二次根式的除法（同步练习）试题版-2024人教版八年级数学下册

专题19.4二次根式的除法

教学目标、教学重难点

二次根式的除法运算法则

商的算术平方根

知识清单

二次根式的乘除混合运算

二次根式的除法二次根式的除法运算

求式子的有理化因式

二次根式的化简—

题型精讲

匕檄二次根式的大小关系

二次根式的混合运算

强化训练

1.掌握二次根式的除法运算，并能够熟练的进行运算。

教学目标2.掌握商的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质对二次根式进行化简。

3.掌握二次根式的混合运算法则，并能够熟练的进行混合运算。

1.重点

（I）二次根式的除法运算及其混合运算；

（2）商的算术平方根。

教学重难点2.难点

（1）结合二次根式的乘除法运算以及积与商的算术平方根的性质对二次根式进行计算

化简；

（2）对二次根式进行混合运算，注意结果化到最简；

知识清单

知识点01二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则:

旦

两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数即7万・北(t7>0,力>0)

4b

拓展：a4b^c4d==-A^(/?>0,d>(),CW0)

Cy/dc\d

【即学即练1】

I.计算我+鱼的结果是()

A.2B.3C.4D.V2

【即学即练2】

2.计算：之、Qb+—=

知识点02商的算术平方根的性质

1.商的算术平方根的性质:

商的算术平方根等于=(tz>0,/?>())

2.分母有理化：

分母有理化是指把分母中的根号化去。

3.分母有理化因式：

两个含二次根式的代数式相乘时，若它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式。

若分母只有单独的一项，则分母有理化因式为:若分母是一个式子，则分母有理化因式与分母

组成O

即8的分母有理化因式为;右士痣的有理化因式为。

【即学即练1】

3.如果居|二得有意义，那么上的取值范围是.

【即学即练2】

4.Jx+y的一个有理化因式是()

A.y/x-yB.yfx-¥yfyC.\[x-y[yD.Jx+y

【即学即练3】

5.下列各式中，VH+VF的有理化因式是()

A.y]a+bB.7a-bC.y/a+VbD.y[a—4b

【即学即练4】

6.化简：

(2)V25

【即学即练5】

7.己知4=遍+百，b=尸2，K，则4与的关系是()

A.a=bB.ab=\C.a=・bD.ab=-5

【即学即练6】

8.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如得，JI，*一样的式子，其实我们还可以将其进一步化

V373V3+1

»55x735

简：~p=———~vr3

V3\/3xV33

(2_[2x3

\J3一\/3x3-3

22x(V3-1)2x(V3-1)r-

6+1一(V3+1)(V3-1)-(V3)2-l2-V3T

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.母还可以用以下方法化简：-^―==(v，y~12=

V3+1V3+1V3+1V3+1

£V3+l)(V3-l)=^_i

闻1

2

(1)请用不同的方法化简奔不后；

,一1111

(2)化简：7=+了+…+/,

^3+1v5+\/3y7+v5V2n+l+v2H—1

知识点()3二次根式的乘除混合运算

1.二次根式的混合运算步骤：

①将算式中的除法转化成乘法。

②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。

③化成最简二次根式。

【即学即练1】

9.计算：

(1)2\<14x3V7(2)1-

(4)y/ab3.(-,Va3b)+

题型精讲

题型01二次根式的除法运算

【典例1】计算:

一,45y2

(y>0)；(2)(3)%,ab2+4a盘(a>0,/?>0).

3回

【变式1】计算:

V18V72⑶晶⑷诲+西

⑴定⑵常

【变式2】计算：

⑴黑⑵足书;(3)6值+(-3石);

(4)V27a4^-V3a2(QO)；(5)4V6%3+24(x>0).

