2026人教版中考数学一轮复习 圆的相关证明与计算 学案（含答案）

类型一与切线相关的证明与计算

1（2024・龙岩模拟）如图,在锐角ZMON内部取一点A,过点A分别作AB1OM于点B,作

AC1ON于点C,以AB为直径作。P,CA的延长线与。P交于点D,连接BD.

(1)求证NMON+iABD=90°.

（2）若OB=BD,点D在OP的延长线匕求证:ON是OP的切线.

⑶当tanzMON=l时，连接0A,若CP1OA于点F,求而的值.

针对训练

1.如图,AB是。O的直径,P是弦AC上一动点（不与点A,C重合），过点P作PE1AB,垂足为E,射线

EP交弧AC于点F,交过点C的切线于点D.

⑴求证:DC=DP.

⑵若匕CAB=30>AB=4,F是弧AC的中点，求CP的长.

晅对训练

2.如图，在4ABC中,AB=AC,以AB为直径的。0分别交AC.BC于点D,E,点F在AC的延长线上,

且BF是O0的切线.

(1)求证ZBAC=2«,BF.

(2)若OO的半径为5,siMCBF=1,求CD的长.

类型二圆的综合探究

2(2024•福建)如图，在AABC4,,zBAC=90°,AB=AC,WAB为直径的。0交BC于

点D,AEJX)C,垂足为E,BE的延长线交俞于点F.

⑴求器的值.

(2)求证:AAEB〜aBEC.

(3)求证:AD与EF互相平分.

针对训练

3.(原创)已知AARC内接于OO,D是前的中点，连接AD,CD,BD,AD与BC交于点P.

⑴如图1,若NDBC=28O/ACB=74。,求4APB和上ABC的度数.

(2)如图2,当AB为。O的直径时，过点D的切线与AB的延长线交于点E,若CDIIAB,求心BDE的度

数.

针对训练

4.已知四边形ABCD内接于OO,AC_LBD,垂足为E,CF_LAB,垂足为F,交BD于点G,连接AG.

⑴求证:CG=CD.

(2)如图1,若AG=4,BC=10,求。0的半径.

(3)如图2,连接DF,交AC于点H,若zABD=30o,CH=6,试判断左心是不是定值.若是，求出该定值;若

LUu

不是，说明理由.

针对训练

5.如图,AB是。0的直径,C,D为。0上不同于A,B的两点，并且点C,D位于直径AB的两侧,CA=CD.

⑴如图1,连接BD,求证ZABD=2匕BDC.

(2)如图2,AB,CD交于点E,过点E作EF1DB于点F,延长FE交AC于点M,求证:CE=CM.

(3)在(2)的条件下，若taniCDB=1,EB下,求线段CE的长.

针对训练

6.【问题呈现】阿基米德折弦定理:阿基米德（Archimedes,公元前287-公元前212年，占希腊）是有

史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1,AB和BC是OO的两条

弦（即折线ABC是圆的一条折弦）,BC>AB，M是赢的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折

弦ABC的中点，即CD=DB-BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.

证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.

是病的中点,•••MA=MC.

又BA=GC,

•••△MAB三△MCG,，MB=MG.

又•.MD_LBC,；.BD=DG,

.•.AB+BD=CG+DG,即CD=DB+BA.

【理解运用】如图1,AB、BC是。0的两条弦,AB=4,BC=6,M是就的中点,MD_LBC于点D,则

BD的长为.

【针对训练探究】如图3,若点M是废的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB与

BA之间存在怎样的数量关系,并加以证明.

图3

【实践应用］如图4,BC是OO的直径,A为圆上一定点,D为圆上一动点，且满足乙DAC=45。,若

参考答案

例1解析:(1)证明:；AB是OP的直径，

.­.ZADB=90°,BPAD1BD.

••­CD10N,

.-.BDIION,

VABIOM,

.­.ZABD+ZMBD=9O°,

.-.ZMON+ZABD=90°.

(2)证明:如图1,连接OD,则点P在OD上，过点P作PE1ON于点E.

vOB=BD,

•••z.l=z.2,

.-.zMBD=zl+z2=2zl.

由(1)可知4MoN=4MBD=2N1,

••.OP平分/MON.

••PE10N,PB10M,

•••PE=PB,

..ON是。P的切线.

(3)解法一:如图2,过点P作PH1AD丁点H,过点B作BR1ON丁点R,

则AH=DH,zPHC=zCRB=90°.

设AH=x,AC=y.

由(1)得4OCD=4CDB=90。,

ZCOB=ZBAD,

•••四边形CDBR是矩形.

