第20章《勾股定理》重难点检测卷-2025-2026学年八年级数学下册（人教版2024）

第20章勾股定理重难点检测卷-2025-2026学年数学八年级下册

人教版（2024）

一、单选题

1.下列三组数中，是勾股数的是（）

A.3,9,7B.2,3,4C,12,16,20D.4,5,6

2.若直角三角形的三边长分别为3,4,x,则x的值为（）

A.5B.5或币C.V7D.2

3.如图，网格中小正方形的边长均为I,点4,B,C,。都在格点上，以点4为圆心，AB

为半径画弧，交最上方的网格线于点E,连接AE,则CE的长为（）

C.3—>/5D.75

4.一个底面周长为10cm,高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底3处，则

小虫爬的最短路径长为（）cm.

A.13B.15C.2府D.18

5.在如图所示的正方形网格中，点人B,C均在格点上,则/BAC的度数是（）

B.45°C.60°D.90°

6.如图，在VA6C中，M=10cm,AC=6cm,6C=3cm,若将AC沿AE折叠，使得点C

与AB上的点。重合，则的面积为（）

C.20cm2D.30cm2

7.己知直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,下列说法正确的是（）

A.长分别为2a,2b,2c的三条线段一定能组成一个直角三角形

B.长分别为a+2,b+2,c+2的三条线段一定能组成一个直角三角形

C.长分别为右，加，五的三条线段一定能组成一个直角三角形

D.长分别为/的三条线段一定能组成一个直角三角形

8.如图，在中，NC=9O。，直线OE为A3的垂直平分线，交AC于点D,连接BQ,

己知4c=7,BC=3,则CO的值为（）

9.小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面0.5米.推动后踏板水平移动了4米，此时摩板离

地面2.5米.若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（）

O

A.3米B.4米C.5米D.6米

二、填空题

试卷第2页，共6页

10.小杨将一根长为12cm的铅笔放到棱长为8cm的正方体笔盒内，他（填“能”

或“不能”）完全放进去.

11.在VA3C中，43=而,BC=3,4C=2,则/AC4的度数为.

12.VA8C中，。是两内角平分线的交点，AC=3,8C=4,A8=5：。到人8的距离是

13.如图，在VA3C中，ZC=90\ZB=22.5\/垂直平分A3交4C于点Q,连接40.若

AC=2,则的长度是.

14.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度.第•次

操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然卜垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作

QE,用皮尺量出QE的长度为3m.第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面

上的点尸处，用皮尺量出的长度为9m.则旗杆的高度为m.

15.如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,点A对应的数为1,以点

4为圆心，AD长为半径，交数轴FM、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为

c

16.如图，在VA8c中，已知AB=AC=4«，RC=8,AC的垂直平分线OE分别交AB、

AC于点、D、E,点尸和点G分别是线段。石和BC边上的动点，则CF+FG的最小值为

三、解答题

17.VA8C在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(I)画出NABC关于y轴对称的△AB|G并写出用的坐标；

⑵在x轴上找一点P,使得ABCP的周长最短，在图中标记出点。的位置，并求出这个最短

周长.

18.我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角

三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图它体现了中

国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲.正因为此，这个图案被选为2002年在北京召

试卷第4页，共6页

开的国际数学家大会的会徽.请你利用"弦图''证明勾股定理.

弦图

19.如图，在VA8C中，A8的垂直平分线分别交AB,AC及8C的延长线于点。，E,F,

连接力方，已知82=4石2—。£2.

（1）求证：ZACB=90°.

⑵若AC=12,BC=9,求CE的长.

20.如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面OC与地面。。垂直），点4

到地面的距离为80cm.在图①中，一根长100cm的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点

A处.

⑴求小髡子顶点A与墙面OC的距离；

⑵在图②中另一木杆的一端与点3重合，另一端靠在墙上的点。处，若OC=130cm,木杆

8c比凳宽A8长70cm,求小凳子宽和木杆BC的长度.

21.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点八（3,0）,8（0,4）,点。在），轴的负半轴上.若

将△64沿直线人C折叠，使点8恰好落在x轴正半轴上的点。处.直线A3与直线C。相

交于点E.

(1)判断直线A8与直线CO的位置关系，说明理由；

⑵若点。是x轴上一动点，且的面积是..OC。的面积的g,求出点尸的坐标;

(3)点。在第一象限内，当，dB。为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标.

试卷第6页，共6页

《第20章勾股定理重难点检测卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答

案

题号123456789

答案CBCABBACC

1.C

【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，只需逐一验证

各选项即可.

