《全称量词与存在量词》课件

第一章

集合与常用

逻辑用语1.5

全称量词与存在量词丨必备知识解读知识点1

全称量词与全称量词命题例1-1

［教材改编P26思考］［多选题］下列语句是全称量词命题的是(

)

AD

知识点2

存在量词与存在量词命题

①②③④【解析】①②③是全称量词命题；④是存在量词命题.知识点3

全称量词命题和存在量词命题的否定例3-3

［教材改编P31例5］写出下列命题的否定，并判断它们的真假.

D

存在量词命题

方法帮丨关键能力构建题型1

全称量词命题与存在量词命题的真假判断例6

判断下列命题的真假．

【解析】是真命题．（2）每一条线段的长度都能用正有理数来表示．

（3）至少有一个直角三角形不是等腰三角形.

【解析】是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立.题型2

含有一个量词的命题的否定例7

写出下列命题的否定，并判断其真假.

（3）每一个素数都是奇数；【解析】命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真命题,比如2是素数但不是奇数.（4）某些平行四边形是菱形；【解析】命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.（5）可以被5整除的数，末位上是0.【解析】命题省略了全称量词“所有”，（【明易错】若没有察觉到这点容易只把结论中的“是”改为“不是”，从而出错）命题的否定为存在一个被5整除的数，末位上不是0，是真命题.

C

题型3

含有一个量词的命题的求参问题

练习帮·习题课1.下列命题中，为假命题的是(

)

D

D

B

C

5.［多选题］(广东省云浮市罗定中学月考)下列存在量词命题中，为真命题的是(

)

ABD

ABD

是

探究一全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数;(2)有些三角形不是等腰三角形;(3)有的实数是无限不循环小数;(4)所有的正方形都是矩形;(5)对任意a,b∈R,若a>b,则解

(1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.(5)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.反思感悟

判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路

变式训练1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.(1)所有不等式的解集A,都满足A⊆R;(2)有一个实数a不能有平方根;(3)不相交的两条直线是平行直线;(4)若x>0,则x+2>2.解

因为(1)含有全称量词,所以命题(1)为全称量词命题;因为“有一个实数a不能有平方根”的实质是“至少存在一个实数不能有平方根”,含有存在量词,所以命题(2)为存在量词命题;(3)可以改写为“不相交的两条直线都是平行直线”,因此是全称量词命题;(4)可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.探究二全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1>;(2)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2;(3)存在一个数既是偶数又是负数;(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.解

(1)真命题,因为x2≥0,所以x2+1≥1,x2+1>恒成立.(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,如边长为1的正方形的对角线长为

,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.反思感悟

判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(3)存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3.解

(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.(2)假命题.如边长为1的正方形,其对角线的长度为

就不能用正有理数表示.(3)假命题.∃x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.由2x0+4y0=3,得x0+2y0=,若x0,y0∈Z,则x0+2y0也是整数,不可能等于

,所以存在量词命题“存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3”是假命题.探究三全称量词命题与存在量词命题的否定例3写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x,>x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数.分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.解

(1)¬p:存在正数x,使

≤x-1.(2)¬q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.(3)¬r:所有三角形的内角和小于或等于180°.(4)¬s:所有的质数都不是奇数.反思感悟

1.一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;全称量词命题和存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.解

(1)¬p:∃x∈R,x2-x+<0,是假命题.∴¬p是假命题.(2)¬q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3)¬r:∀x∈R,x2+3x+7>0,是真命题.∴¬r是真命题.(4)¬s:∀x∈R,x3+1≠0,是假命题.∵当x=-1时,x3+1=0,∴¬s是假命题.探究四根据命题的真假求参数的取值范围例4(山西怀仁高一月考)已知命题:“∃x∈R,x2+ax-4a=0”为假命题,则实数a的取值范围为(

)A.{a|-16≤a≤0} B.{a|-16<a<0}C.{a|-4≤a≤0} D.{a|-4<a<0}答案

B解析

(方法1)“∃x∈R,x2+ax-4a=0”为假命题等价于“方程x2+ax-4a=0无实根”,即Δ=a2+16a<0,∴-16<a<0.故选B.(方法2)假设命题:“∃x∈R,x2+ax-4a=0”为真命题,则该二次方程有根,因此Δ=a2+16a≥0,即a≥0或a≤-16.因此当“∃x∈R,x2+ax-4a=0”为假命题时-16<a<0.反思感悟

若根据含参数的存在量词命题是假命题求参数的范围,一种方法是假设该命题是真命题,在此真命题限制之下,求出参数的范围后取参数的范围的补集;也可以利用命题的否定为真命题求解,而对于根据含参数的全称量词命题的真假求参数,可同“存在量词命题是假命题”求参数的方法求解.变式训练4(广州执信中学高