2026届高考数学一轮复习：集合

2026届高考一轮复习专题1：集合

一、单选题

1.已知集合M={Q|J-6N*,且Q€Z},则M等于()

A.{2,3}B.{1,2,3,4}C.[1,2,3,6}D.{-1,2,3,4)

2.设全集U={x|0<x<W,xeZ],A,B是U的两个真子集，(C(/Z)n(QB)={1,9},AQB=2,(Q4)OB=

{4,6,8),则()

A.5£4且5cBB.5C4,且5cB

C.5£A,且5£8D.5c4,且5£B

3.集合M={x\x=2k,keZ),N={x\x=2k+1,kEZ],0=[x\x=4k+l,kWZ),则对任意的mWM,nW

N,oe0,有下列四种说法：(2>n-nG0：劭i+n€O：@o-meN；®o-nG0,其中一定正确的个数

为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知集合4={x|10*V2O25"WN},B={y\y=2X},则AnB=()

A.{04,2,3}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{2}

5.己知U=R,A={x\x2-4x+3<0},B={x\\x-3|>1},则4U(CyB)=()

A.[x|l<x<4}B.{x\2<%<3}C.{x|l<%<2}D.{x|2<x<3}

6.已知集合力={x|3x2-14x+15<0},B={x\y=Jlogo.s(4x-7)}则AdB=

A.[|,2]B.[2,3]C.[|,3]D.32]

7.设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{%},所有被4除余1的自然数从小到大组成数列仍“},

设这两个数列的公共项构成集合4则集合入门{川71《2025,"£胪)中元素的个数为()

A.167B.168C.169D.170

8.集合力={无忱V-1或323},B={x|ax+1<0},若B。4,则实数a的取值范围是()

A.昌,1)B-

C.(-8,-l)u[0,+8)D.[-1,0)U(0,l)

9.已知集合M={x\x2-2mx-3m2<0},N=(x\x2+mx-2m2<0},定义b-Q叫做集合3。<x<b}

的长度若集合MnN的长度为2,则MUN的长度为()

A.3B.4C.5D.6

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10.设集合4={x\x2+2x-3>0},集合8={x\x2-2ax-l<0,a>0},若{n8中恰含有一个整数，则实数

Q的取值范围是()

A.居)B.(0()C.g,+oo)D.(l,+8)

11.记R(4)为非空集合4中的元素个数,定义A*8=胫吸一懿》女Z。悬若%={I©，B={x|(x2+

ax)(x2+ax+5)=0],且=设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则R(S)等于()

A.1B.2C.3D.4

12.已知集合P,Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：跋合P,Q中的元素都为正数；②对于任意a,

bGQ(a*b),都有*P：③对于任意a，bWP(aWb),都有abEQ,则下列说法正确的是()

A.若P有2个元素，则Q有3个元素B.若P有2个元素，则PUQ有4个元素

C.若P有2个元素，则PAQ有1个元素D.存在满足条件且有3个元素的集合P

13.设集合S,T,SEN*,TGN*,S,7中至少有两个元素，HS,「满足：

(2W于任意3,yes,若x*y,都有为yeT；

②时于任意x,yET,若％Vy,则(€S；

下列命题正确的是()

A.若S有4个元素，贝IJSU7有7个元素B若S有4个元素，则SUT有6个元素

C.若S有3个元素，则SU7有5个元素D.若S有3个元素，则SUT有4个元素

14.已知集合A={x|芸•<：!},集合B={x|x2-(a+2)x+2a<0},若“x£A”是“x6B”的充分不必

要条件，则实数a的取值范围()

A.(-00,-0B.(-8,一1C.[-1,2)D.(-1,2)

二、多选题

222

15.已知集合力={xeR\x-3x-18<0}fB={XER\X+ax4-a-27<0),则下列命题中正确的是()

A.若4—B,则a=-3

B.若4GB,则a=-3

仁若8=0t则aW-6或QN6

D.若8晨4时，则一6Va工一3或a26

16.设集合用={x|aV%V3+a},N={x|xV2或%>4},则下列结论中正确的是()

A.若Q<-1,则MGNB.若Q>4,则MGN

C.若MUN=R，则1VaV2D.若MCNH0,则1<aV2

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17.已知非空数集M具有如下性质：璃x,yEM,则舞x,y€M,则％+y€M.下列说法中正