.-.BR=CD=

2x+y.

vtanzMON=l,

.,.tanZ.PAH=l,

••.PH=x,BD=CR=2x,OR=BR=2x+y.

•.CPIOA于点F,

••.Z.CFO=ZPHC=90°,

••23+45=900.

vAClOC,

.•24+45=90°,

•••Z.3=ZL4,

.-.△OCA-ACHP,

ACOCrj..y_4x+y

PHCH,P*xx+y*

•••y=2x,

.••OA=VOC2+CA2=V(6x)2+(2x)2=2V10x,

CP=VCH2+PH2=7(3X)24-x2=V10x,

clOCCA6x-2x3V10

•••CF—八4-L.UX,

OA2VT0X5

.PF=^x•空—2

，lh5X＞，，CF3,

解法二:•・2ACO=/AFC=90°,

AFAC

coszCAO^,-.AC2=AFAO.

ACAO'

•••ZABO=ZAFP=90°,

coszBAO=^=^,/.AP-AB=AF-AO,

.*.AC2=APAB.

VAB=2AP,.-.AC2=2AP2,AAC=V2AP.

如图3,过点P作PH1AD于点H.

图3

设PA=r,AC=V2r,

,.•tanzMON=l,.*.Z.MON=450.

由(1)可知乙BAD=45。,在RtAAPH中,AH=PH考r,

.*.CH=AC+AH=|>/2r,PC=VPH2+CH2=V5r.

•••△CAF〜△CPH,

厂总

・.'aCTF_cCPA,，.，1VCF2r_vV&5r，CFq_=35^5r，

PF=CP-CF=V5r-|V5r4V5r,

oo

PF|V5r2

,CF?高3,

针对训练1.解析：

⑴证明:如图，连接0C.

•••DC切OO于点C,.•.半径OC1DC,.-.ZDCP+ZACO=90°.

vPElAB,

二乙OAC十乙APE=9(T.

VZDPC=ZAPE,.-.ZOAC+ZDPC=9()°.

vOA=OC,.'.zOAC=zOCA,

.­.ZDCP=ZDPC<-.CD=PD.

⑵如图，连接OF,CF.

VZCAB=30°,.-.Z.BOC=2ZCAB=60°,

.--ZAOC=120y.

vF是标的中点,.“FOC=/FOA=60。.

•••OF=OC"OFC是等边三角形,.JOOg.

•.•ZAPE=90O-ZBAC=60O,.-.ZDPC=ZAPE=60°.

vDP=DC,.-.ADPC是等边三角形.

vzCFO=zAOF=60o,.-.CF||BE.

VBE1DE,.-.CF1DP.

•••sinzCPF=^=^,FC=2,.-.PC=^,

针对训练2.解析：

(1)证明:如图，连接AE.

vAB为OO的直径,.•2AEB=90o,.・zBAE+NABE=90。.

,.,AB=AC,.'.Z.BAE=Z.CAE=^Z.BAC.

­.BF是OO的切线,••zCBF+NABE=90°,

•••，CBF=xBAE弓乙BAC/.zBAC=24CBF.

(2)如图，连接BD.

•••AB=AC=2OB=10,sinZCBF=^2,

.-.sinzBAE=1,.-.BE=4,.-.BC=2BE=8.

设CD=x，则AD=10-x.

•••AB是OO的直径,.•2ADB=9O°,.ZBDC=9O。，

.­.82-x2=102-(10-x)2,解得x4,.・.CD#.

例2解析:(fAB=AC,且AB是。O的直径，

.-.AC=2AO,

VZBAC=90°,

在RtAAOC中,tai叱AOC=^=2.

vAElOC,

中,，

StRtAAOEtanNAOCOFU

••空=2,

OE，

0E1

**AE2,

(2)证明:如图1,过点B作BMIIAE,交EO延长线于点M,

.-.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

vAO=BO,

••.△AOE三△BOM(AAS),

•••AE=BM,OE=OM.

OE1

v—

AE2'

••.BM=2OE=EM,

.-.^MEB=ZMBE=45°,

ZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,

ZBEC=1800-zMEB=135。,

.*.ZAEB=ZBEC.

vAB=AC,zBAC=90°,

••ZABC=45。，

••.ZABM=Z.CBE,

••乙BAE—乙CBE,

.-.△AEB-ABEC.

(3)证明:如图2,连接DE,DF.

c

图2

vAB是60的直径，

.-.ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

vAB=AC,zBAC=90°,

.♦.BC=2BD,zDAB=45°.

