乘法公式（第1课时完全平方公式）数学课件2025-2026学年苏科版七年级数学下册

苏科版（2024）数学七年级下册第8章整式乘法8.4乘法公式第1课时完全平方公式目录01学习目标02情景引入03新知探究04课堂练习05课堂小结学习目标1、经历探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式；2、会运用公式进行简单的多项式乘法运算，并能灵活地解决一些实际问题，提高运算能力；3、通过探索公式、证明公式、运用公式，体验数与数的运算、代数式与代数式运算之间联系的转化思想，增强学习数学的兴趣.当两个多项式完全相同时，会如何？(a+b)(a+b)即(a+b)2(a-b)(a-b)即(a-b)2情景引入计算下列多项式的积(1)(a+1)2=__________=_________a2+2a+1(2)(a-1)2=__________=_________a2-2a+1(a+1)(a+1)(a-1)(a-1)(3)(m+2)2=___________=_________m2+4m+4(4)(m-2)2=__________=_________m2-4m+4(m+2)(m+2)(m-2)(m-2)

观察计算结果,你能发现什么规律？a2+2a+12a2-2a+12m2+2×2m+22m2-2×2m+22新知探究(a+b)2(a-b)2

请你猜想：=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2

你能证明你的猜想吗？用多项式乘法证明：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2新知探究

你还能想到其他证明方法吗？借助几何图形证明：如图，边长为(a+b)的正方形的面积是(a+b)2.还可以看成两个小正方形和两个小长方形面积的和，∴(a+b)2=a2+2ab+b2

ba

ab

a2

ab

ab

b2即a2+ab+ab+b2，

新知探究借助几何图形证明：它的面积还可以看成大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，如图，边长为(a-b)的正方形的面积是(a-b)2.∴(a-b)2=a2-2ab+b2.

(a-b2)a-b

b

b

a-b

ab

ab

b2即a2-ab-ab+b2

新知探究观察这两个公式并思考：(a＋b)2=a2＋2ab+b2(a－b)2=a2-2ab+b2公式的左边有什么特点？右边呢？把你的发现与小组里的同学相互交流一下.左边是的平方右边是两项和

(差)积为二次三项式，积中两项为两数的平方和，另一项是两数且与乘式中间的符号相同.记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方”尝试积的2倍，新知探究完全平方公式

(a＋b)2=a2＋2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2文字表述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.公式中的字母a、b既可以表示单项式又可以表示多项式.归纳总结新知探究例1

用完全平方公式计算：(1)(5+3p)2解:(1)原式=第一数的平方,加上第一数与第二数乘积的2倍,加上第二数的平方.52+5×3p2×+(3p)2=25+30p+9p2典型例题新知探究解：(2)(2x－7y)2

＝(2x)2－2·2x·7y＋(7y)2

＝4x2－28xy＋49y2;(2)(2x－7y)2；(3)(－2a－5)2(3)(－2a－5)2＝(－2a)2－2·(－2a)·5＋52＝4a2＋20a＋25.

想一想还有其他解法吗？小组讨论.例1

用完全平方公式计算：新知探究解：(4)(2x－7y)2＝[2x＋(－7y)]2＝(2x)2＋2·2x·(－7y)＋(－7y)2＝4x2－28xy＋49y2;(5)(－2a－5)2＝[－(2a＋5)]2＝(2a＋5)2＝(2a)2＋2·2a·5＋52＝4a2＋20a＋25.(4)(2x－7y)2；(5)(－2a－5)2(ɑ+b)2=(-ɑ-b)2简化运算

思考:(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?小组讨论.例1

用完全平方公式计算：新知探究例2

用完全平方公式计算:1992.解1992=（200-1）2=2002-2×200×1+12=4000-400+1=39601新知探究1.用完全平方公式计算：（1）9982；

（2）20012.解：（1）9982＝(1000-2)2＝10002-2×1000×2＋22＝1000000－4000+4＝996004（2）20012

＝(2000＋1)2＝20002＋2×2000×1＋12＝4000000＋4000＋1＝4004001运用完全平方公式可以起到简便运算的作用.学以致用新知探究1.用完全平方公式计算：（3）1022；

（4）1972.解：(3)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404.(4)1972＝(200－3)2＝2002－2×200×3＋32＝40000－1200＋9＝38809.新知探究2.用完全平方公式计算：（a+b+c)2解法1:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

独立完成其他解法.说出自己的想法，小组交流.方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用完全平方公式计算.新知探究3.下面的计算是否正确？如有错误，请改正。

新知探究

新知探究

4

新知探究1.计算：(1)(2a＋3b)2；(2)(2x－5y)2；

(4)(－x－2y)2.4a2＋12ab＋9b24x2－20xy＋25y2

x2＋4xy＋4y2基础巩固课堂练习2.填空：(1)(a＋_____)2＝a2＋4ab＋4b2；(2)(2a＋____)2＝4a2＋4ab＋b2；(3)(3x－____)2＝9x2－12xy＋_____；(4)(－x－___)2＝x2＋____＋1.2bb2y4y212x课堂练习3.边长为am(a＞6)的正方形花圃，如果边长减少6m，那么花圃的面积减少了多少？6m6m解：a2－(a－6)2＝a2－(a2－12a＋36)＝a2－a2＋12a－36＝(12a－36)m2.答：花圃的面积减少了(12a－36)m2.a课堂练习1.已知(y＋a)2＝y2－8y＋b，那么a，b的值分别为()A．4，16 B．－4，－16C．4，－16 D．－4，16D能力提升课堂练习2.小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果是4x2＋＋25y2，但中间一项不慎被污染了，这一项应是()A.10xyB.20xyC.±10xyD.±20xyD课堂练习3．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为_______．4ab

145．若a＋b＝3，ab＝2，则a－b＝_____．±1课堂练习6.先化简，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0.解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x.因为x2－3x－1＝0，所以x2－3x＝1.所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2.课堂练习7．已知a＋b＝8，ab＝3，求(a－b)2的值．解：(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82－4×3＝52.课堂练习8.图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．按要求填空：①图②中阴影部分正方形的边长等于________．

①

②mnnmmmnnm－n课堂练习8.图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．方法1：________________；方法2：________________．

①

②mnnmmmnn(m－n)2(m＋n)2－4mn课堂练习8.图①是一个长为2m，宽为2