2025北京房山区高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京房山高二（上）期中数学本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选符合题目要求的一项.1.已知直线上两点，，则直线的斜率是（）A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则的值是（）A.-4 B.-1 C.1 D.44.直线l：的倾斜角为（）A. B. C. D.5.已知直线与直线，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（）A. B.C. D.7.以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.8.已知，，，，，则点的坐标是（）A. B. C.或 D.或9.已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为A. B. C. D.10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且平面与平面的夹角为.给出下列三个结论：①该圆锥的体积为π；②；③的面积为.则所有正确结论的序号为（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.已知圆，则圆的面积为_____.12.在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____.13.两条平行直线与之间的距离为_____.14.若直线的方程为（，不同时为0），则称直线是直线的伴随直线.若直线的方程是，则其伴随直线的方程是_____；已知直线与圆交于点，，则_____.15.已知直线，，则使得直线的的一个取值是_____.16.正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②存在一点，使得；③直线与直线所成角的最大值是；④若，则面积的最大值是.其中正确结论的序号是_____.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知直线经过两点，．（1）求线的方程；（2）若直线，且直线在轴上的截距为4，求直线的方程．18.如图，在长方体中，，，，分别是，的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知圆与轴相切于点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）若圆与直线交于，两点，再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知，求的值.条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长之比为；条件②：；条件③：.注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.20.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点是的中点，，．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；（3）求平面与平面的夹角的大小．21.已知圆．（1）求圆的圆心坐标及半径；（2）求过点且与圆相切的直线方程；（3）已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点．

参考答案第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选符合题目要求的一项.12345678910CDDCBAACCA第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.【答案】因为圆，所以圆的半径为，则圆的面积为.故答案为：.12.【答案】因为点，，，所以，则.故答案为：.13.【答案】两条平行直线与之间的距离为.故答案为：14.【答案】由伴随直线的定义可知，的伴随直线方程为：即；圆的圆心为，半径为，所以到直线的距离为：，所以.故答案为：；15.【答案】直线，，则直线可得，所以，所以或则使得直线的的一个取值是或.故答案为：2或.16.【答案】对于①，连接，由正方体的性质知为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，故①正确；对于②，进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图形判断，平面，即无论如何也不可能满足平行或重合于，所以不可能平行于，故②错误；对于④，取的中点E，连接，则，满足，又面，面，所以，，所以平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：，故④正确.对于③，平面，平面，，时，过作，点不在侧面的边界及其内部，所以直线与直线不垂直，所以③错误；故答案为:①④.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.【答案】（1）（2）【详解】（1）点，位于直线上，设直线的斜率为，则，根据点斜式可得直线的方程为：，的一般式方程为：．（2），，解得，又直线在轴上的截距为4，根据直线的斜截式方程得，直线的方程为：．18.【答案】（1）如图以分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，，，分别是，的中点，所以，所以，所以，所以；（2）因为，所以，设平面的法向量为，，所以，所以，令，则，所以，设直线与平面所成角为，所以；19.【答案】（1）由题意知圆C的圆心在直线上，与y轴相切于点，故设圆心为，则，则圆心为，半径为2，故圆C的标准方程为；（2）若选条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长之比为2:1；则，而，故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或；若选条件②：；而，故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或；若选条件③：，而，是等腰直角三角形，,故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或.20.【答案】（1）点是的中点，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，即平面．（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，底面为正方形，，点是的中点，，，，，，，设在上，则，，，，设平面的法向量，平面，则，令，则，，解得．线段上存在点，使得平面，且点是的中点．，，线段的长为．（3）同（2）所示坐标系，则，，设平面的法向量为，平面的法向量为，，则为平行于轴的单位向量，即；，令，得，设平面与平面的夹角为，则，平面与平面的夹角为．21.【答案】（1），化为标准形式得，圆的圆心为，半径．（2）圆的圆心为，半径，设切线方程斜率为，当不存在时，过点的方程为，圆心到的距离为，满足相切条件，直线是过点且与圆相切的一条直线方程；当存在时，设过点的切线方程为：，即，则圆心到切线的距离，解