确的有()

A.-1GMB.2025eM

C.若％,yEM,则D.若x,yEM,则x-y£M

18.设集合4={%仅2—工一6<0},B={x\x2+bx-i-c<0},若4nB=(-2,2],则()

A.b>0B.d<0C.c<-4D.2ft+c=-4

19.已知有限集A=3，。2,…，Q/dN2,neN),如果A中元素Qt(i=1,2,…,n)满足为+a2+•••+an=arx

a2x-xan,就称力为“完美集”.下列结论中正确的有()

A.集合{-1,--1+73)是“完美集”；

B.若由、外是两个不同的正数，且{%,小}是“完美集“，贝"》W至少有一个大于2;

C.二元“完美集”有无穷多个；

D.若《WN"则"完美集”A有且只有一个，且几=3：

三、填空题

20.已知集合力={0,2。-1,次},5={a-5,1-a,9},且9€(An8),则。=.

21.a,bER,集合{l,a+b,a}={0,，,b}，则a?°24+匕2025=.

22.已知集合A={%WN|:v3x+i<27},B={x|x2-3x4-m=0),若1€?!nB,则力U8的子集的个数

为.

23.设U=R,A=(x\mx2+4%+2=0}.若Q力=U,则m的取值范围为；集合力中有两个元素的充要

条件是.

四、解答题

24.设全集为R,A={x\2<x<4],B={x\3x-7>8-2x].

⑴求AU8；

(2)^C={x|a-l<x<a+3),(CRA)CC=C，求实数a的取值范围.

25.已知函数/(%)=-的定义域为集合4,B={x|2<x<10],C={x\a<x<2a+l}.

(1)求力UB(CM)nB

(2)若8UC=8,求实数a的取值范围.

26.已知集合。={%,2-。％+02-19=0},集合B={1,2,3},集合C={0,1,2},且集合。满足On〃H0,

DC\C=0.

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(1)求实数Q的值.

(2)对集合4={%,做，…，。。(攵＞2),其中为GZ(i=1,2,…,k).定义由4中的元素构成两个相应的集合S=

{(a.b)\aeA,bEAfa+bEA],T={(a,b)\aEAfbEA.a-beA]t其中(Q,b)是有序实数对,集合S和丁中

的元素的个数分别为m和人若对任意的QWA总有则称集合A具有性质P.

①请检验集合BUC与BUO是否具有性质P,并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T.

②试判断m和〃的大小关系，并证明你的结论.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】因为集合"={a|€N*,且Q6Z},

所以5—Q可能为1,2,3,6,

对应Q的值为4,3,2,-1,

所以M={4,3,2,—1}.

故选D.

2.【答案】A

【解析】由题意,U={x|0<x<10,xGZ]={1,234,5,6,7,8,9〕,

可借助Perm图解决：

•••56/I>5cB.

故选A.

3.【答案】A

【解析】因为血=2的，n=2k2+1,。=4/^+1，kltk2,k3EZ,

所以mm=2kl・(2々2+1)=2(2女也+Q,且2klk?+自WZ,

所以GM,m-nW0；

乂TH+n=2(3+Ze?)+1WN,又如4-心不一定是2的倍数，

所以租+〃不一定属于集合0；

因为。—nr=2(2心—kJ+1»JI2k3—k[EZ,所以o—niEN；

因为o・n=(4/C34-1)(2七+1)=2(4k2A3+&+2k3)+1,4k2A3+k2+2k3EZ,

所以osEN,又4k2k3+k2+2k3不一定是2的倍数，所以。・九不一定属于集合0.

所以只有斫定正确，

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则一定正确的个数为1.

故选：A.

4.【答案】B

【解析】因为函数y=10、在R上单调递增，10°=1V2025,101=10<2025,102=100<2025,103=

1000<2025,104=10000>2025,且％WN,所以集合A={0,1,2,3}.

集合8={y|y=2X},由于指数函数y=2、的值域是(0,+8),所以集合8={y|y>0}.

那么4n8={l,2,3}.

故选：B.

5.【答案】A

【解析】因为A={x|l<x<3},B={x\x>4或%<2},

所以QB={x|2<x<4},AU(CyB)={x|l<x<4},

故诜:A.

