角平分线课后（培优训练）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.5角平分线课后培优提升同步训练北师大版2025-2026学年八年级下册

一、选择题

1.如图，VA8C中NC=90。，AD平分N3AC交BC于点D.若BD=2DC,BC=9cm,

则点。到AB的距离为（）

A.女mB.-cmC.-cmD.-cm

422

2.如图，OP平分/AOA,PC_LO1于点C,点。在OB上.若OD=6,△POD面积为9,

则PC的长为（）

A.213.6C.3D.9

3.如图，在中，ZC=90°,ZB=30°.以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、

AC于M、N,再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于尸点，连4P延长交8C于。.下列说

法：①AO是ZCA3的平分线；②NAZX?=60°；③△至£）是等腰三角形；④CO=：BC；

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，V4BC的三边48,AC,BC的长分别是10,15,20,。是VABC内一点，且

山。8：山小5吩=2:3:4,则N1+N2+N3等于（）

A.60°B.90°C.120°D.不能确定

5.如图，在等腰\ABC中，A3=AC,NBAC与NABC的角平分线交于点。,若ZADB=105°,

AQ=2,则44的长为（）

A.7B.8C.y/3十6D.4十20

6.如图，在VA3c中，A4=AC,E为84延长线上一点，NE4C的平分线与NE8C的平

分线交于点。，连接。C.若NB4C=70。，则/ADC的度数为（）

A.55B.62.5°C.65°D.70°

7.如图，在RlZkABC中，ZACB=90°,CA=CH,“。是V48C的角平分线，E是人"上

一点，且AE=4）,连接团，过点七作瓦'，于点尸，连接CF.有下列结论:①CD=CF；

②NW=45。；③N8b=45°.其中正确的有（）

8.如图，VA8C中，ZABC=45°,CO_LA8于点O,BE平分NABC,BE_LAC于点E,

交C。于尸，〃是BC的中点，连接O"交砥于G.则结论：①斯=AC；②是等腰

三角形；③BD+DF=BC；④BF=2CE；⑤率磔=黑中，正确的个数为（）

二、填空题

9.如图，在RlaABC中，ZBAC=90°,AB=12,。是边BC上一点，连接A£>.将△A5D沿

直线AO翻折后，点8恰好在边AC上9点，使得A9:9c=3:2,则点。到AC的距离是

10.如图在△AAC中，4=90。，8E是△48。的角平分线，ED上BC于点D,CO=4,4CDE

周长为12,则AC的长是.

AEC

11.如图，VA4。的外角和NNC4的平分线成、CP相交于点P,PE工BC于E且

PE=3cm,若VA3C的周长为15。〃，5；^.=7.5cm2,则V/WC的面积为cm2.

12.如图，在^ABC中，AB=AC,NBAO36。，AD、CE是^ABC的两条角平分线，BD=5,

P是AD上的一个动点，则线段BP+EP最小值的是____________.

三、解答题

13.如图，已知的两条直角边与正方形A8CD的两邻边重合，ZM=30°,。为AB

中点，NO平分4BNM,EO平分ZAEN.

(1)若08=1,求0M的长度;

⑵求证：EN=AE+BN.

14.已知：如图，8。为VA3C的角平分线，且为8。延长线上的一点，BE=BA,

过石作斯_1八8,尸为垂足.

求证：

⑴△ABD^AEBC；

⑵N8CE+NBOC=180。；

(3)AB+BC=2BF.

15.如图，在VA3C中，ZACB=90°,。。_148于点£),CE平分NDCB交AB于点、E.

(I)求证：ZMCE为等腰三角形；

⑵若NAEC=2N8,40=1,求8。的长.

16.如图，在VA4C中，ZABC,NE4C的平分线祉，”交于点尸，延长胡，3C,PMLBE,

PNLBF.求证：

(DCP平分NAC77；

(2)ZABC+2Z4PC=180°.

17.如图，VA4C为等腰直角三角形，NB4C=90OqA6力为等边三角形，连接CO.

(1)求ZACD的度数；

⑵如图2,作N8AC的平分线交CO于E,M为线段8C右侧一点，满足NCM8=60。，求证:

EM平分NCMB.

18.如图，在VABC中，AD/8C于。，AE平分NC48.

⑴若NC=50。，且E4=EC,求N8和2D4E的度数;

⑵若DE=%E,s~2,AC=4,AB=7,求V4BC的面积.