由(2)知,△AEBSABEC,

AEAB2A0AO,匚八八

ir]iriir^,zEAO=zEBD,

•••△AOE^ABDE,

.,•ZBED=Z.AEO=90°,

•ZDEF=9O°,

.-.ZAFB=ZDEF,

.-.AFHDE,

由(2)知/AEB=135°,

.­.ZAEF=18O°-ZAEB=45°.

vzDFB=zDAB=45°,

••.Z.DFB=±AEF,

•••AEIIFD,

二四边形AEDF是平行四边形,

••.AD与EF互相平分.

针对训I练3.解析:(1)-ZDBC=280"CAD=28°,

.­.ZAPB=ZCAD+ZACB=280+74°=102°.

vD是R的中点,二&=俞，

•ZDAB=4CBD=28°.

^△ABP+,zDAB=28°,ziAPB=102°,

.­.ZABC=1800-ZDAB-ZAPB=50°,

.­.ZAPB=1O2°,ZABC=5O°.

(2)如图，连接OD.

vCDHAB,

・••/DCB=4ABC.

••・D是部的中点，

.-.CD=BD,.-.zDCB=zDBC=rDAB.

vAB为(DO的直径,.zADBngO。，

.­.zDAB+zABC+zDBC=90°,.-.zDAO=30°.

­.DE为OO的切线,.・.0口_1口£,

•••ZBDE+ZODB=90°.

vzADO+zODB=90°,.-.zBDE=zADO.

vOD=OA,.-.^ADO=zDAO,

.-.ZBDE=ZDAO=3()°.

针对训练4.解析:⑴证明:如图1.

D

图1

VAC1BD,CF1AB,

.-.ZAEB=ZAFC=9O0,

:乙2+乙BAC=90°,乙1十乙BAC=90°,

二乙1=42.

,・21=43,

•••Z2=Z3.

vzDEC=zGEC=90°,

••.z3+zCDE=90°,z2+zCGE=90°,

.-.£CDE=ZCGE,

•••CG=CD.

(2)如图2,连接CO并延长交。0于点Q,连接BQ,

D

图2

由（1）知,CG=CD/2=z3,

・•.AC是DG的中垂线，

•••AG=AD.

•••AC1BD,

.-.ZCED=9O°,

.­•zCDE+zECD=90°.

vCQ为OO的直.径，

.-.zCBQ=90°,

.-.ZCQB+ZQCB=9O°.

vzCQB=zCDB,

••.ZQCB=Z3,

•••BQ=AD,

•••BQ=AD=AG=4.

在RtACQB中，根据勾股定理得CQ=V424-102=2A/29,

.-.oo的半径为场.

（3言磋的值是定值.

如图3,过点H作HMHCD交CF于点M,

图3

.­.zCHM=z3.

由（1）知/2=43,

.-.zCHM=z2,

vHMHCD,

.••△FMH-AFCD,

.FMHMCM

*'CFCDCD"

V-FM-1,-C-M--CF=1i.

CFCFCF，

CM,CM,

/.—+1=\

CDCFCM'

过点M作MN1CH于点NJ"CN=|CH=3.

在RtACMN中,COSN2嗯言.

vzABD=30°,

.-.zl=z2=z3=30°,

•••CM-32®

cos3001r'

.1十1

"CDCF6-

针对训练5.解析:(1)证明:如图I,连接OCQD.

图1

ffiAOCA^UAOCD中,

(OC=OC,

CA=CD,

IOA=OD,

.-.△OCA=AOCD(SSS),

.,.ZACO=zDCO.

•.OA=OC,

.-.ZA=ZACO.

vZA=zCCDB,

.--zCDB=zOCD,

.-.OCIIDB,

.-.ZABD=ZBOC.

vzBOC=2zBDC,

.-.ZABD=2ZBDC.

⑵证明:如图2,连接AD.

图2

vMFlBD,

.­.ZMFB=9O°.

vAB是。O的直径，

.-.ZADB=9O°,

••.ZEFB=ZADB,

.••MFIIAD,

/.ZCME=ZCAD,ZCEM=ZCDA.

vCA=CD,

.--ZCAD=Z.CDA,

.-.ZCME=ZCEM,

.-.CM=CE.

(3)如图3,连接AD,BC,CO,延长CO交AD于点H,

由（1）知/ACO=4DCO.

•.CA=CD,

.-.CH1AD,AH=DH.

vzCDB=zCAO=zACH,

•••tanZ.CDB=tanz.CAO=

taniACH],设BC=2a,则AC=4a,AB=2V5a,AII=^a,CH=^a,

4OJ

••.OH=CH-OC=^a,