6.【答案】D

【解析】•••A=[x]3x2-14%+15<0}=

B={x\y=Jlogo,5(4=-7)}={x\^<%(2卜

4nB=*弓<x<2j.

7.【答案】C

【解析】由题意可知，数列{%}：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、…，

数列{%}：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、…，

将集合力中的元素由小到大进行排序，构成数列{0}：5、17、29、…，

易知数列{金}是首项为5,公差为12的等差数列，则的=5+12(n—l)=12〃—7,

由的=12n-7<2025,可得n<^=169+1,

因此，集合力n(n|n<2025,n6M}中元素的个数为169.

故选：C.

8.【答案】A

【解析】A={x|x<-1或x>3},fi={x\ax+1<0},

当G=0时，1W0不成立，

所以B=0,所以BGA满足；

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当a>0时，因为QX+IWO,所以％4-工，

a

又因为3£4,

所以一白<一1,所以0VQV1;

a

当G<0时，因为QX4-1<0»所以X>—

又因为BU4,所以一工之3,所以-JvaVO,

a3

综上可知：aE[—I，1).

故选:A.

9.【答案】C

【解析】x2-2mx-3m2=0的两根为-m,3?n,

x2+mx-2m2=。的两根为m,-2m；

当n=0时，易知MnN={0}；

当m>0时，M={x\-m<x<3m},N=[x\-2m<x<m],

MC\N={x\-m<x<m}：

当mV0时，M={x|3m<x<-m],N={x\m<x<-2m],

MC\N={x\m<x<—Tn}.

由MClN长度为2得，2m=2或-2m=2,

:.m=1或m=—1,

当m=1时，M={x|-1<x<3},N={x\-2<x<1},

MU/V={x|-2<x<3}；

当n=-1时，M=(x\-3<x<1],N=[x\-l<x<2},

M\JN={x\-3<x<2].

•••MUN的长度为5.

故选：C.

10.【答案】A

【解析】由力中不等式变形得：(x-l)(x+3)>0,

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解得：％<-3或%>1,即4={x|xV-3或%>1},

函数y=/(x)=x2-2ax-l的对称轴为％=a>0,

f(-3)=6a+8>0,

/(-1)=2a>0,

/(0)<0,/(1)<0,

故其中较小的根为(-1,0)之间，另一个根大于1，

要使4nB恰有一个整数，即这个整数解为2,

•••/(2)<0且/(3)>0,

iinf4,一4a—1<0

N19-6a-1>0,

2

解得：｛:,

(a<3

即:<a<^»

则a的取值范围为停工).

故选4

11.【答案】C

【脩析】由定义得/?(力)=2,结合4*8=1,可知R(8)=1或R(B)=3,

由方程(％2+QX)(无2+QX+5)=0,得+CZX=0或％2+a%+5=0,

当A(B)=1时，方程(%2+axXx2+ax+5)=0只有一个实数根，

而方程d+QX=0有一根为0,则另一根必为0,-a=0,此时工2+Q%+5=0无实根，因此Q=0.

当R3)=3时，必有QHO,方程炉+。％=。布两个不相等的实数根勺=U,x2=-a,

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并且工1=0,X2=-Q都不是方程/+QX+5=0的根，

显然方程式2+QX+5=0有两个相等的实数根，且异于工1=0,x2=-a,

于是4=a2-20=0,解得a=2A或一2A/~^.

当G=2A/~耳时，方程(%2++Q%+5)=o的根为o,一26,-V-5,满足题意，

当&=一2门时，方程(f+QXN%2+a%+5)=0的根为0,2，^,仄,满足题意，

因此a=2，"5或a=—2v5,

综上S={0,-26,2店},故R(S)=3.

故选：C.

12.【答案】C

【解析】若P有2个元素，设「={。,切，(a>0tb>0,a^b^\abEQ.

•:Q至少有2个元素，.••集合Q中除M外至少还有一个元素，

不妨设xeQ,x手ab,则；v>0,且aeP,geP,

若总=B，则"2=(时产

x>0»ab>0,x=ab,与假设矛盾，

Lzabxab.x.ab

+故茄工三，二茄=见工=b或而=b,"=a.