参考答案

一、选择题

I.A

2.C

3.D

4.B

5.D

6.B

7.C

8.D

二、填空题

9.7.5

10.8

11.7.5

12.10

三、解答题

13.【详解】（1）解：VZB=90°,ZM=30°,

•••乙BNM-0,

*：NO平分4BNM,

・•・NONM=-4BNM=30°,

2

/.NONM=NM,

：・OM=ON,

1•△MON为等腰三角形，

•：OB=\,

：・ON=2OB=2,

OM=ON=2；

（2）解：延长EO交CB的延长线于点P,如下图所示:

依题意得：NBAE=ZABP=900.

・・・。为AB中点,

：.OA=OB,

在aAOE和△或»中，

NBAE=NABP

<OA=OB,

NAOE=ABOP

・•・△AOE^BOP（ASA）,

:,AE=BP,OE=OP.

又NO平分N8NM,

：.ONLEP,

/.EN=PN,

:.EN=PN=BP+BN=AE+BN,

：.EN=AE+BN.

14.【详解】(1)证明：•；8。为VA8。的角平分线,

/.ZABD=/CBD,

；BD=BC,BE=BA,

..△AB睁△砧C(SAS)；

(2)证明：，：AABD^AEBC,

；"BDA=NBCE,AD=CEf

•：BD=BC,BE=BA,ZABD=/CBD,

180O-ZCBD

/BCD=ZBDC=/BAE=/BEA=

2

•4CE+/BDC=/BDA+ZBDC=\解;

(3)证明：过点E作EW_LBC,交BC延长线于点M,

ZBDA=ZDAE+/BEA/BCE=/BCD+/DCE,/BCD=NBEA,/BDA=/BCE,

/.ZDAE=ZDCE,

.\AE=CE,

•••BQ为VABC的角平分线,EhAB,EM工BC,

EF=EM,ZAFE=ZBFE=ZM=W

•：BE=BE,

..RL8£fRs8£M(HL),

:.BF=BM,

VAE=CE,EF=EM,

/.Ru£E4^RtAEMC(HL),

AF=CM,

；.BA+BC=BF+AF+BM-CM=BF+BM=2BF.

15.【详解】(1)证明：・・・COJ.48于点。，

/.ZADC=90°,

/.ZACD+ZA=90°,

•JZACfi=90°,

/./8+Z4=90。，

工ZAC£)=N8,

•・•CE平分NDCB交A3于点E,

・•・NDCE=NBCE,

・•・ZACE=ZACD+^DCE=4B+4BCE=ZAEC,

・•・AC=AE,

・•・ZMCE为等腰三角形；

(2)解：,:?AEC?BCE?B,且ZA£C=24,

，/BCE+/B=2/B,

・••ZBCE=NB,

，/BCD=2/BCE=2ZB,

*/ZADC=NBDC=ZACB=90°,

/.ZBCD+ZB=90°,

・•・2ZB+ZB=90°,

JZAC。=NB=30。，

*：AD=\,

JAC=2AD=2f

二AB=2AC=4,

/.BD=AB-AD=4-\=3,

:.BQ的长为3.

16.【详解】(1)解：如图，过点〃作P£>_LAC于。，

•.PB平分-44C,R4平分NR4C,PMA.BE,PN1BF,PD1AC,

:.PM=PN,PM=PD,

:.PN=PDt

,;PNLBF,PD1AC,

・・•点尸在NAC尸的角平分线上，

・・・C，平分/AC"；

(2)解：\A.BE,PNIBF,

・•.ZABC+90°+Z>WW+90°=360°,

NABC+NM/W=180°,

在RtAE4M和Rtz^PAO中,

PA=PA

PM=PD'

.NQAM包孙。(HL),

:.ZAPM=ZAPD,

在RtZXPCQ和RtAiPCN中,

PC=PC

PD=PN'

;△PCg.PCN(HL),

:.ZCPD=ZCPN,

:.ZMPN=2ZAPC,

r.ZABC+2ZAPC=180°.

17.【详解】(1)解：・・・\713。为等腰直角三角形，ZBAC=90°,

・•・AB=AC,

•/是等边三角形，

I.AO=A8,NBAO=60。，

/.ZCAD=/BAD+ZBAC=150°,AD=AC,

"Q"小史"空"；

2

(2)证明：如图所示，过点E作EG_L8W于G,EH1CM交用。延长线于H,连接的,

VAE平分NB4C,

NBAE=ZCAE=-NBAC=45°,

2

・•・ZAEC=180°-ZCAE-ZACE=120°,

AB=AC.AE=AE,

•••△4E8%AEC(SAS),

：./AER=7AEC=\20。，RE=CE,

，ZBEC=360O-ZAEC-ZAEB=120°,

,?EG1MG,EH1MH,Z.GMH=60°,

，/GEH=360P-900-9(r-60o=120°,

/.NBEG=A