AD,证明△GA尸和△尸GQ全等设尸G=Q尸=〃，AP=GQ=b,则PQ=ON=

a+b,FD=AD=2cH2b,NQ=DP=2a+b,NF=3a+b,在Rt△尸。N中，由勾

股定理得(2a+2b)2=(a+by+Ua+by,解得后国期则AD=2a+2百a,正

方形48CO的面积〃=A》=((i6+8V3)a2,在RtAAGP中，由勾股定理得

AG2=4a2,则正方形人£79的面积〃7=AG2=4〃2,据此即可得出巴的值.

n

【解答】解：连接AF,DF,过点G作直线PQ_L4O于点P,交MN于点Q,

如图所示：

•・•四边形ABCO是E方形，点M,N是AB,CQ的中点，

：.AB=AD=CD,DN=AM,AD=2DN,AB//CD,ZADC=ZDAB=90\

・・・四边形AOVM是矩形，

:・MN〃CD,

•・•PQ±AD,

：.PQ工MN,

：.ZGPA=ZFQG=NOAB=90。，

・・・四边形AMQP和四边形PDNQ都是矩形，

：・DN=PQ,NQ=DP,

・・•四边形AEFG是正方形，

：.AG=GF,NAGb=9()c,。石是A尸的垂直平分线，

:・FD=AD,

•・・NGAP+N4GP=90。，N尸GQ=NAG尸=90°,

：.ZGAP=ZFGQ,

在aGA尸和△尸GQ中，

(^GPA=乙FQG=90°

AG=GF,

./.GAP=(FGQ

,△GA尸丝△产GQ(MS),

，设PG=。尸=〃，AP=GQ=b,贝iJa>0,Z?>0,

:.PQ=DN=a+b,

：.FD=AD=2DN=2a+2b,NQ=DP=AD-AP=2a+2b-b=2a+b,

NF=NQ+QF=2a^-b+a=3a+h,

在RtZ\FDN中，由勾股定理得：FD2=DN2+NF2,

・'.(2a+2b)2=(。+/力2+(3。+匕)2,

整理得：店=3层,

Va>0,/?>0,

b=V3a,

••AD=2a+2b=2a+26a,

正方形ARCD的面积n=AD2=(2。+2-\/3a)2=(16+8\/3)n2,

在RtZ\AGP中，由勾股定理得：AG2=PG2+AP2=a2+b2=4a2,

22

，正方形AEFG的面积m=AG=4af

.m4a212-V3

**n-(16+8V3)a2-4+273-2,

故答案为：与回.

三、解答题(共5小题)

17•【答案】证明见解答过程.

【分析】证明AAOE和△84户全等即可得出结论.

•・•四边形A8CO是正方形,

：.DA=AB,N8AO=90。，

・・・N1+N2=9O。，

9：DELAG,BF〃DE,

：.ZAED=ZBFA=^°.

・・・N2+N3=90。,

・・・N3=N1,

在△ADE和△84尸中，

Z.AED=乙BFA=90°

z.3=z.1，

DA=AB

：./\ADE^/\BAFt

；・AE=BF.

18.【答案】（1）证明见解答过程；

（2）2757.

【分析】（1）根据正方形性质得A8=CZ）,AB//CD,再根据8E=O/得4E

=CF,由此根据平行四边形的判定即可得出结论；

（2）过点/?作EHIC。于点H,证明四边形EACH是矩形得"H=/?C=12,

CH=BE=5,进而得。"=7,再根据BE=Q"=5得"/=2,然后在RtAEFH

中，由勾股定理即可求出Eb的长.

【解答】（1）证明：在正方形ABCQ中，AB=CD,AB"CD,

♦：BE=DF,

：.AB-BE=CD-DF,

：.AE=CF,

又,：AB〃CD,

・•・四边形AECF是平行四边形；

（2）解：过点E作目¥_LCO于点”，如图所示：

：.ZEHC=ZEHF=90°,

•・•四边形A3CO是正方形，BC=12,

Q

：.AB=BC=CD=AD=12,ZB=ZBCD=90f

：.ZEHC=NB=ZBCD=90°,

・•.四边形EBC"是矩形，

：.EH=BC=12,CH=BE=5,

：.DH=CD-CH=12・5=7，

•:BE=DF=5,

:.HF=DH-DF=1-5=2,

在RtZXE/H中，由勾股定理得：EF=yjEH2+HF2=V122+22=2x/37.

19.【答案】见试题解答内容

【分析】（1）连接AC交BO于。，证AC与EF互相垂直平分，即可由菱形

的判定定理得出结论；

（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求得AC=8O=6,从而求得EF=BD

-NE-DF=2,根据菱形的面积公式解答即可.

【解答】（1）证明：连接AC,交BD于点、O,

・・•四边形A8CQ是正方形，

：.AC±BD,AO=CO,DO=BO,

■:BE=DF,

：.0B-BE=OD-DF,B[J0E=OF,

・•・四边形AECF是平行四边形，

・・・四边形AEC/是菱形；

(2)解：由(1)知：四边形AEC尸是菱形，

*：AB=3V2,

：.AC=BD=6f

•:BE=DF=2,

；・EF=BD-BE-DF=2,

・•・菱形AECF的面积=1/1C-EF=|x6x2=6.

20.【答案】（1）证明见解答过程;

(2)3；

(3)2；

,、17

(4)一；1.

2

【分析】(1)依题意得。4=。8,由对称的性质得。Q=OP,点P,。，。共

线，则NAOQ=NBOP,由此可依据“SAT判定△AOQ和△80。全等；

(2)先证明点Q,A,D共线，NOQAC90。，NQE>O<9()。，则当△QOD是

直角三角形时，只有NQOO=90。，连接OP,设3P=m则AQ=3P=mCP

=3-r/,DQ=4+af证明。力是线段PQ的垂直平分线得。P=OQ=4+〃，然

后在RtACP。中，由勾股定理求出a的值即可得出CP的长；

(3)过点R作RE1AZ),ER的延长线交8C于点F,证明△0£/?和全

等得ER=PF,QE=RF,再证明四边形ErCQ和四边形A8FE都是矩形，继

而得BF=CF=2,AE=DE=2,则点R始终在线段BC的垂直平分线上运动，

根据“垂线段最短”得。做OE,由此得当点R于点E重合时，DR为最小,最

小值是线段OE的长；

(4)设ER=PF=3则/?/=4-3进而得SA%k3(4-f),SADER=1,S矩形

EFCD=DE・CD=8,则四边形PRDC的面积S=8一家4-t)T=一异一1尸+孕

根据二次函数的性质即可得出四边形尸及0c的面积的最大值及的长.

【解答】解：(1)•:点。是AB的中点，

・・.。4=0£

由对称的性质得：0。=。尸，点P,0,。共线，

・・・ZAOQ=/BOP,

在△AOQ和△80P中，

OA=OB

Z.AOQ=乙BOP,

OQ=OP

：./\AOQ^/\BOPISAS)；

(2)•・,四边形AHCO是正方形，且边长为4,

：.AB=BC=CD=AD=4,N84O=N8=NC=NCD4=90。，AD//BC,

*：△kOgXBOP,

・・・NOAQ=/B=90。，AQ=BP,

・・・NOAQ+/8A0=180。，

，点。，A,。共线，

在8△OAQ中，NOQ4V90。，

又•・