勾股定理的逆定理【八大题型】-八年级下册数学（人教版）

专题17.2勾股定理的逆定理【八大题型】

【人教版】

，题型梳理

【题型1判断三边能否构成直角三角形】...........................................................1

【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】..................................................2

【题型3在网格中判断直角三角形】..............................................................3

【题型4勾股数的探究】.........................................................................4

【题型5利用勾股定理的逆定理证明】............................................................5

【题型6利用勾股定理的逆定理求解】............................................................6

【题型7勾股逆定理的应用】.....................................................................7

【题型8勾股定理及其逆定理的综合】............................................................9

，举一反三

【知识点勾股定理的逆定理】

如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2r2,那么这个三角形就是直角三角形.

【题型1判断三边能否构成直角三角形】

【例1】（2023春黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段依〃、c组成的三角形是直角三

角形的是（）

A.〃=5,/>=3,c=3B.4=：,

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C.a=6,b=4,c=5D.a=7,b=24,c=25

【变式1-1）（2023春湖北孝感•八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a,b，〜且满足（什切（〃d）=c2,

则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定

【变式1-2]（2023春八年级单元测试）如图，以口48。的两边8C、力。分别向外作正方形，它们的面积分别

是S-",若$=2,S2=3,AB-=5,贝切48侬形状是_______三角形.

【变式1-3】（2023春.广东惠州.八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1；②三边形长分别

为：V2,V7,V5；③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5n2匚3.其中星直角三角形的有（填

序号）.

【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】

【例2】（2023春・全国•八年级专题练习）同一平面内有.4,B,。三点，A,8两点之间的距离为5cm,点C到

直线/3的距离为2cm,且以出C为直角三角形，则满足上述条件的点C有个.

【变式2-1]（2023春•八年级单元测试）在如图所示的5x5的方格图中，点A和点B均为图中格点.点。也

在格点上，满足》8c为以为斜边的直角三角形.这样的点C有（）

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-2]（2023春全国•八年级专题练习）点A（2,〃?）,B（2,m-5）在平面直角坐标系中，点。为

坐标原点.若4ABO是百角三角形，则m的值不可能是（）

A.4B.2C.1D.0

【变式2-3]（2023春全国•八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点4,8在小正

方形的顶点上，在图中画AJ8C（点C在小正方形的顶点上），使A48C为直角三角形，并说明理由.（要求

【题型3在网格中判断直角三角形】

【例3】（2023春北京西城八年级校考期中）如图,在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,口力8巾）

三个顶点4,B,C都在格点上，,4。是8C边上的中线，那么4。的长为（）

A.2.5B.3C.2>/2D.V5

【变式3-1]（2023春广东湛江八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1,A、氏C是小正方

形的顶点，贝！1口48侬度数为.

【变式3-2】（2023春广东惠州.八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1.

A

⑴求四边形/4C。的面积与周长；

（2）求证：匚8。=90。.

【变式3-3]（2023春•八年级单元测试）如图所示的是2x5的正方形网格，点月,B,啷在网格点上，则

CAPB=.

【题型4勾股数的探究】

[例4]（2023春安徽阜阳八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如产=z2的方程，

显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解（9了）叫做勾股数.如（3,4,5）就是一组勾股数.

（1）请你再写出两组勾股数：（）,（）；

⑵在研究直角三角形的勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果〃表示大于1的整数，尸2〃，j=〃勺，

口P+1,那么，以丫，y,z为三边的三角形为直角三角形（即x,p「为勾股数），请你加以证明.

【变式4-1]（2023春四川达州•八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（）

A.V3,V4,V5B.6,8,10C.l,x/2,V3D.2,3,4

【变式4-2】（2023春全国•八年级专题练习）一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整

数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数老师给出了下表(其中〃?，〃为正整数，且/心〃):

m23344•••

1111212・・,

222222

a3+l3+24+l42+22.・•

h4612816・・・

2222222222

c2.13.13.24-14-2•・•

(1)探究。，c与〃?，〃之间的关系并用含m,n的代数式表示：。=,b=,c=

⑵以a.b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由.