题型02求式子的有理化因式

【典例1］下列各数中，与2百的乘积为有理数的是（）

A.V2B.V6C.V5D.3次

【变式1］二次根式依何的有理化因式是（）

A.Va+bB.Va+C.la-bD.4a-4b

【变式2】下列式子中，与2b-a互为有理化因式的是（）

A.2V3-V2B.2遍十1C.V3+2V2D.V3-2V2

题型03二次根式的化简

【典例1］化简：

⑴恳⑵唇^(3)(x>0,>>0)；(4)

【变式。化简短（）

A.V3-V2B.V3C.V2D.V2-V3

【典例。把根号外面的因式移到根号内得（）

A.-\f^aB.\T^aC.-\［aD.-1

【变式i］把（1-％）根号外面的因式移到根号内得（）

A.VT^xB.Vx^TC.D.-Vx^T

【变式2】把（。-8）J-£根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是（

)

A.\!b-aB.y/a-bC.—y/b—aD.—y/a-b

题型04判断二次根式的关系

【典例1】已知b=V3—>/2,那么。与人的关系为（)

A.互为相反数B.互为倒数

C.相等D.〃是的平方根

【变式1】若。=1+&，b=—^,则。与〃的关系是（）

1—VL

A.互为相反数B.互为倒数

C.相等D.互为负倒数

【变式已知,则。与〃的关系为（

2］a=J7+2,b=*2)

A.ab=1B.ah=-1C.ci—bD.a=-b

题型05二次根式的乘除混合运算

【典例1】计算:

⑴居・房乂居

(2)2A/3xV12xlV3；⑶区+(3同)x(-5层).

【变式1】计算：

(3)4痂+2够.(一,』)

（1）7124-x/27xV18；⑵据+屉xR；(«>0).

【变式2】计算:

(1)-^VT8^(2V8X1V54);(2)-7ab2x(--yja3b)一

b2

3mz-3nz

(4)-33?（40）

-2?-

强化训练

1.计算JI+Ji的结果为（）

LL四

A.V2B.2C.2V2D.一

2

2.下列各式从左到右的变形正确的有（）

a

®y[ab=\[a-VS;

b

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列与J番结果相同的是（）

B.-V4

C.V（-12）（-3）

4.计算：6夕x4&T+2值的结果是（

A.-4B.-2\3C.40D.7

5.等式幅=需成立的条件是（）

A.启3且xW-1B.x>-1

C.-WD.xW3

6.在下列各式中，是的有理化因式的是（）

A.72a+bB.72a-bC.>[2a+bD.\[2a-b

7.己知xWy且x与），都是正数.下列各式中，不是a―后的有理化因式的是（)

A.y/x+y/yB.-\[x-/yC.y/x+y

1

8.已知。二&一1,b=KJ则。与b的关系（

A.a-bB.ab-\C.a--b

9.将（2-x）忌根号外面的因式移到根式里面,正确的是（

A.V2—xB.Vx-2C.-V2—x

10.若小〃为正有理数，则有=（Va+VF）（Va-Vb）=a-b,得到有理数结果，我们把6称

为“伤的有理化因式”；VH+、历与仿-声互称为“有理化因式”令F（x）=W，利用有理化因式，可以

得到如下结论，其中正确的有（）

,_、13+V5

©--3--V35==---4---

②若春「/>、:/、=4y+4(其中b,c为有理数)，则/)=3c；

F(3)+F(4)

③若F(43-m)-F(11-=4,则F(43-川)+F(11-in)=8；

11119

।--------+----------+----------+…+---------------=—

-3>2F(1)+F(2)3F(2)+2F(3)4F(3)+3F(4)100F(99)+99F(100)10

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.写出一个与石的有理化因式

54

12.计算

4-711-\ZTT-V7--

13.一个长方形的面积为12,其中一边长为2』，则另一边长为(结果化为最简二次根式).

14.若mn>0,m+n<0,则化简Vmn+

，…11111

15.化简：-----+———+———+…+I-尸=+,-/=

1+V2V2+V3V3+V4Vos+VooV99+A^100

+3V丽X5J21；(2)

16.⑴后；府(一孔环)-g心

a—b.

(3)4-3V28X(-(4)2~T).

已知=相，且K为偶数，求行行,寺誓的值.

17.

18.先来看一个有趣的现象：后=Jf=/孕=2噜，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”

到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：据=34、

厚=4层等等

（1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证；

（2）你能只用一个正整数〃（〃、2）未表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律.

19.创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以蛇立于世界民

族之林.今年我国出现了令世界震惊的具有超强创新能力的智能机器人以及4助手。以，其创始人

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术平方根与这两个数的算术平方根的比值可能存在相等关系？小慧用自己的方法进行了验证：因为电=

5'而那5所以心善

请你根据