【详解】解：对选项A,：3?+7?=9+49=58,92=81,58。81,

・・・A不是勾股数；

对选项B,V22+32=4+9=13,42=16,13Hl6,

••・B不是勾股数；

对选项C,V122+162=144+256=400,202=400,

A122+162=202,且三个数均为正整数,

・・・C是勾股数；

对选项D,V42+52=16+25=41,6?=36,41*36,

・•・D不是勾股数.

2.B

【分析】由于未明确x是直角边还是斜边，需分其为直角边和斜边两种情况，分别按照勾股

定理求解即可.

【详解】解：♦・•题目未说明x是直角边还是斜边，

・••分两种情况讨论：

①当x为斜边长，根据勾股定理得V=3?+4?=25

•••三角形边长为正数，

••x—5；

②当长为4的边为斜边，工为直角边长，根据勾股定理得f=42-32=7

•・•三角形边长为正数，

x=\/1•

综上，X的值为5或疗.

【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键.

答案第1页，共15页

3.C

【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得AE=AB=3,

然后通过勾股定理求出DE=8即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键.

【详解】解：由题意可得，ZA£)C=90°,AE=AB=3,

AD2+DE2=AE2f4)=2，

，22+DE2=32,

DE=45，

:・CE=CD-DE=3-非,

故选：C.

4.A

【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径.而

长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果.

【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知A8最短.

由题意，得8c=12cm,AC=10+2=5(cm),

在RtZ\A8C中，由勾股定理，得A4=JBC'+AC。=Jl2?+52=13(cm),

即小虫爬的最短路径长为13cm.

5.B

【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，热练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理

是解题的关键.

由勾股定理推出AB?+8C?=AC?,再由勾股定理的逆定理证明VABC是等腰直角三角形,

即可得出结论.

【详解】解：由勾股定理得:AC2=22+42=20,AB2=12+32=1O,BC2=I2+32=10,

:.ABr+BCz=AC2,RAB=I3C,

答案第2页，共15页

・•・VAAC是等腰直角三角形，且NABC=90。，

ABAC=45°

故选：B.

6.B

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比

等丁•底之比是解题的关键.

先用勾股定理的逆定理，得到VA8c是直角三角形，根据边长求出VA8C的面积，再由折叠

可知ZMCE和..48E有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解.

【详解】解：•JAC2+8C2=62+82=100,"2=100,

AC2+BC2=AB2,

.•一ABC是直角三角形，

/.SABC=—x6x8=24cm2,

2

由折叠可知CE=O5ZC=ZADE=90°,

.S八CE_—C_6_3

''5-To-5*

2

/.SABnrF.=g-5M4BotC=g-X24=I5cm.

故选：B.

7.A

【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判

断即可.

【详解】解：•・•直角三角形的两条直角边长为mb,斜边长为c,

••cr+b"=c~,

22

A、•・•（2a）+（=4/-=4（/+6）=4c2=（2c）

・•・长为2以助,2c的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形；

B、举反例，取原直角三角形三边为3,4,5,则新三边为5、6,7,

V52+62=25+36=61,72=49,61。49,

，不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形；

C、举反例，取原直角三角形三边为3,4.5,则新三边为石,衣,百，

答案第3页，共15页

,・,(可+("『=3+4=7,(A/5)2=5,7.5,

・••不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形.

D、举反例,取原直角三角形三边为3,4,5,则新三边为9,16,25,

V92+162=81+256=337，==5,337*625,

・••不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形.

故选：A.

8.C

【分析】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，止确利用勾股定理是解题的关

健.根据线段垂直平分线的性质得出=令C£>=x,则/比>=人£>=7-x,在RtZ\D8C

中，利用勾股定理求出工即可.

【详解】解：•,•直线。石为人B的垂直平分线，

AD=BD,

令8=x,则3。=A。=7-x,

在Rt8OC中，ZC=90°,BC=3,BD1=BC1+DC1,

/.(7-x)2=X2+32,

解得，x=T，

7()

:.CD=—.

7

故选：C.

9.C

【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键.

设秋千的绳子04的长度为4米，则=04=x米,进而得到OE=(X-2)米，在RtAOES中,

根据勾股定理列出方程求解即可.

【详解】解：根据题意得:AC=0.5米、8。=2.5米，

设秋千的绳子Q4的长度为x米，则O4=O8=x米，

四边形BDCE是矩形，

.•.吕力=8=2.5米、8E=OC=4米，

二AE=EC-AC=2.5-0.5=2米，

答案第4页，共15页

.•.QE=OA-AE=(x-2)米，

在中，由勾股定理得:

OE2+BE2=OB2,

BP(X-2)2+42=X2,

解得x=5,

故选：C.

10.能

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确理解题意是解题的关键.

通过计算正方体的空间时角线长度，与铅笔长度比较，判断是否能放入即可.