【变式43](2023春重庆北陪八年级西南大学附中校考期中)勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国

西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直

角三角形叫“整数直角三角形”;这三个整数叫做一组“勾股数''，如：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,

15,17；9,40,41等等都是勾股数.

(1)小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写

成这两个整数的平方差.如3,4,5中，5=22+12,3=的・V；5,时,13中,13=32+22,5=32-22；W

证明：，〃，n为正整数,且m>n,若有一个直角三角形斜边长为nr+n2,有一条直角长为nr-n2,则该直角

三角形一定为'、整数直角三角形”；

(2)有一个直角三角形两直角边长分别为扇和标丽，斜边长4/13,且。和〃均为正W,用含〃

的代数式表示a,并求出〃和b的值；

(3)若。"+加2,其中,①、。2、加、岳均为正整数.证明：存在一个整数直角三角形，其

斜边长为C/・C2.

【题型5利用勾股定理的逆定理证明】

[例5](2023.江苏八年级假期作业)如图，已知CQ匚48，垂足为。,BD=\,CD=2,AD=4.求证：口4。=90。.

c

【变式5-1】（2023•江苏•八年级假期作业）在MAC的三边分别是a、/）、c,且g/j4=2〃,c=〃2+],判断]力叱

的形状，证明你的结论.

【变式5-2]（2023春八年级课时练习）如图，以：力发的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方形

构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则口是直角三角形吗？请证明你的判断.

【变式5-3]（2023春•江苏盐城八年级统考期中）如图，在中，AB=1,AC=25,4。是中线，点E在AD

的延长线上，^AD=ED=\2.

(1)求证：CCDEQQBDA；

（2）证明：CEDAE；

⑶求口力灰、的面积.

【题型6利用勾股定理的逆定理求解】

【例6】（2023春•山西吕梁•八年级统考期末）如图，在口力初中,AB=5,BC=4,AC=3，将三角形纸片沿力。折

叠，使点C落在/第边上的点E处，则1的周长为（）

B\

E

CA

A.3B.4C.5D.6

【变式6-1]（2023春湖北襄阳八年级统考期中）如图，在力3。中，点。在上,AB=AC,BC=5,BD=3,

【变式6-2]（2023春・河南开封•八年级统考期末）已知门/8邢）三边分别为〃、儿c,且满足

（n+2*l）2+|2a-b-2|=10c-25-c2,请你判断」48C的形状，并求出其周长与面积.

【变式6-3]（2023春•陕西榆林八年级校考期末）已知在中，4012,405/4=13,点石为边/C上的

动点，点户为边加上的动点，贝犷E+EE的最小值是.

【题型7勾股逆定理的应用】

[例7]（2023春广东广州•八年级统考期中）如图，在笔直的公珞,48旁有一座山，从山另一边的C处到公路

上的停靠站,4的距离为力。=15km,与公路上另一停靠站夕的距离为AC=20km，停靠站力、4之间的距离为

//=25km,为方便运输货物现要从公路/力上的。处开凿隧道修通一条公路到C处，且CDAB.

(1)请判断力4。的形状？

(2)求修建的公路CQ的长.

【变式7-1](2023春广西南宁•八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)森林火灾是一种常见的自然灾害，

危害很大.随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，匚48c区域内是一

片森林，有一台救火飞机沿东西方向力夕,由点力飞向点〃,已知点C为其中一个着火点，且点C与点4,A的

距离分别为600m和800m,又”=1000m,飞机中心周围5()0m以内可以受到洒水影响.

⑵着火点C能否受到洒水影响?为什么？

【变式7-2](2023春广西桂林•八年级统考期中)一根12米的电线杆AB,用铁丝AC、AD固定，现已知用

去铁丝4。=15米，4。=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，4、D两点之间距离是5米，则

电线杆和地面是舌垂直，为什么？

【变式7-3](2023春•八年级课时练习)海面上有两个疑似漂浮目标.A舰艇以12海里/时的速度离开港口

O,向北偏西50。方向航行；同时，6舰艇在同地以1