若<=a,他=8,则x=a,ab=1,b=-,

abxa

若a=l,则匕=Q=1,与Q0b矛盾，QW1,同理bHl.

此时P={Q，9，Q={a,",PuQ={a,；,1},PnQ={a}；

若京=b丹=a,则工=b,ab=•••Q=[,

若a=l,则b=Q=l,与a。b矛盾，aH1,同理bHl.

此时P={b,1),Q={b,l],PUQ={匕q,1},PnQ={b}；

综上，若P有2个元素，则Q有2个元素，PUQ有3个元素，。八、有1个元素，

故,4错误，8错误，。正确；

假若P有3个元素，设。={a,瓦0,则a,b,c为互不相等的正数.根据③，有ab£Q,beEQ,acEQ.

由千a,b,c都是正数，且两两不相等，所以ab,be,ac两两不相等.

由条件②可得，梆是集合「=色，瓦。}的元素.

•••a,b,c为互不相等的正数，一4,2,2,£,?都是不等于1的正数.

cbacab

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a,ba,cbe

.:b,c为不相等的正实数，・••？#：士,£0以考虑到£=#?和盛工3

bcaaabbc

若2手？,则f,2,3为互不相等的正数，由202两边取到数得£工之

cabaccaao

所以工是与今2”不相等的正数，由于£，三,2”都是集合p的元素，所以集合p至少有四个元素，与初始假

a0acabac

设矛盾：

同理可得2工春£工2时矛盾.

abac

因此考虑2=2,-=p£=2的情况，所以层=姐同理可得〃=QC,c2=ab,所以cP=/=

acahac

所以Q=b=C,这与集合中元素的互异性矛盾，所以集合P有3个元素不可能成立，故。错误.

故选：C,

13.【答案】A

【解析】取:S=[1,2,4},则T={2,4,8},SU7={1,2,4,8},4个元素，排除C；

S={2,4,8},则7={8,16,32},SU丁={2,4,8,16,32},5个元素，排除。；

S={2,4,8,16],则7={8,16,32,64,128},SU7={2,4,8,16,32,64,128},7个元素,排除B；

对于S={Q,4c,d}且av/?<cvd,a,b,c,deN*,集合7的元素如下：

xy且xHyx=ax=bx=cx=d

y=a—abacad

y=bab一bebd

y=cacbe—cd

y=dadbdcd——

由表得：T=[ab,ac,be,ad,bd,cd]H.ab<ac<min{bc,ad}<max{bc,ad]<bd<cd,

此时要满足％vy,有马wS,如卜表:

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，且％<yx=abx=acx=bex=adx=bdx=cd

y=ab—一———一

c

y=ac—一———

b

cb

y=be—*—一

aa

dd

y=ad*—一—

bc

dbddb

y=bd——

aacca

cdddcc

y=cd—

ababab

当儿AQd,上表第一列有黑(琮且均属于集合S,而5={。,瓦&科矛盾;

当be<ad,上表第一列有&>£>],且均属于集合S,而$=色,瓦c,d},矛盾；

当力c=ad时，则半：>°>加双巴，=£}>7n出{㈣,4=£}>°=&,且均属于集合S,

abaacbaJacbaJca

bddc,

^=b=a=h

5=c,

(好d

可得S={a,a2,a3,a4},且T={a3,a4,可可吟,

注意a-1.

:.SuT={a,a2a3a4a5a6a7卜故共有7个元素.

故选：A.

14.【答案】4

【解析】A={R号{1}={x|-1<x<2],B={x|(x-a)(x-2)<0},

又•；“工€?1”是“工£8”的充分不必要条件，

席B,

故选A.

15.【答案】ABC

【解析】由题意得A={xe町一3<x<6},

若4=B,则a=-3且a?-27=-18,解得。二-3,故力正确;

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故当Q=-3时，A=B,故。不正确；

若4QB,则(-3)2+。.(-3)十次一2740且62+6。+。2-27工0,解得。=一3,故8正确；

当B=0时，得。2-4(。2-27)£0,解得QW—6或a26,故C正确.

故选：ABC.

16.【答案】ABC

【脩析】对于4若QV-1,则3+aV2,则MGN,故力正确；

对干B,若Q>4,显然对于任意xEM,%>4,则x€N,故M工N,故8正确；

对于C,若MUN=R,则{£：：'>4解得IVa<2,故°正确；

对于。，若MCN=0,贝讣屋工人不等式无解，故若MCINW0,则aER,故。错误.