【详解】解：如图，连接AC,AD,

B

由题意得：AH=/3C=CD=Scm,ZA/?C=4CO=90。，

在RJA8C中，由勾股定理得：AC2=AB-+BC2=82+82=128»

在Rt4c。中，由勾股定理得：AD=JAC2+CD2=V128+82=8>/3cm，

•.•(86)2=192,122=144，

且192>144,

••・能完全放进去，

故答案为:能.

11.9(X790度

【分析】本题主要考杳勾股定理逆定理，算术平方根，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关

键；由题意易得AC2+3C2=A/『，然后问题可求解.

【详解】解：vAB=s/i3,BC=3,AC=2,

・•・AC2+BC2=22+32=\3,AB2=(呵,=13,

AAC2+BC2=AB\

答案第5页，共15页

，NACB=90。；

故答案为90。.

12.I

【分析】本题考查角平分线的性质及勾股定理的逆定理，正确得出NAC8=90。，熟练掌握

角平分线的性质是解题关健.过点。作“>_LA8于。，0E_L4C于E,OF工BC于F,连

接OC,根据角平分线的性质得出8=OE=OP，根据勾股定理的逆定理得出NAC4=90。，

利用等积法求出OD的值即可得答案.

【详解】解：如图，过点。作ODJ.八B于。，OEJ.AC于E,O/J.4C于尸，连接OC,

TO是两内角平分线的交点，

・•・OC平分ZAC4,

，OD=OE=OFt

・・・AC=3,BC=4,AB=5,32+42=52,

・・・V48C是直角三角形，且ZAC8=90。，

•§ABC=SOAB+SOAC+SOBC,

：.-ACBC=-ABOD+-ACOE+-BCOF=-OD(AB+AC+BC)f

22222

，3x4=(5+3+4)O。，

解得：00=1,

，。到48的距离是1.

故答案为：1

13.2+2&

【分析】本题考兖的是线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理,

掌握相关知识是解题的关犍.利用线段的垂直平分线的性质求出八。=/比>,

?BAD?A225,再求得。。为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质求出

AD=141=BD>由8C=CD+8O解答即可.

【详解】解：/垂直平分A8交8c于点。，N8=22.5°,

答案第6页，共15页

AD=I3D,2BAD?B22.5°,

-,-ZC=90\

\?CAD180*：-?。?BAD?845,

\?CAD?CDA45',「.C4O为等腰直角三角形，

•/AC=2,

AC=CD=2,

\A£>=VAC2+CD2=2X/2=BD»

BC=CD+BD=2+2立，

故答案为：2+2夜.

14.12

【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度

比旗杆的高度多3m,设旗杆P。的高度为刈］,则绳子的长度PF为(x+3)m,在R3PQE中，

由勾股定理得PQ?+QF2=PF2,列出方程，并解方程即可得到答案.

【详解】解:由①得,绳子的长度比旗杆的高度多3m,

设旗杆PQ的高度为m】，则绳子的长度PF为(x+3)m,

在Rt.PQ尸中，PF=x+3,QF=9,

由勾股定理得：PQ2+QF2=PF\则f+92="+3)2,

整理得：6x+9=81,

解得：x=\2,

・•・旗杆的高度为12m,

故答案为：12.

15.1-710

【分析】本题主要考查数轴上的数字表示，勾股定理，根据作图得到相等的线段是解题的关

键.

首先根据题意结合勾股定理求出AO的长，进而得到AM的长即可求解点M表示的数.

【详解】解：由题意得：入。=必等=而，

•・•以点A为圆心，AO长为半径，交数轴于M、N两点，

答案第7页，共15页

，AM=AD=4i0,

・••点M表示的数为I-Jii,

故答案为：1-标.

16.8

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，熟

练掌握知识点的应用是解题的关键，由OE垂直平分AC,得4万二C尸，则

CF+FG=AF+FG,当点AF、G三点共线，且AG_LAC时，6+所有最小值AG,

最后由勾股定理即可求解.

【详解】解：•・•£)£垂直平分AC,

••・AF=CF,

：.CF+FG=AF+FG,

，当点AF、G三点共线，且AG_14c时，b+PG有最小值AG,

如图，

/.BG=GC=-BC=4,ZAGB=ZAGC=90。，

2

由勾股定理得：AG=JAC?-GC，=“4可―甲=8,

・・・仃+所有最小值47=8,

故答案为：8.

17.(1)图见解析：片的坐标为(T,2)

(2)图见解析；8”的最短周长为5+如

【分析】(1)作出VA/3C各顶点关于)，轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出々的

坐标；

(2)要使得8c尸的周长最短，即要产8+PC最小，作点3关于x轴的对称点8',连接B'C

答案第8页，共15页

交X轴于点P,由PB+PC=PB'+PC=EC,可得点P即为所求，再求出.•BCP的周长即可.