故选ABC.

17.【答案】BC

【解析】对于力，若一1EM,令％=y=-1,贝q=1€M,x+y――2EM,

令x=-1,y=1»贝寸=-1GM,x+y=OGM,令X=1,y=0,不存在*即y*0,矛盾，所以一1£M,

故,4错误；

对于B,由于集合M非空，取任意元素根据性质①，得再根据性质②,

得1+1=2WM,进而1+2=3WM,…，2024WM,2025€M,故4正确；

对千C,因为1€M,xEM,所以:WM,因为yWM,：£M,所以q=WM,故C正确；

对干。，若％=1,y=2,则x-y=-lCM,故。错误.

故选：BC.

18.【答案】ACD

【解析】A=[x\x2-x-6<0}={x|-2<x<3],

若AGb=(-2,2],

说明2是方程d+bx+c=0的一个根，

设方程%2+bx+c=0的另一个根为&,则B={x|x0<x<2},

由于4nB=(-2,2],所以%04一2,

则根据韦达定理可得：2+x0=-hf2x0=c,

因为工0<—2,b=—(2+Xo),那么b=-2—XQ>0,所以A正确，B借误；

由Zx0=C且x()<-2,可得c=2工oW-4,C正确；

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由方程d+bx+c=0有一个实数根为2,得4+2力+c=0,即2h+c=-4,故。正确，

故选：ACD.

19.【答案】BCD

【解析】已知有限集A=｛alfa2,­••,a;l)(n>2,neN),如果A中元素=1,2,…，九)满足国+a2+•••+0n=

«ixa2x-xan,就称4为“完美集”.

故对于4集合｛-1,—>/~3,—14-JZ｝是"完美集"，由于—1—\/-3-14-V5=-2H(—1)X(―X

(―1+A/-3),故力错误；

对于从Qi、。2是两个不同的正数，且｛。1，。2｝是“完美集”，

则设%+%=，。2=亡>0，

根据根和系数的关系的和。2相当于9-5+£=0的两根，

所以4=£2-4£>0,解得£>4或t<0,所以t>4,

所以。1、。2至少有一个大干2，和B正确.

C根据B一元二次方程根和系数的关系为和。2相当于必-£X+七=0的两根，

所以/一4t>0,解得£>4或t<0,所以£>4,

对任意的t>4,都有对应的方程工2-tx+t=0的两根力和a?，

所以二元“完美集”有无穷多个，故C正确.

D设由<a2<a3<•••<On，

则满足％+%++an=xa,x…xa„,

因为qWN”,显然〃=2不满足，故九二3,

故G1Q2a3…Qn<八%，

整理得2a3…斯-1<-，

当?!=3时，a1a2<3,

由于QjWN",所以=1,。2=2，

由丁由十。2十。3=口1。2a3，解得：a3=3»

，ann

当九N4时,a1a2a3,,n-i>(—l)(-2)---2-l>(n—l)(n—2),

又(九一l)(n—2)—n=n2-4n+2=n(n-4)+2>0,即(九-l)(n—2)>n,

即G]Q2a3…Qn-1>九，矛盾,故九N4不满足条件，

所以若以€N「则“完美集”4有且只有一个，且n二3,

此时的完美集为｛1,2,3｝,故肘正确.

故选BCD.

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20.【答案】5或-3

【解析】9EQ4CB）；・•.gw/l；.•・2。-1=9,或次=%

•••a=5,或a=±3；

g=5时，A={0,9,25},B={。，-4,9},满足条件；

处=3时，5={-2,-2,9）,不满足集合元素的互异性；

@二一3时，71={0,-7,9},F={-8,4,9）,满足条件；

故答案为5或-3.

21.【答案】2

【解析】由分母不为0可知QH0,

所以a+b=0,则。=-从HP-=-1,

a

所以集合口,0,研={0,-1,圻,

所以a=-1,b=1,

故&2024+b202S=（_1）2024+/025=1+1=2.

故答案为:2.

22.【答案】8

【解析】由题意知<={%€%4<3"1<27}={0,1},

又1WACB,所以168,所以12-3