【详解】（1）解：如图，△A&G即为所求，用的坐标为2）.

（2）解：如图，作点8关于x轴的对称点连接B'C交x轴于点P,连接P8,

根据轴对称得此时8c尸的周长P8+尸C+8C=P&+PC+8C=8'C+8C最小,

则点P即为所求，

由图可得，&C=j3?+42=5,BC=\l\2+42=V17»

AIBCP的周长=PB+PC+BC=PB'+PC+BC=B'C+BC=5+后，

•LB”的最短周长为5+J万.

18.见解析

【分析】利用两种方法表示出大正方形的面积，再由面积相等即可求解.

【详解】证明：根据题意可知：边长为。的大正方形的面积=4个全等的直角三角形的面积+

边长为他-〃）的小正方形的面积，

即：c2=4x^ab+（b-a）\整理得，c2=a2+h2.

所以直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和.

答案第9页，共15页

19.（1）见解析

【分析】本题考杳了线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，一元一次方程的应用知识

点，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用是解题的关键.

（1）先利用垂直平分线性质得到=4石，再将已知等式变形，用勾股定理逆定理证明

3C石是直角三角形，从而得到NAC5=90°,

（2）设CE=x,用AC表示AE,再由AE=8E得到8E,在心二8CE中用勾股定理列方程

求解.

【详解】（1）证明：如图，连接8E,

E尸是A4的垂直平分线，

/.AE=BE

CB2=AE2-CE1

，CB2=BE2CE1

^CB2+CE2=I3E2

・•・BCE是直角三角形

:.NBCE=9U,NAC8=90

(2)解：设CE=x

VAC=\2

AE=AC-CE=12—x

•：AE=BE

，BE=\2-x

在Rt一BCE中，

vBC2+CE2=BE2

・•・92+X2=(12-X)2

答案第10页，共15页

22

A81+X=144-24X+X

.・•24144-81。

24x=63

.6321

..x=—=—

248

的长为g21.

8

20.（I）顶点A与墙面的距离为60cm；

（2）髡子宽AB的长度为60cm,木杆8c的长度为130cm.

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理并结合题

意构造直角三角形是解题的关键.

（1）通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算小髡子顶点A与墙面的距离；

（2）延长线段构造直角三角形，设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解小凳

子宽和木杆长.

【详解】（1）解：过A作4M垂直于墙面，垂足用，根据题意可得，OM=80cm,

图①

在RIZXAQM中，AM=^AO1-OM2=V1OO2-8O2=6()-

即顶点A与墙面的距离为60cm；

（2）解：延长胡交墙面于点N,可得NBNC=903

图②

设AB=Acm,则C8=x+70,BN=x+60,CN=130—80=50,

在Rt8CN中，BN、CM=BC"&P(X+6O)2+5O2=(7O+X)2,

解得x=60,

答案第II页，共15页

AB-6()cm»8c=60+70=130(cm),

/.凳子宽AB的长度为60cm,木杆BC的长度为130cm.

21.(1)垂直，理由见解析；

⑵点。的坐标为(-1,0)或(7,0)；

⑶点Q的坐标(7,3)或(4,7)或

【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质.

(1)由折叠的性质得到"AC=N/W)C,结合NH4O=ND4E,408=90。，即可得到

ZA££)=90°,进而证明BE_LCO；

(2)由勾股定理得到48=5,由折叠的性质可知，AD=AB=5,进而得到00=8,可得

点。的坐标，设OC=〃z,由折叠的性质可知，CD=BC=4+m,再根据勾股定理，求出〃?

的值，即可得到点。的坐标，求出,OS的面积，根据“_曰〃的面积是08的面积的g”

得到Sv=8,设点。的坐标为(〃,0),进而根据三角形面积公式计算即可；

(3)分三种情况讨论：①当NZMQ=90。，AB=AQ；②当/A仅2=90。，BA=BQ,③当

ZAQ3=90。，QA=QBt根据全等三角形的性质分别求解即可.

【详解】(1)解：垂直，理由如下：

由折叠的性质得到444。=ZADC,

,?NBAO=ZDAE,ZAOB=90°,

/.ZAED=ZAOB=900,

•••BE1CD,

故直线A8与直线CD的位置关系是垂直；

(2)解：在平面直角坐标系中，直线与4轴、)'轴分别交于点4(3,0),8(0,4),

..04=3,06=4,

在Rt人08中，由勾股定理得：A8=配不=5，

由折叠的性质可知，AD=AB=5,

:.OD=OA+AD=3+5=^,

•••点。的坐标是(8,0),

设OC=〃z,则8c=O8+OC=4+/〃，

答案第12页，共15页

由折叠的性质可知，CO=3